第四章相似三角形培优试卷（含解析）浙教版2025—2026学年九年级上册

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第四章相似三角形培优试卷浙教版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，直线，直线AB和DE被，，所截，，，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．下列说法正确的是（ ）
A．菱形都是相似图形 B．矩形都是相似图形
C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形
5．如图，点、点均在反比例函数的图象上，分别连结、，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
7．将一个三角形的各边扩大为原来的3倍，则这个三角形的面积扩大为原来的（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
8．若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．如图，已知和是以点C为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点C的坐标为，若点A的坐标为，则点E的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD的中点，BF与CE相交于点H，直线EN交CB的延长线于点N，作CM⊥EN于点M，交BF于点G，且CM=CD，有以下结论：①BF⊥CE；②ED=EM；③S四边形DEHF=4S△CHF，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11．如图，在中，于点D，且，点E在上，连接，若，，，则的长 ．
12．如图，一束光线从点出发，经过x轴上的点反射后经过点，则的值是 ．
13．如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H．若，则 ．
14．已知非负数a、b、c满足，若，则S的最大值与最小值之差为 ；
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．等腰直角三角形中，， 点 D 是的中点， 连接，点E是上一点， 交于点 F， 于点G．
(1)如图1， 若，求证：；
(2)如图2， 连接， 若 ，求的值．
16．【综合运用】如图，将矩形放置在如图所示的平面直角坐标系内，点与坐标原点重合，点坐标为，点为对角线上一点，射线交轴于点，射线交轴于点．
(1)当时，求的长度；
(2)设，，当时，求关于的函数表达式；
(3)如图，连接，交于点，若，求点的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，．
(1)以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，画出．
(2)在所给图形中，以原点为位似中心，位似比为，画出放大后的图形；
(3)与的周长比是___________；面积比是___________．
18．如图1，内接于，和的平分线交于点，射线交于点，交于点，连接．
(1)若，求的度数．
(2)若，，求的长．
(3)如图2，连接，若的半径为4，弦，设，，求与之间的函数关系式及的最大值．
19．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．连接，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D在直线下方的抛物线上；
①如图2，连接，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点D的坐标；
②如图3，连结，交于点E，若∽，求点D的横坐标．
20．如图，在中，，平分，交于点，交于点，作交于点，交于点，且．
(1)求的度数；
(2)探究线段的数量关系，并说明理由；
(3)若，求的值．（直接写出计算的结果）
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B C C D C B B C
二、填空题
11．8
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解一元二次方程，勾股定理，解决本题的关键是综合相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质解决问题．作的垂直平分线交于点，连接，根据已知条件证明，可得，设，，再根据勾股定理即可求出和的值，进而可得结论．
【详解】解：如图，作的垂直平分线交于点，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，，
，，
，
整理得，
在中，根据勾股定理，得，
即，
把代入，整理得，
解得，（不符合题意舍去），
．
．
故答案为：8．
12．2
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，点的坐标，代数式求值，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点作轴，过点作轴，过点作轴，先证，得出再根据点、、的坐标即可求出答案．
【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，过点作轴，
，
根据入射角等于反射角得，
，
，，
点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，
，
故答案为：2．
13．3
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键．
