浙教版八年级上册数学2.7 探索勾股定理 教学设计

浙教版数学八年级上册《2.7.1探索勾股定理》教学设计
一、教学内容分析
本节教材选自浙教版初中数学八年级上册第二章第七节的内容，勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把有一个角是直角这个形的特征转化成数量关系，搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，体现了数形结合的思想方法. 它也是反映自然界基本规律的一条重要结论，勾股定理启发了人类对数学的深入思考，促成了三角学、解析几何学的建立，对数学进一步的发展拓宽了道路．因此，勾股定理是数学发展的重要根基之一．它不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一．
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的分析和归纳能力，初步掌握了探索图形性质的基本方法.但学生对构造图形的方法证明几何命题的意识和能力还比较弱，对于如何将图形与数量关系相结合的证明方法还比较陌生.另外，在学本节课时，通过前置知识的学习，学生对直角三角形有了初步的认识，为此在授课时要抓住学生的这些特点，激发学生学习数学的兴趣，建立他们的自信心，为学生空间观念的发展、数学活动经验的积累、个性的发挥提供机会.
三、教学目标
（一）理解并掌握勾股定理的内容和证明，能够运用勾股定理进行简单计算和运用.
（二）在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学过程，并体会从特殊到一般的数学思想方法.
（三）在探索勾股定理的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神，增进数学学习的信心，感受数学之美，探究之趣.介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国和热爱祖国悠久文化的思想情感，培养学生的民族自豪感和钻研精神.
四、教学重难点
重点：勾股定理的探索及证明.
难点：勾股定理的证明.
五、教学过程
（一）创设情境 引思考
我们曾学习了三角形的边和角的相关知识，比如；比如两边之和大于第三边，当时我们可以用度量长度的方法探究，等腰三角形角和边的性质以及直角三角形角的性质，还有直角三角形边的性质没有研究.今天我们一起来研究直角三角形边的数量关系。数学家毕达哥拉斯被世人成称为“数学之父”，他曾提出：“在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么？”他在家中的地砖发现了有趣的结论.将地砖中的有趣图案放在我们熟悉的网格中研究，我们能发现什么？
提出问题 问题一：正方形①的面积记为S1，正方形②的面积记为S2，正方形③的面积记为S3，S1，S2，S3之间存在怎样的数量关系？问题二：请用文字语言描述这三个正方形面积数量关系.问题三：直角三角形的三边满足怎样的数量关系？问题四：请用文字语言描述发现的三边数量关系.
学生预设 三个正方形和一个等腰直角三角形等发现，学生的回答是多样且精彩的，予以充分肯定.学生习惯于字母之间的线性关联，较难想到三边平方之间的关系，引导学生面积可以想到“线段的平方”的转化.
【设计意图】将本节课研究的直角三角形置于三角形的背景中，提出直角三角形的边是要研究的对象.勾股定理实质是从“一维”到“二维”的突破，所以理清这条主线，做好充分预设，由线段“一维”几何量可以用长度度量，引导学生面积可以转化为“二维”几何量.以一则“数学之父”毕达哥拉斯的地砖趣事提出问题，为本节课初探勾股定理做铺垫，利用学生熟悉的网格计算面积，显得非常自然合理.
探究活动 得真理
1.网格探究活动
探究目的：借助网格初步探索勾股定理“直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方”.
探究过程：
（1）独立计算三个正方形的面积.
（2）思考这三个正方形面积之间的数量关系（正方形①、②、③的面积分别记为S1、S2、S3）及这个直角三角形三边的数量关系.
（3）小组成员分享，派代表展示.
探究展示一：将第三块正方形补成如图大正方形，利用大正方形面积减去四块小直角三角形的面积即可.
探究展示二：将第三块正方形分割成如图四块全等的直角三角形和一个小正方形，利用小正方形面积加上四块小直角三角形的面积即可.
学生预设： S1=22=4,S2=32=9,S3=13,S1+S2=S3,两条直角边的平方和等于斜边的平方.
探究反思：
（1）通过独立探索，小组合作分享方式归纳割补法计算几何图形面积的方法.
