1.1二次函数培优训练（含解析）浙教版2025—2026学年九年级上册

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1.1二次函数培优训练浙教版2025—2026学年九年级上册
一、选择题
1．已知是关于的二次函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，为二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　）
A．，， B．，， C．，4， D．，，1
4．已知是二次函数，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．1或
5．某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋．经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋．已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）．则y与x，z与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系
二、填空题
6．二次函数的一次项系数是 ．
7．如果是二次函数，那么 ．
8．若关于x的函数 是二次函数，则a 的取值范围是 ．
9．一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ．
10．观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号）
11．已知函数 （为常数）．
(1)求当为何值时是的二次函数？
(2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值．
12．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？
（2）完成下表：
边上的小圆圈数 1 2 3 4 5
每个图中小圆圈的总数
（3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=．动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A，B重合），作∠DPQ=45°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段DC的长为 （用含t的式子表示）．
（2）当点Q与点C重合时，求t的值．
（3）设△PDQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
14．某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用为1000元/m2.设矩形的一边长为xm，面积为ym2.
(1)求出y与x之间的函数关系式，说明y是不是x的二次函数，并确定x的取值范围；
(2)若x＝3时，广告牌的面积最大，求此时的广告费应为多少？
46．某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足．
(1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围）
(2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围．
(3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？
15．已知关于的函数．
(1)若该函数为二次函数，求的值；
(2)若该函数为一次函数，求的值．
16．已知函数．
(1)若这个函数是一次函数，且点在一次函数上，求m，n的值与原点到直线的距离；
(2)若这个函数是二次函数，求m的值满足的条件．
参考答案
一、选择题
1．D
【分析】本题考查二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．
根据二次函数的定义，可得关于的不等式，解不等式即可．
【详解】解：∵是关于的二次函数，
∴，
∴，
故选：．
2．B
【分析】本题主要考查二次函数的概念，掌握相关知识点是解题的关键；
一般地，形如(其中)的函数是二次函数，据此逐项分析判断即可．
【详解】A. 是一次函数，故本选项不符合题意；
B. 展开后为，是二次函数，故本选项符合题意；
C. ，未明确，若则不是二次函数，故本选项不符合题意；
D. 是正比例函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．B
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，
先将二次函数整理成一般形式，再根据定义解答即可.
【详解】解：∵二次函数，
∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为.
故选：B.
4．A
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数．
【详解】解：由题意得，解得：，
故选：．
5．B
【分析】根据题意列出y与x，z与x的函数关系式，再根据一次函数、二次函数的定义判断即可．
【详解】由题意得，
∴y是x的一次函数。

，
∴z是x的二次函数．
故选：B
二、填空题
6．9
【分析】本题考查二次函数的一般形式、多项式的乘法运算法则，先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般形式即可．
【详解】解：，
，
∴一次项系数是9，
故答案为：9．
7．
【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如的函数是二次函数是解题的关键，根据二次函数定义求出即可．
【详解】解：是二次函数，
且，
解得，
故答案为：．
8．
【分析】本题考查二次函数的定义．二次函的基本表示形式为，二次函数最高次必须为二次，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：
9．
【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，先计算出原正方形的面积，再计算出边长减少后的正方形的面积，作差即可得解．
【详解】解：原正方形面积为（平方厘米），
边长减少厘米后，新正方形边长为厘米，面积为平方厘米，
则，
故答案为：．
10．①②③
【分析】本题主要考查的是二次函数的定义．熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．形如 （a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．
根据二次函数的定义可得答案．
【详解】①，是二次函数；
②，是二次函数；
③，是二次函数；
④，不是二次函数；
⑤∵中不是整 式，∴不是二次函数；
⑥，不是二次函数．
∴①②③是二次函数．
故答案为：①②③．
三、解答题
11．(1)；
(2)
【分析】（）根据二次函数的定义即可求解；
（）根据（）得出二次函数的解析式，再把点代入计算即可求解；
本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，且，
解得，
∴当时是的二次函数；
（2）解：∵，
∴，
∵点在此函数图象上，
∴．
12．（1）第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图形：61个，理由见解析；（2）1，7，19，37，61；（3）
【分析】（1）首先，观查每个图形的特点，算出每一个图形中的小圆圈数，据此推过推算即可得到第5个图中小圆圈的个数；
（2）直接将（1）算出的结果填入下列表格即可；
（3）接下来通过对表格进行分析，即可得到每一个图形的小圆圈数与该图形一条边上的小圆圈数之间的关系．
【详解】（1）观查每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个，
第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个，
第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个，
第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个，
由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个；
（2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示，
边上的小圆圈数 1 2 3 4 5
每个图中小圆圈的总数 1 7 19 37 61
（3）结合（1）（2）可知，与之间的函数关系为：
首尾相加得
．
13．（1）；（2）；（3）当0＜t≤1时，，当1＜t＜2时，.