先根据正方形的性质证明，再利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：∵正方形，，
∴，，
∵正方形，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，解得∶．
故答案为：3．
14．3
【分析】本题考查比的应用，设，将、、分别用含的代数式表示出来，设，将、、分别用含的代数式表示出来，根据、、为非负数列关于的一元一次不等式组并求其解集，将、、分别代入并化简，从而将用含的代数式表示出来，进而分别求出的最大值和最小值，再求出二者之差即可．
【详解】解：设，
则，，，
、、为非负数，
，
解得，
，
当时值最大，，
当时值最小，，
．
故答案为：3．
三、解答题
15．(1)见解析
(2)
【分析】（1）取的中点T， 连接，三角形的中位线定理，得到， 且 证明，即可得证；
（2） 过点A 作交的延长线于点T，先证明，得到，证明，得到，设，，求出，平行线分线段成比例，得到，取的中点K， 连接，证明得到进而求出的值即可．
【详解】（1）证明∶ 如图1， 取的中点T， 连接．
∵T为的中点， D为的中点，
∴， 且
∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
；
（2）解∶ 如图2， 过点A 作交的延长线于点T．
∵，，D为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴，
整理，得：
∴
解得 (舍去)，
取的中点K， 连接，
∵D为的中点，
∴，
16．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，一次函数等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
（1）可求得直线的解析式为：，直线的解析式为：，进而得出坐标，进而得出直线的解析式，进一步得出结果；
（2）作于，可表示出和及，根据可表示出，进而表示出的面积，根据可表示出，从而表示出的面积，进一步得出结果；
（3）连接，根据，得出，进而得出，从而，，从而得出，，进而得出，从而求得的值，进一步得出结果．
【详解】（1）解：，点坐标为，则，
直线的解析式为：，
，
直线的解析式为：，
当时，解得：
设直线的解析式为
解得：
直线的解析式为：
（2）如图1，
四边形是矩形，
，
，，
，
作于，
，，
，
，
，
同理可得，，
（3）如图2，
连接，交于，则，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，即，
，则，
，
，
，
，
17．(1)见解析
(2)见解析
(3)；
【分析】本题考查坐标与图形变换-旋转，熟练掌握作旋转图形，旋转的性质，作位似图形是解题的关键．
（1）根据旋转的性质作图求解即可；
（2）根据位似的性质作图即可；
（3）根据位似图形的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作：
（2）解：如图，即为所求作：
（3）解：∵与的位似比为，
∴与的周长比是，面积比是．
故答案为：；．
18．(1)
(2)
(3)的最大值是 4
【分析】（1）由角平分线得，再利用圆周角定理可得，等量代换即可得解；
（2）由题可知平分，平分，设，从而可得，所以，再设，证，利用相似性质建立方程求出值，进而得解；
（3）连接，过点作于点，则，作，连接，利用勾股表示，从而得到关于的式子，再求解即可．
【详解】（1）解：∵，
，
∵和的平分线交于点，
，
，
．
（2）解：∵平分平分，
∴设，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
．
（3）解：如图，连接，连接交于点，
，
，
垂直平分，
，
，
在中，
，
，
由（2）得，当平分平分时，有，
，
作，连接，
在中，，
在中，，
，
，
，
即，
，
，
∴ y的最大值是 4 ．
19．(1)
(2)① ②2
【分析】（1）根据抛物线交点式，得到、两点坐标，再根据正切值求出点坐标，代入抛物线解析式求出的值即可；
（2）①设点，分别用含的式子表示出、，进而得出，再利用二次函数的最值求解即可；
②求出直线的解析式，连结，交于点E，设，根据∽，则求出过点E作于F，则证得∽，根据对应边成比例求出，得，求出直线的解析式，联立得方程组，即可求出点D的横坐标为2．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点
∴，
∴
在中，
∴
∴
∴
将代入抛物线得：
解得：
∴抛物线的表达式为；
（2）解：①如图，设点
∵点D在直线下方的抛物线上，，
∴
∵
∴
∵
∴当时，的值最大为12
此时点D的坐标为；
②设直线的解析式为，则
，解得：
∴直线的解析式为
连结，交于点E，设
若∽，则，即
∴，则
过点E作于F，则
∴∽
∴ 即
解得：
∴
设直线的解析式为，则
解得
∴直线的解析式为
联立得方程组 整理得：，解得：（舍），
∴点D的横坐标为2．
20．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（）设，则，，再根据三角形内角和定理即可求解；
（）证明即可求证；
（）过点作于，设，则，，由是等腰直角三角形可得，，即得，由得到，由可得，得到，，即得，由得，得到，即可得，，最后代入计算即可求解．
【详解】（1）解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∴
；
（2）解：，理由如下：
∵，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：如图，过点作于，
∵，
∴设，则，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，，
∴．
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