（2）通过研究特殊的直角三角形三边的数量关系，经历从特殊到一般的研究数学问题的过程.
拼图探究活动
提出问题 一般直角三角形的三边是否满足上述关系呢？
探究目的：借助拼图进一步探究一般直角三角形具备“直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方”的性质.
探究过程：
（1）独立用四块全等的直角三角形纸片中的若干块拼成一个几何图形.
（2）直角三角形的直角边分别为a和b,斜边为c,探索a，b，c满足的数量关系.
（3）小组成员分享，派代表展示.
探究展示一：
探究展示二：
探究展示三：
探究归纳：
勾股定理:“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”.
几何语言：∵ △ABC是直角三角形，a,b为直角边，c为斜边，
∴ .
探究反思：
1.“二维”几何量可以用面积来刻画,由此产生面积证明的思维方式.
2.通过独立探索，小组合作分享方式积累等积变形以及“算两次”的数学思想方法.
3.形成几何问题的探究思路：操作——猜想——验证——归纳.
数学史：回顾过去，远在公元前约3000年，古巴比伦人就知道和应用勾股数组 ( https: / / baike. / item / %E5%8B%BE%E8%82%A1%E6%95%B0%E7%BB%84" \t "_blank )，如3,4,5．大约公元前2500年，古埃及人在建筑金字塔和测量土地时，也应用过勾股定理．大约公元前2000年，大禹在治水的实践中总结出了勾股术，用来确定水位差．他是世界上有史记载的第一位与勾股定理有关的人．大约在公元前1100年，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”，记载在《周髀算经》中．公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯公开发表了这一规律的证明．公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德在《几何原本》中给出一个勾股定理的证明．大约公元前250年，赵爽对《周髀算经 ( https: / / baike. / item / %E5%91%A8%E9%AB%80%E7%AE%97%E7%BB%8F" \t "_blank )》内的勾股定理作出了详细注释和证明．公元2世纪的东汉时期，我国古代数学家刘徽利用出入相补的方法验证了勾股定理 ( http: / / www. / link url=X6qx8SCFXCW2Wk4F6JuJm4tNFBYRkE7hmg5vC61h30ThUucJZfyGmUYPkF97MRZc0Kc2myUf1pZ1KgVPINYPzhMMpozcB8ME6kvnGcEBUe_" \t "_blank )．之后丰富的证法组合成勾股定理的历史长河．2002年在北京召开的国际数学家大会，就以赵爽弦图作为大会会徽的图案．近几年在上海召开的世界数学教育家大会会标也有弦图。
【设计意图】精心设置每一个环节，让学生在小组探究的过程当中体会勾股定理的发现-猜想-归纳-证明过程.这也是本节课的重点之一.通过以特殊的两个直角三角形的三边作出的正方形面积计算，得出猜想，意在锻炼学生的归纳、概括能力.继而猜想一般直角三角形是否具有这种特点，激发学生的探究欲望，培养学生的探索能力.展开勾股定理的历史画卷．让学生了解人类对勾股定理认识和发展的历史，体验数学发现与再创造的乐趣的同时感受数学文化，体现数学文化的育人价值.
例题练习 汇经验
1.例题示范：
在△ABC中，∠C=Rt∠，BC=a，AC=b,AB=c.
(1)若a=1，b=2，求c.
(2)若a=15，c=17，求b.
2.牛刀小试：
（1）在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b,AB=c.若b=1，c=，求a;若a=1，
b=, 求c.
（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的
平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(　 　)
A．5 B．6 C．8 D．10
【设计意图】通过“例题示范”和“牛刀小试”这两个环节，及时应用勾股定理，初步掌握利用勾股定理计算直角三角形边长的基本步骤.通过“牛刀小试”的问题(2)需要先说明直角三角形，进一步明确勾股定理的适用范围.
3.变式拓展：在Rt△ABC中.
（1）若∠A=Rt∠，BC：AB=25:24，AC=7，求AB.
（2）若a=5，b=12，求c.
【设计意图】设置两个变式拓展，问题（1）通过设元，建立方程，体现方程思想的灵活运用.问题（2）需要对直角和斜边进行分类讨论，提升学生的逻辑思维能力.
