1.1 求二次函数解析式的六种思路（解析版）

求二次函数解析式的六种思路
　　二次函数是初中数学主要内容之一，也是
( http: / / www.21cnjy.com )联系高中数学的重要纽带。它是初中《代数》中“函数及其图象”中的难点，求二次函数的解析式又是重点。求二次函数的解析式，应恰当地选用二次函数解析式的形式，选择得当，解题简捷，若选择不当，解题繁琐。解题时，应根据题目的特点灵活选用二次函数解析式的形式，运用待定系数法求解。下面举例说明。
　　思路1、已知图象过三点，求二次函数的解析式，一般用它的一般形式：较方便。
　　例1、已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。
　　解：设此二次函数的解析式为，由题意得：
　　
( http: / / www.21cnjy.com )解之得
　　∴所求的二次函数的解析式为
　　思路2、已知顶点坐标，对称轴、最大值或最小值，求二次函数解析式，一般用它的顶点式较方便。
　　例2、已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求解析式。
　　解：设抛物线，由题意得：
　　
　　
　　∵抛物线过点（1，10）
　　
　　
　　即解析式为
　　思路3、已知图象与轴两交点坐标，可用的形式，其中、为抛物线与轴的交点的横坐标，也是一元二次方程的两个根。
　　例3、已知二次函数的图象与轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式。
　　解：设所求解析式为
　　∵图象经过（3，－4）
　　∴
∴
　　即：
　　则所求解析式为。
　　思路4、已知图象与轴两交点间距离，求解析式，可用的形式来求，其中为两交点之间的距离，为其中一个与轴相交的交点的横坐标。
　　例4、二次函数的图象与轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。
　　解：设二次函数解析式为由已知
　　∴
　　又由已知得：
　　解之得：或
　　
　　∴所求二次函数解析式为：
　　思路5、由已知图象的平移求解析式，一般是把已知图象的解析式写成的形式，若图象向左（右）移动个单位，括号里的值就加（减）个单位；若图象向上（下）平移个单位，的值就加（减）个单位，即左加右减，上加下减，平移后的抛物线形状不变，大小不变。
　　例5、把二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，求所得二次函数的解析式。
　　解：
　　向右平移2个单位得：
　　即：
　　再向上平移3个单位得：
　　即：
　　∴所求二次函数解析式为。
　　思路6、已知一个二次函数，要求其图象关于轴对称（也可以说沿轴翻折）；轴对称及经过其顶点且平行于轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成的形式。
　　（1）关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称，两个图象的开口方向相反，即互为相反数。
　　（2）关于轴对称的两个图象的顶点关于轴对称，两个图象的形状大小不变，即相同。
　　（3）关于经过其顶点且平行于轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即互为相反数。
　　例6；已知二次函数，求满足下列条件的二次函数的解析式：　　（1）图象关于轴对称；（2）图象关于轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称。
　　解：可转化为，据对称式可知①图象关于轴对称的图象的解析式为，即：。
　　②图象关于轴对称的图象的解析式为：
　　，即：；
　　③图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称的图象的解析式为，即。
如何求解二次函数的解析式
求二次函数y=ax2
+bx+c
(a≠0,a、b、c为常数)的解析式，是必须完全掌握的基础知识和基本方法，也是近年来中考考察的重点内容，现归纳如下。
方法一
利用图象上三个点的坐标代入二次函数的基本形式
y=ax2
+bx+c，组成三元一次方程组进行求解。
例1
已知：一个二次函数的图象经过（1，－4）、（－1，0）、（－2，5）三个点，求这个二次函数的解析式。解（略）。
说明：此法可详见教材。
方法二
已知二次函数的图象的顶点（h，k
）及另一个点的坐标，可用公式：y=a(x－h)2+k求这个二次函数的解析式。
例2
已知二次函数的图象的顶点为(2，－1)，抛物线与y
轴相交与一点
(0，1)，
求这个二次函数的解析式。
解：设这个二次函数的解析式为
y=a(x－2)2
－1，
