浙教版（2024) 数学八年级上册第1章 三角形的初步知识 单元检测提升卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024八上·天山期中）如图，在中，边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：根据三角形的高的定义，可得边上的高为 AF.
故答案为：B．
【分析】根据三角形的高的定义即可得出答案。
2．（2024八上·渝中期末）普通家用人字梯一般都会在两旁分别设计一根“拉杆”，这样设计是利用（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性 D．四边形具有不稳定性
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
3．（2024八上·寻甸期中）如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点处
B．三角形三条高的交点处
C．三角形三条中线的交点处
D．三角形三个内角的角平分线的交点处
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴凉亭的位置应为三角形三个内角的角平分线的交点，
故答案为：D．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，从而得出的角平分线交于三角形内一点，判断它到三角形各边的距离是否相等求解即可.
4．（2024八上·和平期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等
C．三角形的外角大于三角形的内角
D．对顶角相等
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；内错角的概念；同旁内角的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、在两直线平行的情况下，同旁内角互补，若两直线不平行，同旁内角不互补，所以“同旁内角互补”这个命题缺少“两直线平行”的前提，所以原命题是假命题，不符合题意；
B、必须是“两平行直线”被第三条直线所截，截得的内错角相等，所以“两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等 "这个命题缺少”两平行直线“的前提，所以原命题是假命题，不符合题意；
C、准确表述应是三角形的外角大于与其不相邻的内角，所以原命题是假命题，不符合题意；
D、对顶角相等，原命题是真命题，符合题意；
故答案为：D．
【分析】依据平行线性质，三角形外角性质以及对顶角的定义可分别判断各个命题的真假，即可得出答案。
5．（2022八上·邢台期中）对于命题“如果，那么和中必定有一个是钝角”，能说明它是假命题的是 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：．，
∴此选项不符合题意；
．，不能证明题设为假，
∴此选项不符合题意；
．，且和都不是钝角，能证明题设是假命题，
∴此选项符合题意；
．，不能证明题设为假，
∴此选项不符合题意.
故答案为：．
、【分析】根据角的大小关系并结合题意即可求解．
6．（2022八上·青县月考）如图，中，，平分，过点作于，测得，，则的周长是（ ）
A．30 B．24 C．18 D．12
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
7．（2024八上·船营月考）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据题意，得，
在和中，
，
∴，
∴判定三角形全等的依据是三边分别相等的两个三角形全等，
故答案为：A.
【分析】根据作一个角等于已知角的基本作图，可得，从而可知判定三角形全等的依据为“SSS”.
8．（2024八上·丰满期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，点M，交于点E，交于点F，若，则的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，的垂直平分线分别交于点D，点M，
∴，，
∵，
∴的周长为，
故选：A．
【分析】
由垂直平分线的性质得到，，则的周长转化为线段BC的长．
9．两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB.小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO= AC；③△ABD≌△CBD.其中正确的结论有( ).
A．0个 B．1 个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△ABD与△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
故③正确；
∴∠ADB=∠CDB，
在△AOD与△COD中，
∴△AOD≌△COD(SAS)，
∴∠AOD=∠COD =90°， AO=OC，
∴AC⊥DB，
故①②正确；
故答案为：D .
【分析】先证明△ABD与△CBD全等， 再证明△AOD与△COD全等即可判断.
