2.7探索勾股定理 同步练习（含部分答案）2025-2026学年浙教版数学八年级上册

2.7探索勾股定理
第 1 课时勾股定理
A 掌握基本知识
1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )
A.5 B.6
C.7 D.8
2.下列图形中，不能用来证明勾股定理的是( )
3.如图,长方形OABC 的边OA 长为2,边 AB长为1，OA 在数轴上。以原点O为圆心，对角线OB 长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数为 ( )
A. B.
C. D.2.5
4.图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2,其中AB=AB',AB⊥B'C 于点C,BC=0.5尺,B'C=2尺。设 AC的长度为x 尺,所列方程为 。
5.如图，在一个高为5m ，长为13 m的楼梯表面铺设地毯，则地毯的长度至少为 m。
6.如图,在△ABC中,AB=AC,AD 是 BC 边的中线。若AB=5,BC=6,则AD= 。
7.如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD 是斜边AB上的高线,且 AB=13,BC=12。求:
(1)AC的长。
(2)CD的长。
8.如图，将等腰直角三角尺按如图所示的方式放置，直角顶点 C在直线m 上，分别过点 A，B作AE⊥m于点E,BD⊥m于点 D。
(1)求证:CE=BD。
(2)若设△AEC 的三边长分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理。
提升关键能力
9.如图，图1 是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成的。若图1中大正方形的面积为 24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图 2，则图 2中大正方形的面积为 ( )
A.24 B.36 C.40 D.44
10.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,AC=4。以点 A 为圆心,AC长为半径作弧,交 BC 于点 D；再分别以点 C和点 D 为圆心，以大于 DC长为半径作弧，两弧相交于点E,作射线 AE,交 BC于点 F,则 BF的长为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
11.如图，用9 个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1。记这个图形的周长(实线部分)为l，则下列整数与 l最接近的是 ( )
A.14 B.13 C.12 D.11
12.如图,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积。
13.如图，在6×7 的网格中，每个小正方形的边长均为 1,△ABC 和△DFE 的顶点都在格点上。求证:∠ABC=∠DFE。
14.如图,△ACB 与△ECD 均为等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,点 D 在AB 边上。若AD=5,BD=12,求 DE 的长。
发展核心素养
15.[创新意识]如图所示的图形是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形。设图中AF=a,DF=b,连结 AE,BE。若△ADE与△BEH的面积相等，则
第 2 课时 勾股定理的逆定理
A 掌握基本知识
1.下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是( )
A.6,8,11 B.15,9,17
C.1.5,2,2.5 D.2,4,
2.下列条件中，不能判定△ABC 是直角三角形的是 ( )
A. a:b:c=7:25:24
C.∠C=∠A-∠B
D.∠A:∠B:∠C=3:4:5
3.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何 ”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为 5 里，12 里，13 里，问这块沙田的面积有多大 题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500m，则该沙田的面积为 ( )
A.7.5 km B.15 km
C.75 km
4.如图,在△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,CD是 AB边上的中线,则 CD 的长是 （ ）
A.5 B.6.5 C.6 D.13
5.如图,在△DEF 中,DE=17,EF=30,EF 边上的中线 DG 为 8,则△DGF 是 三角形。
6.方格纸中小正方形的顶点叫格点。点A 和点B 是格点，位置如图所示。
(1)在图1中确定格点 C，使△ABC 为直角三角形，画出一个这样的△ABC。
(2)在图2中确定格点 D，使△ABD 为等腰三角形，画出一个这样的△ABD。
(3)在图 2 中,满足题(2)条件的格点 D 有几个
7.如图,△ABC是等腰三角形,其中 AC=AB,BC=3,D是线段AB 上一点,满足 BD=1.8,连结CD,CD=2.4。
(1)求证:CD⊥AB。
(2)求 AC的长。
8.如图,点 D 在△ABC 内部,∠BDC=90°,CD=3,BD=4,AC=12,AB=13。
(1)求 BC 的长。
(2)求图中阴影部分的面积。
B提升关键能力
9.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a= 其中m>n>0，m，n是互质的奇数。下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是( )
A.3,4,5 B.5,12,13
C.6,8,10 D.7,24,25
10.如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段 AB，CD 相交于点 F。若∠CFB=α,则∠ABE为 ( )
A.180°-α B.180°-2α
C.90°+α D.90°+2α
11.一艘轮船以 16 海里/时的速度离开港口 O(如图)，向北偏东 40°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西的某个方向航行。已知它们离开港口1.5h后相距30海里(即AB=30海里)，问另一艘轮船航行的方向是北偏西多少度
12.如图,在四边形 ABCD 中,AB=9 cm,AD=2cm ,BC=7 cm,CD=6 cm,∠A=90°。求四边形 ABCD 的面积。
发展核心素养
13.[推理能力]如图，在等腰直角三角形 ABC中,∠BAC=90°,P 是△ABC 内一点,PA=1,PB=3,PC= 求∠CPA 的度数。
2.7探索勾股定理
第1课时 勾股定理
1. A 2. A 3. C 4. x +2 =(x+0.5) 5.176.4
7.(1)5 (2) 8.略 9. D 10. B 11. B 12.84
13.略 14.13 15.3
第2课时 勾股定理的逆定理
1. C 2. D 3. A 4. B 5.直角 6.(1)略 (2)略 (3)4个7.(1)略 (2)2.5 8.(1)5 (2)24 (3)4个9. C 10. C 11.50°12.30 cm 13.135°