专题1 三角形的初步知识 专题讲练（含部分答案） 2025-2026学年浙教版数学八年级上册

专题1 三角形的初步知识
题型归类
题型一 三角形的三边关系
【典例1】若三角形的三边长分别为3，2a-1，4，则a 的取值范围是 。
【点悟】已知三角形的两边长，可根据三角形的三边关系确定第三边长的取值范围：两边之差的绝对值<第三边<两边之和。
【变式1-1】如图,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高线(填“<”“≤”“>”或“≥”)。
(1)CD AC。
(2)AC+BC AB。
(3)若 E 是线段AB 上的一个动点,连结 CE,则CD CE。
【变式1-2】若△ABC的三边长分别为a,b,c,且|a-1|+(b-3) =0,则c的取值范围是 。
题型二 三角形的内角和与外角的性质
【典例2】如图,在△ABC 中,CD 平分∠ACB,∠DEC+2∠ECD=180°。
(1)试判断DE 与BC 的位置关系，并说明理由。
(2)若∠FGB=∠EDC,且∠BFG=100°,求∠ADC的度数。
【点悟】“三角形的内角和等于 180°”与“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决三角形中角度计算问题的基本依据。
【变式2】问题背景:∠AOB=90°,点 M,N分别在OA,OB 上运动(不与点 O重合)。
(1)问题思考:如图1,MP,NP 分别是∠AMN和∠MNB 的平分线,则∠MPN= °。
(2)问题解决:如图2,若 MC 是∠AMN 的平分线，MC的反向延长线与∠MNO的平分线相交于点 P。
①若∠MNO=60°,则∠P= °。
②随着点 M，N的运动，∠P 的大小会变吗 如果不变，求∠P 的度数；如果会变，请说明理由。
(3)问题拓展:在图2的基础上,如果∠AOB=α,其余条件不变，随着点 M，N的运动(如图3)，求∠P的度数(直接写出答案，用含α的代数式表示)。
题型三 全等三角形的判定与性质
【典例3】(1)如图1,AD⊥DE,BE⊥DE,点 C在线段DE上,AC=BC且AC⊥BC,求证:△ADC≌△CEB。
(2)如图2,点 D,C,E在直线l上,点 A,B 在l的同侧,AC⊥BC。若AD=AC=BC=BE=5cm ,CD=6 cm,求CE的长。
【点悟】证明线段或角相等的一般步骤：(1)观察待证线段或角(或通过等量代换得到的线段或角)在哪两个可能全等的三角形中，当待证线段或角不分布在两个全等的三角形中时，常常添加辅助线构造全等三角形；(2)分析需要证明全等的两个三角形，确定已知什么条件(包括图形中的隐含条件)，缺失什么条件；(3)设法推导出所缺失的条件；(4)整理书写证明过程。
【变式3-1】(1)如图1,在△ABC 中,AD 为 BC边上的中线,延长AD至点E,使DE=AD,连结BE。求证:△ACD≌△EBD。
(2)如图2,在△ABC中,AC=5,BC=13,D 为AB 的中点,DC⊥AC,求△ABC的面积。
【变式3-2】如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,D为边 BC 上一点,连结AD,作 CE⊥AD于点E,BF∥AC交CE 的延长线于点F。
(1)求证:AD=CF。
(2)若AC=2 ,D为BC的中点,求EF的长。
题型四 角平分线与线段垂直平分线的性质
【典例4】如图,在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB 于点 E,有下列结论:①CD=ED;②AC+BE=AB;③∠BDE=∠BAD;④DA平分∠CDE。其中所有正确的结论是 ( )
A.①③ B.②④
C.①②④ D.①②③④
【点悟】由角平分线与线段垂直平分线的性质可以得到线段相等，再结合三角形全等可证明有关结论。
【变式4】本学期我们学习了三角形与特殊三角形的相关知识，老师设计了“研数学————三角形篇”项目作业:如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8，请回答下列问题：
(1)求线段AB 的长。
(2)用尺规作图得到的直线 m 交BC 边于点 P，连结AP，通过作图痕迹求出△APC的面积。
题型五 全等三角形的探究问题
【典例5】如图,在△ABC 中,已知 AB=AC,∠BAC=90°,BC=8cm,直线CM⊥BC,动点 D 从点C开始，沿射线CB 以2cm/s的速度运动，动点 E 同时从点C 开始，沿直线 CM 以 1 cm/s的速度先向上运动4s ，再以4 cm/s 的速度一直向下运动，连结AD,AE,设点 D 的运动时间为t(s)。
(1)求AB的长。
(2)当△ABD≌△ACE时,求 t 的值。
过关训练
知识必备一
1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是 ()
