1.4二次函数的应用培优训练（含答案）浙教版2025—2026学年九年级上册

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1.4二次函数的应用培优训练浙教版2025—2026学年九年级上册
一、选择题
1．用一条长的绳子围成一个矩形的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是直角三角形，．点从点出发，沿方向以的速度向点运动到达点停止运动）；同时点从点出发，沿方向以的速度向点运动到达点停止运动；当其中一个动点到达终点时，则另一个动点也停止运动，则的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加（ ）
A． B． C． D．
4．某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
5．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为，经过t（单位：s）时球距离地面的高度h（单位：m）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间t是（ ）
A． B． C． D．
6．飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数关系式是，则飞机着陆后滑行（ ）秒才能停下来？
A．10 B．15 C．20 D．30
二、填空题
7．以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点所构成的三角形的面积为 ．
8．抛物线的顶点为，且图象经过点，若是面积为16的等腰直角三角形，则 ．
9．如图是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离的长是 m，铅球推出的过程中最大高度是 m．
10．如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，则 ．
11．某商场销售一批玩具，进价为50元/件，售价为60元/件时，每月可售200件．根据市场调查发现，售价每涨1元，则每个月会少售出10件（售价不能高于72元/件）．则该种玩具的售价为 元/件时，该商场每个月的利润最大．
三、解答题
12．用长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，长表示窗框的宽，（铝合金条的宽度忽略不计）．
(1)求窗框的透光面积与窗框的宽之间的函数关系式．
(2)如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？
(3)当窗框的透光面积不小于时，直接写出x的取值范围．
13．五一假期，学生去某乔治牌服装店参加社会实践活动：据店长介绍平均每天售出40件，每件衬衫可获盈利80元，现在门店为了扩大销售，增加盈利，采取适当的降价措施．在销售过程中，发现每件衬衫每降价1元，平均每天可多售出2件，设每件衬衫降价x 元．（注意：每件盈利不低于50元）
(1)用含x 的代数式表示每天的销售量为_______件．
(2)当降价多少元时，这家乔治牌服装门店日盈利为4200元．
(3)求当x 为何值时，才能使所获日盈利最大，最大日盈利是多少元？
14．如图，二次函数的图像与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，直线是过点且平行于y轴的直线，在直线上是否存在点Q？使得的长度最短．若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P为二次函数图像上的一个动点，且．求P点的坐标．
15．如图，已知抛物线过点，，，顶点为．
(1)该抛物线的解析式是________；
(2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值．
(3)设点，当的值最小时，求的值．
16．如图，已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A，B的距离之和最短时，求点P的坐标；
(3)点M也是直线l上的一个动点，且为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
17．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．B
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，解题的关键是正确列出关于矩形面积与边长的关系式．设矩形的长为，面积为，再根据矩形的面积公式得出、的关系式，求出的最大值即可．
【详解】解：设矩形的长为，则宽为，
∴矩形的面积．
∵ ，
∴（）．
故矩形的最大面积是．
故选：．
2．A
【分析】本题考查动点问题中三角形面积的最值求解，解题的关键是用含时间的表达式表示出的底和高，进而得出面积表达式，再根据二次函数性质求最值．先设运动时间为秒，分别表示出、的长度，再根据三角形面积公式得出面积关于的表达式，最后求该表达式的最大值．
【详解】解：点从到运动时间为秒，点从到运动时间为秒，
其中一个动点到达终点，另一个动点也停止运动，
．
已知点速度为，点速度为，
设运动时间为秒，则，
．
，
，且，
当时，有最大值，最大值为．
故选：A．
3．C
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据已知建立平面直角坐标系，则可确定顶点坐标为，点B的坐标为，再把解析式设为顶点式，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y经过中点O且经过C点，则通过画图可得知O为原点，
由题意得：抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和为的一半，即2米，抛物线顶点C坐标为，
∴点B的坐标为，
∴这个抛物线的解析式为，
把点B坐标代入到抛物线解析式得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
