第四章 相似三角形 单元测试卷A卷浙教版2025—2026学年九年级上册（含答案）

第四章相似三角形单元测试卷A卷浙教版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．下列各组图形其中的一个可以看作是另一个放大或缩小得到的是( )
A． B． C． D．
2．△ABC的三边长分别为、、2，△A′B′C′的两边长分别为1和，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边的长应等于( )
A． B．2 C． D．2
3．下列说法正确的是（ ）
A．位似图形中每组对应点所在的直线必互相平行
B．两位似图形的面积比等于位似比
C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比
D．位似图形的周长之比等于位似比的平方
4．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．△ABC和△A′B′C′是相似图形，且对应边AB和A′B′的比为1：3，则△ABC和△A′B′C′的面积之比为（　　）
A．3：1 B．1：3 C．1：9 D．1：27
6．如图，在中，，且，被、分成三部分，且三部分面积分别为，，，则
A．1：1:1 B．1:2:3 C．1:3:5 D．1:4:9
7．如图，要使，则下列选项中不能作为条件添加的是（ ）
A．B=BD BA B．∠A=∠BCD C． D．
8．如图，是的重心，则下列结论正确的是（ ）
A．2AD=DE B．AD=2DE
C．3AD=2DE D．AD=3DE
9．如图，两条直线被三条平行线所截，AB＝2，BC＝3，则等于( )
A． B． C． D．
10．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD=1，BD=2，现将△ABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，若BF=1.2，则CE的长为
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11．若，则 ．
12．如图，在中，点D、E分别在边、上，，如果，那么 ．
13．如图，在中，，，点D，E分别在，上，且，若，，则的长度是 ．
14．如图，矩形中，点P在边上，，连接并延长，交的延长线于点E，连接交于点Q．则的值为 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．小明复习了四边形后，对四边形的翻折进行了探究：
已知，点E为四边形边上一点，将沿折叠，点D的对应点为F，射线交四边形的边于一点P．
(1)若点E是边的中点．
①如图1，若四边形为正方形，求证：；
②如图2，若四边形为菱形，，求的长；
(2)若四边形为矩形时，，点E为的三等分点，求的长．
16．如图，已知：在矩形中，的平分线分别与边及边的延长线相交于点、，为的中点，连接．
(1)如果，，求的面积；
(2)连接，求的度数．
17．如图，在菱形中，，．点是边的中点，延长、交于点，平分交于点．
(1)求证：．
(2)求菱形的面积．
(3)求的长．
18．已知，P是平分线上一点，于点A，于点B．
(1)如图1，求证：四边形是正方形．
(2)如图2，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：．
(3)点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值．
(4)点M在线段的延长线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，，求线段的长．
19．如图，四边形是圆O的内接四边形，连结交于点E
(1)求证：
(2)若，．
①求证．
②当时，求的值．
20．实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点、点的坐标分别为，．
(1)以点为位似中心，相似比为，在x轴的上方画出放大后的．
(2)的坐标为 ．
(3)若点是内任意一点，则位似变换后对应点坐标为 ．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C C C C C B B C
二、填空题
11．或2
【分析】本题考查的是比例的基本性质，掌握“比例的等比性质”是解本题的关键．分两种情况讨论：与时，再进行计算即可．
【详解】解：若，则，，，
此时，，
若，则，
综上所述，k的值为或2．
故答案为：或2．
12．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，利用平行线证，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．/
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形．过点C作交的延长线于F，判定是等腰直角三角形，得到，判定，推出，求出，判定，得到，即可求出的长．
【详解】解：过点C作交的延长线于F，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，先根据求出，再根据矩形的性质求解即可．
【详解】解：，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
即，
，
．
故答案为：．
三、解答题
15．(1)①见解析；②
(2)或1
【分析】（1）①如图，连接根据菱形的性质得到，得到，根据折叠的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，
