浙教版（2024) 数学八年级上册1.6 线段垂直平分线的性质 同步分层练习
一、夯实基础：
1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，为直线CD上的一点，已知线段，则线段PB的长度为（ ）
A．16 B．8 C．6 D．4
2．根据如图中尺规作图的痕迹，可判断AD一定为三角形的( ).
A．角平分线 B．中线 C．高线 D．都有可能
3．如图，线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的数量关系是（ ）
A．PB>PC B．PB=PC C．PB
4．（2022八上·杭州期中）如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，M是直线CD上一点．若线段MA=3，则线段MB= ，理由是
6．（2025八上·鄞州期末）如图，在中，的中垂线交于点，交于点，已知，的周长为22，则 ．
7．（2022八上·海曙期中）在中，的垂直平分线分别交，于点、，的垂直平分线分别交，于点、，若，，且的周长为16，求 .
8．（2021八上·余杭月考）如图，在 中， 是 的中垂线，分别交 ， 于点D，E.若 的周长为8， ，求 的长.
二、能力提升：
9．（2023八上·龙湾月考）通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022八上·温州期末）如图，已知线段AB，以点A，B为圆心，5为半径作弧相交于点C，D.连结CD，点E在CD上，连结CA，CB，EA，EB.若与的周长之差为4，则AE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2024八上·龙湾月考）如图，在中，已知的垂直平分线交于点，交于点为直线上一点，连结，则下列关于周长的说法正确的是（ ）．
A．点与点重合时的周长最小；
B．点与点重合时的周长最小；
C．点落在之间（不包括端点）时的周长最小；
D．点落在的延长线上时的周长最小．
12．（2024八上·柯桥月考）如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若AE＝2cm，△ABD的周长为10cm，则△ABC的周长为 cm.
13．（2024八上·浙江期中）如图，的周长为22，由图中的尺规作图痕迹得到的直线交于点，连接．若，则的周长为 cm．
14．（2025八上·丽水期末）某市计划在新竣工的矩形广场的内部广场修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉到广场的两个入口，的距离相等，且到广场管理处的距离等于和之间距离的一半，，，的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉的位置要求：不写已知、求作和作法，保留作图痕迹，必须用铅笔作图
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：
（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD.
16．（2024八上·拱墅月考）如图，一辆汽车在笔直的公路上由处向处行驶，，分别是位于公路两侧的村庄．利用尺规作图，找出符合条件的点．
（1）当汽车行驶到哪个位置（用点表示）时，其到村庄，的距离相等？
（2）当汽车从处出发向处行驶时，在哪一个位置，其到村庄，的距离之和最短？请在图中标出这个位置（用点表示）．
三、拓展创新：
17．（2024八上·扶余期末）如图，在中，，于点，交于点，，连接.
（1）如图1，当在内部时，求证：；
（2）如图2，当的边，分别在外部和内部时，求证：.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线 ，点P在直线CD上，
∴垂直平分线上的点P到线段AB的两个端点的距离相等，即PB=PA=8.
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线的性质即可求得.
2．【答案】B
【知识点】尺规作图-垂直平分线；三角形的中线
【解析】【解答】解：由作图痕迹可知：点D是BC的中点，
∴AD一定为三角形的中线，
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线尺规作图可知点D是BC中点，从而根据三角形中线的定义得到答案.
3．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接AP，
线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，
∴PA=PB，PA=PC，
∴PB=PC.
故答案为：B.
【分析】连接AP，根据线段垂直平分线的性质可得：PA=PB，PA=PC，由等量代换，可得答案.
4．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： 垂直平分 ，
，
的周长 ，
又 ， ，
的周长 ．
故 的周长为 ．
故答案为：B．
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得AD=BD，进而根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差可得△BCD的周长=AC+边长，据此就可得出答案.
5．【答案】3；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，M是直线CD上一点，MA=3，
∴BM=AM=3.
理由是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
故答案为：3.
【分析】利用“ 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ”求解.
