拓展与培优
3.2 不等式的基本性质
例 若实数 ,则实数 , m+2
一、夯实基础
1 m>1 A=m B= ,3 C= 1.若a-b>a,a+b
2m+1的大小关系是 ( ) b3 A.ab<0 B.a>0
A.A>B>C B.A>C>B C.a+b>0 D.a-b<0
C.B>A>C D.B>C>A 2.若a点拨:因为m>1,所以m-1>0. a ; ; 1 1>1 ③a+b2m+1 m-1 b a b
因为A-C=m- 3 = 3 >0
,所以 A ( )
>C. A.1个 B.2个
2m+1 m+2 m-1 C.3个 D.4个
因为C-B= 3 - 3 = 3 >0
,所以
3.若0C>B. ( )
所以A>C>B. A.xC.x34.三角形中两条边长分别是m,n 且m>n,那
么这个三角形的周长l的取值范围是 ( )
例2 若关于x 的不等式(1-a)x>2可变形为 A.3n2
x< ,则 的取值范围是 ( ) B.2n+mA.a>0 B.a>1 D.2mC.a<0 D.a<1 5.下列各题的横线上填入不等号,使不等式成
点拨:因为不等式(1-a)x>2可变形为x< 立.并说明是根据哪一条不等式基本性质.
2 ,不等号的方向发生了改变,由不等式的基本 (1)若a-3<9,则a 12;
1-a
性质3可知,1-a<0,由此得a>1. (2)若-a<10,则a -10;
(3)若0.5a>-2,则a -4;
变式练习1 若关于x 的不等式mx>m2-2可变 (4)若-a>0,则a 0.
形为 m
2-2
x> ,则m 的取值范围是 ( ) m 6.用适当的不等号填空.
A.m<0 B.m>0 (1)若aC.m<2 D.m>2 (2)若x-1>y,y>2x+3,则x-1
变式练习2 试比较下列各式的大小. 2x+3;
(1)x 与x+7; (3)若x>-3,则x+3 0;
(2)a3-a2+3与a3-2a2+2. (4)若-2a≤8,则a -4;
(5)若x>y,则m2x m2y;
(6)若a>0,且a(b-1)<0,则b 1.
76
数学 八年级上册
7.当0”或“<”填空: 13.已知A=a+2,B=a2-a+5,C=a2+5a
,
()1 1; -19 其中a>2.1a b (1)请说明B-A>0,并指出 A 与B 的大小
(2)a2 b2. 关系;
8.若不等式ax-2,则a= (2)指出A 与C 哪个大 说明理由.
.
9.等腰三角形周长为10,腰长为x,底边长为
y,则x 的取值范围是 .y 的取值范
围是 .
10.设a代数式. 14.已知 x ≤a 对任意-3≤x≤4都成立,求
(1)a-1,b-1; a 的取值范围.
(2)a+2,b+2;
(3)-2a,-2b.
二、拓展提升
15.解关于x 的不等式.
(1)x2-1≥a(a 为常数).
11.a 一定大于-a 吗 为什么 (2)mx+3<3x.
16.解不等式.
(1)
x-1
<0;x+1
12.若x说明理由. ( x+32)x >0.
17.已知:ab>1,bc>1,ca>1,求abc 的取值
范围.
77
拓展与培优 数学 八年级上册 浙江教育教材适用
参考答案
【巩固练习】
第1章 三角形 1.B 2.D 3.D 4.稳定 5.1钝角
1.1 认识三角形 6. 7.②③ 8.
(1)3cm (2)3cm
x=10
【典型例题】 9.2b-2c 10.(1)= (2){ 20 y=10
例1 图中共有7个三角形,分别为△AEF, (3)13,理由略.
△ADE,△BDE,△BCF,△ABE,△ABF,
△ABC;以 E 为 顶 点 的 三 角 形 有△AEF, 1.2 定义与命题
△ADE,△BDE,△ABE. 【典型例题】
变式练习1 (1)①图中三角形有3个;②图 例1 条件是“a=b,b=c”.结论是“a=c”.
中三角形有6个;③图中三角形有8个; 变式练习1 条件是“两条直线都与第三条直
(2)①图中以B 为顶点的角所对的边是AC 线相交,内错角相等”.结论是“这两条直线
和AD;②图中以B 为顶点的角所对的边是 平行.”
AC,AD,AE;③图中以B 为顶点的角所对的 例2 条件是“两个三角形全等”.结论是“这
边是AE,AD,AC,CE,CD. 两个三角形的面积相等.”
例2 (1)两边长分别为7和9,设第三边是 变式练习2 条件是“两个角是对顶角”.结论
x,则9-7是4(答案不唯一); (2)∵2的值为4,6,8,10,12,14共六个,∴a=6. 1.C 2.A 3.C 4.D 5.假 6.真
变式练习2 第一根木棒的长度5例3 AD,AF 分别是△ABC,△ABE 的角
平分线.BE,DE 分别是△ABC,△ADC 的中 1.3 证明
线.AG 是△ABC,△ABD,△ACD,△ABG, 【典型例题】
△ACG,△ADG 的高. 例1 证明:∵GH⊥CD,∠2=30°(已知),
变式练习3 B ∴∠2+∠3=90°(垂直的定义),
例4 如图所示: ∴∠3=90°-∠2=90°-30°=60°(等式
的性质),
∵∠3=∠4(对顶角相等),
∴∠4=60°(等量代换).
∵∠1=60°(已知),
∴∠1=∠4(等量代换),
变式练习4 B ∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
·1·
点评:上述分析问题的过程就是从已知 ∴CD⊥AB(垂直定义).
条件入手,推出“可知”,最后运用公理“同位 2.证明:∵∠1=∠ACB(已知),
角相等,两直线平行”推导出结论的过程;证 ∴DE∥BC (同位角相等,两直线平行),
明过程中,括号中的理由都是已知、有关的概 ∴∠2=∠DCF (两直线平行,内错角相
念、性质和公理,每一步推理都有理有据. 等).
例2 证明:如图,∵AB⊥l,CD⊥l(已知), ∵∠2=∠3(已知),
∴∠AEF=∠CFE=90°(垂直的定义), ∴∠3=∠DCF(等量代换),
∴∠AEF+∠CFE=180°(等式性质), ∴CD∥FG(同位角相等,两直线平行),
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平 ∴∠BDC+∠DGF=180°(两直线平行,
行). 同旁内角互补).
3.解:已知:n,n+1是两个连续的自
然数.
求证:n(n+1)是偶数.
证明:当n 是奇数时,n+1就是偶数,所
变式练习 已 知:∠1=∠2,∠1+∠3= 以n(n+1)是偶数.
180°,∠2+∠4=180°. 当n 是偶数时,n(n+1)是偶数.
求证:∠3=∠4. 综上所述,n(n+1)是偶数.
证明:∵∠1=∠2,∠1+∠3=180°(已 即两个连续自然数的积是偶数.
知), 4.证明:∵(2n+1)
2-(2n-1)2=(2n+
∴∠2+∠3=180°(等量代换), 1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n,
∴∠3=180°-∠2(等式的性质). ∵n 为整数,
∵∠2+∠4=180°(已知), ∴8n 是8的倍数.
2
∴∠4=180°-∠2(等式的性质), 即(2n+1)-(2n-1)
2一定是8的倍数.
∴∠3=∠4(等量代换). 5.解:(1)∵∠A=30°,
【巩固练习】 ∴∠ABC+∠ACB=150°.