10．（2024八上·义乌期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC与点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的是（ ）
①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC，
∴∠ABC=180°-70°-60°=50°，
∵AG平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=×70°=35°，
∵BE⊥AG，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-35°=55°，
∴∠EBC=∠ABE-∠ABC=55°-50°=5°，故①正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBG=∠ABC=×50°=25°，
∴∠EBF=∠FBG+∠EBC=25°+5°=30°，
∴BF=2EF，故②正确；
延长BE，AC交于点H，
在△ABE和△AHE中
∴△ABE≌△AHE（ASA）
∴BE=HE，
∴点E是BH的中点，
只有当∠BCH=90°时，CE=BE，故③错误；
在AB上截取AM=AD，
在△AMF和△AFD中
∴△AMF≌△AFD（SAS）
∴∠AFM=∠AFD=∠BFE=90°-30°=60°，
∴∠BFM=180°-∠AFM-∠BFE=180°-60°-60°=60°，
∴∠BFM=∠BFG，
在△BFM和△BFG中
∴△BFM≌△BFG（ASA）
∴BM=BG，
∴AB=AM+BM=AD+BG，故④正确；
∴正确结论有3个.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再利用角平分线的概念可求出∠BAE=∠CAE=35°，利用垂直的定义可求出∠AEB的度数，即可求出∠ABE的度数，根据∠EBC=∠ABE-∠ABC，代入计算可对①作出判断；利用角平分线的概念可求出∠FBG的度数，可求出∠EBF的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可对②作出判断；延长BE，AC交于点H，利用ASA可证得△ABE≌△AHE，利用全等三角形的性质可证得BE=HE，只有当∠BCH=90°时，CE=BE，可对③作出判断；在AB上截取AM=AD，利用SAS可证得△AMF≌△AFD，利用全等三角形的性质可推出∠BFM=∠BFG，利用ASA可证得△BFM≌△BFG，利用全等三角形的性质可推出BM=BG，然后根据AB=AM+BM，代入可对④作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023八上·鹿城期中）命题“如果，那么”是 命题（填“真”或“假”）．
【答案】假
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：如果，那么，不成立，例如，但，
故命题“如果，那么”是假命题．
故答案为：假．
【分析】根据真假命题的概念即可求出答案.
12． 命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果……那么……”的形式：如果 ，那么 .
【答案】两条直线垂直于同一条直线；这两条直线相互平行
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行。
【分析】垂直于同一条直线的两条直线平行”可写成“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行”。
13．（2023八上·椒江月考）如图，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为 ．
【答案】5
【知识点】角平分线的性质
14．（2025八上·滨江期末）如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得，的度数分别为，，则这两根竹竿的夹角的度数为 °．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：是的外角，
，
，，
．
故答案为： ．
【分析】根据三角形的外角解题即可．
15．（2025八上·温州期中） 如图， A D 是 的中线， C E 是 的中线， D F 是 的中线， 若 ，则 等于 。
【答案】16
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵ D F 是 的中线， ，
∴，
同理可得，
故答案为：16.
【分析】根据中线分三角形成两个面积相等的三角形可得结果.
16．（2024八上·西湖月考）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号）
【答案】①②③
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①∵在中，，
∴，
∵和是和的平分线，
∴，
∴，
∴结论正确；
②在上截取，
∵是的角平分线，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴结论正确；
③作于于，
∵和的平分线，相交于点，，
∴，
∵，
∴，
∴结论正确；
∴正确的序号为①②③；
故答案为①②③．
【分析】①根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可判断求解；
②在上截取，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得∠BOH=∠BOE，结合已知，根据角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得AF=AH，然后根据线段的和差AB=BH+AH可判断求解；
③作于于，根据角平分线的性质及三角形的面积可判断求解．
三、解答题（共8题，共72分）
17．如图，已知 P 为△ABC 内任一点.
（1）AB+BC+CA与2（PA+PB+PC）哪个大 证明你的结论.
（2）AB+BC+CA 与 PA+PB+PC 哪个大 证明你的结论.
【答案】（1）解：AB＜PA+PB，BC＜PB+PC，AC＜PC+PA，
加得：AB+BC+CA＜2(PA+PB+PC).
（2）解：如图，延长 BP 交AC 于D.
在△ABD中，AB+AD＞BD=PB+PD， ①
在△PDC 中，PD+DC＞PC， ②
①+②，得AB+AD+PD+DC＞PB+PD+PC，
即AB+AC＞PB+PC，
同理AB+BC＞PA+PC，AC+BC＞PA+PB.
相加得：2(AB+AC+BC)＞2(PA+PB+PC)，故AB+AC+BC＞PA+PB+PC.
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系即可求出答案.
（2）延长 BP 交AC 于D，根据是三角形三边关系化简计算即可求出答案.
