浙教版（2024) 数学八年级上册1.7 角平分线的性质 同步分层练习
一、夯实基础：
1．（2024八上·温州期中）如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明和的全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据题意，得AE=AF，DE=DF，
在和中，
，
∴，
故答案为：A．
【分析】本题考查了角平分线的尺规作法和全等三角形的判定，根据尺规作图痕迹可得AE=AF，DE=DF，从而利用“SSS”即可得到答案.
2．（2024八上·南宁期末）如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB，如图，
∵是的角平分线，，
∴
∵
∴
故答案为：A.
【分析】过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质得到DE=CD，进而根据线段间的数量关系即可求解.
3．（2024八上·石碣期末）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝5，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意OD平分，于点E，，
∴D到OB的距离等于5，
∴
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质，可知点D到OB和OA的距离相等，并且点到直线的线段中，垂线段最短，逐项判断即可．
4．（2024八上·义乌期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建造凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC一条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得，到草坪三条边的距离相等的位置为角平分线的交点.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的性质即可判断.
5．（2023八上·洞头期中）如图，和分别平分和过点，且与垂直．若，则点到的距离是（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作于，
∵，，
，
和分别平分和，
根据角平分线的性质得：，，
，
，
，
．
故选：C．
【分析】过点作于，由平行线的性质推出，根据角平分线的性质可得，，推出，又，从而求出长．
6．（2024八上·诸暨月考）如图，在 RtABC 中，∠A＝90°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，AD＝3，BC＝8，则BDC 的面积是 ．
【答案】12
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A＝90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC， AD＝3，
∴AD＝DE＝3，
又BC＝8，
∴=×DE×BC＝×8×3＝12，
故答案为：12．
【分析】先利用角平分线性质求出DE，再利用三角形的面积求解．
7．（2024八上·拱墅月考）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积为
【答案】2
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图得平分，∵，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
∴的面积；
故答案为：2．
【分析】根据基本作图步骤确定平分，利用角平分线的性质得到G点到的距离为，代入面积公式即可.
8．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F.求证：DE=DF.
【答案】证明：在和中，
，
∴，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】易证，根据全等三角形对应角相等得∠BAD=∠CAD，然后由角平分线的性质即可得证结论.
二、能力提升：
9．（2023八上·海曙期中）如图，是的平分线，点到的距离为．点是上的任意一点，则线段的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作于，
∵是的平分线，，，
∴PM=PE，
∵点P到OA的距离相等，
∴PE=5=PM，
∴，
故答案为：C．
【分析】作于，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”得可求解．
10．（2025八上·温州期末）如图，在中，，．以A为圆心，为半径画弧交于点D；分别以C，D为圆心，大于长为半径画弧交于点E，射线交于点F，连结，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由作法得，平分，
，
在和中，
，
∴，
∴.
故答案为： B．
【分析】先根据三角形内角和定理算出∠C=60°，由作法得AC=AD，AE平分∠BAC， 从而用SAS证明△ACF≌△ADF，由全等三角形的对应角相等及三角形的内角和定理得到∠AFD=∠AFC=75°.
11．（2024八上·拱墅月考）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点；再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据基本作图可得是的平分线，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据基本作图可得是的平分线，可得的关系，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠CAB的度数，即可求∠BAH的度数，再利用两直线平行内错角相等即可得 的大小．
12．（2024八上·义乌月考）如图，是的角平分线，于点E，的面积，，则的长是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作，交于点，如图：
∵是的角平分线，，，，
∴，
∵的面积，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意得到，再根据三角形面积公式即可求解．
13．（2024八上·杭州月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，DC=AD，BD平分∠ABC，求D到AB的距离等于 ．
【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，
∵AC＝8cm，DC＝AD，∴DC＝AC＝ 2cm，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝2cm，
∴点D到AB的距离等于2cm，
故答案为：2cm.
【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得CD=DH，即可求解.
14．（2024八上·鹿城期中）如图，中，，，，三条角平分线交于点O．的面积等于9，则的面积 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点O分别作，，垂足分别为D，E，
∵平分，
∴，
∵的面积等于9，，
∴S△AOC=，
∴解得：，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】过点O分别作，，垂足分别为D，E，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，再由的面积等于9可得关于OE的方程，解方程求出OD=OE的值，再由三角形的面积公式S△BOC=BC×OD计算即可求解．
15．（2024八上·诸暨月考）如图，求作一点M，使得MC=MD，且点M到∠AOB两边的距离相等（不写作法，但要保留作图痕迹）．
【答案】解：点M即为所求，如图所示：
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，交点即为所求.