1.证明:∵DG⊥BC,AC⊥BC(已知) ∵∠X=90°,
∴∠DGB=∠ACB=90°(垂直定义). ∴∠XBC+∠XCB=90°.
∴DG∥AC(同位角相等,两直线平行). 即∠ABC+∠ACB=150°,
∴∠2=∠ACD(两直线平行,内错角相 ∠XBC+∠XCB=90°.
等). (2)不变化.
∵∠1=∠2(已知), ∵∠A=30°,∴∠ABC+∠ACB=150°.
∴∠1=∠ACD(等量代换). ∵∠X=90°,∴∠XBC+∠XCB=90°.
∴EF∥CD(同位角相等,两直线平行). ∴∠ABX+∠ACX
∴∠AEF=∠ADC(两直线平行,同位 =(∠ABC - ∠XBC)+ (∠ACB -
角相等). ∠XCB)
∵EF⊥AB(已知), =(∠ABC + ∠ACB)- (∠XBC +
∴∠AEF=90°(垂直定义), ∠XCB)
∴∠ADC=90°(等量代换). =150°-90°=60°.
·2·
6.解:(1)在△ABC 中,∠ABC、∠ACB
的平分线相交于点O.
则 1 1∠1+∠2=2∠ABC+2∠ACB=
1( 1 1
2 ∠ABC+∠ACB
)= (2 180°-∠A
)=2 图1 图2 图3
×(180°-40°)=70°. ②如图2,∵∠1是△ABD 的外角,
故∠BOC=180°-70°=110°; ∴∠A+∠D=∠1.
(2)因为∠A'的外角等于180°-40°= 同理∠E+∠EBD=∠2.
140°,△A'B'C'另外的两外角平分线相交于 由三角形内角和定理可知∠1+∠2+
点O',根据三角形的外角和等于360°,所以 ∠C=180°,
1 即
∠1+∠2= ×(360°-140°)=110°,∠B'O'C' ∠EBD + ∠D + ∠A + ∠C+ ∠E2 =180°;
=180°-110°=70°; ③如图3,∵∠2是△ACN 的外角,
(3)∵(1)(2)中∠BOC+∠B'O'C'= ∴∠C+∠A=∠2.
110°+70°=180°, 同理∠D+∠B=∠1.
∴∠BOC 与∠B'O'C'互补; 由三角形内角和定理可知∠1+∠2+
证明:当∠A=n°时, ∠E=180°,
∠BOC=180°-[(180°-n°)÷2]=90° 即∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°.
n°
+ , 故结论都成立.2
∵∠A'=n°,∠B'O'C'=180°-[360°- 微探究 与三角形有关的角
(180°-n°)]
n°
÷2=90°- , 【典型例题】2
例1 ∠2=2∠3=44°
n°
∴∠BOC+∠B'O'C'=90°+2+90°- 变式练习1 ∠3=148°
n° 例2 ∠3=∠B+∠2=35°+20°=55°
=180°,2 变式练习2 ∠1=114°,∠DBE=29°
∴∠BOC 与∠B'O'C'互补, 例3 (1)∠ACD = ∠B,理 由 略 (2)
所以当∠A=∠A'=n°,∠BOC 与∠B'O'C' △ADE 是直角三角形,理由略 (3)∠A+
还具有互补的关系. ∠D=90°,理由略
7.解:① 如 图 1,∵ ∠1 是 △BDF 的 变式练习3 (1)∠BCE=∠BAD,理由略
外角, (2)结论还成立
∴∠B+∠D=∠1. 【巩固练习】
同理∠A+∠C=∠2. 1.C 2.A 3.A 4.60 5.70 6.(1)
由三角形内角和定理可知∠1+∠2+ = (2)220 7.90° 8.(1)45° (2)13°
∠E=180°, 9.(1)∠ABD=∠ACE
即∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°; (2)∠BCE=30°,∠EOD=110°
10.(1)30° (2)不存在“特征角”为120°
的三角形,理由略 (3)60°<α<90°
·3·
∠BCC =∠A.
1.4 全等三角形 1
专题拓展 全等三角形中【典型例题】
例1 DE=BD-BE=2cm. 三垂直基本模型
变式练习1 (1)△ABC≌△DBE 对应边: 【夯实基础】
AB 与DB,AC 与DE,BC 与BE;对应角: 1.C 2.C 3.D 4.∠E=∠DBC(答
∠A 与∠D,∠ABC 与∠DBE,∠ACB 与 案不唯一) 5.90°
∠E (2)垂直;理由提示:延长AC 交ED 于 【典型例题】
点F,证∠CFD=90°. 例1 △ACD≌△CBE(AAS)
变式练习2 ∠DFB=90°,∠DGB=65°. 变式练习1 略
例2 C 变式练习2 略
变式练习3 7 例2 根据三垂直基本模型可得△ACD≌
【巩固练习】 △CBE;∴AD=CE,CD=BE,∴DE=AD
1.C 2.D 3.①②④ 4.2.5 5.20 +BE.
6.80° 7.略 8.A 9.提示:证∠QAP= 变式练习3 提示:先证△ACD≌△CBE
1 (
90° 10.∠C= (∠1+∠2) AAS
)
2 例3 特例探究:根据三垂直基本模型易证
1.5 三角形全等的判定 △ABD ≌ △CAF (AAS) 归 纳 证 明:
△ABE≌△CAF(AAS) 拓展应用:△ACF
【典型例题】 与△BDE 的面积之和为5.
例1 ∠A=∠D(或∠ACB=∠DFE 或AB 变式练习4 (1)①= = ②∠α+∠BCA
=DE) =180°,证明过程略 (2)EF=BE+AF
变式练习1 答案不唯一,如AB=CD. 【巩固练习】
例2 △ABF≌△CDE,△ABC≌△CDA. 1.D 2.B 3.A 4.13 5.3 6.10
变式练 习 2 有 4 对,分 别 是 △ADF ≌ 7.(1)△ACD≌△CBE(AAS),证明过程略
△ABF,△CDF ≌ △EBF, △ACD ≌ (2)9 8.(1)略 (2)△DEF 为等边三角
△AEB,△ACF≌△AEF;证明略.
例3 △BEC≌△CDA(AAS). 形,证明略
OC-BD
9.(1)1,3 (2) =1,证OA
变式练习3 略 明过程略
例4 提示:先证△ABD≌△ACE(SSS). 专题拓展 构造三角形全等【巩固练习】
1.D 2.C 3.D 4.A 5.AB=DC 证明结论
n(n+1) 【夯实基础】
6. 7.AG=AD;AG⊥AD 证明2 1.提示:连结AD. 2.提示:连结AC.
略 8.a-b 9.(1)提示:先证C1B∥CA, 3.提示:连结AB. 4.62-6,提示:过点D
再 证 △AA1C ≌ △C1CB,得 ∠AA1C = 作DE⊥AB,垂足为E,证△DCB≌△DEB.
∠C1CB,而∠AA1C=∠BB1C1,∴∠C1CB 5.CH=1,提示:先证△AEH≌△CEB.
=∠BB1C1,在△C1B1E 和△BCE 中,可得 【典型例题】
∠B1C1C= ∠B1BC. (2)相 等.提 示:证 例 提示:过点B 作BE∥AC 交AD 的延长
·4·
线于点E,先证△ADC≌△EDB(AAS). 在△AOB 和△DOC 中,
变式练习1 提示:过点 D 作DG∥CE 交 ì ∠A=∠D
BC 于点G,证△DGF≌△ECF. í∠B=∠C,
变式练习2 提示:延长 ED 到点 H,使得 OA=OD
DH = ED,连 结 CH,FH,证 △BED ∴△AOB≌△DOC(AAS)
≌△CHD. ∴AB=CD.
