第三章 圆的基本性质 单元测试卷浙教版2025—2026学年九年级上册（含答案）

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第三章圆的基本性质单元测试卷浙教版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．下列说法中，正确的是（　　）
A．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； B．优弧一定比劣弧长；
C．弧长相等的弧则所对的圆心角相等； D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
2．如图，A、B、C、D都是上的点，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图是一把折扇示意图，扇面是由两条弧和两条线段所组成的封闭图形．已知，，，则扇面的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在圆中，弦，相交于点，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，D，E分别是弦AB，AC的中点，且．若，，则的半径OA的长为（ ）
A．14cm B．12cm C．10cm D．8cm
6．如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，内接于，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
9．若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（ ）
A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形
10．如图，在四边形中，，，若，，则四边形的面积为（ ）
A．44 B．48 C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11．如图，四边形内接于，，，则的度数为 ．
12．三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为 ．
13．已知如图，扇形的半径为，弧长为，求阴影部分的面积为 ；
14．如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．在平面直角坐标系中，已知的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
(1)若和关于原点O成中心对称图形，画出；
(2)画的外接圆，并写出圆心M的坐标．
(3)连接，求劣弧与半径围成的扇形的面积为_____（结果保留）．
16．等边内接于，点L在上，点F在上，连接交于E，连接交于D，连接，．
(1)如图1，求证：是等边三角形；
(2)如图2，连接，求证：平分；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，求的长．
17．已知的直径为10，弦，点E为上一点，过点E 作弦．
(1)如图（1），若 ，连接，求的长；
(2)如图（2），过点C作于点G，连接，当过点O 时，若 ，求的长．
18．如图，在中，，O为线段上一点，以O为圆心，长为半径的圆与边，分别交于D，E两点，
(1)求证：；
(2)若O为的中点，①探究与的数量关系，并说明理由．②连结，若四边形为菱形，，求阴影部分的面积．
19．如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若连接，，，求的度数．
(3)过点作于点，若，，求弧的长．
20．如图，是等边三角形的外接圆，是上一点．
(1)填空：______度，______度；
(2)求证：．
(3)若，求四边形的面积．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A B C A C D B A
二、填空题
11．/30度
【分析】此题考查了圆的内接四边形的性质．注意掌握圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．由四边形内接于，可得，根据圆周角定理得出，根据等边对等角得出，进而可得出答案．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理等知识点，掌握直角三角形的外心就是斜边中点是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，且斜边就是外接圆的直径，据此即可解答．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，4，5，
又∵，
∴这个三角形是直角三角形，
∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为5，
∴此三角形的外接圆半径是．
故答案为．
13．
【分析】本题考查扇形面积的计算、弧长的计算，掌握等边三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、三角形的面积和扇形面积计算公式、弧长计算公式是解题的关键．
过点作于点，根据弧长公式求出的度数，由等边三角形的判定与性质、特殊角的三角形函数值、三角形的面积公式求出的面积，由扇形面积公式求出扇形的面积，再根据阴影部分的面积扇形的面积的面积计算即可．
【详解】解：如图，过点作于点．
设，
根据题意，得，
解得，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，三角形中位线的应用，用了方程思想，解题的关键是熟练掌握相关的定理和性质．
根据垂径定理得出，设为x，则，根据勾股定理得出方程，求出x的值，连接，求出且，求出，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，
∴，
解得，
∴；
连接，
∵，
∴且，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题
15．(1)见解析；
(2)图见解析，；
(3)．
【分析】本题考查了利用中心对称变换作图，勾股定理的逆定理，求扇形面积，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．另外要求掌握对称中心的定义．
（1）分别作出点A，B，C关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）分别作出的垂直平分线，交于点，则点为的外接圆，圆心M的坐标；
（3）连接，由证明，再运用弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图；即为的外接圆，
圆心M的坐标；
（3）解：连接，如图，
∵，
∴
∴
∴，
故答案为：．
16．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）设，得到．根据等边三角形的性质得到，由此得到，再由，求出，即可证得是等边三角形．
（2）连接得，结合得出，由此是等边三角形，，证明，得出即可．
（3）连接，过点D作于H，交延长线于G，延长交于K，过点K作于N，于V．求出，证明得出，证明得出．利用等边对等角推出，得．根据结合三角函数求出，，由此得到，求出．
【详解】（1）证明：设．
∵，
∴．
∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴是等边三角形．
（2）证明：连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴是等边三角形．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴平分．
（3）解：连接，过点D作于H，交延长线于G，延长交于K，过点K作于N，于V．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
由（2）知为等边三角形，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵
，∴．
∵，，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
17．(1)
(2)
【分析】（1）过点 O 作，，垂足分别为 M，N，则四边形 为矩形，利用勾股定理求出，可得矩形 为正方形，再利用勾股定理求出，可得，进而计算即可；
（2）连接，先利用勾股定理求出，再根据列式计算即可．
【详解】（1）解：如图（1），过点 O 作，，垂足分别为 M，N，则四边形 为矩形，，
∵，，
∴，
∴，
连接，，则，
，
∴，
∴矩形 为正方形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴；
（2）如图（2），连接，
∵是的直径，
∴，
，
，
，
，
，
．
18．(1)见解析
(2)①，理由见解析；②
【分析】（1）延长交于点F，连接，先根据圆内接四边形的性质得，进而得，再由得，再根据等量代换得，即可得出结论；
（2）①连接，可得，依据等腰三角形的性质可得结论；
②连接，则，根据四边形为菱形，证明和为等边三角形，为等边三角形可得，再根据可得结论．
【详解】（1）证明：延长交于点F，连接，
由题意得，是的内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①．理由如下：
如图，连接，
∵O是的中点，
∴是的直径，
∴，
∵，
∴；
②如图，连接交于，则，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴，
∴和为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
19．(1)见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（）连接，利用圆周角定理推知，然后由等腰三角形的性质证得结论；
（）由圆周角定理可得，再通过直角三角形的性质即可求解；
（）连接，由，得，证明，所以，则，得到是等边三角形，故有，然后通过弧长公式即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴；
（2）解：如图，连接，，，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的长为．
20．(1)60；60
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，圆的内接四边形的性质，能够熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键．
（1）根据等边三角形性质得出，然后根据圆周角定理即可得出答案；
（2）延长至E，使，连接，如图所示：证明，可得，证明是等边三角形，即可得出结论．
（3）过点E作于点F，求解，，可得，进一步求解即可.
【详解】（1）解：∵为等边三角形，
∴，，
∴，，
故答案为：，；
（2）证明：延长至E，使，连接，如图所示：
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵,
∴是等边三角形，
∴；
（3）解：过点E作于点F，
∵是等边三角形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴.
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