浙教版2025年秋季九年级上册第1章《二次函数》单元测试卷 含解析

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浙教版2025年秋季九年级上册第1章《二次函数》单元测试卷
满分120分 时间120分钟
一、选择题（共30分）
1．在下列关于的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次函数的图象开口向下，则的取值范同是（　　）
A． B． C． D．
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线与轴的一个交点是(一1，0)，那么抛物线与轴的另一个交点坐标是( )
A．(0，0) B．(3，0) C．(-3，0) D．（0，-3)
5．抛物线和直线在同一坐标系内的图像如图，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的图象上有，，三点，则的大小关系（　　）
A． B． C． D．
7．将抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
8．根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（ ）
6.17 6.18 6.19 6.20
0.02 0.04
A． B．
C． D．
9．如图，从某建筑物高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙，离地面，则水流落地点B离墙的距离是（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是﹣或．其中正确结论的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（共18分）
11．若是关于x的二次函数，则m的值为 ．
12．已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b= ．
13．二次函数y=x2+4的最 值是 ．
14．若二次函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ．
15．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为 ．
16．抛物线y=x2﹣2x﹣3与交y轴负半轴于C点，直线y=kx+2交抛物线于E、F两点（E点在F点左边）．使△CEF被y轴分成的两部分面积差为5，则k的值为 ．
三、解答题（共72分）
17．（8分）已知二次函数
(1)将二次函数的解析式化为的形式．
(2)写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
18．（8分）如图，，，，四点在抛物线上，且轴，与轴的交点分别为，，已知，，，求的值及的长．
19．（8分）已知二次函数．
(1)用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象；
x … 0 1 2 3 …
y … …

(2)根据图象写出当为正数时的取值范围为_________；
(3)当时，的取值范围为_________．
20．（8分）已知：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．过点C作CD∥x轴，交抛物线的对称轴于点D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在D点，求m的值．
21．（8分）如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，（点 位于点 的左侧）， 为顶点，直线 经过点 ，与 轴交于点 ．
(1)求线段 的长；
(2)沿直线 方向平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为 ，若点在反比例函数 的图象上．求新抛物线对应的函数表达式．
22．（10分）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．

（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽1米的隔离带)，其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形脚手架CDAB，使A、D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
23．（10分）设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：
(1)max{5，2}＝ ，max{0，3}＝ ；
(2)若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；
(3)求函数与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，}的最小值．
24．（12分）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上存在一点，使得的值最小，此时点的坐标为______；
(3)点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线把△BDF的面积分成两部分，使，请求出点的坐标．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D B A B D C B D
1．C
【分析】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，从而完成求解．根据二次函数的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】解∶A．当时，不是二次函数，故不符题意；
B． 不是二次函数，故不符题意；
C． 是二次函数，故符符合题意；
D．不是二次函数，故不符题意；
故选∶C．
2．D
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数中，当时开口向下，当时开口向下 ，据此解答即可．
【详解】解： ∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∴，
故答案为：D．
3．D
【分析】直接根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线的顶点坐标是；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
4．B
【分析】先令y=0，得到一元二次方程，解方程即可得到抛物线与轴的另一个交点坐标．
【详解】令y=0得到一元二次方程，
解得方程的根为： ，．
已知抛物线与轴的一个交点是(一1，0)，
所以抛物线与轴的另一个交点坐标是 ．
故答案选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点问题，比较简单，令y=0列出方程并解方程是解决本题的关键．
5．A
