2.4等腰三角形的判定定理 同步练习（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
2.4 等腰三角形的判定定理
一、单选题
1．如图，，的平分线相交于D，过点D作，交于E，交于F，那么下列结论中：①；②；③；④的周长，其中正确的有几个（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图在正方形网格中，等于（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，E为边的中点，交延长线于点D，平分交于点F，连接．下面结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列说法中，正确的有（　　）
A．两个全等的三角形一定关于某直线对称
B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
C．等腰三角形是轴对称图形，对称轴为等腰三角形的高
D．若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形
5．下列说法错误的是（　　）
A．有两边相等的三角形是等腰三角形
B．直角三角形不可能是等腰三角形
C．有两个角为60°的三角形是等边三角形
D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
二、填空题
6．已知点在反比例函数的图象上，点在轴正半轴上，若为等腰直角三角形，则的长为　 　．
7．如图，若，则的度数为　 　．
8．已知等腰三角形的一边长为，一个内角为，则它的周长是　 　；
9．在中，，，，则的周长为　 　．
10．如图，已知∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，其中点D是边BC所在射线上一动点（点D不与B，C重合），连接AC，EC，则∠DCE的度数为　 　．
11．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆（O为衣架的固定点）：如图②，若衣架收拢时，，则此时A，B两点之间的距离是　 　cm
三、计算题
12．已知，，是的三边长．
（1）若，，满足，试判断的形状；
（2）化简：
13．已知四边形，，．
（1）如图1，若，则________；
（2）如图2，，连接，平分交于，交延长线于，连接．
①求的度数；
②若，，求的长．
四、解答题
14．数学课上，刘老师举了下面两个例题：
例1． 在等腰中，，求的度数．（只有一个：）；
例2． 在等腰中，，求的度数．（共有三个：、或）；
刘老师启发同学们进行变式探索，小明编了如下一题：
（1）变式：已知：在等腰中，，求的度数．请你解答此变式题：
（2）探索：在解（1）后，小明发现，的度数不同，得到的度数的个数也可能不同．于是小明开始探索在等腰中，的度数取哪些值时，的度数是唯一的？已知：在等腰中，，当的度数唯一时，求的取值范围．请你帮助小明完成此题．
15．如图，在中，，，D、F 分别为、的中点，且，点E、G在上，，求线段的长．
五、综合题
16．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
17．在我国北斗卫星导航系统的精确导航下，一艘货轮在海上以每小时40海里的速度行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离．
18．为了测量一池塘两端A，B的距离，三个数学研究小组设计了不同的可行性方案，如池塘示意图，他们在池塘西岸的点A处测得池塘点B恰好在点A的正东方向，测量方案如下表
课题 测量池塘两端A，B的距离 池塘示意图：
工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺，激光笔
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 ①从A点出发，向北走到C点；②测得， ①从A点出发，向北走到O点插上一根标杆； ②继续向北走相同的距离到达D点； ③再向西走到E点，使B，O，E三点共线； ④测得 ①将标杆垂直立在池塘岸边的点A处，再将激光笔固定在标杆的顶部F处； ②调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点B； ③保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，使激光笔射出的光线落在同岸的点G，此时； ④测得：数据1：； 数据2：．
测量示意图
（1）第一小组测得即的距离，证明方法如下：
证明： (转右框) (理由：______)
（2）请用第二小组的方案，求出池塘两端A，B的距离；
（3）其他小组的同学发现，第三小组方案的第④步只用其中一个数据就可以求出池塘两端A，B的距离，请你在第④步中选择一个有效数据求出池塘两端A，B的距离．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；内错角的概念
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
3．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
4．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定
6．【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质
7．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
8．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质
9．【答案】9
【知识点】等边三角形的判定与性质
10．【答案】135°或45°
【知识点】余角、补角及其性质；等腰三角形的判定与性质
11．【答案】16
【知识点】等边三角形的判定与性质
12．【答案】（1）是等边三角形
（2）
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定；绝对值的非负性；化简含绝对值有理数
13．【答案】（1）
（2）①；②
【知识点】等腰三角形的判定与性质
14．【答案】（1）
（2）或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
16．【答案】（1）解：设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+12=2x，
解得：x=12
（2）解：设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM=t×1=t，AN=AB﹣BN=12﹣2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t=12﹣2t，
解得t=4，
∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN
（3）解：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN=AM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB，
∵AB=BC=AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C=∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵ ，
∴△ACM≌△ABN，
∴CM=BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM=y﹣12，NB=36﹣2y，CM=NB，
y﹣12=36﹣2y，
解得：y=16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
17．【答案】货轮到达处时与灯塔的距离是20海里．
【知识点】等边三角形的判定与性质
18．【答案】（1）等角对等边
（2）A，B的距离为
（3）选择有效数据：，A，B的距离为
【知识点】等腰三角形的判定
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)