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第2章 特殊三角形（单元培优测试卷）
一、选择题（本大题共10小题。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．（河南省2025年招考模拟九年级数学试卷）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）已知命题甲：全等三角形的对应角相等；命题乙：如果，那么．则下列判断正确的是（ ）
A．命题甲的逆命题的题设是两个角相等 B．命题乙是假命题
C．命题甲的逆命题是真命题 D．命题乙的逆命题是假命题
3．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）等腰三角形的两边长分别为，则该三角形的周长为（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不对
4．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，是的角平分线，，则点D到的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2025·福建漳州·模拟预测）在中，，线段的垂直平分线交点D，交点E，连接，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2025·云南临沧·二模）如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，，则的面积是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
8．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）在中，的对边分别是，下列命题中假命题是（ ）
A．若，则是直角三角形
B．若，则是直角三角形
C．若，则不一定是直角三角形
D．若，则一定不是直角三角形
9．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
10．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，点E、D分别在的延长线上，与的平分线相交于点P，，与交于点H，交于F，交于G，下列结论：①；②平分；③垂直平分，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共6小题）
11．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）在镜子中看到时钟显示的时间是，则实际时间是 ．
12．（24-25八年级上·青海西宁·期中）若等腰三角形的一个角等于，则它的另外两个角的度数为 ．
13．如图，，，垂足分别为，，要根据“”直接证明，应添加的条件是 ．
14．（2025·贵州遵义·三模）如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，则的度数为 °．
15．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是5，则正方形的面积和为 ．
16．（2025·浙江宁波·一模）如图，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．如果，那么 ， ， ．
三、解答题（本大题共8小题。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段和，点A、B、C、D均在小正方形顶点上．
(1)在方格纸中画出以为底的等腰，且点F在小正方形的顶点上；
(2)在方格纸中画出面积为7.5的等腰，且点E在小正方形的顶点上．
18．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点在边上．请用尺规作图法，在内求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法）
19．（24-25八年级下·重庆合川·期末）如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米．
(1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？
(2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？
20．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，点E，B，C，F在一条直线上，，，与相交于点，求证：
(1)；
(2)．
21．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，点、分别为、上的点，连接、．
(1)若，平分，，，求的长度；
(2)若，垂直平分，连接，求证：是等边三角形．
22．（24-25八年级下·山西运城·期中）已知：如图，在中，，在中，，，．
(1)求证：；
(2)若点D在边上，证明；
(3)在（2）的条件下，若与交于点F，直接写出图中所有的等腰三角形．
23．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式．
24．（24-25八年级上·四川南充·期末）（1）如图1，在四边形中，，．E、F两点分别是、上的点，且，试探究图中与的数量关系．
小王同学探究此题的方法是作辅助线：延长到点G，使，连接．然后顺利的完成了此题的解答．请你按照他的方法写出解答过程．
（2）如图2，在四边形中，，．若E、Ｆ分别在、的延长线上，且仍然满足，请直接写出与的数量关系．中小学教育资源及组卷应用平台
第2章 特殊三角形（单元培优测试卷）
一、选择题（本大题共10小题。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．（河南省2025年招考模拟九年级数学试卷）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查轴对称图形，根据一个图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选C．
2．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）已知命题甲：全等三角形的对应角相等；命题乙：如果，那么．则下列判断正确的是（ ）
A．命题甲的逆命题的题设是两个角相等 B．命题乙是假命题
C．命题甲的逆命题是真命题 D．命题乙的逆命题是假命题
【答案】B
【分析】本题考查了命题与逆命题，全等三角形的性质和判定，绝对值的意义，掌握命题与逆命题的关系是解题的关键．
【详解】命题甲：“全等三角形的对应角相等”是真命题．其逆命题为“对应角相等的三角形全等”．
逆命题的题设是“对应角相等”，而非“两个角相等”， 故选项A错误．
由于对应角相等但边不一定相等，无法保证全等（需对应边相等），故逆命题为假．选项C错误．
命题乙：例如，，时，但，故“若，则”是假命题．选项B正确．
命题乙的逆命题为：“若，则”是真命题（因时绝对值必相等），选项D错误．
故选：B．
3．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）等腰三角形的两边长分别为，则该三角形的周长为（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不对
【答案】B
【分析】本题主要考查了定要三角形的定义和三角形三边关系，根据等腰三角形定义分两种情况，再根据三角形三边关系确定可能的边长组合并计算周长即可．
【详解】解：等腰三角形两边长分别为和，可能有两种情况：
情况一：腰长为，底边为．
则三边为、、．