变式练习3 提示:在AB 上取一点E,使得 8.证 明:∵ 在 等 腰 三 角 形 CDE 中,
AE=AC,证△AED≌△ACD. ∠DCE=90°,∴CD=CE.
变式练习4 (1)120° (2)提示:在AC 上取 ∵∠ACB=90°,
一点 F,使 得 AE =AF,连 结 OF,先 证 ∴∠DCE+∠BCD=∠ACB+∠BCD.
△AEO≌△AFO,再证△AEO≌△AFO. 即∠BCE=∠ACD.
【巩固练习】 又AC=BC,
1.A 2.A ∴△ACD≌△BCE.
3.提示:延长AD 到G,使得DG=AD, 9.证明:∵∠1=∠2,
连结BG,证△ADC≌△GDB. ∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,
4.提示:过点D 作DH⊥AB,证△BHD 即∠BAC=∠EAD,
≌△GFC. 又∵AB=AE,∠C=∠D,
5.(1)提示:在AB 上截取AD=AC,证 ∴△ABC≌△AED.
△APC≌△APD (2)AB+AC提示:在BA 的延长线上截取AE=AC,证 证明如下:∵∠ACB=∠DCE=90°,
△APC≌△APE. ∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,
6.提示:作∠BAC 的平分线AG 交BD 即∠ACD=∠BCE.
于点G,先证△ABG≌△CAF,再证△ADG 又∵AC=BC,CD=CE,
≌△CDF. ∴△ACD≌△BCE(SAS).
11.证明:∵∠BCE=∠DCA,
专题拓展 挖掘隐含条件说明全等 ∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE,
【典型例题】 即∠BCA=∠DCE.
例1 △ABC≌△DCB,理由略. ∵AC=EC,∠A=∠E,
例2 △ABE≌△DCF,理由略. ∴△BCA≌△DCE(ASA).
例3 110° ∴BC=DC.
【巩固练习】 12.证明:∵∠1=∠2,
1.B 2.B 3.D 4.70° 5.120° ∴∠1+∠ECA= ∠2+∠ECA.
6.证明:∵BE=CF,∴BC=EF. 即∠BCA=∠ECD.
∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF. 在△BCA 与△ECD 中,
在△ABC 与△DEF 中, ì BC=EC
ì ∠A=∠D í∠BCA=∠ECD,
í∠B=∠DEF, CA=CD
BC=EF ∴△BCA≌△ECD (SAS).
∴△ABC≌△DEF(AAS), ∴DE=AB.
∴AB=DE. 13.(1)解:因为AD∥BC,所以∠ABC
7.证明:∵AB∥CD +∠BAF=180°,∠DCB+∠CDE=180°,又
∴∠A=∠D,∠B=∠C, 因 为 ∠ABC = ∠DCB,所 以 ∠BAF =
·5·
∠CDE.因为AE=DF,所以AE+AD=DF 2.(1)解:如图所示,DE 就是要求作的
+AD,即ED=FA.在△ABF 和△DCE 中, AB 边上的中垂线;
AB=DC,∠BAF=∠CDE,FA=ED,所以
△ABF≌△DCE(SAS),所以BF=CE.
(2)成立.理由略.
(3)相等.理由:因为AD∥BC,
所以∠FAB=∠ABC,∠EDC=∠DCB,
又∠ABC=∠DCB,
所以∠FAB=∠EDC.
因为AE=DF,
, (2)证明:∵DE 是AB 边上的中垂线,所以AE-AD=DF-AD
即DE=AF. ∠A=30°
,∴AD=BD,
,
在 △ABF 和 △DCE 中,AB =DC, ∴∠ABD=∠A=30°
, , ∵∠C=90°,∠FAB=∠EDC AF=DE
所以△ABF≌△DCE(SAS), ∴∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°
,
所以BF=CE. ∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-
14.解:BN=CM 且BN⊥CM. 30°=30°,
理由:因为AM⊥AB,AN⊥AC, ∴∠ABD=∠CBD,∴BD 平分∠CBA.
所以∠MAB=∠NAC=90°, 3.解:如图,直线AD 即为所求直线.
所 以 ∠MAB + ∠BAC = ∠NAC
+∠BAC,
即∠MAC=∠BAN.
在△ABN 和△AMC 中,
AB=AM,∠BAN=∠MAC,AN=AC,
所以△ABN≌△AMC(SAS),
所以BN=MC,∠ABN=∠M.
在△AME 中,
∠M+∠MEA+∠MAE=180°,
在△BED 中,
∠EBD+∠BED+∠BDE=180°, 4.解:OM 是∠AOB 的角平分线.
因为∠EBD=∠ABN=∠M, 证明:连结CM、DM,∵OC=OD,CM=
∠MEA=∠BED(对顶角相等), DM,OM =OM,∴ △OCM ≌ △ODM,∴
所以∠BDE=∠MAE=90°, ∠BOM=∠AOM,∴OM 是∠AOB 的角平
所以BD⊥ED,即BN⊥CM. 分线.
1.6 线段垂直平分线的性质
1.7 角平分线的性质
【典型例题】
例1 D
例2 10
例3 作法略 5.解:作出BC 的垂直平分线,交BC 于
【巩固练习】 点D,
1.B ∵AB=AC,∴AD 平分∠BAC,
·6·
即∠BAD=∠CAD, 周末拓展 三角形的初步
在△ABD 和△ACD 中,
AB=AC 知识章拓展ì
í∠BAD=∠CAD, 1.A 2.B 3.C 4.C 5.C 6.D
AD=AD 7.D 8.D 9.C 10.C
∴△ABD≌△ACD(SAS). 11.对角线相等的四边形是矩形 12.-2
1 1
>-3,但是- <- (答案不唯一) 如2 3 13.
∠CAB=∠DBA(答案不唯一) 14.3
15.30° 16.16 17.7 18.21
19.解:(1)假命题,反例不唯一,如当a
=-3,b=2时,(-3)2>22,但-3<2 (2)
6.解:由“分别以点A 和点B 为圆心,大 真命题 (3)假命题,反例不唯一,如30°的余
于1AB 的长为半径作弧,两弧相交于C、D 角是60°,但60°>30°.2
20.连结BC,作BC 的垂直平分线EF,
两点”可知点C,D 到点A,B 的距离相等,所
过点A 作EF 的垂线交, EF 于点O
,点O 即
以点C D 都在线段的垂直平分线上,所以经
, 为机场的位置过点C D 的直线就是线段AB 的垂直平分
.
, 解:() ,线 依据是“到线段两个端点距离相等的点在 21. 1 ∵∠A=70°
,
线段的垂直平分线上”;作直线CD 的依据是 ∴∠ABC+∠ACB=110°
“ 即两点确定一条直线”,故答案为:到线段两个 ∠1+∠2+∠3+∠4=110°,
; ∵BP 平分∠ABC,CP 平分端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 ∠ACB,
, ,
两点确定一条直线. ∴∠1=∠2 ∠3=∠4
7.(1)SSS ∴∠2+∠4=55°
,
(2)解:如图所示. ∴∠BPC=180°-∠2-∠4=125°.
(2)∵∠A=α,
∴∠ABC+∠ACB=180°-α,
即∠1+∠2+∠3+∠4=180°-α.
