2.7探索勾股定理 同步练习（含答案）

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2.7 探索勾股定理
一、单选题
1．如图，在中，，，．将折叠，使点A与的中点D重合，则的长是（　　）
A．4 B．3 C．6 D．5
2．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长．在这个问题中，AC的长为（　　）
A．4尺 B．尺 C．尺 D．5尺
3．下列数组中，能构成勾股数的是（　　）
A．1，1， B．0.3，0.4，0.5
C．5，12，13 D．，，
4．若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是（　　）
A．13 B．13或 C． D．12或13
5．如图，中，，把沿直线向右平移3个单位长度得到，则四边形的面积是（　　）
A．22 B．18 C．15 D．24
二、填空题
6．如图，线段 、 ，那么线段 的长度为　 　.
7．如图，在中，，，是的中线，是的中点，连接，，若，垂足为，则的结果为　 　．
8．如图，有两棵树，一颗高10米，另一棵高3米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行　 　米．
9．在中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则这样的三角形的面积是　 　
10．如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线交于点D，在直线上取一点C使，连接、，点G为的中点，连接，则的周长是　 　．
11．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高是　 　．
三、计算题
12．从旗杆的顶端系一条绳子，垂到地面还多米，小敏拉起绳子下端绷紧，刚好接触地面，发现绳子下端距离旗杆底部米，小敏马上计算出旗杆的高度，你知道她是如何解的吗？
13．如图，长方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形或进行计算．
（1）在图1中，画一条长为的线段；
（2）在图2中，画一个面积为的钝角三角形；
（3）在图3中，计算图中四边形的面积．
四、解答题
14．如图①，在中，，，点从点出发，沿射线方向以每秒1个单位的速度向右运动，连结，设点的运动时间为秒．
（1）当秒时，求的长度；
（2）用含的代数式表示线段的长度；
（3）当分的面积为两部分时，求的值．
（4）如图②，是上的一点，，作点关于直线的对称点，当点落在直线上时，直接写出的值．
15．如图，已知在中，，有一动点P在折线段上运动，速度为2个单位，运动时间t．
（1）当 时，；
（2）若平分，求运动时间t；
（3）当t为何值时，为轴对称图形．
五、综合题
16．阅读并解答问题：
明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：
原文：平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记，仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索有几？
译文：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？（注古代5尺为1步）
建立数学模型，解决问题：
如图，秋千绳索静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），已知于点C，于点D，于点E，，求秋千绳索（或）的长度．
17．一辆轿车从地以的速度向正东方向行驶，同时一辆货车以速度从地向正北方向行驶，2小时后两车同时到达走向公路上的两地．
（1）求两地的距离；
（2）若要从地修建一条最短新路到达公路，求的距离．
18．已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？
六、实践探究题
19．阅读材料，解答下面问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方2倍的三角形叫做奇异三角形．
（1）理解并填空：
①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定 （填“是”或“不是”）奇异三角形；
②若某三角形的三边长分别为1，，2，则该三角形 （填“是”或“不是”）奇异三角形；
（2）探究：在中，两边长分别是a，c，且，，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理
2．【答案】C
【知识点】勾股定理
3．【答案】C
【知识点】勾股数
4．【答案】D
【知识点】勾股定理
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；平移的性质
6．【答案】
【知识点】勾股定理
7．【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
8．【答案】25
【知识点】勾股定理的应用
9．【答案】54
【知识点】勾股定理的逆定理
10．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
11．【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理
12．【答案】米．
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
13．【答案】（1）图解析；
（2）图解析；
（3）
【知识点】勾股定理
14．【答案】（1）
（2）当时，；当时，
（3）秒或秒
（4）秒或秒
【知识点】勾股定理；一元一次方程的实际应用-几何问题
15．【答案】（1）2
（2）
（3）或或或
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；等腰三角形的概念
16．【答案】14.5尺
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
17．【答案】（1）；
（2）．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
18．【答案】需要投入元
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
19．【答案】（1）①是，②是
（2）解：当c为斜边时，则，
由于，
故不是奇异三角形；
当b为斜边时，，
则有，
所以是奇异三角形．
答：当c为斜边时，不是奇异三角形；当b为斜边时，是奇异三角形．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理
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