第三章 圆的基本性质 单元测试卷A卷浙教版2025—2026学年九年级上册（含答案）

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第三章圆的基本性质单元测试卷A卷浙教版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．的半径为，若点P到圆心的距离为，点P在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法确定
2．一个正三角形绕着它的中心旋转一定角度后，能与它自身重合，这个角度可以是（ ）
A． B． C． D．
3．一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．已知四边形是圆内接四边形，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是⊙的直径，是⊙的弦，，垂足为E．若，，则的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，在中，是的直径，是上的一点，连接，，过点作交于点，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，中，，，将绕点C逆时针旋转，得到，连结，则的长度是（ ）
A． B． C． D．3
8．如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
9．如图，是的直径，弦于点E，，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11．如图，在中，若，则的度数为 ．
12．如图，是正五边形的外接圆，连接，则的度数为 ．
13．直径为的中，弦，则弦的弦心距为 ．
14．已知扇形的圆心角为，半径为2，则这个扇形的面积 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为个单位长度.
(1)在图中画出关于原点的中心对称图形；
(2)在图中画出将绕点顺时针旋转得到的；
(3)在平面内找一点，使得点，，，围成以为边的平行四边形，写出点所有可能的坐标 .
16．如图，是的直径，是的两条弦，点C与点D在的两侧，E是上一点（），连接，且．
(1)如图1，若，，求的半径；
(2)如图2，若，求证：．
17．如图，A，B，C是上三点，且，过点B作于点D．
(1)求证：．
(2)若，，求的半径．
18．如图，在中，直径弦于点，于点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
19．如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使．延长至点，连接，使．
(1)求证：；
(2)如图2，若过圆心，平分，，．
①求证：；
②求的长．
20．已知正方形的四个顶点在上
(1)如图1，若点在劣弧上，连接、、，若在上取一点，使得，连接，求证：
(2)若点在弧上（不与点、、重合），过点作于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图2，若正方形的边长为4，点是线段上的动点，过点作于点，将线段为边，在右侧作等边，求出点的运动轨迹长．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A D B B A A B B
二、填空题
11．/55度
【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握圆周角定理成为解题的关键．
由圆周角定理可得，再运用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：如图：连接，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
12．/72 度
【分析】本题主要考查了正多边形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握以上性质．
利用正五边形的性质求出的度数，然后再利用圆周角定理进行求解即可．
【详解】解：∵五边形为正五边形，
∴五边形的各边都相等，
∴的度数为，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，如图，过点作于，由垂径定理得到，由勾股定理即可求出的长．解题的关键是由垂径定理得到，然后由勾股定理求出的长．
【详解】解：如图，过点作于，
∵弦，
∴，
∵的直径为，
∴，
∴，
∴弦的弦心距为．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了扇形的面积公式，掌握扇形面积公式是解决问题的关键．利用扇形面积求解即可．
【详解】解：，，
．
故答案为．
三、解答题
15．(1)画图见解析；
(2)画图见解析；
(3)或．
【分析】本题考查作图——旋转变换、中心对称，平行四边形的性质，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解题的关键．
（）根据中心对称的性质作图即可．
（）根据旋转的性质作图即可；
（）根据平行四边形的判定条件找到点的位置，即可写出点的坐标．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，
点的坐标为；点的坐标为；
综上，以，，，围成以为边的平行四边形的第四个顶点的坐标为或．
16．(1)的半径为3；
(2)见解析．
【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出，结合，可得出，在中，利用勾股定理求解即可；
（2）过O作于F，利用垂径定理等可得出，然后利用定理证明，得出，然后利用平行线的判定即可得证；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得，
即的半径为3；
（2）证明：过O作于F，
∴，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴．
17．(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，勾股定理；
（1）如图，延长交于，根据垂径定理得到，，求得，则，于是得到结论；
（2）如图，连接，设的半径为，在中根据勾股定理列方程得到．
【详解】（1）证明：如图，延长交于，
，
，，
，
，
，
；
（2）如图，连接，
设的半径为，
，，
，，
在中，，
解得：．
即的半径为2．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
（1）先根据圆周角定理得出，由全等三角形的判定定理得出，故可得出结论．
（2）先根据的长，设，连接，在中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论．
【详解】（1）证明：与是同弧所对的圆周角，
，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
，
；
（2）解：，，
，
又，
设，则，，，
连接，则，
是直角三角形，，，，
，解得，
．
19．(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）由四点共圆得，而，等量代换得到，故，即可作答；
（2）①连接并延长交圆与点G，证明得出即可证明结论成立；
②作于点M，作于点N，根据求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）①如图，连接并延长交圆与点G
∴
∵
∴
∵过圆心，过圆心
∴
∵
∴
∴
∴
②作于点M，作于点N
∵，，
∴
∵平分，
∴
∴都是等腰直角三角形
∴，
∵
∴
∴都是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∴
20．(1)见解析
(2)或，理由见解析
(3)
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质和圆周角定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）根据正方形的性质和圆周角定理，利用证明两三角形全等即可；
（2）当点E在弧上时，过点作于点，证明，即可得到四边形是正方形，然后根据线段的和差解答；当点E在弧上时，在上取点，使，连接，根据全等三角形的对应边相等得到，，，然后证明是等腰直角三角形，即可得到结论；
（3）将绕点C顺时针旋转得到，连接，可以得到，即可得到点N在以为直径的圆F上，然后根据弧长公式计算解答即可．
【详解】（1）证明：在正方形中，，
与都对应弧，
，
在和中，
；
（2）解：满足或，理由如下：
如图，当点在弧上,过点作于点，
∵是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是矩形，
又∵，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，即；
当点在弧上时，在上取点，使，连接，
由（1），
，，，
在正方形中，，
，
，
，
是等腰直角三角形三角形，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，则，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∴点N在以为直径的圆F上，
∵最大为，
∴最大为，即最大圆心角为，
∴点N的运动路径为．
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