18．（2024八上·诸暨期中）如图，已知：、、、在同一条直线上，，，．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）得，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先由线段和差关系求出，然后由全等三角形的判定定理“”证得，根据全等三角形对应角相等得，最后由内错角相等，两直线平行即可得证结论；
（2）由全等三角形对应角相等得，然后由全等三角形的判定定理“”证得，最后根据全等三角形对应边相等即可得证结论.
（1）证明：∵，
∴，
即；
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
19．（2023八上·临海期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O．已知△ADE的周长为8cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为20cm，求OA的长．
【答案】（1）解：∵l1垂直平分AB，
∴DA＝DB.
同理，得EA＝EC.
∵△ADE的周长为8cm，
∴DA＋DE＋EA＝8cm，
∴BD＋DE＋EC＝BC＝8cm，即BC的长为8cm
（2）解：如答图，连接OA，OB，OC.
∵l1垂直平分AB，
∴OA＝OB.
同理，得OA＝OC，
∵△OBC的周长为OB＋OC＋BC＝20(cm)，BC＝8cm
∴OC＝OB＝OA＝6cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】(1) 根据垂直平分线得DA＝DB和EA＝EC，BC即可求得。
(2) 根据垂直平分线得OA＝OB和OA＝OC，进而得出OC＝OB，OA即可求得。
20．（2025八上·淳安期末）如图，已知，，．
（1）与是否全等？说明理由；
（2）如果，，求的度数．
【答案】（1）解：与全等．理由如下：∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵，，由（1）知：，
∴，
∴，
∴的度数为．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据可以得到，再利用证明即可；
（2）利用全等三角形的对应角相等得，然后利用三角形内角和定理解题即可．
（1）解：与全等．理由如下：
∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴；
（2）∵，，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴的度数为．
21．（2024八上·浙江期中）如图，已知，请按下列要求进行尺规作图（保留作图痕迹）．
（1）作斜边的中垂线，垂足为．
（2）在（1）中所得直线上，求作一点，使点到所在直线的距离等于．
【答案】（1）解：如下图，直线，点即为所求；
（2）解：如下图，点即为所求．
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，交于点，过点作直线并交于点，即可获得答案；
（2）根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可知，作∠BAC的平分线，与直线m的交点即为点．
（1）解：如下图，直线，点即为所求；
（2）如下图，点即为所求．
22．（2024八上·柯桥月考）阅读与思考
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题.
在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．
例：如图1，D是△ABC内一点，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，连结BD，若△ABD的面积为10，求△ABC的面积．
该问题的解答过程如下：
解：如图2，过点B作BH⊥CD交CD延长线于点H，CH，AB交于点E，
∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC．∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°．
在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（依据1）
∴ED＝CD（依据2），S△ADE＝S△ADC，∵，．
…
（1）任务一：上述解答过程中的依据1是 ，依据2是 .
（2）任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整.
（3）应用：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠CBA交AC于点D，过点C作CE⊥BD交BD延长线于点E．若CE＝6，求BD的长．
【答案】（1）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等
（2）解：如图2，剩余部分如下：
∴S△BDE＝S△BDC，
∴S△ADE+S△BDE＝S△ADC+S△BDC，
∴S△ABC＝2S△ABD＝20；
（3）解：延长CE、BA交于点F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵CE⊥BE，
∴∠BEF＝∠BEC＝90°，
在△FBE和△CBE中，
，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴EF＝CE＝6，
∴CF＝EF+EC＝12，
∵∠BEF＝∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠F＝∠ACF+∠F＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF＝12．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据三角形面积即可求出答案.
（3）分别设第1、第2、第3排的隔板长为y1，y2，y3，根据角平分线定义可得∠ABD＝∠CBD，再根据全等三角形判定定理可得△FBE≌△CBE（ASA），则EF＝CE＝6，根据边之间的关系可得CF=12，再根据角之间的关系可得∠ABD＝∠ACF，再根据全等三角形判定定理可得△ABD≌△ACF（ASA），则BD＝CF＝12，即可求出答案.