将点(0，1)代入解析式，得a(0－2)2
–1=1解得
a=
所以，所求的解析式为
y=
(x－2)2
－1=
x2－2x+1。
说明：
解题时要注意“顶点”的灵活性，题目中不一定直接给出，要根据已知转化为顶点，方可使用。
如：下面几道题目都是可用这一方法进行求解二次函数的解析式。
①
已知一条抛物线，当
x=3时，y有最小值－2，并且经过点(5，0)；
②
若抛物线的对称轴是x=1，函数有最大值4
，并且经点(0，3)；
③二次函数的最小值为－10，当x≤－1时，
( http: / / www.21cnjy.com )函数y
随着x
的增大而减小；当x≥－1时，函数y
随着x
的增大而增大；并且经过点
(2，8)
；
④
抛物线与
x轴有且只有一个公共点(2，0)
，并且交y轴于(0，2)
点。
⑤若抛物线的对称轴是x=2，
并且经过点(3，8)，与x
轴的两个交点的距离为6。
方法三
同学们都知道用求根公式进行二次三
( http: / / www.21cnjy.com )项式的因式分解公式：若方程ax2
+bx+c=0(a≠0),有两个根x1
、x2
，则ax2
+bx+c=a(x－x1)(x－x2)
，而x1
、x2
正是抛物线y=ax2
+bx+c(a≠0)与x
轴的两个交点的横坐标，所以，若已知图象与x
轴的两个交点的横坐标及另一个点的坐标，我们可以使用公式y=
a(x－x1)(x－x2)
进行求解。
例3
已知抛物线y=ax2
+bx+c与
x轴的两个交点的横坐标是－1
和1
，与y轴交点的坐标是(0，1)，求这条抛物线的解析式。
解：设这个二次函数的解析式为y=
a(x+1)(x－1)
，将点(0，1)
代入解析式，得a(0+1)(0－1)=1，解得a=－1，
所以，所求的解析式y=－(x+1)(x－1)=－x2+1。
说明：有时也以坐标的形式出现。
如：⑥已知抛物线与
x
轴交与(－1，0)
和(2，0)
两点，并且经过(1，6)，求这条抛物线的解析式。
下面，我们来看一下具有多种解法及其它解法的题目。
例4已知二次函数的图象的顶点为A(3，－2)
，并且经过B(1，0)、C(5，0)，求这条抛物线的解析式。
分析：此题有三个已知点的坐标，所以可利用方法一；知道顶点坐标，又可利用方法二；知道与x
轴的两个交点坐标，所以，又可利用方法三。详解（略）。
例5已知二次函数有最大值2，与
x轴交与(－1，0)、(5，0)两点，求这条抛物线的解析式。
解法一：可设
y=ax2
+bx+c
，由题意知
=2，a－b+c=0，25a+5b+c=0
详解（略）。
解法二：
因为知道与
轴的两个交点
x1
、x2
，由根与系数的关系式可知x1
+x2
=
－
，而对称轴的方程x=
－
=
=
，所以对称轴的方程也为x=.
解：对称轴的方程x=
=2
，所以顶点为
(2，2)
，再利用方法二
即可。详解（略）。
解法三:因为顶点求出为(2，2)
，利用方法三即可。详解（略）。
例6已知二次函数有最小值－8
，且
a:b:c=1:2:(－3)，求这条抛物线的解析式。
解：令每份为
k
，则
a=k，b=2k，c=－3k，又因为
=－8，代入即可，以下解略。
【附答案】：
y=
x2－3x+
②y=－4(x－1)2+4③y=2x2+4x－8④y=x2－2x+2
⑤y=x2－4x－5⑥y=－3x2+3x+6例1：y=x2－2x－3例4：y=x2－3x+
例5：
y=
x2
+
x+
例6
：
y=2x2+4x－6
求二次函数解析式的三种方法
一、已知任意三点求解析式用一般式，即。
方法：把三点坐标分别代入一般式，得到关于、、的三元一次方程组，求出、、的值，即可得到二次函数的解析式。
例1、（2010
天津）已知二次函数()中自变量和函数值的部分对应值如下表：
…
0
1
…
…
0
…
则该二次函数的解析式为
．
分析：表格给出了自变量和函数值的六组对应数值，也就知道了二次函数的图像经过的六个点的坐标，在其中任选三点，将它们的坐标代入一般式，即可求出抛物线的解析式
解：设抛物线的解析式为，由图像可知，抛物线经过点（1，2）、（0，2）、C（1，0）三点，所以，解得，所以该二次函数的解析式为
二、已知顶点或最大（小）值求解析式用顶点式，即
方法：先将顶点坐标（，）或最大（小）值代入顶点式，再把另一点的坐标代入求出，即可得抛物线的解析式
例2、如图（1）所
( http: / / www.21cnjy.com )示是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　）
A．
B．
C．
D．
分析：由图可知二次函数的顶点坐标为（0、0），所以二次函数的解析式可以设为进行求解。
解：设二次函数为，把点（2，－2）代入解析式，得，解得，所以二次函数的解析式为，故选C
三、已知与轴两交点坐标求解析式用交点式，即
方法：将抛物线与轴两个交点的横坐标、代入交点式，然后将抛物线上另一点的坐标代入求出，即可得抛物线的解析式