∵BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACB,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
1
∴∠2+∠4=90°-2α
,
步骤:①利用刻度尺在OA、OB 上分别
截取OG=OH. 1∴∠BPC=180°-∠2-∠4=90°+2α.
②连结GH,利用刻度尺作出GH 的中
22.(1)证明:∵∠ACB=90°,
点Q.
∴∠ACD+∠BCE=90°,
③作 射 线 OQ.则 OQ 为 ∠AOB 的 平
分线. ∵AD⊥MN
,∴∠DAC+∠ACD=90°,
∵BE⊥MN,∴∠BCE+∠CBE=90°,
∴∠BCE=∠DAC,∠ACD=∠CBE,
∵AC=BC,∴△ADC≌△CEB.
·7·
(2)由(1)证明易得△ACD≌△CBE, 1 1
2∠B-2∠C
).
∴CD=BE,AD=CE,
∴DE=CE-CD=AD-BE. 即 ∠C-∠B∠EFG= 2 .(3)DE=BE-AD
由(1)证明易得△ACD≌△CBE, 第2章 特殊三角形
∴AD=CE,CD=BE,
∴DE=CD-CE=BE-AD. 2.1 图形的轴对称
23.证明:∵CE=BF,∴BE=CF.
在△ABE 和△DCF 中, 【典型例题】
AB=DC,AE=DF,BE=CF. 例1 B
∴△ABE≌△DCF(SSS). 变式练习1 C
∴∠B=∠C. 变式练习2 A
在△ABF 和△DCE 中, 例2 6
AB=DC,∠B=∠C,BF=CE. 变式 练 习 3 DQ =AQ 或 者 ∠QAD =
∴△ABF≌△DCE(SAS).∴AF=DE. ∠QDA 等
24.(1)只要说明△ACN≌△MCB; 变式练习4 5cm
(2)画图略; 【巩固练习】
(3)结论“AN=BM”仍成立,理由略. 1.A 2.A 3.C 4.C 5.7 6.5∶4
25.解:(1)由题意得 7.(1)图略 (2)AM=AN,证明过程略
∠BAC=180°-∠B-∠C=80°. (3)是轴对称图形,对称轴是AG 所在的直线.
又∵AE 是∠BAC 的角平分线, 8.AC=7cm,BC=11cm. 9.(1)①提示:
∴∠EAC=40°. 作∠ABC 的角平分线BH 交AP 于点H,证
又∵AD 是△ABC 的高, 明△BMH≌△CND. ②PA=BD+PD,
∴∠DAC=90°-∠C=20°. 证明过程略 (2)AM=BD+DN,画图略
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°- 2.2 等腰三角形
20°=20°.
() : 等腰三角形的性质定理2 证明 ∵∠EFG=90°-∠AEC, 2.3
∠AEC = ∠B + ∠BAE = ∠B + 【典型例题】
1 例1 (1)①②或①③ (2)略
2∠BAC
,
变式练习1 OD=DM+ON.证明过程略.
又∵∠BAC=180°-∠B-∠C, 例2 (1)①先证△CDA≌△CEB,
1
∴∠EFG=90°-(∠B+2×180°-
∴∠CEB=∠CDA=120°,
∴∠AEB=120°-60°=60°;
1 1 ∠C-∠B
∠B- ∠C)= . ②∵△CDA≌△CEB,∴AD=BE.2 2 2
()
() 先证成立 证明: , 2 △ACD≌△BCE
,
3 . ∵∠EFG=90°-∠GEF
∴AD=BE,∠BEC=∠ADC=135°.
1
∠GEF=∠AEC=∠B+2∠BAC
, ∴∠AEB=135°-45°=90°.
1 在等腰直角三角形DCE 中,
∴∠EFG=90°-(∠B+2×180°- CM 为斜边DE 上的高,
·8·
∴CM=DM=ME, ∴PA⊥PC,∠BAP=∠CAP=45°(三
∴DE=2CM. 线合一).
∴AE=DE+AD=2CM+BE. ∵△ABC 是等腰直角三角形,
() 1 ()BE 3
即
, ∠B=∠C=45°
,
变式练习2 11 2 = 证明过2 AB 4 ∴BP=AP=CP.
程略 () 5 3n= ∵∠EPF 是直角
,
2 ∴∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPC
例3 【探究二】2 1 2 2 【问题解决】k =90°,即∠EPA=∠FPC.
k-1 k k 【问题应用】2016÷4=504,504 在△PAE 和△PCF 中,
-1=503,当三角形是等边三角形时,面积最 ì ∠EAP=∠C,
大,2016÷3=672,∴用2016根相同的木棒 ∵ íPA=PC,
搭一个三角形,能搭成503种不同的等腰三 ∠EPA=∠FPC,
角形,其中面积最大的等腰三角形每腰用672 ∴△PAE≌△PCF.
根木棒. ∴PE=PF.
变式练习3 (1)(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3), ∴△PEF 是等腰三角形.
(2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4), 小结:要说明一个三角形是等腰三角形
(4,4,4) (2)由(1)可知,只有(2,3,4),即a= 的方法一般有两种:一是直接说明它的两腰
2,b=3,c=4个单位长度时满足a图略. “等角对等边”来说明三角形是等腰三角形.
【巩固练习】 针对不同的题目,同学们要灵活选择不同的
1.B 2.B 3.4 4.①② 5.52 6.B 方法.
7.8 8.(1)30 (2)略 (3)∠AOB 是定 变式练习 由条件不难得出判断结论:用①
值,∠AOB=60°.(提示:①当点 D 在线段 ②作为条件能判定△BEC 是等腰三角形.
AM 上时;②当点 D 在线段AM 的延长线 理由如下:
上时.) ∵AB=DC,∠ABE=∠DCE,∠AEB
,
2.4 等腰三角形的判定定理 =∠DEC
∴△ABE≌△DCE.
【典型例题】 ∴BE=CE,
例1 解:∵BD,CE 是△ABC 的高, ∴△BEC 是等腰三角形.
∴ ∠BEC=∠CDB=90°. 【巩固练习】
又∵∠EOB=∠DOC, 1.D 2.C 3.A 4.C 5.A 6.12
∴ ∠EBO=∠DCO. 7.等腰三角形
由OB=OC 得∠OBC=∠OCB. 8.本题答案不唯一,如AB=AC
∴∠EBO+∠OBC =∠DCO+∠OCB, 9.本题答案不唯一,如 BD=CD,∠1
即∠ABC=∠ACB. =∠2
∴AC=AB.即△ABC 是等腰三角形. 10.25
例2 解:连 结 PA,∵点 P 是 等 腰 直 角 11.解:本题答案不唯一,如图.
△ABC 边BC 的中点,即 PA 是底边上的
中线,
·9·
平分∠ACB,AC=BC.
∴∠BCG=∠CAB=45°,
又∵∠ACF=∠CBG,AC=BC,
∴△ACF≌△CBG(ASA),
∴AF=CG,CF=BG.
(2)连结AG.
12.(1)①③,①④,②③,②④
(2)本题答案不唯一,如选①③.
证明:在△BOE 和△COD 中,
∵∠EBO=∠DCO,
∠BOE =∠COD,BE=CD, ∵AC=BC,CG 平分∠ACB,
∴△BOE≌△COD. ∴CG⊥AB.
∴BO=CO,∴∠OBC =∠OCB. ∵AD⊥AB,∴AD∥CG.
∴∠EBO +∠OBC =∠DCO +∠OCB, ∴∠DAC=∠ACG,∠D=∠CGD.