②如图，延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，根据菱形的性质得到，求得，由翻折可知，得到，求得，根据全等三角形的性质得到，得到，设，则，，在△中，，根据勾股定理得到；
（2）当时，如图，可知，，根据相似三角形的性质得到，即，根据勾股定理得到；
当时，如图．过点作，与，的延长线交于点，，设，求得，根据相似三角形的性质得到结论．
【详解】（1）（1）①证明：如图，连接
四边形为正方形
，
点为的中点，
，
将△沿折叠，点的对应点为，
，，
，，
△△，
，
②解：如图，延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，
四边形为菱形，
，
，
由翻折可知，
，
，
，，
，，
△△，
，
，
即，
设，则，，
在△中，，
，
在△中，由勾股定理可得，
即，
解得，
；
（2）解：当时，如图，可知，，
△△，
，
即，
在△中，，
即，
解得：；
当时，如图．
过点作，与，的延长线交于点，，设，
，
由“”字型相似可得△△，
，
即，
解得，
在△中，由勾股定理得，
解得（舍去），
，
，
即，
解得，
综上所述，或1．
16．(1)6
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、矩形、正方形的性质和判定、角平分线的定义、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）过作于，交于，证明≌，根据角平分线和矩形的对边平行得：，并求出，由∽，列比例式求的长，代入面积公式可得结论；
（2）证明≌，推出是等腰直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过作于，交于，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴∽，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过作于，连接，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
在和中，
，
∴≌，
∴，
，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形，
∴．
17．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与相似三角形的性质，正确地添加辅助线是解题的关键．
（1）连接交于点，由菱形的性质得，，则，而，所以；
（2）由，得，由，，求得，则，所以；
（3）设交于点，证明，则，证明得出，进而根据，得出即可求解．
【详解】（1）证明：连接交于点，
四边形是菱形，
，，
，
延长、交于点，平分交于点，
，
，
，
．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
菱形的面积为．
（3）解：设交于点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴．
18．(1)见详解
(2)见详解
(3)
(4)
【分析】（1）依题意画出图形即可，证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得到，即可证明；
（2）根据题意可证明，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得证；
（3）延长相交于点G，可证明，则，根据已知条件和（2）中结论，表示出各线段长度，证明后，利用相似三角形性质列比例式求解即可
（4）延长交于点H，可证，可求出长度，利用，，由对应线段成比例可求得线段长．
【详解】（1）证明：，，，
，
四边形是矩形．
是平分线上一点，
，
四边形是正方形；
（2）由（1）知四边形是正方形，
，．
，
，
，
又，，
，
，
；
（3）如图1，延长相交于点G，
，
设，则，
由（2）知，
，
．
，，
，
．
四边形是正方形，
，
，
，
；
（4）如图2，延长交于点H，
由（1）知四边形是正方形．
，，．
，
．
又，，
，
，
．
，
，．
，
，
，即，
．
，
，
，
．
又，
．
19．(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出进而得出；
（2）①设，过点作于点F，利用等腰三角形的性质与同弧所对圆周角相等可得：，，，再利用三角形的内角和定理即可求证；
②设，，则，由此可得，由（1）可知，设相似比为，设，，则，由相似三角形的性质可得：，可解得，在和中，利用勾股定理可得，则，联立方程解出，在中，设，由得：，由勾股定理可得
，由此即可求解出的值．
【详解】（1）证明：，
，
又，
；
（2）①证明：设，过点作于点F，
，
，且平分，，
，
，
，，
，，
，
，
，
；
②解：当时，设，，
在等腰中，，，
，
设，，则，
由可得：，
，
在和中，由勾股定理得：
，
，
，
，
，
，
联立
解得：，，
，
，
在中，设，由得：，
在中，，即，
，
，
，
．
20．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查作图—位似变换、位似图形的性质，熟练掌握位似图形的作法是解答本题的关键．
（1）根据位似变换的知识作图即可；
（2）根据（1）中的图形，即可得出的坐标；
（3）位似变换后的内任意一点根据相似比，横纵坐标各扩大3倍．
【详解】（1）如图所示：
（2）解：由图可知，的坐标为．
故答案为：．
（3）解：相似比为，
位似变换后的内任意一点的横纵坐标各扩大3倍，
是位似变换后对应点坐标为