16．已知：如图，BD平分∠ABF，交AE于点D.
（1）求作：∠BAE的角平分线AP.(要求：尺规作图，只需保留作图痕迹，不必写作法)
（2）设AP交BD于点O，交BF于点C，连结CD.当AC⊥BD时，求证：AD=BC.
【答案】（1）解：如图所示
就是所求作的角平分线．
（2）解：如图②，由
∠ABO=∠CBO，OB=OB，∠AOB=∠COB=90°，
证得△ABO≌△CBO，
∴ AB=CB.
又由∠OAB=∠OAD，OA=OA，∠AOB=∠AOD=90°，
可证△ABO≌△ADO(ASA)，
∴ AB=AD.
∴ BC=AB=AD.
【知识点】三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）按照作角平分线的步骤作图： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于两点；②分别以两点为圆心，大于 两点距离的一半长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为角平分线；
（2）利用垂直的定义可得∠AOB=∠COB=90°，再根据∠ABO=∠CBO，OB=OB，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得，再根据∠OAB=∠OAD，OA=OA，∠AOB=∠AOD=90°，利用全等三角形的判定定理可证明，再利用全等三角形的性质可得：AB=AD，据此可证明结论.
三、拓展创新：
17．（2024八上·杭州月考）按要求画出以下图形．
（1）如图，已知，按要求作图：
①作的角平分线；
②作边上的高线．
（2）有公路同侧、异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）
【答案】（1）解：线段就是求作的的角平分线，线段就是求作的的高；
（2）解：点C就是求作的点；
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）①在AB和BC上各取一点到点B的距离相等，以这两点为圆心，相同长度为半径画圆交于一点，连接该点与点B并延长至与AC相交，交点即为点D；②延长CB，过点A做CB的垂线交点即为点F；
（2）做两公路夹角的角平分线，再做线段AB的垂直平分线，角平分线与垂直平分线的交点即为点C.
（1）解：线段就是求作的的角平分线，线段就是求作的的高；
（2）解：点C就是求作的点；
1 / 1浙教版（2024) 数学八年级上册1.7 角平分线的性质 同步分层练习
一、夯实基础：
1．（2024八上·温州期中）如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明和的全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·南宁期末）如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2024八上·石碣期末）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝5，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2024八上·义乌期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建造凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC一条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点
5．（2023八上·洞头期中）如图，和分别平分和过点，且与垂直．若，则点到的距离是（ ）
A． B．3 C．4 D．5
6．（2024八上·诸暨月考）如图，在 RtABC 中，∠A＝90°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，AD＝3，BC＝8，则BDC 的面积是 ．
7．（2024八上·拱墅月考）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积为
8．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F.求证：DE=DF.
二、能力提升：
9．（2023八上·海曙期中）如图，是的平分线，点到的距离为．点是上的任意一点，则线段的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025八上·温州期末）如图，在中，，．以A为圆心，为半径画弧交于点D；分别以C，D为圆心，大于长为半径画弧交于点E，射线交于点F，连结，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024八上·拱墅月考）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点；再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024八上·义乌月考）如图，是的角平分线，于点E，的面积，，则的长是 ．
13．（2024八上·杭州月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，DC=AD，BD平分∠ABC，求D到AB的距离等于 ．
14．（2024八上·鹿城期中）如图，中，，，，三条角平分线交于点O．的面积等于9，则的面积 ．
15．（2024八上·诸暨月考）如图，求作一点M，使得MC=MD，且点M到∠AOB两边的距离相等（不写作法，但要保留作图痕迹）．
16．已知：如图，BD平分∠ABF，交AE于点D.
（1）求作：∠BAE的角平分线AP.(要求：尺规作图，只需保留作图痕迹，不必写作法)
（2）设AP交BD于点O，交BF于点C，连结CD.当AC⊥BD时，求证：AD=BC.
三、拓展创新：
17．（2024八上·杭州月考）按要求画出以下图形．
（1）如图，已知，按要求作图：
①作的角平分线；
②作边上的高线．
（2）有公路同侧、异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据题意，得AE=AF，DE=DF，
在和中，
，
∴，
故答案为：A．
【分析】本题考查了角平分线的尺规作法和全等三角形的判定，根据尺规作图痕迹可得AE=AF，DE=DF，从而利用“SSS”即可得到答案.