即∠ABC =∠ACB,∴AB=AC. ∵AC =BC,∠ACG = ∠BCG,CG
13.△CEF 是等腰直角三角形. =CG,
证明:连结AF,由题意知△ABD 是等腰 ∴△ACG≌△BCG,
直角三角形, ∴AG=BG.
∵DF=BF, ∵∠DAG=∠DAC+∠CAG=∠ACG
∴AF=DF=BF,AF⊥BD. + ∠CBG = ∠BCG + ∠CBG = ∠DGC
∴∠EDF=∠CAF=105°. =∠D,
在△ACF 和△DEF 中, ∴DG=AG,∴DG=BG.
∵AC=DE, ∵E 为AC 中点,∴AE=EC,
∠EDF=∠CAF,AF=DF, 又∵∠AED=∠CEG,
∴△ACF≌△DEF. ∴△AED≌△CEG,
∴CF=EF,∠CFA=∠EFD. ∴DE=EG,∴DG=2DE,
∵AF⊥BD, ∴BG=DG=2DE,
∴∠DFE+∠EFA =90°, 由(1)得CF=BG,
∴∠EFA+∠CFA=90°, ∴CF=2DE.
∴△CEF 是等腰直角三角形. 【巩固练习】
微探究 运用角平分线 1.C 2.D 3.40°或70°
【探究发现】
构造等腰三角形 4.
证明:
【典型例题】
例1 猜想:AD+CE=DE.理由略.
例2 略
例3 ∠A=90°,理由略.
变式练习 解:(1)证明:∵∠ACB=90°,CG 过点E 作ED∥AC 交AB 于点D,
·10·
则△BDE 是等边三角形, ∠ECF+∠FCG=180°,
∵∠AEC 是△ABE 是外角, ∠FCG=∠BDE=60°.
∴∠AEC=∠ABC+∠EAD, ∴∠ADE=∠ECF=120°,
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC, ∵BA=BC,BD=BE,
∠ABC=∠AEF=60°, ∴BA-BD=BC-BE.
∴∠EAD=∠FEC, 即:AD=EC.
∵CF 平分等边△ABC 外角∠ACG, 在△ADE 与△ECF 中,
∴∠ACF=∠FCG=60°. ì ∠ADE=∠ECF=120°
∵∠ADE+∠BDE=180°,∠ECF+ ∵ íAD=EC ,
∠FCG=180°,∠FCG=∠BDE=60°. ∠EAD=∠FEC
∴∠ADE=∠ECF=120°, ∴△ADE≌△ECF(ASA)
∵BA=BC,BD=BE, ∴AE=EF.
∴BA-BD=BC-BE. ②“点E 是线段BC 延长线上的任意一
即AD=EC. 点”,如图2.
在△ADE 与△ECF 中,
ì∠ADE=∠ECF=120°
∵ íAD=EC ,
∠EAD=∠FEC
∴△ADE≌△ECF(ASA),
∴AE=EF.
图2
【数学思考】 过点E 作ED∥AC 交BA 延长线于点D,
①若“点E 是线段BC 上的任意一点”, 则△BDE 是等边三角形.
如图1. ∵∠EAD 是△ABE 的外角,
∴∠EAD=∠ABC+∠AEC.
∵∠FEC=∠AEF+∠AEC,
∠ABC=∠AEF=60°,
∴∠EAD=∠FEC.
∵CF 平分等边△ABC 外角∠ACG,
图1 ∴∠FCE=60°,
过点E 作ED∥AC 交AB 于点D, ∵△BDE 是等边三角形,
则△BDE 是等边三角形, ∴∠EDA=60°,
∵∠AEC 是△ABE 的外角, ∴∠EDA=∠FCE=60°,
∴∠AEC=∠ABC+∠EAD, ∵BD=BE,BA=BC,
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC, ∴BD-BA=BE-BC.
∠ABC=∠AEF=60°. 即AD=EC.
∴∠EAD=∠FEC, 在△ADE 与△ECF 中,
∵CF 平分等边△ABC 外角∠ACG, ì∠EDA=∠FCE=60°
∴∠ACF=∠FCG=60°. ∵ íAD=EC ,
∵∠ADE+∠BDE=180°, ∠EAD=∠FEC
·11·
∴△ADE≌△ECF(ASA), 等也可得到AC=CD)
∴AE=EF. ∵∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE
③“点E 是线段BC 反向延长线上的任 =90°,∠CAD=∠DAB.
意一点”如图3,过点E 作ED∥AC 交AB ∴∠ACE=∠ABE,
延长线于点D,则△BDE 是等边三角形. ∴AC=AB.(注:证全等也可得到AC=
AB)
∴AB=CD.
(2)∵∠BAC=2∠MPC,
又∵∠BAC=2∠CAD,
∴∠MPC=∠CAD.
∵AC=CD,图3 ∴∠CAD=∠CDA.
∵∠ABC 是△ABE 的外角, ∴∠MPC=∠CDA.
∴∠ABC=∠AEB+∠EAD=60°. ∴∠MPF=∠CDM.
∵∠AEF=∠AEB+∠FEC=60°. ∵AC=AB,AE⊥BC,
∴∠EAD=∠FEC. ∴CE=BE.(注:证全等也可得到CE=
∵CF 所 在 直 线 平 分 等 边 △ABC 外 BE)
角∠ACG, ∴AM 为BC 的中垂线,
∴∠ECF=∠GCH=60°. ∴CM=BM.(注:证全等也可得到CM
∵△BDE 是等边三角形, =BM)
∴∠ADE=60°. ∵EM⊥BC,
∴∠EDA=∠FCE=60°. ∴EM 平分∠CMB.(等腰三角形三线合
∵BA=BC,BD=BE, 一)
∴BA+BD=BC+BE. ∴∠CME=∠BME.(注:证全等也可得
即:AD=EC. 到∠CME=∠BME )
在△ADE 与△ECF 中, ∵∠BME=∠PMF,
ì∠ADE=∠ECF=60° ∴∠PMF=∠CME,
∵ íAD=EC , ∴∠MCD=∠F.
∠EAD=∠FEC 6.解:(1)证 明:由 旋 转 知 △BOC
∴△ADE≌△ECF(ASA). ≌△ADC,
∴AE=EF. 所以 OC=DC,所以△COD 是等腰三
5.解:(1)证明:∵AF 平分∠BAC, 角形,
1 又∠OCD=60°,
∴∠CAD=∠DAB=2∠BAC. ∴△COD 是等边三角形.(有一个角是
∵D 与A 关于E 对称, 60°的等腰三角形是等边三角形)
∴E 为AD 中点. (2)解:当α=150°,即∠BOC=150°时,
∵BC⊥AD, △AOD 是直角三角形.
∴BC 为AD 的中垂线, ∵△BOC≌△ADC,
∴AC=CD. ∴∠ADC=∠BOC=150°.
在Rt△ACE 和Rt△ABE 中,(注:证全 又∵△COD 是等边三角形,
·12·
∴∠ODC=60°.∴∠ADO=90°. (2)原命题为真命题.逆命题是:平行四
即△AOD 是直角三角形. 边形的对角线互相平分,为真命题.
(3)解:① 要 使 AO=AD,需 ∠AOD 点评:要写出一个命题的逆命题,首先应
=∠ADO. 找出原命题的条件和结论,然后将它们互换
∵∠AOD=190°-α,∠ADO=α-60°, 位置 得 到 逆 命 题.也 可 以 先 改 写 成“如 果
∴190°-α=α-60°. ……,那么……”形式,再写出它的逆命题.