6．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： 的中垂线交于点，
，的周长为22，
故答案为：
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得DA=DB，根据三角形周长计算方法、等量代换及线段的和差可将△BDC的周长转化为AC+BC，再代入BC的长度即可算出AC的长.
7．【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： ∵DE是AB的垂直平分线，FG是AC的垂直平分线，
， ，
的周长为16，
，
，
，
， ，
，
故答案为：4.
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=BE，AG=CG，根据三角形周长计算方法及等量代换可得BE+EG+CG=16，进而根据线段的和差即可得出答案.
8．【答案】解：∵ 的周长为8，
又∵ ，
∴ ，
又∵ 是 的中垂线，
∴ ，
∴ .
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】利用△BCE的周长为8，可求出CE+BE的长；再利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可证得EC=EA，从而利用AB=CE+BE即可求解.
9．【答案】A
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】作线段的垂直平分线可得线段的中点．
由此可知：选项A符合条件，
故选A．
【分析】
基本尺规作图中通过垂直平分线的做法可以得到中点，所以是边中点的一定是通过线段的垂直平分线得到的.
10．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线，
∴与的周长之差为4，就是2AC-2AE=4，
∴AC=5，
∴10-2AE=4，
解得AE=3，
故答案为：C.
【分析】利用作图可知CD是线段AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可证得AC=BC，AE=BE，再利用△ABC和△ABE的周长的差为4，可得到2AC-2AE=4，代入计算求出AE的长.
11．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质
12．【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可知：MN为线段AC的垂直平分线，
∴
∵△ABD的周长为10cm，
∴
∴
∴△ABC的周长为：
故答案为：14.
【分析】根据作图可知：MN为线段AC的垂直平分线，则进而根据题意得到：进而即可求解.
13．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：为线段的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵的周长为22，
∴，
∵的周长等于，
∴的周长等于．
故答案为：12.
【分析】由作图可知：为线段的垂直平分线，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，AD=BD，然后由三角形的周长等于三角形三边之和即可求解．
14．【答案】解：如图，点即为所求．
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据题意，作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M即可．
15．【答案】（1）证明：∵AD∥BC ，
∴∠ADC=∠ECF ，
∵E是CD的中点 ，
∴DE=EC .
∵在△ADE与△FCE中，
∴△ADE≌△FCE (ASA) ，
∴FC=AD
（2）证明：∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF， AD=CF ，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF ，
∴AB=BC+AD
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1) 根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF， 再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答.(2) 根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可.
16．【答案】（1）解：根据题意，连接作垂直平分线，交于点，
如图点即为所求，
（2）解：根据题意，连接交于点，如图点即为所求，
【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，连接作垂直平分线，交于点即为所求；
（2）根据两点间线段最短，连接交于点即为所求．
（1）解：根据题意，连接作垂直平分线，交于点，
如图点即为所求，
（2）解：根据题意，连接交于点，
如图点即为所求，
17．【答案】（1）证明：如图，在上截取，连接.
∵，
∴，.
又∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
在和中，
∴.
∴.
∴.
（2）证明：如图，在的延长线上截取，连接.
∵，
∴，.
又∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
在和中，
∴.
∴.
∵，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1） 从问题入手，三条线段不在一个三角形或一条边上，想办法等量代换，如果在EF找到一点将EF的分成两段，与等号另一边两线段分别相等就可以证得结论了，结合已知的等边等角条件，故想到在EF上找到一点H，令EH=BH，连接AF作辅助线；接下来需要证明FH=FC，要证明两线段相等，通常可先尝试证明线段所在的三角形全等，整理已知条件，可以用由SAS定理证明全等，至此整理思路即可；（2）基本思路同（1），观察需要证明的等式，作辅助线找到线段BE的2倍，故想到在FE的延长线上找到一点N，令EN=BE，连接AN，则需要证明CF=NF，同样要证明两线段相等，先证明线段所在的三角形全等，整理已知条件，可以用由SAS定理证明全等，至此整理思路写出证明过程。
1 / 1浙教版（2024) 数学八年级上册1.6 线段垂直平分线的性质 同步分层练习
一、夯实基础：
1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，为直线CD上的一点，已知线段，则线段PB的长度为（ ）
A．16 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线 ，点P在直线CD上，
∴垂直平分线上的点P到线段AB的两个端点的距离相等，即PB=PA=8.
