2.3等腰三角形的性质定理 同步练习（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
2.3 等腰三角形的性质定理
一、单选题
1．已知等边三角形ABC，AB＝2，则其周长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
2．如图，A，B两点分别在直线，上，且，，，若，则的度数等于（　　）
A．30° B．32° C．34° D．36°
3．等腰三角形一边上的高与一腰所夹的锐角是，则该等腰三角形顶角是（　　）
（1）甲的结果是；（2）乙的结果是；（3）丙的结果是．
A．甲、乙的结果合起来才对
B．乙、丙的结果合起来才对
C．甲、乙、丙的结果合起来才对
D．甲、乙、丙的结果合起来也不对
4．如图，在中，是的平分线，，则的长为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
二、填空题
6．等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长为 　 　
7．如图，点，分别在等边三角形的边，上，将沿直线翻折，使点落在处．若，则　 　．
8．如图，在中，，，是的中线，E为边上的一点．若是等腰三角形，则的度数是　 　
9．一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3＝80°，则∠1+∠2＝　 　．
10．等腰三角形的顶角为，它的一个底角的度数为　 　．
11．“三等分角”是由古希腊人提出来，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成．两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、在槽中滑动，若，则　 　．
三、计算题
12．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，，点D、E可在槽中滑动，若，求的度数．
13．如图，中，，，是腰的垂直平分线，求的度数．
四、解答题
14．如图，△ABC是等边三角形，点D在BC上，△ADE是等腰三角形，AD ＝AE ，∠DAE ＝100°，当DE⊥AC时，求∠BAD和∠EDC的度数.
15．如图，在△ABC中，，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且，，求∠CDE的度数．
五、综合题
16．已知：如图，已知 ， ， 和 相交于点 ，点 是 的中点，连接 .
（1）求证： ；
（2）求 的度数.
17．
（1）已知等腰三角形的一边长等于8cm，一边长等于9cm，求它的周长；
（2）等腰三角形的一边长等于6cm，周长等于28cm，求其他两边的长.
18．如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P.
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠PBQ的度数.
六、实践探究题
19．【概念学习】
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．
（1）【概念理解】
如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD平分∠ACB，则△CBD与△ABC　 　（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．
（2）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝36°，∠B＝48°．求证：CD为△ABC的等腰分割线；
（3）【概念应用】
在△ABC中，∠A＝45°，CD是△ABC的等腰分割线，直接写出∠ACB的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；同位角的概念
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的概念
4．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
5．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质
6．【答案】11或13
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
7．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质
8．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
9．【答案】130°
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质
10．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
11．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
12．【答案】．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
14．【答案】30°
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
15．【答案】25°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
16．【答案】（1）证明：在 和 中，
，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ .
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SSS
17．【答案】（1）解：8cm是腰长时，三角形的三边分别为8cm、8cm、9cm，
能组成三角形，周长=8+8+9=25cm，
8cm是底边时，三角形的三边分别为8cm、9cm、9cm，能组成三角形，
周长=8+9+9=26cm，综上所述，周长为25cm或26cm
（2）解：6cm是腰长时，其他两边分别为6cm，16cm，
∵6+6=12＜16，
∴不能组成三角形，
6cm是底边时，腰长为 （28-6）=11cm，
三边分别为6cm、11cm、11cm，能组成三角形，
所以，其他两边的长为11cm、11cm
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
18．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在△ABE与△CAD中，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）解：由（1）知△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°.
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=30°.
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
19．【答案】（1）是
（2）解：∵∠A=36°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°-36°-48°=96°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=48°，
∴∠BCD=∠B=∠ACD，
∴△BCD是等腰三角形，
∴∠ADC=∠BCD+∠B=96°，
在△ABC和△ACD中，
∠A=∠A，∠B=∠ACD，∠ACB=∠ADC，
∴△ABC与△ACD互为“形似三角形”
∴CD为△ABC的等腰分割线.
（3）解：105°或112.5°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)