教材回归专题(四)与等腰三角形有关的计算与证明同步练习（含部分答案）2025-2026学年浙教版数学八年级上册

教材回归专题(四)与等腰三角形有关的计算与证明
一 与等腰三角形有关的计算与证明
【教材母题1】
已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,D 为CA延长线上一点,DE⊥BC,交 AB 于点 F。求证:∠D=∠AFD。
【思想方法】“对顶角相等”“等边对等角”及等腰三角形“三线合一”是进行角度转化的重要根据。在证明结论的过程中，主要运用转化思想。
【变式】(改变条件，定点变动点；改变设问，证明变为探究)
1.(1)如图 1,P 为等腰三角形ABC 底边 BC 上的一个动点，过点 P 作 BC 的垂线，交直线 AB于点Q,交CA 的延长线于点R。AR 与AQ 之间有何数量关系 请证明你的猜想。
(2)如图2，当点 P 沿着底边 BC 所在的直线运动到CB 的延长线上时，其余条件不变，(1)中猜想还成立吗 请你在图2 中补全图形，并给予证明。
二 与等边三角形有关的计算与证明
【教材母题2】
已知：如图，点A'，B'，C'分别在等边三角形 ABC的三边上，且AC'=BA'=CB'。 求证:△A'B'C'是等边三角形。
【思想方法】等边三角形是等腰三角形，等边三角形具有等腰三角形的一切性质。“等边三角形的三条边都相等，三个角都等于 60°”“有一个角是 60°的等腰三角形为等边三角形”是解决与等边三角形有关问题的常用依据。
【变式】(基本图形不变，改变条件和设问)
2.如图,在等边三角形ABC中,BC=8,过 BC 边上一点 P,作∠DPE=60°,分别与边 AB,AC相交于点 D 与点 E。
(1)在图中找出与∠EPC 始终相等的角，并说明理由。
(2)若△PDE 为等边三角形,求 BD+CE的值。
拓展性任务
1.如图,B,E,C,F 是直线 l 上的四点,AC,DE相交于点 G,AB=DF,AC=DE,BC= EF。求证：△GEC是等腰三角形。
2.如图 1,在等边三角形 ABC中,D 是AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边三角形EDC,连结AE。
(1)△DBC 与△EAC 全等吗 请说说你的理由。
(2)求证:AE∥BC。
(3)如图 2，若动点 D 运动到边 BA 的延长线上，所作△EDC 仍为等边三角形，请问 AE∥BC 是否仍然成立 证明你的猜想。
3.已知 C 为线段AB 上一点,分别以 AC,BC 为边在线段AB 的同侧作△ACD 和△BCE,且CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,直线AE与 BD 相交于点 F。
(1) 如 图 1, 若 ∠ACD = 60°, 则 ∠AFB = °。如图2,若∠ACD=90°,则∠AFB= °。如图3,若∠ACD=α,则∠AFB= (用含α的代数式表示)。
(2)设∠ACD=α,以点 C 为旋转中心,将图 3中的△ACD 按顺时针方向旋转一定角度(交点 F 至少在 BD，AE 中的一条线段上，如图4)，试探究∠AFB 与α的数量关系，并予以证明。
教材回归专题(四)与等腰三角形有关的计算与证明
【教材母题1】略
1.(1)AR=AQ。证明略 (2)猜想仍然成立,略
【教材母题2】略
2.(1)∠BDP=∠EPC。理由略 (2)8
拓展性任务
1.略
2.(1)△DBC与△EAC全等。理由略 (2)略 (3)AE∥BC仍然成立。证明略
3.(1)12090180°-α (2)∠AFB=180°-α。证明略