∴α=125°. 变式练习 解:(1)假命题.
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO. 反例:a=2,b=-3,有a>b,但a
2, (2)逆命题:若
2 2,则
∵△ABC 是等边三角形 a >b a>b.
, 此命题为假命题∴∠ABC=∠BAC=60° .
反例:a=-2,b=-1,有a2>b2,但a
∴∠ABC+∠BAC=120°.
∵∠AOB=110°, 【巩固练习】
∴∠BAO+∠ABO=70°,
1.(1)两直线平行 内错角相等 内错
∴∠CAO+∠CBO=120°-70°=50°. 角相等 两直线平行
∵∠CBO=∠DAC, (2)a>0,b>0 ab>0 如果ab>0,则
∴∠DAC+∠CAO=50°, a>0,b>0
即∠OAD=50°. 2.(1)如果a2=b2,那么a=b;
∵∠ADO=α-60°, (2)相等的两个角是同一个角的余角;
∴α-60°=50°. (3)如果a=b,那么|a|=|b|;
∴α=110°. (4)有两个角相等的三角形是等腰三
③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD. 角形.
1 (
∠AOD = ×[180°-(α-60)°] 3.1
)当c=0时,ac=bc;
2 (2)如图,∠1=∠2=90°,但∠1与∠2
1
=120°- α. 不是对顶角;2
α
∴190°-α=120°-2.∴α=140°.
综上所述:当α 的度数为125°,或110°,
(3)如图,∠1与∠2是同旁内角,但∠1
或140°时,△AOD 是等腰三角形.
与∠2不互补.
2.5 逆命题和逆定理
【典型例题】
例 解:(1)原命题为假命题.
反 例:如 图,AD ∥BC,则 S△ABC =
S△DBC,但它们不一定全等;逆命题是:全等三 4.如图,∠1的两边与∠2的两边互相平
角形的面积相等,为真命题;
行,但∠1与∠2不相等.
·13·
5.(1)原命题为真命题;逆命题:如果一 3.(1)作点D 关于AB 的对称点E,连结
个三角形一边上的中线等于这条边的一半, CE 交AB 于点P,此时PC+PD 的值最小.
那么这个三角形是直角三角形;逆命题是真 (2)PC+PD 的最小值为8.
命题. 4.作图方法如下:如图,作线段BB'∥l,
(2)原命题是假命题;逆命题:如果两个 使BB'=s,且点B'在点B 的左侧.取点A 关
三角形全等,那么这两个三角形的一条边和 于直线l的对称点A',连结 A'B',交直线l
这条边上的中线对应相等;逆命题是真命题. 于点C,在直线l上点C 右侧截取CD=s,则
6.如图,在△BAC 和△BAD 中, CD 即为所求作的绿化带的位置.
ìAB=AB
íAC=AD ,
∠B=∠B
但△BAC 和△BAD 不全等,
∴是假命题.
2.6 直角三角形
【典型例题】
微探究 最短路径问题 例1 证明:取BE 的中点F,连结DF.
在Rt△BDE 中,∵点F 为BE 中点,
【典型例题】 1
例1 ∠AOB=30°. ∴DF=BF= ,2BE
变式练习1 略 ∴∠CBD=∠BDF,
变式练习2 60° ∴ ∠CFD = ∠CBD + ∠BDF =
例2 作 MM'⊥AP,且 M'M =河宽,作 2∠CBD.
NN'⊥AK,且 NN'=河宽,连结 M'N'与河 ∵BD 平分∠ABC,
岸相交于 D,F 两点,作 DC⊥AP,EF⊥ ∴∠ABC=2∠CBD,
AK,CD,EF 即为所求造的桥使得M 到N ∴∠CFD=∠ABC.
路程最短. 又AB=AC,
变式练习3 略 ∴∠ABC=∠C,即∠CFD=∠C,
【巩固练习】
, 1
1.作C 点关于OA 的对称点C ,作D 点 ∴CD=DF ∴CD=2BE.1
关于OB 的对称点D1,连结C1D1,分别交 例2 解:过点E 分别作AD,BC 的平行线
OA,OB 于P,Q,那么小明沿C→P→Q→D EG,EH,分别交CD 于点G,H,
的路线行走,所走的总路程最短. 则可得 AEGD, BEHC,
2.(1)取线段AB 的中点G,过中点G 画 ∴AE=DG,BE=CH.
AB 的垂线,交EF 于P,则P 到A,B 的距离 ∵点E,F 分别为中点,
相等. (2)画出点A 关于河岸EF 的对称点 ∴AE=BE,DF=CF.
A',连结A'B 交EF 于P,则P 到A,B 的距 ∴DF-DG=CF-CH,
离和最短. 即GF=HF.
·14·
又 1 1∵EF= (CD-AB)= GH,
1
2 2 ∴CE=AE=2AC.
∴△EGH 为直角三角形(此处运用了直 由(1)得BF=AC,
角三角形斜边中线定理的逆定理,该逆定理 1 1
∴CE=2AC= BF.的证明过程请同学们自己完成). 2
∴ ∠C + ∠D = ∠EHG + ∠EGH 7.解:(1)∵AD⊥AB,
=90°. ∴∠BAD=90°.
【巩固练习】 ∵点E 是BD 的中点,
1.8 2.30° 3.6.5 13 1∴AE=BE=2BD.
4.如图,BE 是角平分线,ED⊥AB.
∴∠B=∠BAE.
∵∠AEC=∠B+∠BAE,
∴∠AEC=∠B+∠B=2∠B.
∵∠C=2∠B,
∴∠AEC=∠C.
5.解:∵BF,CE 是△ABC 的高线, (2)由(1)得AE=AC,
∴∠BFC=∠BEC=90°. 又 1∵AE= BD,
又∵点D 是 △ABC 边BC 上的中点, 2
1 1 1
∴DE= BC,DF= BC, ∴2BD=AC
,
2 2
即DE=DF. ∴BD=2AC.
, 8.提示:(1)OD=CE,∵点 H 是 的中点
问题的实质是
FE
∴DH⊥EF. 22OE2=OC2,OE= OC. (2)通过作辅助
6.解:(1)∵∠ABC=45°,CD⊥AB, 2
线,将问题转化为第()问就可解决
∴△BCD 是等腰直角三角形. 1 .
∴BD=CD. 2.7 探索勾股定理(1)
在Rt△DFB 和Rt△DAC 中,
【典型例题】
∠DBF=90°-∠BFD,
例
, 1 16 ∠DCA=90°-∠EFC
变式练习1 4
又∵∠BFD=∠EFC,
例2 ①B ②没有考虑到a2-b2=0的情
∴∠DBF=∠DCA.
况
, , ③△ABC
是直角三角形或等腰三角形
∵∠BDF=∠CDA=90°BD=CD
变式练习2 直角三角形
∴Rt△DFB≌Rt△DAC.