此时，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，故该情况不成立．
情况二：腰长为，底边为．
则三边为、、．
此时，，均满足三角形三边关系，故该情况成立．
则周长为．
故选：B
4．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，是的角平分线，，则点D到的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，点到直线的距离，正确作出辅助线是解题的关键．
过点D作于E，先利用勾股定理求出的长，再根据角平分线的性质即可求出的长．
【详解】解：如图所示，过点D作于E，
在中，，由勾股定理得
，
∵是的角平分线，，，
∴，
∴D到的距离为3，
故选：B．
5．（2025·福建漳州·模拟预测）在中，，线段的垂直平分线交点D，交点E，连接，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，能根据定理求出是解此题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出，求出，根据三角形内角和定理得出，再求解即可．
【详解】解：线段的垂直平分线交点D，交点E，
，
，
，，
，
，
故选：B．
6．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．
分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．
【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个，
当为底时，点C的个数有1个，
故选：C．
7．（2025·云南临沧·二模）如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，，则的面积是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形底边上三线合一，角平分线上点到角两边距离相等，解题的关键是作出辅助线．过作交于点，根据等腰三角形底边上三线合一得到，结合，平分得到即可得到答案；
【详解】解：如图，过作交于点，
∵是等腰三角形底边上的中线，
∴，，
∵平分，，
∴，
∵
∴，
故选：C．
8．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）在中，的对边分别是，下列命题中假命题是（ ）
A．若，则是直角三角形
B．若，则是直角三角形
C．若，则不一定是直角三角形
D．若，则一定不是直角三角形
【答案】D
【分析】本题考查了命题的真假，三角形内角和定理及勾股定理逆定理的应用，需逐一分析各选项是否符合直角三角形的判定条件，据此进行作答即可．
【详解】解：A、由，总份数为，
∴，
故是直角三角形，为真命题；
B、设三边为、、，
则，满足勾股逆定理，
故是直角三角形，为真命题；
C、由，结合内角和，
得，
即，
此时，
但无法确定是否有直角（如，时为直角三角形；，时则不是），为真命题；
D、因为仅说明以为斜边时不成立，但不能说明一定不是直角三角形，故为假命题；
故选：D
9．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，直角三角形的性质，熟练掌握30度所对直角边等于斜边的一半是解题的关键．根据题意可知，根据30度所对直角边等于斜边的一半得出，由作图可得，即，再根据30度所对直角边等于斜边的一半得出，最后由即可得解．
【详解】解：∵在中，，，．
∴，
∴；
由作图可得，，即，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
10．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，点E、D分别在的延长线上，与的平分线相交于点P，，与交于点H，交于F，交于G，下列结论：①；②平分；③垂直平分，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
①根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；②过P作于M，于N，于S，利用证明和，得出，，即可得出，再利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得证；③利用证明，根据全等三角形的性质得出，，即可得证．
【详解】解：①∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
②过P作于M，于N，于S，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即平分；故②正确；
③∵平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
∴垂直平分，故③正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题）
11．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）在镜子中看到时钟显示的时间是，则实际时间是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查镜面对称，解决此类问题应认真观察，掌握轴对称的性质是解题的关键；根据镜面对称的性质可知在平面镜内的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：实际时间是；
故答案为．
12．（24-25八年级上·青海西宁·期中）若等腰三角形的一个角等于，则它的另外两个角的度数为 ．
【答案】，
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答的关键．先判断出已知角为等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵等腰三角形的一个角等于，
∴是等腰三角形的顶角，
∴另外两个角相等，且度数为，
故答案为：，．
13．如图，，，垂足分别为，，要根据“”直接证明，应添加的条件是 ．
【答案】
【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法“”是解题的关键．
根据“”判定方法求解即可．
【详解】解：应添加的条件是，理由是：
∵，，
∴，
∵，，
∴，即应添加的条件是，
故答案为：．
14．（2025·贵州遵义·三模）如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，则的度数为 °．
【答案】30
【分析】本题考查作图－基本作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用三角形内角和定理求出，再求出，可得结论．
【详解】解：根据题意可知，垂直平分线的，
，
，
，
，
，
故答案为：30．
15．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是5，则正方形的面积和为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的几何背景，结合图形，由勾股定理及正方形面积关系得到，，即可确定答案．数形结合，掌握勾股定理与直角三角形三边所作正方形面积的关系是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
由勾股定理可知，，，，
，
，
，
故答案为：．
16．（2025·浙江宁波·一模）如图，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．如果，那么 ， ， ．
【答案】 /55度
【分析】此题考查了折叠的性质，全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点．
