5.4 一次函数的图象（1）教学设计 浙教版数学（2024）八年级上册

5.4一次函数的图象（1）教学设计与反思
教学内容：
《一次函数的图象（1）》是浙教版八年级上册第五章的内容，这节课既是函数学习的延续，也是函数图象学习的起始课。在本节课中，会用“描点法”绘制函数图象是重点，“描点法”是今后学生绘制函数图象、研究函数性质的基本方法。学生在经历用“描点法”绘制一次函数图象的过程中，体会数形结合的思想，不仅能绘制出一次函数的图象，而且还能理解函数解析式与函数图象之间的对应关系，感受学习函数图象的必要性。同时在这节课中，学生还能利用图象体会一次函数与一元一次方程、二元一次方程组之间的关系，为后续反比例函数、二次函数的学习奠定基础，感受学习函数图象的重要性。
教学目标:
1.通过直观观察，感受“图象由点组成”这个基本事实，经历概念的形成过程，了解函数图象的概念；
2.经历用“描点法”绘制一次函数图象的过程，会用“描点法”绘制一次函数的图象；
3.验证图象的完备性与纯粹性，感受坐标满足一次函数解析式的点在直线上，以及直线上的点的坐标必定满足一次函数解析式；
4.会用“两点法”绘制一次函数的图象，会求一次函数的图象与坐标轴的交点；
5.体会函数图象的应用性，感受自变量的取值对一次函数图象的影响。
学情诊断:
在学习本课之前，学生已了解了函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），并能从函数的图象中获取有用信息。同时会用待定系数法求一次函数的解析式。但是学生对于如何表达一次函数的概念缺乏经验，对于如何绘制一次函数的图象束手无策。因此笔者认为要突破难点就要解决以下问题：如何设计函数图象的概念形成过程才能自然合理？如何引导学生感受到函数解析式与函数图象之间相互转化、对应和融合的关系？如何应用函数图象体会一次函数与一元一次方程、二元一次方程组之间的关系。笔者经历了几次试教与修改，第一次设计时，问题设计过多，层次不够分明，繁杂无主线，琐碎且低阶。因此笔者尝试重组教材内容，厘清学习主线，设计学习活动，将教学目标融汇于学习活动之中，放手让学生合作探究，感悟知识形成，感受思维生长，感受素养生成。
教学重点：一次函数的图象
教学难点：验证图象的完备性与纯粹性
教学过程：
一、课堂引入——感受图象
活动1.观察甲、乙两位同学在区运会赛跑中路程s与时间t的函数图象，你能获取哪些信息？
师生共议：这是一次百米赛跑；甲同学跑完全程用了12秒，乙同学跑完全程用了12.5秒，所以甲同学赢了。
问题1：这个函数图象是怎么得到的？
问题2：函数表示有几种方法？
问题3：这几种方法之间有什么联系？
阅读文本：把一个函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象。
设计意图：本节课是函数图象学习的起始课，本环节从学生最熟悉的区运会中跑步项目入手，让学生看图说话，有话可说。在函数的图象概念的形成过程中，初步“感受图象由点组成”这个基本事实，通过追问函数图象是怎么得到的，引导学生思考函数的三种表示方法之间的联系。接着以实际的点为例，通过直观观察图象，感受图象上的每一个点都可以被表示出来。
教学反思：
1.在教学中不少老师对于用“描点法”绘制函数图象中的“列表”的产生觉得突兀，通过回忆函数的三种表示方法，也能让学生自然而然地想到解析法与图象法间的沟通桥梁——列表法，从而使“列表、描点、连线”的步骤形成更自然合理。
2.设计开放活动，为学生创设了一个真实情境，让学生更有兴趣的同时为函数的图象概念的形成提供了一个现实背景。
二、合作探究——绘制图象
活动2.师生共同在平面直角坐标系中绘制一次函数y=2x的图象。
列表：