2．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB，如图，
∵是的角平分线，，
∴
∵
∴
故答案为：A.
【分析】过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质得到DE=CD，进而根据线段间的数量关系即可求解.
3．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意OD平分，于点E，，
∴D到OB的距离等于5，
∴
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质，可知点D到OB和OA的距离相等，并且点到直线的线段中，垂线段最短，逐项判断即可．
4．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得，到草坪三条边的距离相等的位置为角平分线的交点.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的性质即可判断.
5．【答案】C
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作于，
∵，，
，
和分别平分和，
根据角平分线的性质得：，，
，
，
，
．
故选：C．
【分析】过点作于，由平行线的性质推出，根据角平分线的性质可得，，推出，又，从而求出长．
6．【答案】12
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A＝90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC， AD＝3，
∴AD＝DE＝3，
又BC＝8，
∴=×DE×BC＝×8×3＝12，
故答案为：12．
【分析】先利用角平分线性质求出DE，再利用三角形的面积求解．
7．【答案】2
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图得平分，∵，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
∴的面积；
故答案为：2．
【分析】根据基本作图步骤确定平分，利用角平分线的性质得到G点到的距离为，代入面积公式即可.
8．【答案】证明：在和中，
，
∴，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】易证，根据全等三角形对应角相等得∠BAD=∠CAD，然后由角平分线的性质即可得证结论.
9．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作于，
∵是的平分线，，，
∴PM=PE，
∵点P到OA的距离相等，
∴PE=5=PM，
∴，
故答案为：C．
【分析】作于，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”得可求解．
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由作法得，平分，
，
在和中，
，
∴，
∴.
故答案为： B．
【分析】先根据三角形内角和定理算出∠C=60°，由作法得AC=AD，AE平分∠BAC， 从而用SAS证明△ACF≌△ADF，由全等三角形的对应角相等及三角形的内角和定理得到∠AFD=∠AFC=75°.
11．【答案】A
【知识点】平行线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据基本作图可得是的平分线，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据基本作图可得是的平分线，可得的关系，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠CAB的度数，即可求∠BAH的度数，再利用两直线平行内错角相等即可得 的大小．
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作，交于点，如图：
∵是的角平分线，，，，
∴，
∵的面积，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意得到，再根据三角形面积公式即可求解．
13．【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，
∵AC＝8cm，DC＝AD，∴DC＝AC＝ 2cm，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝2cm，
∴点D到AB的距离等于2cm，
故答案为：2cm.
【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得CD=DH，即可求解.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点O分别作，，垂足分别为D，E，
∵平分，
∴，
∵的面积等于9，，
∴S△AOC=，
∴解得：，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】过点O分别作，，垂足分别为D，E，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，再由的面积等于9可得关于OE的方程，解方程求出OD=OE的值，再由三角形的面积公式S△BOC=BC×OD计算即可求解．
15．【答案】解：点M即为所求，如图所示：
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，交点即为所求.
16．【答案】（1）解：如图所示
就是所求作的角平分线．
（2）解：如图②，由
∠ABO=∠CBO，OB=OB，∠AOB=∠COB=90°，
证得△ABO≌△CBO，
∴ AB=CB.
又由∠OAB=∠OAD，OA=OA，∠AOB=∠AOD=90°，
可证△ABO≌△ADO(ASA)，
∴ AB=AD.
∴ BC=AB=AD.
【知识点】三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）按照作角平分线的步骤作图： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于两点；②分别以两点为圆心，大于 两点距离的一半长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为角平分线；
（2）利用垂直的定义可得∠AOB=∠COB=90°，再根据∠ABO=∠CBO，OB=OB，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得，再根据∠OAB=∠OAD，OA=OA，∠AOB=∠AOD=90°，利用全等三角形的判定定理可证明，再利用全等三角形的性质可得：AB=AD，据此可证明结论.
17．【答案】（1）解：线段就是求作的的角平分线，线段就是求作的的高；
（2）解：点C就是求作的点；
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）①在AB和BC上各取一点到点B的距离相等，以这两点为圆心，相同长度为半径画圆交于一点，连接该点与点B并延长至与AC相交，交点即为点D；②延长CB，过点A做CB的垂线交点即为点F；
（2）做两公路夹角的角平分线，再做线段AB的垂直平分线，角平分线与垂直平分线的交点即为点C.
（1）解：线段就是求作的的角平分线，线段就是求作的的高；
（2）解：点C就是求作的点；
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