【分析】（1）先证明 ，再由勾股定理，即可求解；
（2）由点Q与点C重合，可得2AD=AC，从而，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当0＜t≤1时；当1＜t＜2时，即可求解．
【详解】解：（1）∵PD⊥AC，
∴ ，
∵∠A=45°，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得：
，
∵点P的运动时间为t秒，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∵AC=，
∴；
（2）∵PD⊥AC，∠A=∠DPQ=45°，
∴∠A=∠PQD=45°，
∴PA=PQ，
∴AD=DQ ，
∵点Q与点C重合，
∴AD+DQ=AC，
∴2AD=AC，
即，
解得；
（3）①当0＜t≤1时，
，
②当1＜t＜2时，如图，设PQ交BC于点E，则 ，
，
∴
∴．
14．(1)y＝－x2＋6x，是，0＜x＜6　；（2）9000元
【详解】试题分析：
（1）矩形的一边长为xm，根据矩形的周长是12m，可得矩形的另一边长为（6－x）m，根据矩形的面积公式即可得出y与x之间的函数表达式；
（2）把x＝3代入函数的解析式得出y的值即为广告牌的最大面积，再乘以1000即为此时的广告费．
试题解析：
解：（1）由题意得出：y ＝x(6－x)＝－x2＋6x，是二次函数，0＜x＜6；
（2）当x＝3时，y＝－32＋3×6＝9，1000×9＝9000元，
即此时的广告费应为9000元．
点睛：此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式以及求二次函数值，正确得出二次函数解析式是解题关键．
15．(1)
(2)售价的取值范围是
(3)能，60元
【分析】本题主要考查求函数解析式、不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）根据日销售利润、售价、进价、销售量的关系列出函数关系式为即可；
（2）由题意，，则，解得：，再结合要保证盈利即可解答；
（3）根据（1）所得的关系式，列一元二次方程求解并结合（2）的条件即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得：
日销售利润与的函数关系式为．
（2）解：由题意，，
则，解得：，
要保证盈利
售价的取值范围是．
（3）解：由，
则，解得：（舍去）或．
答：当定价为60元时，日销售利润为1600元．
16．(1)
(2)，，
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的概念，熟练掌握其概念并能正确分类讨论是解决此题的关键．
（1）根据二次函数的概念得，且，求解即可；
（2）根据一次函数的概念得且，，求解即可．
【详解】（1）解：依题意，得，且，
解得
∴时，该函数为二次函数；
（2）解：依题意，当首项次数为1，且合并同类项后一次项系数不为零时，
且，
解得，
当首项系数为零时，，
解得和，
综上，，和时，该函数为一次函数．
17．(1)，，原点到直线的距离是
(2)当且时，这个函数是二次函数
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的定义、一次函数图象和性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握一次函数与二次函数相关知识点．
（1）先由是关于x的一次函数得出，且，再代入点，即可求出n的值，再根据等面积法求解即可得出原点到直线的距离；
（2）先由是关于x的二次函数得出，再求解即可．
【详解】（1）解：根据一次函数的定义，得，
解得：或，
又∵，即．
∴当时，这个函数是一次函数．
此时，函数，
将点代入得：；
令，则，
令，则，
故函数与坐标轴的交点为和，
两交点的距离为，
故原点到直线的距离．
（2）解：根据二次函数的定义，得，
解得且．
∴当且时，这个函数是二次函数．
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