（2）描点：在平面直角坐标系中描出上面的各个点（x，y）：
（3）连线：将描出的各个点连起来。
活动3.尝试在平面直角坐标系中绘制出y=2x+1（或y=-2x-1）的函数图象。
小组合作：回顾绘制函数图象的过程，并准备交流以下问题：
问题1．函数三种表示方法各有什么优缺点？
问题2．绘制函数图象的一般分为哪几个步骤？
问题3．观察大家所取的点，你们发现了什么？
全班交流：归纳函数图象上的点与函数解析式中的解之间的关系
问题4：点（2，3）在函数y=2x+1图象上吗？（，）呢？
问题5：若点（a+1，3）在函数y=-2x-1的图象上，求a的值。
问题6：点（a+1，3-a）在这个函数的图象上吗？
活动4.一次函数的图象绘制出来是什么样的？
归纳：分组利用“描点法”绘制出的y=2x，y=2x+1和y=-2x-1的函数图象都是直线。
猜想：一次函数的图象是一条直线。
论证：教师通过几何画板软件演示，师生共同对上述猜想进行验证，直观感知理论分析的正确性：一次函数的图象是一条直线。
设计意图：通过学生自主尝试画函数图象，经历“描点法”画函数图象的过程。组织小组合作交流，归纳函数图象的完备性与纯粹性，并及时练习巩固。借助几何画板软件的直观演示，观察函数表达式与点的坐标值的特征，获得“图象→表达式”和“表达式→图象”的双向转化，得出“一次函数的图象是一条直线”的结论。经历“归纳、猜想、论证”的思考过程，提升学生对函数的认识，突出重点，突破难点。
教学反思：
1.浙教版教材中，直接让学生探究画出一次函数y=2x+1的图象，这对大多数学生而言起点过高，借鉴人教版《一次函数的图象》的处理后，首先引入正比例函数进行铺垫，再由浅入深、从特殊到一般设计探究活动，得到绘制一次函数图象的基本方法与步骤。
2.画一次函数的图象是本节课的重点，而如何取值是重中之重。在自主尝试画图时，不少学生取点的横坐标都是从自然数开始取，使得画出的图象是一条射线，通过试误对比，加深学生对于一次函数图象是一条直线的认识。这比一开始就提醒学生在列表时就注意点的横坐标的取值会更好。
3.浙教版教材中通过y=2x+1与y=2x的图象归纳出一次函数图象的特征，但归纳一般需要3种情况以上同时满足，所以在活动设计时加上了绘制y=-2x-1的图象，这样通过绘制对比发现：k＞0与k＜0时的图象均满足是一条直线，从而归纳得证，满足了一般性。
4.问题5的解决运用到了一元一次方程的知识，比较简单学生完成比较顺利。问题6完成后又追加了一个问题，如果它不在这个函数的图象上，那它应该在哪个函数图象上？这一问题比较难，需要设参数完成，为后续学习打下基础。
三、例题试解——应用图像
活动5.观察图象，并完成以下问题：
问题1：请写出直线y=2x+1与坐标轴的交点坐标。
问题2：将y=2x+1的图象与情境图中的函数图象对比，你发现了什么？
问题3：在同一直角坐标系中，比较y=2x与y=2x+1这两个函数的图象，你还发现了什么？
活动6.在同一直角坐标系中，绘制出函数与函数的图象，并求出它们与坐标轴交点的坐标。
问题1：求这两个函数图象的交点。
问题2：将、、y=2x+1、y=-2x+1的四个图象放在同一平面直角坐标系中，你还能得到什么结论？
问题3：选取一个函数图象，编写一个或几个问题？
设计意图：通过6个问题，巩固函数图象与坐标轴的交点；关注一次函数自变量的取值范围；比较归纳一次函数与正比例函数图象的特征，得到结论：k1=k2→直线y=k1x+b与直线y=k2x+b平行；从“描点法”到“两点法”，引导学生思考怎么绘制一次函数的解析式会更加简便；一次函数图象的交点问题转化成求二元一次方程组的问题；通过将、、y=2x+1、y=-2x+1四个图象进行对比，还能得到k＞0与k＜0时一次函数图象经过的象限，为后续归纳一次函数的性质做好准备；引导学生通过图象自主编写问题，培养学生的问题意识与创造性思维。