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线的性质即可求得.
2．根据如图中尺规作图的痕迹，可判断AD一定为三角形的( ).
A．角平分线 B．中线 C．高线 D．都有可能
【答案】B
【知识点】尺规作图-垂直平分线；三角形的中线
【解析】【解答】解：由作图痕迹可知：点D是BC的中点，
∴AD一定为三角形的中线，
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线尺规作图可知点D是BC中点，从而根据三角形中线的定义得到答案.
3．如图，线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的数量关系是（ ）
A．PB>PC B．PB=PC C．PB【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接AP，
线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，
∴PA=PB，PA=PC，
∴PB=PC.
故答案为：B.
【分析】连接AP，根据线段垂直平分线的性质可得：PA=PB，PA=PC，由等量代换，可得答案.
4．（2022八上·杭州期中）如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： 垂直平分 ，
，
的周长 ，
又 ， ，
的周长 ．
故 的周长为 ．
故答案为：B．
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得AD=BD，进而根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差可得△BCD的周长=AC+边长，据此就可得出答案.
5．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，M是直线CD上一点．若线段MA=3，则线段MB= ，理由是
【答案】3；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，M是直线CD上一点，MA=3，
∴BM=AM=3.
理由是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
故答案为：3.
【分析】利用“ 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ”求解.
6．（2025八上·鄞州期末）如图，在中，的中垂线交于点，交于点，已知，的周长为22，则 ．
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： 的中垂线交于点，
，的周长为22，
故答案为：
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得DA=DB，根据三角形周长计算方法、等量代换及线段的和差可将△BDC的周长转化为AC+BC，再代入BC的长度即可算出AC的长.
7．（2022八上·海曙期中）在中，的垂直平分线分别交，于点、，的垂直平分线分别交，于点、，若，，且的周长为16，求 .
【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： ∵DE是AB的垂直平分线，FG是AC的垂直平分线，
， ，
的周长为16，
，
，
，
， ，
，
故答案为：4.
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=BE，AG=CG，根据三角形周长计算方法及等量代换可得BE+EG+CG=16，进而根据线段的和差即可得出答案.
8．（2021八上·余杭月考）如图，在 中， 是 的中垂线，分别交 ， 于点D，E.若 的周长为8， ，求 的长.
【答案】解：∵ 的周长为8，
又∵ ，
∴ ，
又∵ 是 的中垂线，
∴ ，
∴ .
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】利用△BCE的周长为8，可求出CE+BE的长；再利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可证得EC=EA，从而利用AB=CE+BE即可求解.
二、能力提升：
9．（2023八上·龙湾月考）通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】作线段的垂直平分线可得线段的中点．
由此可知：选项A符合条件，
故选A．
【分析】
基本尺规作图中通过垂直平分线的做法可以得到中点，所以是边中点的一定是通过线段的垂直平分线得到的.
10．（2022八上·温州期末）如图，已知线段AB，以点A，B为圆心，5为半径作弧相交于点C，D.连结CD，点E在CD上，连结CA，CB，EA，EB.若与的周长之差为4，则AE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线，
∴与的周长之差为4，就是2AC-2AE=4，
∴AC=5，
∴10-2AE=4，
解得AE=3，
故答案为：C.
【分析】利用作图可知CD是线段AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可证得AC=BC，AE=BE，再利用△ABC和△ABE的周长的差为4，可得到2AC-2AE=4，代入计算求出AE的长.
