1.5 全等三角形的判定 专题练习（含答案）

1.5
三角形全等的判定
专题一
利用全等探究线段数量关系
1.
如图，已知∠AOB=90°，OM
( http: / / www.21cnjy.com )是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．PC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论．
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2.
如图，已知AB＝DC，AC＝BD，AC、BD相交于点E，过E点作EF∥BC，交CD于F.
⑴根据给出的条件，可以直接证明哪两个三角形全等？并加以证明．
⑵EF平分∠DEC吗？为什么？
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3.
如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
（2）求证：BG2-GE2=EA2．
专题二
综合探究题
4.
（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
课时笔记
【知识要点】
1.
全等三角形的判定
三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）；两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）．
2.
三角形的稳定性
当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性.
3.
线段的垂直平分线的概念与性质
概念：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.
性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
4.
角平分线的性质
角平分线上的点到角两边的距离相等.
【温馨提示】
1.
线段的垂直平分线是一条直线，不是射线也不是线段.
2.
证明两个三角形全等，需写出所需的三组条件，并用大括号括在一起，注意对应位置.
3.
书写证明过程要注意格式，即：①准备条件：把题中没有直接的条件证明出来；②指明范围：在哪两个三角形中；③摆齐条件：把要证明的两个三角形全等的条件按顺序摆好；④得出结论：得出三角形全等的纵论．
【方法技巧】
1.
要说明两条线段相等的方法可以通过说明三角形全等来解决.
2.
要充分挖掘隐含条件，如公共边，当公共边是对应边时，它们是相等的．
3.
需要抓住图形特征，有时需运用等式的性质创造对应边相等的条件，从而证两个三角形全等．
参考答案：
1.
解：PC=PD．
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证明：如图，作PE⊥OC于E，PF⊥OB于F．
可得∠PEC=∠PFD=90°，PE=PF．
又∵∠CPE＋∠EPD=∠FPD＋∠EPD=90°，
∴∠EPC
=∠FPD．
∴△CPE≌△DPF（ASA）．
∴PC=PD．
解：⑴可以直接证明△ABC≌△DCB．
∵AB＝DC，AC＝BD，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB．
⑵∵△ABC≌△DCB，
∴∠ACB
=∠DBC．
又∵EF∥BC，
∴∠ACB
=∠FEC，
∴∠DBC
=∠DEF，即∠FEC
=∠DEF．
∴EF平分∠DEC．
证明：（1）BH=AC.
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°.
( http: / / www.21cnjy.com )∵∠ABC=45°，
∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC.
∴DB=DC，
∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，
∴∠HBD=∠ACD.
在△DBH和△DCA中
∴△DBH≌△DCA（ASA），
∴BH=AC．
（2）连接CG，
∵∠ABC=45°，CD⊥AB，
∴∠BCD=90° ∠ABC=45°=∠ABC，
∴DB=CD.
∵F为BC的中点，
∴DF垂直平分BC.∴BG=CG.
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴EC=EA.
在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2-GE2=CE2.
∵CE=AE，BG=CG，
∴BG2-GE2=EA2．
解：（1）AF=BD.
证明如下：∵△AB
( http: / / www.21cnjy.com )C是等边三角形（已知），
∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）.
同理知，DC=CF，∠DCF=60°.
∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即∠BCD=∠ACF.
在△BCD和△ACF中，
∴△BCD≌△ACF（SAS）.
∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）.
（2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AF=BD（全等三角形的对应边相等），所以当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF=BD仍然成立.
（3）Ⅰ．AF+BF′=AB.
证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF；
同理△BCF′≌△ACD，则BF′=AD.
∴AF+BF′=BD+AD=AB；
Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′.
证明如下：在△BCF′和△ACD中，
∴△BCF′≌△ACD（SAS）.
∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）.
又由（2）知，AF=BD,
∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．