23．（2024八上·金华月考）
（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围。请写出的取值范围，并说明理由
（2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：。小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使……，请你帮她完成证明过程。
（3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明.
【答案】（1）解：，在和中，
，，，
，，
（2）解：如图，延长到，使得，连结，.
在和中，
，，，
又，，
在中，，，，
（3）解：结论：.
理由：延长到，使得.
，，
，，，
，，，
，
，，
，
，，
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）证明△CDE≌△BDA（SAS），得到CE＝4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），得到BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）结论：AF＋EC＝EF．延长BC到H，使得CH＝AF，通过两次全等证明AF＝CE，EF＝EH即可解决问题．
24．（2024八上·斗门期中）某中学八年级（5）班的学生到野外进行数学活动，为了测量一池塘两端A、B之间的距离，同学们设计了如下两种方案：
方案1：如图（1），先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，连接AC并延长AC至点D，连接BC并延长至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长．
方案2：如图（2），过点B作AB的垂线BF，在BF上取C、D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB间的距离
问：（1）方案1是否可行？并说明理由；
（2）方案2是否可行？并说明理由；
（3）小明说：“在方案2中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，将“BF⊥AB，DE⊥BF”换成条 也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上．
【答案】解：（1）在△ABC和△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE；
（2）∵BF⊥AB，DE⊥BF，
∴∠B＝∠BDE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB＝DE；
（3）AB∥DE
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：（3）只需AB∥DE即可，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠BDE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB＝DE，
故答案为：AB∥DE．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质.
（1）根据，利用全等三角形的判定定理SAS定理可证明△ABC≌△DEC，利用全等三角形的性质可得AB＝DE；
（2）利用垂直的性质可得∠B＝∠BDE，再根据，利用全等三角形的判定定理ASA定理可证明△ABC≌△DEC，利用全等三角形的性质可得AB＝DE；
（3）AB∥DE，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠BDE，利用全等三角形的判定定理ASA定理可证明△ABC≌△DEC，利用全等三角形的性质可得AB＝DE．
1 / 1浙教版（2024) 数学八年级上册第1章 三角形的初步知识 单元检测提升卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024八上·天山期中）如图，在中，边上的高为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·渝中期末）普通家用人字梯一般都会在两旁分别设计一根“拉杆”，这样设计是利用（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性 D．四边形具有不稳定性
3．（2024八上·寻甸期中）如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点处
B．三角形三条高的交点处
C．三角形三条中线的交点处
D．三角形三个内角的角平分线的交点处
4．（2024八上·和平期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等
C．三角形的外角大于三角形的内角
D．对顶角相等
5．（2022八上·邢台期中）对于命题“如果，那么和中必定有一个是钝角”，能说明它是假命题的是 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2022八上·青县月考）如图，中，，平分，过点作于，测得，，则的周长是（ ）
A．30 B．24 C．18 D．12
7．（2024八上·船营月考）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
8．（2024八上·丰满期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，点M，交于点E，交于点F，若，则的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB.小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO= AC；③△ABD≌△CBD.其中正确的结论有( ).
A．0个 B．1 个 C．2个 D．3个
10．（2024八上·义乌期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC与点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的是（ ）
①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023八上·鹿城期中）命题“如果，那么”是 命题（填“真”或“假”）．
12． 命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果……那么……”的形式：如果 ，那么 .
13．（2023八上·椒江月考）如图，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为 ．
14．（2025八上·滨江期末）如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得，的度数分别为，，则这两根竹竿的夹角的度数为 °．
15．（2025八上·温州期中） 如图， A D 是 的中线， C E 是 的中线， D F 是 的中线， 若 ，则 等于 。
16．（2024八上·西湖月考）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号）
三、解答题（共8题，共72分）
17．如图，已知 P 为△ABC 内任一点.
（1）AB+BC+CA与2（PA+PB+PC）哪个大 证明你的结论.
（2）AB+BC+CA 与 PA+PB+PC 哪个大 证明你的结论.