例3、已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原
点的距离为1，则该二次函数的解析式为
分析：二次函数的图象经过原点，
( http: / / www.21cnjy.com )且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，所以另一个交点的坐标为（－1，0）或（1，0），然后利用交点式即可求出二次函数的解析式
解：因为二次函数的图象经过原点，并且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，所以另一个交点的坐标为（－1，0）或（1，0），当另一个交点的坐标为（－1，0）时，设所求的二次函数的解析式为。因为二次函数的图像经过点（，），所以，解得，所以二次函数的解析式为，当另一个交点的坐标为（1，0）时，设所求的二次函数的解析式为。因为二次函数的图像经过点（，），所以，解得，所以二次函数的解析式为，综上所述，该二次函数的解析式为或
求二次函数解析式的三种基本方法
二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础．熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证．
二次函数的解析式有三种基本形式：
1、一般式：y=ax+bx+c
(a≠0)．
2、顶点式：y=a(x－h)+k
(a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h．
3、交点式：y=a(x－x)(x－x)
(a≠0)，其中x,x是抛物线与x轴的交点的横坐标．
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：
1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式．
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式．
3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式．
探究问题，典例指津：
例1、已知二次函数的图象经过点和．求这个二次函数的解析式．
分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax+bx+c
(a≠0)．
解：设这个二次函数的解析式为y=ax+bx+c
(a≠0)
依题意得：
解这个方程组得：
∴这个二次函数的解析式为y=2x+3x－4．
例2、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式．
分析：此题给出抛物线的顶点坐标为，最好抛开题目给出的，重新设顶点式y=a(x－h)+k
(a≠0)，其中点(h,k)为顶点．
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x－4)－1
(a≠0)
又抛物线与轴交于点．
∴a(0－4)－1=3
∴a=
∴这个二次函数的解析式为y=(x－4)－1，即y=x－2x+3．
例3、如图，已知两点A（－8，0），（2，0），以AB为直径的半圆与y轴正半轴交于点C．求经过A、B、C三点的抛物线的解析式．
分析：A、B两点实际上是抛物线与x轴的交点，所以可设交点式y=a(x－x)(x－x)
(a≠0)，其中x,x是抛物线与x轴的交点的横坐标．
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x－2)
又连结AC、BC，利用射影定理或相交弦定理的推论易得：
OC=AC·BC=8×2
∴OC=4
即C(0,4)．
∴a(0+8)(0－2)=4
∴a=
∴这个二次函数的解析式为y=(x+8)(x－2)，即y=x－x+4．
变式练习，创新发现
1、在图的方格纸上有A、B、C三点（每个小方格的边长为1个单位长度）．
（l）在给出的直角坐标系中分别写出点A、B、C的坐标；
（2）根据你得出的A、B、C三点的坐标，求图象经过这三点的二次函数
的解析式．
2、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式．
3、已知抛物线过A（－2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点．求这条抛物线的解析式．
参考答案：
1、（1）A(2,3);B(4,1);C(8,9)．
（2）y=x－4x+9．
2、y=(x－2)+1，即y=x－4x+5．
3、y=－(x+2)(x－1)，即y=－x－x+2．
－1+5
2
图（1）
图（2）