当水面下降2米，
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把代入抛物线解析式得出：，
解得：，
∴水面宽度增加到米，
∴比原先的宽度增加了米，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据每周的利润=每件商品的利润×销售量，列出函数关系式即可．
【详解】解：由题意得：．
故选：A．
5．B
【分析】本题考查二次函数实际应用．当球回到地面时，高度，代入中，解方程即可得到时间．
【详解】解：∵球弹起后又回到地面时，
∴令，
整理得：，
解得：（舍）或，
∴球弹起后回到地面所花的时间为3秒，
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握配方法是解题的关键．把二次函数解析式转化为顶点式，求出为何值时取最大值即可求解．
【详解】解：∵，
又∵，
∴当时，有最大值，
即飞机着陆后滑行20秒才能停下来．
故选：C．
二、填空题
7．
【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，三角形的面积，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而根据三角形的面积公式计算即可，掌握二次函数图象与坐标交点坐标的求法是解题的关键．
【详解】解：如图，设抛物线与相交于点，与轴相交于点，
把代入，得，
解得，，
∴，，
∴，
把代入，得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
8．
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是分情况进行讨论．
设抛物线顶点为 ，关于对称轴 对称，故设、，结合等腰直角三角形的性质和抛物线的性质，求出值，然后分两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：设抛物线顶点为 ，关于对称轴 对称，故设、，
∴长度为 到 的垂直距离为 ，
∵ 是等腰直角三角形（直角顶点为），故根据等腰直角三角形的性质，斜边上的高等于斜边的一半得，即 ，
∴，
解得（负值已舍），
抛物线顶点式为，
当抛物线开口向下时，顶点为最高点，，将代入得，
∴
解得；
当抛物线开口向上时，顶点为最低点，，将代入得，
∴
解得；
综上，．
故答案为：．
9． 10 3
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．由图可知，要求的长实际是需要点A的横坐标，已知点A的纵坐标为0，将代入函数的解析式，求出x的值，再舍去不符合实际的一个x的值即可；要求铅球推出的过程中最大高度，即求得顶点的纵坐标即可．
【详解】解：将代入，
，
整理得：，
，
解得：或（舍去）
∴铅球推出的水平距离的长是．
∵，
∴顶点的坐标为，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为3，
∴铅球推出的过程中最大高度是．
故答案为：10；3．
10．1
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、二次函数的性质等知识点，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，证得；由题意得：，进而得，即可求解；
【详解】解：分别过点和点作y轴的垂线，垂足分别为和，
∵，
∴；
∵，
∴；
∴；
由题意得：，
∴，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1
三、解答题
11．65
【分析】本题考查了二次函数的应用．设售价上涨元，利润为元，则售价为元，销量为件，根据题意列出关于的二次函数，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设售价上涨元，利润为元，则售价为元，销量为件，
根据题意得
，
∵，
∴当时，有最大值为2250．
元，
∴该种玩具的售价为65元/件时，该商场每个月的利润最大．
故答案为：65．
12．(1)
(2)当时，窗框的透光面积最大，最大透光面积是
(3)
【分析】本题考查了二次函数的性质及应用，准确表示窗框的长和宽，进而得到面积函数，再结合二次函数的图像与性质分析是解题的关键．
（1）首先根据铝合金条长度与窗框各边的关系求出，建立透光面积与宽的函数关系即可．
（２）根据二次函数的图像和性质回答即可；
（3）由于，根据二次函数图像与一元二次函数的关系列方程求方程的根，再结合图像即可求解不等式即可．
【详解】（1）解：由题意可知，
，，
∴．
∴，
即．
（2）∵，
∴当时，．
即当时，窗框的透光面积最大，最大透光面积是．
（3）当时，即，即，
解方程得，
二次函数开口向上，
所以不等式的解集为．
．
13．(1)
(2)10
(3)当时，才能使所获日盈利最大，最大日盈利5000元．
【分析】（1）设每件衬衫应降价x元，则每天多销售件，然后列式即可；
（2）根据盈利每件的利润数量建立方程求出其解即可；
（3）设所获日盈利为w，根据盈利每件的利润数量表示出w与x的关系式，由二次函数的性质及顶点坐标求出结论．
【详解】（1）解：设每件衬衫降价元，
∴每天的销售量为件；
（2）解：根据题意，得
整理，得
解得，，
∵每件盈利不低于50元
∴
∴
∴应舍去，
答：每件衬衫降价10元时，商场平均每天的盈利是4200元；
（3）解：设所获日盈利为w，
根据题意得，
∵
∴当时，w有最大值，最大值为5000．
∴当时，才能使所获日盈利最大，最大日盈利5000元．
14．(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于点．
∴
∴
∴该二次函数的表达式为．
（2）解：∵C在y轴上，
∴当时，，则，
如图，直线是过点且平行于y轴的直线，作点关于直线的对称点，连接与直线交点是Q，连接，
则，即，
∴当三点共线时，的长度最短，
∵点是点关于直线的对称点，直线是过点且平行于y轴的直线，
∴，
设直线的表达式为，
则，
解得 ，
∴直线的表达式为，
设，
∵在直线上，
∴，
∴；
（3）解：的坐标为或.