18．（2024八上·诸暨期中）如图，已知：、、、在同一条直线上，，，．求证：
（1）；
（2）．
19．（2023八上·临海期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O．已知△ADE的周长为8cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为20cm，求OA的长．
20．（2025八上·淳安期末）如图，已知，，．
（1）与是否全等？说明理由；
（2）如果，，求的度数．
21．（2024八上·浙江期中）如图，已知，请按下列要求进行尺规作图（保留作图痕迹）．
（1）作斜边的中垂线，垂足为．
（2）在（1）中所得直线上，求作一点，使点到所在直线的距离等于．
22．（2024八上·柯桥月考）阅读与思考
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题.
在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．
例：如图1，D是△ABC内一点，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，连结BD，若△ABD的面积为10，求△ABC的面积．
该问题的解答过程如下：
解：如图2，过点B作BH⊥CD交CD延长线于点H，CH，AB交于点E，
∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC．∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°．
在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（依据1）
∴ED＝CD（依据2），S△ADE＝S△ADC，∵，．
…
（1）任务一：上述解答过程中的依据1是 ，依据2是 .
（2）任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整.
（3）应用：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠CBA交AC于点D，过点C作CE⊥BD交BD延长线于点E．若CE＝6，求BD的长．
23．（2024八上·金华月考）
（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围。请写出的取值范围，并说明理由
（2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：。小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使……，请你帮她完成证明过程。
（3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明.
24．（2024八上·斗门期中）某中学八年级（5）班的学生到野外进行数学活动，为了测量一池塘两端A、B之间的距离，同学们设计了如下两种方案：
方案1：如图（1），先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，连接AC并延长AC至点D，连接BC并延长至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长．
方案2：如图（2），过点B作AB的垂线BF，在BF上取C、D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB间的距离
问：（1）方案1是否可行？并说明理由；
（2）方案2是否可行？并说明理由；
（3）小明说：“在方案2中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，将“BF⊥AB，DE⊥BF”换成条 也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：根据三角形的高的定义，可得边上的高为 AF.
故答案为：B．
【分析】根据三角形的高的定义即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
3．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴凉亭的位置应为三角形三个内角的角平分线的交点，
故答案为：D．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，从而得出的角平分线交于三角形内一点，判断它到三角形各边的距离是否相等求解即可.
4．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；内错角的概念；同旁内角的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、在两直线平行的情况下，同旁内角互补，若两直线不平行，同旁内角不互补，所以“同旁内角互补”这个命题缺少“两直线平行”的前提，所以原命题是假命题，不符合题意；
B、必须是“两平行直线”被第三条直线所截，截得的内错角相等，所以“两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等 "这个命题缺少”两平行直线“的前提，所以原命题是假命题，不符合题意；
C、准确表述应是三角形的外角大于与其不相邻的内角，所以原命题是假命题，不符合题意；
D、对顶角相等，原命题是真命题，符合题意；
故答案为：D．
【分析】依据平行线性质，三角形外角性质以及对顶角的定义可分别判断各个命题的真假，即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：．，
∴此选项不符合题意；
．，不能证明题设为假，
∴此选项不符合题意；
．，且和都不是钝角，能证明题设是假命题，
∴此选项符合题意；
．，不能证明题设为假，
∴此选项不符合题意.
故答案为：．
、【分析】根据角的大小关系并结合题意即可求解．
6．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
7．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据题意，得，
在和中，
，
∴，
∴判定三角形全等的依据是三边分别相等的两个三角形全等，
故答案为：A.
【分析】根据作一个角等于已知角的基本作图，可得，从而可知判定三角形全等的依据为“SSS”.
8．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，的垂直平分线分别交于点D，点M，
∴，，
∵，
∴的周长为，
故选：A．
【分析】
由垂直平分线的性质得到，，则的周长转化为线段BC的长．
9．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△ABD与△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
故③正确；
∴∠ADB=∠CDB，
在△AOD与△COD中，
∴△AOD≌△COD(SAS)，
∴∠AOD=∠COD =90°， AO=OC，
∴AC⊥DB，
故①②正确；
故答案为：D .
【分析】先证明△ABD与△CBD全等， 再证明△AOD与△COD全等即可判断.
