2.3等腰三角形的性质定理 同步练习（含部分答案）2025-2026学年浙教版数学八年级上册

2.3等腰三角形的性质定理
第 1 课时等腰三角形的性质定理1及等边三角形的性质
A掌握基本知识
1.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=40°,则∠ACD 的度数为 ( )
A.70° B.100° C.110° D.140°
2.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB= ( )
A.100° B.115° C.130° D.145°
3.如图，直线l∥m，等边三角形 ABC 的两个顶点B,C 分别落在直线l,m 上。若∠ABE=21°,则∠ACD的度数为 ( )
A.45° B.39° C.29° D.21°
4.若等腰三角形的一个底角的度数为 40°，则它的顶角的度数为 °。
5.如图,在△ABC 中,以点 A 为圆心,线段 AB的长为半径画弧，交BC 于点 D，连结AD。若∠ABD=55°,则∠ADC= °。
6.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC，交 AC 于点 D。写出图中相等的角
7.如图，已知线段a 和∠1，用直尺和圆规作等腰三角形 ABC,使AB=AC=a,∠B=∠1(保留作图痕迹，不写作法)。
8.如图,△ABC 是等边三角形,点 D,E 在直线BC上,DB=EC。求证:∠D=∠E。
9.如图,在△ABC中,AB=AC,点 E,F在边 BC上,BE=CF,点 D 在 AF 的延长线上,AD=AC。若∠BAE=30°,求∠ADC 的度数。
B提升关键能力
10.定义：等腰三角形的顶角与其中一个底角的度数的比值 k 称为这个等腰三角形的“特征值”。若在等腰三角形 ABC 中,∠A=80°,则它的特征值k为 。
11.如图,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB 的度数为 °。
12.已知在△ABC中,AC(1)如图1，线段 AB 的垂直平分线与边 BC相交于点 P,连结AP。求证:∠APC=2∠B。
(2)如图 2,以点 B 为圆心,AB 长为半径画弧,与边 BC 相交于 点 Q,连 结 AQ。若∠AQC=3∠B,求∠B 的度数。
13.如图,△ABC是等边三角形,点 D,E分别在BC,AC边上,其中 BD=CE,连结 AD,BE,两者相交于点 P。
(1)求证:AD=BE。
(2)求∠APE的度数。
发展核心素养
14.[应用意识]观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”。如图1，他用木条能快速画出一个以点 A 为顶点的直角，具体作法如下：
①木条的两端分别记为点 M，N，先将木条的端点 M 与点 A 重合，任意摆放木条后，另一个端点 N 的位置记为点 B，连结 AB；
②木条的端点 N 固定在点 B 处，将木条绕点B 顺时针旋转一定的角度，端点 M 的落点记为点C(点A，B，C不在同一条直线上)；
③连结 CB 并延长，将木条沿点 C 到点 B 的方向平移，使得端点 M 与点 B 重合，端点 N在CB 延长线上的落点记为D；
④用另一根足够长的木条画线，连结 AD，AC,则画出的∠DAC是直角。
操作体验：(1)根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法。如图2，BA=BC，请画出以点 A 为顶点的直角，记作∠DAC。
推理论证：答案(2)如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：
证明:∵AB=BC=BD,
∴△ABC 与△ABD 是等腰三角形,
∴∠BCA=∠BAC,∠BDA=∠BAD,(依据1)
∴ ∠BCA + ∠BDA = ∠BAC + ∠BAD=∠DAC。
∵∠DAC+∠BCA+∠BDA=180°,(依据2)
∴2∠DAC=180°,∴∠DAC=90°。
依据1: ;依据2: 。拓展探究：(3)小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差。如图3，点O在直线l 上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，记作∠POQ，使得直角边 OP(或OQ)在直线 l 上(保留作图痕迹，不写作法)。
2.3等腰三角形的性质定理
第 2 课时 等腰三角形的性质定理2
A掌握基本知识
1.如图,在△ABC 中,AC=BC,CD⊥AB 于点D,给出下列结论:①CD 平分∠ACB;②CD=AB;③∠A=∠B;④AD=BD。其中正确的是 ( )
A.②③ B.①④
C.①③④ D.②③④
2.如图,AD,CE 均为△ABC 的角平分线。若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE 的度数为( )
A.20° B.35°
C.40° D.70°
3.如图,在△ABC中,点 D 在BC 边上,BD=AD=AC,E 为 CD 的中点。若∠CAE=16°,则∠B 的度数为 ( )
A.36° B.37°
C.48° D.74°
4.如图,在等边三角形 ABC 中,D 是边 BC 的中点,则∠B= °,∠C= °,∠ADB= °,∠BAD= °。
5.如图,在等边三角形 ABC中,AD⊥BC,垂足为 D,点 E 在线段 AD 上。若∠EBC=45°,则∠ACE 的度数为 °。
6.如图,在△ABC中,AB=AC,AD 为 BC 边上的中线,E 为 AC 上一点,且 AE=AD。若∠BAD=50°,求∠CDE 的度数。
7.如图,在△ABC中,∠ABC=70°,AB=AC=8,D 为 BC 中点,点 N 在线段 AD 上,NM∥AC交AB 于点M,BN=3。求:
(1)∠CAD度数。
(2)△BMN 的周长。
8.如图,在△ABC中,AB=AC,AD为△ABC的角平分线。以点 A 圆心，AD 长为半径画弧，与AB,AC分别相交于点 E,F,连结 DE,DF。
(1)求证:△ADE≌△ADF。
(2)若∠BAC=80°,求∠BDE 的度数。
B提升关键能力
9.如图,已知△ABC为等边三角形,D 为BC 上一动点, E 为 △ABC 外 一 点, AD = AE,∠DAE=60°,连结 CE。若 AB=4,当四边形ADCE 的周长取最小值时，BD的长为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图,在△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点,BF⊥AC 于点 F,交 AD 于点 E。若 AF=BF,BD=2,则AE= 。
11.如图，已知∠α和线段a，用直尺和圆规作一个等腰三角形，使它的顶角等于∠α，底边上的高线等于 a。
12.如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点 E,BD,CE相交于点F。求证:AF 平分∠BAC。
13.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,E 为边 BC上的一点,且 AB=AE,D 为线段 BE 的中点,过点 E 作 EF⊥AE,交过点 A 平行于 BC的直线于点 F。求证：
(1)∠C=∠BAD。
(2)AC=EF。
C发展核心素养
14.[模型观念]如图，在等边三角形 ABC 中，AD,CE 是△ABC 的两条中线,AD=5。P是AD 上的一动点，则 PB+PE 的最小值为( )
A.2.5 B.5
C.7.5 D.10
2.3等腰三角形的性质定理
第1课时 等腰三角形的性质定理1及等边三角形的性质
1. C 2. B 3. B 4.100 5.125
6.∠A=∠ABD=∠DBC,∠ABC=∠C=∠BDC
7.略8.略9.75°10. 或
11.100 12.(1)略 (2)36° 13.(1)略 (2)60°
14.(1)略(2)等边对等角(等腰三角形的性质)三角形内角和定理 (3)略
第2课时 等腰三角形的性质定理2
1. C 2. B 3. B 4.60 60 90 30 5.15 6.25°
7.(1)20°(2)11 8.(1)略 (2)20° 9. B 10.4 11.略
12.略 13.略 14. B