11．（2024八上·龙湾月考）如图，在中，已知的垂直平分线交于点，交于点为直线上一点，连结，则下列关于周长的说法正确的是（ ）．
A．点与点重合时的周长最小；
B．点与点重合时的周长最小；
C．点落在之间（不包括端点）时的周长最小；
D．点落在的延长线上时的周长最小．
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质
12．（2024八上·柯桥月考）如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若AE＝2cm，△ABD的周长为10cm，则△ABC的周长为 cm.
【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可知：MN为线段AC的垂直平分线，
∴
∵△ABD的周长为10cm，
∴
∴
∴△ABC的周长为：
故答案为：14.
【分析】根据作图可知：MN为线段AC的垂直平分线，则进而根据题意得到：进而即可求解.
13．（2024八上·浙江期中）如图，的周长为22，由图中的尺规作图痕迹得到的直线交于点，连接．若，则的周长为 cm．
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：为线段的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵的周长为22，
∴，
∵的周长等于，
∴的周长等于．
故答案为：12.
【分析】由作图可知：为线段的垂直平分线，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，AD=BD，然后由三角形的周长等于三角形三边之和即可求解．
14．（2025八上·丽水期末）某市计划在新竣工的矩形广场的内部广场修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉到广场的两个入口，的距离相等，且到广场管理处的距离等于和之间距离的一半，，，的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉的位置要求：不写已知、求作和作法，保留作图痕迹，必须用铅笔作图
【答案】解：如图，点即为所求．
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据题意，作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M即可．
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：
（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD.
【答案】（1）证明：∵AD∥BC ，
∴∠ADC=∠ECF ，
∵E是CD的中点 ，
∴DE=EC .
∵在△ADE与△FCE中，
∴△ADE≌△FCE (ASA) ，
∴FC=AD
（2）证明：∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF， AD=CF ，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF ，
∴AB=BC+AD
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1) 根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF， 再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答.(2) 根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可.
16．（2024八上·拱墅月考）如图，一辆汽车在笔直的公路上由处向处行驶，，分别是位于公路两侧的村庄．利用尺规作图，找出符合条件的点．
（1）当汽车行驶到哪个位置（用点表示）时，其到村庄，的距离相等？
（2）当汽车从处出发向处行驶时，在哪一个位置，其到村庄，的距离之和最短？请在图中标出这个位置（用点表示）．
【答案】（1）解：根据题意，连接作垂直平分线，交于点，
如图点即为所求，
（2）解：根据题意，连接交于点，如图点即为所求，
【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，连接作垂直平分线，交于点即为所求；
（2）根据两点间线段最短，连接交于点即为所求．
（1）解：根据题意，连接作垂直平分线，交于点，
如图点即为所求，
（2）解：根据题意，连接交于点，
如图点即为所求，
三、拓展创新：
17．（2024八上·扶余期末）如图，在中，，于点，交于点，，连接.
（1）如图1，当在内部时，求证：；
（2）如图2，当的边，分别在外部和内部时，求证：.
【答案】（1）证明：如图，在上截取，连接.
∵，
∴，.
又∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
在和中，
∴.
∴.
∴.
（2）证明：如图，在的延长线上截取，连接.
∵，
∴，.
又∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
在和中，
∴.
∴.
∵，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1） 从问题入手，三条线段不在一个三角形或一条边上，想办法等量代换，如果在EF找到一点将EF的分成两段，与等号另一边两线段分别相等就可以证得结论了，结合已知的等边等角条件，故想到在EF上找到一点H，令EH=BH，连接AF作辅助线；接下来需要证明FH=FC，要证明两线段相等，通常可先尝试证明线段所在的三角形全等，整理已知条件，可以用由SAS定理证明全等，至此整理思路即可；（2）基本思路同（1），观察需要证明的等式，作辅助线找到线段BE的2倍，故想到在FE的延长线上找到一点N，令EN=BE，连接AN，则需要证明CF=NF，同样要证明两线段相等，先证明线段所在的三角形全等，整理已知条件，可以用由SAS定理证明全等，至此整理思路写出证明过程。
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