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC，
∴∠ABC=180°-70°-60°=50°，
∵AG平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=×70°=35°，
∵BE⊥AG，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-35°=55°，
∴∠EBC=∠ABE-∠ABC=55°-50°=5°，故①正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBG=∠ABC=×50°=25°，
∴∠EBF=∠FBG+∠EBC=25°+5°=30°，
∴BF=2EF，故②正确；
延长BE，AC交于点H，
在△ABE和△AHE中
∴△ABE≌△AHE（ASA）
∴BE=HE，
∴点E是BH的中点，
只有当∠BCH=90°时，CE=BE，故③错误；
在AB上截取AM=AD，
在△AMF和△AFD中
∴△AMF≌△AFD（SAS）
∴∠AFM=∠AFD=∠BFE=90°-30°=60°，
∴∠BFM=180°-∠AFM-∠BFE=180°-60°-60°=60°，
∴∠BFM=∠BFG，
在△BFM和△BFG中
∴△BFM≌△BFG（ASA）
∴BM=BG，
∴AB=AM+BM=AD+BG，故④正确；
∴正确结论有3个.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再利用角平分线的概念可求出∠BAE=∠CAE=35°，利用垂直的定义可求出∠AEB的度数，即可求出∠ABE的度数，根据∠EBC=∠ABE-∠ABC，代入计算可对①作出判断；利用角平分线的概念可求出∠FBG的度数，可求出∠EBF的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可对②作出判断；延长BE，AC交于点H，利用ASA可证得△ABE≌△AHE，利用全等三角形的性质可证得BE=HE，只有当∠BCH=90°时，CE=BE，可对③作出判断；在AB上截取AM=AD，利用SAS可证得△AMF≌△AFD，利用全等三角形的性质可推出∠BFM=∠BFG，利用ASA可证得△BFM≌△BFG，利用全等三角形的性质可推出BM=BG，然后根据AB=AM+BM，代入可对④作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
11．【答案】假
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：如果，那么，不成立，例如，但，
故命题“如果，那么”是假命题．
故答案为：假．
【分析】根据真假命题的概念即可求出答案.
12．【答案】两条直线垂直于同一条直线；这两条直线相互平行
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行。
【分析】垂直于同一条直线的两条直线平行”可写成“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行”。
13．【答案】5
【知识点】角平分线的性质
14．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：是的外角，
，
，，
．
故答案为： ．
【分析】根据三角形的外角解题即可．
15．【答案】16
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵ D F 是 的中线， ，
∴，
同理可得，
故答案为：16.
【分析】根据中线分三角形成两个面积相等的三角形可得结果.
16．【答案】①②③
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①∵在中，，
∴，
∵和是和的平分线，
∴，
∴，
∴结论正确；
②在上截取，
∵是的角平分线，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴结论正确；
③作于于，
∵和的平分线，相交于点，，
∴，
∵，
∴，
∴结论正确；
∴正确的序号为①②③；
故答案为①②③．
【分析】①根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可判断求解；
②在上截取，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得∠BOH=∠BOE，结合已知，根据角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得AF=AH，然后根据线段的和差AB=BH+AH可判断求解；
③作于于，根据角平分线的性质及三角形的面积可判断求解．
17．【答案】（1）解：AB＜PA+PB，BC＜PB+PC，AC＜PC+PA，
加得：AB+BC+CA＜2(PA+PB+PC).
（2）解：如图，延长 BP 交AC 于D.
在△ABD中，AB+AD＞BD=PB+PD， ①
在△PDC 中，PD+DC＞PC， ②
①+②，得AB+AD+PD+DC＞PB+PD+PC，
即AB+AC＞PB+PC，
同理AB+BC＞PA+PC，AC+BC＞PA+PB.
相加得：2(AB+AC+BC)＞2(PA+PB+PC)，故AB+AC+BC＞PA+PB+PC.
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系即可求出答案.