4.实际应用：
如图所示是一个长方形零件图，根据所给的尺寸（单位：mm）,两孔中心A，B之间的距离.
【设计意图】本题是对勾股定理的实际生活应用，数学知识来源于生活，最终服务于生活实际，前后呼应，也让学生体会学习数学的价值.在问题解决的过程中，教师应进行适当引导，让学生学会构造直角三角形的一般方法.由于本题的运算数据较大，让学生有充分的时间运算.
（四）小结评价 再出发
教师引导 1.本节课我们学会了什么？2.我们是如何学会的？3.如何应用这个结论？
思考：放眼未来，华罗庚曾设想：向太空发射一种图形，因为这种图形在几千年前就已经被人类所认识，如果外星人是“文明人”，也必定认识这种图形.
这个图形中的正方形换成以直角三角形各边为直径的半圆，则半圆A，B，C的面积满足怎样的数量关系？从直角三角形的各边向外作正方形能否推广到从各边向外作等边三角形（正n边形）吗？
【设计意图】首尾呼应，“数学之父”在课前提到数学天地里更重要的是怎么知道什么.让学生明确“学到什么结论”、“如何得到结论”、“如何应用结论”的三个重要问题，用思维导图的形式回顾与梳理知识的生成过程，学生的认知、思维结构化和系统化.思考题实现突破，整节课以面积关系引起“线段平方”之间关系的猜想开始，进而得到勾股定理，反过来勾股定理即“线段平方”之间关系，转化为面积之间的关系，建立了代数和几何之间的桥梁，体验勾股定理的价值．
（五）作业设计 分层练
A组：
1.求下列直角三角形中未知边的长.
2.图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长为( )
A．34 B．36 C．38 D．40
B组：
3.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合.
（1）连结DE，试说明∠DEB=90°.
（2）求BE和CD的长.
C组：
4.在锐角三角形ABC中，三边a,b，c是否满足a2+b2=c2，如果不满足，那么a2+b2与c2满足怎么的大小关系
5.在钝角三角形ABC中，∠C＞90°，三边a,b，c是否满足a2+b2=c2，如果不满足，那么a2+b2与c2满足怎么的大小关系
实践性作业：6.通过上网等方式查找勾股定理的有关史料、趣事及其他证明方法．
【设计意图】作业做到分层落实，满足不同学生的不同要求.作业需富有基础力、综合力、创新力，设置实践性作业突破以往传统作业模式，探究锐角三角形钝角三角形三边的关系培养学生的探究精神，鼓励学生课后查阅资料了解勾股定理，提高学生的学习兴趣.
感悟：古今中外五千年，勾股三角紧相连，
赵爽弦图为榜样，发现真理若等闲！
六、教学反思
（一）探索为主，发展核心素养
本节课以探索为主，学生始终是活动的主人，教师是主导.特别是勾股定理的发现的环节中，每个学生的计算正方形面积，激发了学生的质疑能力和探究欲望，为得出猜想做了必要的准备.拼图活动，也是人人参与，亲身经历了图形的形成过程，更好的发挥了小组合作的互补、衍生、纠正等效应.通过丰富的课堂活动将几何直观、逻辑推理等数学学科核心素养与人文底蕴、科学精神等中学生核心素养紧密联系.
（二）问题为串，提升学生思维
精心设计问题串，针对定理证明的重点和难点层层铺垫，引导学生独立探究，合作交流，思维不断地碰撞出火花，充分的体会了数形结合和转化等数学思想.
（三）思想为魂，感受数学本质
数学思想方法是对数学知识内容和所用方法的本质认识，它是对数学规律的理性认识，有助于认识数学的内在联系.通过本节的学习，学生由直角三角形容易联想到边长的关系，并能较自觉的结合方程思想解决直角三角形中边长问题.方程思想与分类讨论思想又为学生在实际解题中提供可行的思路和方法.
（四）文化为线，促进学生发展
1.展示祖国传统数学的魅力，培养学生的爱国情感.
2.展示数学家的创造性思维过程，培养学生正确的思维方式，领悟数学思想方法. 3.挖掘数学史中的美育资源，提高学生的美学修养.