【分析】先由二次函数图像得到字母系数的正负，再与一次函数的图像相比较看是否一致，逐一判断即可．
【详解】解：A．由二次函数图象的开口方向可知，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线应经过一、三、四象限，与图中一次函数图象一致，符合要求；
B．由二次函数图象的开口方向可知，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线应经过一、三、四象限，与图中一次函数图象不一致，故可排除；
C．由二次函数图象的开口方向可知，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线应经过一、二、四象限，与图中一次函数图象不一致，故可排除；
D．由二次函数图象的开口方向可知，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线应经过一、二、四象限，与图中一次函数图象不一致，故可排除；
故选D．
【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数图像与系数的关系，解题的关键是能够根据函数图象判断解析式中系数的正负．
6．B
【分析】先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可．
【详解】解：函数的对称轴为直线，开口向下，距离对称轴越近，函数值越大，
点A到对称轴的距离为，
点B到对称轴的距离为，
点C到对称轴的距离为，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大．
7．D
【分析】根据二次函数图象上加下减，左加右减的平移规律进行求解即可．
【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的函数表达式为，即，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键．
8．C
【分析】应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可．
【详解】解：由表格得：
时，，
时，，
的一个解的范围为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解得含义是解题关键．
9．B
【分析】由题意可以知道，用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当时就可以求出x的值，这样就可以求出的值．
【详解】解：设抛物线的解析式为，由题意得：
，
，
∴抛物线的解析式为：，
当时，，
解得：（舍去），，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题时设抛物线的顶点式求解析式是解题的关键．
10．D
【分析】关键函数的增减性，以及M的定义，逐一判断即可．
【详解】解：∵x＞0时，函数y2的图象在上面，
∴y2＞y1，故①错误．
当x＜0时，M的值=y1或y2，
∵x＜0，y随x增大而增大，
∴x值越大，M值越大，故②正确．
根据题意得：M的最大值为2，
∴使得M大于2的x值不存在，故③正确，
y2=1时，x=-，
y1=1时，x=±，
观察图象可知：x=-或时，M=1，故④正确．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用函数的性质解决问题
11．2
【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数定义，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．利用二次函数定义进行解答即可．
【详解】解：由题意可知，，
解得：．
故答案为：2．
12．-4
【详解】解：由对称轴公式得=2，
求得b=-4．
故答案为：-4．
13． 小 4
【分析】根据二次函数的解析式和二次函数的性质得出即可．
【详解】y=x2+4，
a=1＞0，抛物线的开口向上，有最小值，
当x=0时，y最小值为4，
故答案为小，4．
【点睛】本题考查了二次函数的最值和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．且
【分析】根据二次函数与一元二次方程的根的判别式的关系结合二次函数的定义解答．
【详解】解：根据题意可得：且，
解得：且；
故答案为：且．
【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，熟知抛物线与x轴有两个交点，则对应方程的判别式是解本题的关键．
15．
【分析】根据增长率问题列出函数解析式即可．
【详解】解：某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为：
，
即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
16．﹣4或0
【分析】设直线y=kx+2交抛物线于E、F两点的横坐标分别为x1，x2，且（x1＜0，x2＞0），根据题意得出x1+x2=2+k，然后根据△CEF被y轴分成的两部分面积差为5，列出关于k的方程，解方程即可．
【详解】设直线y=kx+2交抛物线于E、F两点的横坐标分别为x1，x2，且（x1＜0，x2＞0），
由题意可知：x1，x2是方程x2-2x-3=kx+2的两个根，
整理方程为：x2-（2+k）x-5=0，
∴x1+x2=2+k，
由抛物线y=x2-2x-3可知C（0，-3），
设直线y=kx+2交y轴于B，
∴B（0，2），
∴BC=5，
∵△CEF被y轴分成的两部分面积差为5，
∴|S△BCE-S△BCF|=5，
当S△BCE-S△BCF=5时，则有×5 x2-×5 （-x1）=5，
整理得：
（x1+x2）=5，
∴（2+k）=5，解得k=0，
当S△BCE-S△BCF=-5时，则有×5 x2-×5 （-x1）=-5，
整理得：（x1+x2）=-5，
∴（2+k）=-5，解得k=-4，
故答案是：-4或0．
【点睛】考查了一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，熟悉方程的根和函数交点的关系是解题的关键．
17．(1)；
(2)开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是．
【分析】（1）利用配方法把一般式化为顶点式即可；
（2）根据二次函数的图象结合顶点式解决问题．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵中，，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是．
【点睛】本题考查了配方法，二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
18．，
【分析】由题意可设点，，然后可列二元一次方程组求得，进而求得点坐标即可解答．
【详解】解：由题意可设点，，
则，，
解得：，，
轴，
，
，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、平行于轴的直线的坐标特点等知识点，掌握二次函数的性质成为解答本题的关键．
19．(1)图见解析
(2)