（2）延长 BP 交AC 于D，根据是三角形三边关系化简计算即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）得，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先由线段和差关系求出，然后由全等三角形的判定定理“”证得，根据全等三角形对应角相等得，最后由内错角相等，两直线平行即可得证结论；
（2）由全等三角形对应角相等得，然后由全等三角形的判定定理“”证得，最后根据全等三角形对应边相等即可得证结论.
（1）证明：∵，
∴，
即；
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
19．【答案】（1）解：∵l1垂直平分AB，
∴DA＝DB.
同理，得EA＝EC.
∵△ADE的周长为8cm，
∴DA＋DE＋EA＝8cm，
∴BD＋DE＋EC＝BC＝8cm，即BC的长为8cm
（2）解：如答图，连接OA，OB，OC.
∵l1垂直平分AB，
∴OA＝OB.
同理，得OA＝OC，
∵△OBC的周长为OB＋OC＋BC＝20(cm)，BC＝8cm
∴OC＝OB＝OA＝6cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】(1) 根据垂直平分线得DA＝DB和EA＝EC，BC即可求得。
(2) 根据垂直平分线得OA＝OB和OA＝OC，进而得出OC＝OB，OA即可求得。
20．【答案】（1）解：与全等．理由如下：∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵，，由（1）知：，
∴，
∴，
∴的度数为．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据可以得到，再利用证明即可；
（2）利用全等三角形的对应角相等得，然后利用三角形内角和定理解题即可．
（1）解：与全等．理由如下：
∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴；
（2）∵，，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴的度数为．
21．【答案】（1）解：如下图，直线，点即为所求；
（2）解：如下图，点即为所求．
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，交于点，过点作直线并交于点，即可获得答案；
（2）根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可知，作∠BAC的平分线，与直线m的交点即为点．
（1）解：如下图，直线，点即为所求；
（2）如下图，点即为所求．
22．【答案】（1）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等
（2）解：如图2，剩余部分如下：
∴S△BDE＝S△BDC，
∴S△ADE+S△BDE＝S△ADC+S△BDC，
∴S△ABC＝2S△ABD＝20；
（3）解：延长CE、BA交于点F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵CE⊥BE，
∴∠BEF＝∠BEC＝90°，
在△FBE和△CBE中，
，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴EF＝CE＝6，
∴CF＝EF+EC＝12，
∵∠BEF＝∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠F＝∠ACF+∠F＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF＝12．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据三角形面积即可求出答案.
（3）分别设第1、第2、第3排的隔板长为y1，y2，y3，根据角平分线定义可得∠ABD＝∠CBD，再根据全等三角形判定定理可得△FBE≌△CBE（ASA），则EF＝CE＝6，根据边之间的关系可得CF=12，再根据角之间的关系可得∠ABD＝∠ACF，再根据全等三角形判定定理可得△ABD≌△ACF（ASA），则BD＝CF＝12，即可求出答案.
23．【答案】（1）解：，在和中，
，，，
，，
（2）解：如图，延长到，使得，连结，.
在和中，
，，，
又，，
在中，，，，
（3）解：结论：.
理由：延长到，使得.
，，
，，，
，，，
，
，，
，
，，
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）证明△CDE≌△BDA（SAS），得到CE＝4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），得到BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）结论：AF＋EC＝EF．延长BC到H，使得CH＝AF，通过两次全等证明AF＝CE，EF＝EH即可解决问题．
24．【答案】解：（1）在△ABC和△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE；
（2）∵BF⊥AB，DE⊥BF，
∴∠B＝∠BDE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB＝DE；
（3）AB∥DE
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：（3）只需AB∥DE即可，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠BDE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB＝DE，
故答案为：AB∥DE．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质.
（1）根据，利用全等三角形的判定定理SAS定理可证明△ABC≌△DEC，利用全等三角形的性质可得AB＝DE；
（2）利用垂直的性质可得∠B＝∠BDE，再根据，利用全等三角形的判定定理ASA定理可证明△ABC≌△DEC，利用全等三角形的性质可得AB＝DE；
（3）AB∥DE，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠BDE，利用全等三角形的判定定理ASA定理可证明△ABC≌△DEC，利用全等三角形的性质可得AB＝DE．
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