A.2,2,4 B.5,6,12
C.5,7,2 D.8,8,1
2.在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',AB=A'B',下列判断中，错误的是 ( )
A.若添加条件.AC=A'C',则△ABC≌△A'B'C'
B.若添加条件BC=B'C',则△ABC≌△A'B'C'
C.若添加条件∠B=∠B',则△ABC≌△A'B'C'
D.若添加条件∠C=∠C',则△ABC≌△A'B'C'
3.如图,AB∥CD,∠A=70°,∠C=40°,则∠E为( )
A.30° B.40° C.60° D.70°
4.将一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠AOD的度数为 ( )
A.75° B.100° C.105° D.120°
5.如图,在四边形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,连结AC,AE。若AB=AC,AE=CD,AD=CE,则图中的全等三角形有 ( )
A.0对 B.1对
C.2 对 D.3对
6.如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点 E，F为圆心，大于 EF 的长为半径作弧，两弧相交于G,H两点,作直线GH,交 EF于点O,连结AO,则下列结论中，正确的是 ( )
A. AO平分∠EAF
B. AO=OF
C. GH 垂直平分EF
D. GH平分AF
7.如图,AB=AE,AB∥DE,请再添加一个条件: ,使△ABC≌△EAD。
8.小明将如下题目整理到自己的错题本中，题目为“如图,点C,E,F,B在同一条直线上,AE∥DF,且BF=CE,∠A=∠D,求证:AB=CD。”请你帮他补充题目的解答过程。
题目来源 教材1.5例5变式 图形呈现
关键已知 ①AE∥DF ②BF=CE ③∠A=∠D
解题过程
9.如图,在△ABC与△DCB中,AC与BD 相交于点E,且∠A=∠D,AB=DC。
(1)求证:△ABE≌△DCE。
(2)当∠AEB=50°时,求∠EBC的度数。
能力突破……
10.已知a,b,c是△ABC的三边长,化简|a+b-c|一|c-a-b|的结果是 ( )
A.2a+2b-2c B.2a+2b
C.2c D.0
11.求证：如果两个三角形有两条边和其中一条边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等(要求：先分清已知和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证，最后再证明)。
12.如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=50°,点 D在线段 BC 上运动(不含端点)，连结 AD，作∠ADE=50°,DE交线段AC 于点E。
(1)当线段 DC 的长为何值时,△ABD≌△DCE。
(2)在点 D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗 若可以，求出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由。
13.角平分线的性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：
【知识回顾】
(1)如图1,P 是∠BOA 的平分线上的一点,作PE⊥OB 于点E,PD⊥OA 于点D,求证:PE=PD。
【深入探究】
(2)如图2,在△ABC中,∠ABC的平分线交 AC于点 D,AB+BC=10,AD=2,CD=3,求 AB 的长。
【应用迁移】
(3)如图 3,在 Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC 的平分线AE与AC 边上的中线BD 相交于点F，P为CE 的中点,连结 PF。若CP=4,S△BFP =20,则AB 的长为 。
专题1 三角形的初步知识
题型归类
【典例1】1【变式1-1】(1)< (2)> (3)≤
【变式1-2】2【典例2】(1)DE∥BC。理由略 (2)80°
【变式2】(1)45
(2)①45 ②∠P 的度数不随M,N的运动而发生变化。45°
【典例3】(1)略 (2)8cm
【变式3-1】(1)略 (2)30
【变式3-2】(1)略 (2)3
【典例4】C
【变式4】(1)10 (2)214
【典例5】(1) cm(2) 或6
过关训练
1. D 2. B 3. A 4. C 5. D 6:C
7. AC=ED(答案不唯一) 8.略 9.(1)略 (2)25°
10. D 11.略
综合与实践
12.(1)当线段 DC 的长为2时,△ABD≌△DCE(2)可以。115°或100°
13.(1)略 (2)4 (3)10