(3)
【分析】（1）求出表格中的函数值，利用描点法画出函数图象即可；
（2）结合图象，找到时，的取值范围即可；
（3）图象法，确定函数的最大值和最小值即可得解．
【详解】（1）解：∵，
列表如下：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
画出函数图象，如图：

（2）由图象可知：当为正数时，；
故答案为：；
（3）由图象，可知：当时，函数值先增大后减小，抛物线关于直线对称，
∴和时的函数值相同，为最小值，，
当时，有最大值为：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．正确画出二次函数的图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
20．（1）；（2）1．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得解析式；
（2）根据抛物线的解析式先求得C的坐标，然后把抛物线的解析式转化成顶点式，求得抛物线的顶点坐标，即可求得D的坐标，从而求得m的值．
【详解】解：（1）将A（-1，0），B（3，0）代入中，
得： 1 b+c＝0， 9+3b+c＝0，
解得：b＝2，c＝3．
则抛物线解析式为；
（2）当x=0，y=3，
∴点C的坐标为（0，3），
∵抛物线解析式为=-（x-1）2+4，
∴抛物线顶点坐标为（1，4），对称轴为直线x＝1，
∴点D的坐标为（1，3），
∴m=4-3=1．
21．(1)
(2)新抛物线对应的函数表达式为：或．
【分析】（1）根据二次函数解析式求出点A的坐标，然后求出直线AD的解析式，得到点D的坐标，再根据勾股定理计算即可；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：，可得C'（m，n），根据题意求出直线CC′的解析式，然后把点C'分别代入直线CC′的解析式和反比例函数 的解析式中计算即可．
【详解】（1）解：由得，，，
∵点A位于点B的左侧，
∴A（ 2，0），
∵直线y＝x＋m经过点A，
∴ 2＋m＝0，
解得：m＝2，
∴直线AD解析式为：y＝x＋2，
∴点D的坐标为（0，2），
∴AD＝；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：，
∴C'（m，n），
由题意得：CC′平行于直线AD，且经过C（0， 4），
∴直线CC′的解析式为：y＝x 4，
∴n＝m 4，
∵点C'在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
解得：或，
∴新抛物线对应的函数表达式为或，
∴新抛物线对应的函数表达式为：或．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的平移，待定系数法求函数解析式，勾股定理，一次函数的性质，解一元二次方程等知识，熟练掌握方程思想的应用是解题的关键．
22．（1）y=；0≤x≤12 ；（2）不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆；（3）15．
【详解】试题分析：（1）根据点P（6，6）为抛物线的顶点坐标可设这条抛物线的函数解析式为y=a(x－6)2+6，在根据图象经过原点即可求得结果；
（2）把x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)代入（1）中的函数关系式计算，结果与5比较即可判断.；
（3）设点A的坐标为（m，－m2+2m），即可得到OB=m，AB=DC=－m2+2m，再根据抛物线的轴对称可得OB=CM=m，从而可以得到BC=12－2m，即AD=12－2m，即可得到L关于x的函数关系式，最后根据二次函数的性质即可求得结果．
（1）∵M（12，0），P（6，6）．
∴设这条抛物线的函数解析式为y=a(x－6)2+6，
∵把（0，0）代入解得a=－，
∴这条抛物线的函数解析式为y=－(x－6)2+6，
即y=－x2+2x（0≤x≤12）；
（2）当x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)时，y=4.5＜5
∴不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆；
（3）设点A的坐标为（m，－m2+2m），
∴OB=m，AB=DC=－m2+2m
根据抛物线的轴对称可得OB=CM=m，
∴BC=12－2m，即AD=12－2m
∴L=AB+AD+DC=－m2+2m+12=－(m－3)2+15
∴当m=3，即OB=3米时，三根木杆长度之和L的最大值为15米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数的应用是初中数学的重点和难点，是中考的热点，尤其在压轴题中极为常见，要特别注意．
23．(1)5，3
(2)
(3)见解析，
【分析】（1）根据max{a，b}表示a、b两数中较大者，即可求出结论；
（2）根据max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y＝﹣x+2的图象，观察图形，即可得出max{﹣x+2，}的最小值．
【详解】（1）解： max{5，2}＝5，max{0，3}＝3．
故答案为：5；3．
（2）解：∵max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，
∴3x+1≤﹣x+1，
解得：x≤0．
（3）解：联立两函数解析式成方程组，
，解得：， ，
∴交点坐标为(﹣2,4)和(3,﹣1)．
画出直线y＝﹣x+2，如图所示，
观察函数图象可知：当x＝3时，max{﹣x+2，}取最小值﹣1．
【点睛】本题考查了二次函数的最值、一次函数的图象、一次函数的性质以及二次函数的图象，解题的关键是：（1）读懂题意，弄清max的意思；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，找出关于x的一元一次不等式；（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将代入求解即可；
（2）点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接交抛物线对称轴于点P，此时的值最小；
（3）设点，则点，由三角形的面积关系列出方程求解即可．
【详解】（1）∵抛物线与轴交于，，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∵点A，点B关于抛物线的对称轴l对称，
设交l于点P，则P即为所求的点，
当时，，则
设直线解析式为，
则，
∴，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（3）如图，
设，则，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
化简得，
解得，（舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求解析式，点的对称性，图形的面积计算，勾股定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．