∴BF=AC. 例3 (1)55cm (2)2 34cm
(2)在Rt△BEA 和Rt△BEC 中, 变式练习3 B
∵BE 平分∠ABC, 【巩固练习】
∴∠ABE=∠CBE. 1.A 2.D 3.C 4.2 13,2 10或32
∵BE=BE,∠BEA=∠BEC=90°, 5.25 6.20cm
∴Rt△BEA≌Rt△BEC. 7.42或x≥8
·15·
8.(1)a2+b29.(1)
75
6 (2) ∴DE=DE'.16 (2)证明:如图所示,把△CBE 逆时针旋
10.(1)△ABC 的面积为
7
. 转90°,连结DE',2
(2)①
②8 (3)31 ∵BA=BC,∠ABC=90°,
2.7 探索勾股定理(2) ∴∠BAC=∠BCE=45°
,
∴图形旋转后点C 与点A 重合,CE 与
【典型例题】 AE 重合,
例1 90° ∴AE'=EC,
变式练习1 90° ∴∠E'AB=∠BCE=45°,
例2 略 ∴∠DAE'=90°,
在
变式练习 1602 Rt△ADE'
中,
3 DE'2=AE'2+AD2.
例3 6.5 ∵AE'=EC,
变式练习3 135° ∴DE'2=EC2+AD2.
【巩固练习】 同(1)可得DE=DE'.
1.D 2.D 3.D 4.D 5.45° 6.3 ∴DE'2=AD2+EC2.
48 2 2 2
7.5 8.13800m
2 ∴DE =AD +EC .
9.(1)n2-1 2n n2+1 (2)是直角三 2.8 直角三角形全等的判定
角形,因为(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2 【典型例题】
10.2 11.150° 例1 解:通过观察与分析,可以判断 HG
12.(1)6 12 (2)6秒或
12秒
5 =HB.
理由如下:
1
13.(1)证明:∵∠DBE=2∠ABC
, 连结AH,
1 ∵四边形ABCD,AEFG 都是正方形,
∴∠ABD+∠CBE=∠DBE= ∠ABC,2 ∴∠B=∠G=90°.
∵△ABE'由△CBE 旋转而成, 由题意知AG=AB,
∴BE=BE',∠ABE'=∠CBE, 而AH=AH,
∴∠DBE'=∠DBE, ∴Rt△AGH≌Rt△ABH(HL).
在△DBE 与△DBE'中, ∴HG=HB.
ì BE=BE' 例2 解:①当点M 运动到AC 的中点时,
í∠DBE=∠DBE', 即AM=8时,如图①,
BD=BD 由AM=8=CB,MN=BA,
·16·
∴Rt△MAN≌Rt△BCA(HL); ∴∠BDE=∠CDE=180°-120°=60°.
∴DE 平分∠BDC.
(2)连结CM,如图.
图① 图② ∵DC=DM,
②当点M 运动到与C 点重合时, ∠CDM=60°.
即AM=16时, ∴△CDM 为等边三角形.
如图②,由AM=16=CA,MN=AB, ∴∠BDC=∠EMC=120°.
∴Rt△MAN≌Rt△ACB(HL). ∵EC=CA,∠CAD=∠CBD,
变式练习 OP 的长度没有发生变化.理由: ∴∠E=∠DBC,
直角三角形斜边上中线等于斜边的一半. ∴△BDC≌△EMC,
【巩固练习】 ∴ME=BD.
1.D 2.D 3.AC=AD 或BC=BD 6.连结 AD,先证△BED≌△CFD,再
4.证明:∵△ABC 是等边三角形, 证△AED≌△AFD.
∴∠B=∠C=60°. 7.(1)成立,证明如下:
又∵DE⊥BC,EF⊥AC, ∵∠BCA=90°,
∴∠DEB=∠EFC=90°, ∴∠BCE+∠ACF=90°,
且∠FEC=∠EDB=30°, ∵∠BEC=∠CFA=α=90°,
∴∠DEF=60°. ∴∠ACF+∠CAF=90°,
在Rt△BDE 和Rt△CEF 中, ∴∠BCE=∠CAF,
∵ ∠B = ∠C,BE = CF,∠DEB ì∠BEC=∠CFA=90°,
=∠EFC, ∵ í∠BCE=∠CAF,
∴Rt△BDE≌Rt△CEF,∴DE=EF. BC=CA,
∴△DEF 是等边三角形(有一个角等于 ∴△BEC≌△CFA,
60°的等腰三角形是等边三角形). ∴BE=CF,CE=AF,
5.证明:(1)∵△ABC 为等腰直角三角 ∴EF=CF-CE=BE-AF.
形,∠CAD=∠CBD=15°, (2)成立,证明如下:
∴AC=BC, ∵∠BCA=60°,
∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°. ∴∠BCE+∠FCA=60°,
∴DA=DB,∠ADB=120°, ∵∠BEC=∠CFA=120°,
又DC=DC, ∴∠FCA+∠FAC=60°,
∴△ACD≌△BCD. ∴∠BCE=∠CAF.
∴∠ACD=∠BCD=45°. ∵∠BEC=∠CFA,
∴∠CDB=∠CDA=∠180°-15°-45° ∠BCE=∠CAF,BC=CA,
=120°=∠ADB. ∴△BCE≌△CAF,
·17·
∴BE=CF,CE=AF, 例2 提示:过点P 分别作PD⊥BC,PE⊥
∴EF=CF-CE=BE-AF. AC,PF⊥AB,先说明 PE=PF,进而说明
8.能实现. AP 平分∠BAC.
理由:∵AB=AC, 变式练习3 50°
∠AEB=∠ADC=90°, 变式练习4 45°
∠BAE=∠CAD, 【巩固练习】
∴△ABE≌△ACD. 1.D 2.A 3.B 4.B 5.2 6.2
∴AD=AE. 7.(1)4cm (2)略
∵AO=AO, 8.(1)AB=AC+CD,提示:在AB 上截
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL), 取AE=AC.
∴∠DAO=∠EAO. (2)CD=AB+AC,提示:在AE 上截取
专题拓展 勾股定理的实际应用 AG=AC.
【 】 9.(
1
夯实基础 1)∠1=90°- 2 ∠EDC=90°-
1.B 2.A 3.15 4.13 5.540 1( 1 1180°-∠1-∠2)= ∠1+ ,化简【典型例题】 2 2 2∠2
例1 能装进行李箱,理由略 可得∠1=∠2.
变式练习1 11≤a≤12 (2)提示:延长DB 至F,使得BF=BD,
例2 15厘米 连结 AF.证△ADB≌△AFB,再证△AED
变式练习2 6 13厘米 ≌△ACF.
变式练习3 A 10.(1)120° (2)成立,证明略 (3)EF
例3 7200元 =DF,提示:在 AC 上截取AG=AE,连结
变式练习4 OM=15米 MN=2米 FG,先 证 △AEF ≌ △AGF,再 证 △FGC
【巩固练习】 ≌△FDC.
1.A 2.B 3.B 4.15 5.30 6.30cm 专题拓展 与角平分线和垂直平
或10 41cm 7.180m2 8.8m 9.10km 分线相关的问题
10.7米 420元 11.(1)能,办法略 (2)
垂直 【夯实基础】
1.C 2.B 3.45° 4.①③
微探究 角平分线的性质 【典型例题】
【典型例题】 例1 证明:连结BD,CD,
例1 提示:证△CDF≌△EDB(SAS). ∵点D 是∠BAC 的平分线上的一点,
变式练习1 提示:过点D 作DG⊥BC,垂足 DG⊥AB,DH⊥AC,
为G,作 DH⊥AB,垂足为 H,证△DGC≌ ∴DG=DH.
△DHA(HL). ∵点D 是BC 的垂直平分线上的一点,
变式练习2 提示:过点D 作DF⊥AB,垂足 ∴DB=DC.