先根据矩形的性质得到，进而根据角的运算得到，再根据折叠的性质得到，根据三角形全等的性质得到，从而结合题意进行角的运算即可求解．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，
∵，
∴，
由折叠得，
；
又∵，
∴，，
∴．
故答案为：，，．
三、解答题（本大题共8小题。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段和，点A、B、C、D均在小正方形顶点上．
(1)在方格纸中画出以为底的等腰，且点F在小正方形的顶点上；
(2)在方格纸中画出面积为7.5的等腰，且点E在小正方形的顶点上．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）由勾股定理得，故即为所求；
（2）由勾股定理得，且上的高为3，故即为所求．
【详解】（1）解：如图，即为所求：
（2）解：如上图，即为所求．
18．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点在边上．请用尺规作图法，在内求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了作一个角等于已知角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据作图可得，进而根据等边对等角以及三角形的内角和定义，即可求解．
【详解】解：如图，
根据作图可得
∴
19．（24-25八年级下·重庆合川·期末）如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米．
(1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？
(2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？
【答案】(1)米(2)米
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键．
（1）由题意得，米，米，，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案；
（2）由题意得，米，米，据此利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，米，米，，
∴米，
答：消防梯顶端B离地面的竖直高度为米；
（2）解：由题意得，米，米，
∴米，
∴米，
答：底端A在水平方向滑动了米．
20．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，点E，B，C，F在一条直线上，，，与相交于点，求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、“等角对等边”等知识，推导出，进而证明是解题的关键．
（1）由，推导出，而，即可根据“”证明，则；
（2）由全等三角形的性质得，即可根据“等角对等边”证明．
【详解】（1）证明：∵点E，B，C，F在一条直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴．
21．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，点、分别为、上的点，连接、．
(1)若，平分，，，求的长度；
(2)若，垂直平分，连接，求证：是等边三角形．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质与判定．
（1）先证明得，，，再由勾股定理求出，设，则，在中，，可得关于x的方程，解方程即可；
（2）根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据是的垂直平分线，可得，即可证明是等边三角形．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在中，，，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
即；
（2）证明：在中，，，
∴，，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
22．（24-25八年级下·山西运城·期中）已知：如图，在中，，在中，，，．
(1)求证：；
(2)若点D在边上，证明；
(3)在（2）的条件下，若与交于点F，直接写出图中所有的等腰三角形．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，，
【分析】本题考查了全等三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，平行线判定定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）根据题意证明，即可证明；
（2）利用全等三角形性质和等腰三角形性质推出，再结合平行线判定定理求解即可；
（3）根据全等三角形性质，以及等腰三角形判定分析求解，即可解题．
【详解】（1）证明：，，，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
；
（3）解：，
为等腰三角形；
，
，
，
，
，
，
，为等腰三角形；
综上所述，，，为等腰三角形．
23．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式．
【答案】(1)是(2)见解析(3)
【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用．
（1）根据完美勾股数的定义可得答案；
（3）利用完全平方公式证明即可；
（3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可．
【详解】（1）解：，
数10是“完美勾股数”，
故答案为：是；
（2）证明：
，
，
是“完美勾股数”；
（3）解：由题意得：，
，
，
，
，
，
又，
，即，
，
有一个因式为，
，
∴另一个因式为．
24．（24-25八年级上·四川南充·期末）（1）如图1，在四边形中，，．E、F两点分别是、上的点，且，试探究图中与的数量关系．
小王同学探究此题的方法是作辅助线：延长到点G，使，连接．然后顺利的完成了此题的解答．请你按照他的方法写出解答过程．
（2）如图2，在四边形中，，．若E、Ｆ分别在、的延长线上，且仍然满足，请直接写出与的数量关系．
【答案】（1），见解析；（2）
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的三线合一等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
（1）延长到点，使，连接．先证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得；
（2）延长到点，使，连接，延长，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出垂直平分，然后根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，最后根据即可得出结论．
【详解】解：（1）如图1，延长到点，使，连接．
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）如图，延长到点，使，连接，延长，交于点，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∵，，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴（等腰三角形的三线合一），
∴，即，
又∵，
∴．