教学反思：设计辨析活动，形成进阶问题链，让学生逐步把握寻找数量关系、建立函数模型，进一步完善对函数图象的认识。鼓励学生合作交流的同时也要良性争辩，让学生在争辩中获取多方面的信息，发展多向思维空间，通过不同的途径解决存在的问题。通过层层细化的自我辨析与同伴、师生争辩，加深学生对函数图象的理解，从而理清思路，重纳概念体系，完善认知网络；开展编题活动，让他们认识到不同情境的实际问题有着同一数学模型，同时同一数学模型在不同的情境中也要考虑自变量的特定要求，挖掘数学本质，进而提高学生的数学核心素养。
四、课堂小结——梳理知识
活动7.请同学们根据以下“问题清单”总结本节课你的收获，并绘制思维导图：
1.怎样画函数的图象？2.一次函数的图象是什么图形？3.怎样画一次函数的图象？4.你还收获了哪些知识经验？5.你在学习过程中感受到了哪些思想方法？6.观察所画的一次函数的图象，你还发现了什么？
设计意图：从数学知识、数学方法、数学思考三方面进行课堂小结。
教学反思：设计总结活动，绘制思维导图，促使学生在整个学习过程中动脑、动口、动手，充分利用多种感官协同合作，让学生更加深刻地体会数形结合的思想。思维导图通过运用图文并重的技巧，用关键词突出知识重点，有效联合各知识点，把各级关系用相互隶属与相关的层级图表现出来，深入挖掘知识内涵，展示学生思维动态，形成有效记忆模式，锻炼学生的发散思维、逻辑思维，帮助学生改进学习方法、提高学习效率，协助学生在数学与艺术、逻辑与想象之间平衡发展，开启大脑的无限潜能。
总结反思
一、立足学习起点，提升学生学习力
新课标指出，活动是老师与学生积极参与、共同发展的过程，而有效的教学活动也是教学评的统一。在教学中设计的活动内容要抓住学生学习的生长点和切入点，从学生已有的知识起点、生活经验出发，设计出学生能用已知解决未知的情境。在本节课中，无论是开放活动中的观察跑步函数图象，还是辨析活动中的“描点法”的形成过程，都是从学生的最近发展区出发，精准满足学生的现实需求，从而让学生去发现问题、提出问题、分析问题、解决问题。这样的设计既源于教材又高于教材，整个活动过程简单流畅，便于学生整体参与，增强学习信心，提升学习力。
二、突出活动本质，提升学生沟通力
张奠宙先生指出：数学活动经验是在数学目标指引下，通过对具体事物进行操作、考察和思考，从感性向理性飞跃形成的认识。在本节课的一系列活动中，学生经历了“感受图像、绘制图像、应用图像、总结图象”的过程，得到绘制函数图象的一般方法——“描点法”和绘制一次函数图象的一般方法——“两点法”。活动重视学生观察、猜想、归纳、反思和应用的过程，强调学生活动经验的积累，突出全员参与的本质。在整个数学活动中，学生探究热情高涨，积极参与数学活动，感悟了多种数学思想，逐步建立数学知识体系，多角度提升数学思考的维度，发展了数学核心素养，提升了学生沟通力。
三、关注实际生活，提升学生创造力
数学活动的设计要关注现实情境，重视知识运用。本节课的活动设计就是让学生会用数学的眼光观察现实世界，感受到数学的趣味性和实用性；会用数学的思维思考现实世界，感受到数学的必要性；会用数学的语言表达现实世界，感受到函数的重要性。例如，在开放活动中初步感受“图象由点组成”这一基本事实，为函数图象这个概念的形成过程提供了一个可以依托与借鉴的现实素材。再如，辨析活动中将函数图象放入现实背景中，突出自变量这一关键要素对函数图象的影响，进一步完善学生对函数图象的认识，便于学生理清思路、重纳概念体系、完善认知网络。最后，编题活动中，学生认识到不同情境的实际问题有着同一数学模型，同时同一数学模型在不同的情境中也要考虑自变量的特定要求，挖掘数学本质，进而提高学生的创造力。