15．(1)；
(2)当 时， 有最大值为 ；
(3)．
【分析】（1）利用抛物线经过的三个点的坐标，代入抛物线的一般式，通过解方程组求出抛物线的解析式．
（2）先求出直线 的解析式，然后设出抛物线上动点 的坐标，用 点坐标表示出 的面积，再根据二次函数的性质求出面积的最大值．
（3）利用对称点的性质，找到点 关于直线 的对称点 ，连接 ，与直线 的交点即为使得 最小的点 ，进而求出 的值．
【详解】（1）解：将 ，， 代入 得：
将 代入前两个方程得：
化简得：
用 减去 得：
将 代入 得：
∴抛物线解析式为
（2）解：设直线 的解析式为 ，将 ， 代入得：
解得
∴直线 的解析式为
设 ，过 作 轴交 于
则
∴
∵
∴当 时， 有最大值为 ；
（3）解：抛物线 ，顶点
点 关于直线 的对称点 ，
设直线 的解析式为 ，将 ， 代入得：
解得
∴直线 的解析式为
当 时，
∴ ．
16．(1)
(2)
(3)或或或．
【分析】（1）直接将三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；
（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l与x轴的交点，即为符合条件的P点；
（3）由于的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①、②、③；可先设出点的坐标，然后用点纵坐标表示的三边长，再按上面的三种情况列式求解．
【详解】（1）解：将代入抛物线中，
得：，
解得：，
故抛物线的解析式：．
（2）解：当P点在x轴上，P、A、B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短，
此时，
故；
（3）解：如图所示：抛物线的对称轴为：，
设，
已知，
则：；
①若，则，
得：，解得：，
②若，则，
得：，解得：；
③若，则，
得：，解得：；
当时，三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的点，且坐标为或或或．
17．(1)
(2)
(3)存在，点P的坐标是或或
【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
（１）由直线求出B，C坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）首先过点E作y轴的平行线交直线于点G，交x轴于点F，然后设点E的坐标是，则点G的坐标是，求出的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出，进而判断出当面积最大时，点E的坐标；
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与y轴交于点B，
∴点B，C的坐标分别为，．
把点，代入抛物线，
得：，
解之，得
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图，过点E作轴，交直线于点G，交x轴于点F，
设点E的坐标为，则点的坐标为，
∴．
∴．
∴当时，的面积就最大． 此时点E的坐标为．
（3）解：存在．由抛物线
∴对称轴是直线．
∵Q是抛物线对称轴上的动点，
∴点Q的横坐标为1．
①当为边时，点B到点C的水平距离是4，
∴点Q到点P的水平距离也是4．
∴点P的横坐标是5或，
∴点P的坐标为或；
②当为对角线时，点到点C的水平距离是3，
∴点B到点P的水平距离也是3，
∴点P的坐标为．
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是或或．
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