为F,作DG⊥BC,垂足为G,过点E 作EH ∴Rt△BGD≌Rt△CHD,
⊥AB,垂足为 H,先证△AEH≌△CDG,再 ∴BG=CH.
证△EHK≌△DFK. 变式练习1 提示:延长DB 至E,使得BE=
·18·
AB,通过等腰三角形的性质及全等三角形 例2 (1)能 (2)∵AA1=A1A2,∴∠A=
可证. ∠AA2A1,∵A1A2⊥A2A3,A1A2=A2A3,
例2 提示:作EM⊥AC 于点M,作EN⊥ ∴∠A2A1A3=45°,∠A=22.5°.
BC 于点N. (3)θ1=2θ,θ2=3θ,θ3=4θ
变式练习2 提示:延长CB 到F,使 AC=
() {4θ<90°CF,连结EF. 4 由题意得 ,∴18°≤θ<22.5°.5θ≥90°
【巩固练习】
变式练习2 12°
1.C 2.D 3.50° 4.12° 5.10 【巩固练习】
6.∠AED=45°,恒定不变
1.C 2.B 3.①三角形中有一个角是
专题拓展 等腰三角形操作 另一个角的三倍,分割三倍的那个角;②三角
探究类问题 形中有一个角是直角,分割直角;③三角形中
【 】 有一个角是另一个角的两倍,且第三个角要夯实基础
1.D 2.D 3.7 4.16 5.15 大于45°,分割第三个角.
【典型例题】 4.(1)=
例1 (1)如图: (2)= ∵△ABC 为等边三角形,
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°.
∵△AEF 为等边三角形,
∴∠EFC=∠EBD=120°,EF=AE,
∵ED=EC,
∴∠EDB=∠ECB,∠ECB=∠FEC.
∴∠EDB=∠FEC.
在△BDE 和△FEC 中,
(2)如图①,当AD=AE 时,∵2x+x= ì ∠EBD=∠EFC
30°+30°,∴x=20°;如图②,当AD=DE 时, í∠EDB=∠FEC
∵30°+30°+2x+x=180°,∴x=40°. ∠ED=EC
∴△BDE≌△FEC(AAS)
∴BD=EF,
∴AE=BD.
(3)当E 在BA 的延长线上时,如图1,
① 过点E 作EF⊥CD 于F.
∵在Rt△BEF 中,
∠EBF=60°,BE=1+2=3,
∴BF=1.5,
∴CF=1.5-1=0.5,
∴CD=0.5×2=1.
② 同理,当 E 在AB 的延长线上时,如图
180° 2,可求得CD=3.变式练习1 90°或36°或108°或 7 . 故CD 的长为1或3.
·19·
BD+AD=AB Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立.新的结
论是AF=AB+BF';证明△BCF'≌△ACD
(SAS),∴BF'=AD;又由(2)知,AF=BD;
∴AF=AB+BF'.
变式练习2 10图1 图2
【巩固练习】
专题拓展 特殊的三角形 1.A 2.4 3.6 4.2n 5.1
6.(1)略 (2)结论【 】 AD+AB=AC
成
夯实基础
立,提示:在AN 上截取AE=AC,连结CE,
1.C 2.C 3.80°或50°或20° 4.75°
证明△ADC≌△EBC.
5.130°
【 】 7.
(1)α+ =180°,提示:证△ABD≌
典型例题 β
△ACE. (2)α= ,证明过程略. (3)画图
例1 解:(1)∵AD⊥AB,E 是BD 的中点, β
略,α= .
∴AE=BE,∴∠B=∠BAE, β
∴∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B. 周末拓展 特殊三角形章拓展
又∵∠C=2∠B,∴∠AEC=∠C.
1.D 2.B 3.A 4.A 5.B 6.D
(2)∵∠AEC=∠C,∴AE=AC.
7.D 8.B
又∵BD=2AE,∴BD=2AC.
( 10 103)∵BE=DE=AE, 9.63°或27° 10. 3 11.2 2
∴BD=6.5×2=13. 12.45° 13.100°或115°或130°(任选一个)
又∵AD⊥AB,AD=5, 14.-25 15.50° 16.20
∴AB= 132-52=12. 17.(1)证明:∵AB=DC,
∴△ABE 的周长为:6.5+6.5+12=25. ∠A=∠D,
变式练习1 ∵AD 平分∠C,∠C=90°,DE ∠AEB=∠DEC,
⊥AB, ∴△ABE≌△DCE.
∴∠CAD=∠BAD,∠C=∠AED, (2)∵△ABE≌DCE,∴BE=CE.
又∵AD=AD, ∴∠EBC=∠ECB.
在△CAD 和△EAD 中,∠C=∠DEA, ∵∠AEB=50°,
∠CAD=∠DEA,AD=AD. ∠AEB=∠EBC+ ∠ECB,
∴△CAD≌△EAD, ∴∠EBC=25°.
∴AC=AE,CD=DE. 18.解:(1)∵三 角 形 ABC 为 等 边 三
∵AC=BC,∴BC=AE. 角形,
∴△DEB 的周长=DB+DE+EB= ∴∠A=∠B=∠ACB=60°,
DB+CD+EB=CB+BE=6cm. ∵DE∥AB,
例2 (1)AF=BD;证 明△BCD≌△ACF ∴∠EDF=∠B=60°,
(SAS),进而可得BD=AF (2)AF=BD 仍 ∠DEC=∠A=60°,
然成立 (3)Ⅰ.AF+BF'=AB;证明△BCD≌ ∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°,
△ACF(SAS),则BD=AF;同理△BCF'≌ ∴∠F=180°-∠DEF-∠EDF=30°.
△ACD(SAS),则BF'=AD,∴AF+BF'= (2)∵∠DEC=60°,∠DEF=90°,
·20·
∴∠CEF=30°=∠F,∴CE=CF, =30°.
又∵∠EDF=∠CED=∠ACB=60°, ∴∠DCE=∠FCE.
∴△CDE 为等边三角形,∴CD=CE, 在 △DCE 和 △FCE 中,CD =CF,
∴DF=DC+CF=DC+CE=2CD, ∠DCE=∠FCE,CE=CE,
∵CD=2,∴DF=4. ∴△DCE≌△FCE(SAS),∴DE=EF.
19.证明:(1)∵BD⊥直线 m,CE⊥直 (2)①∠EAF=90°
线m, ②AE2+DB2=DE2.提示:证出∠DCE
∴∠BDA=∠CEA=90°. =∠FCE,由SAS 证明△DCE≌△FCE,得
∵∠BAC=90°, 出DE=EF;在Rt△AEF 中,由勾股定理得
∴∠BAD+∠CAE=90°. 出AE2+AF2=EF2.
∵∠BAD+∠ABD=90°, 21.解:(1)在图中画线段如下图所示(图
∴∠CAE=∠ABD. 中BD)这两个等腰三角形的顶角的度数分别
又AB=AC, 是36°和108°.
∴△ADB≌△CEA.
∴AE=BD,AD=CE.
∴DE=AE+AD=BD+CE;
(2)∵∠BDA =∠BAC=α,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=
180°-α. (2)在图中画两条线段如下图所示,四个
∴∠DBA=∠CAE, 等 腰 三 角 形 分 别 是:△ABD,△BCD,
∵∠BDA=∠AEC=α,AB=AC, △BEC,△CED.
∴△ADB≌△CEA.
∴AE=BD,AD=CE.
∴DE=AE+AD=BD+CE.
(3)由(2)知,△ADB≌△CEA,
BD=AE,∠DBA =∠CAE.
∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形, (3)2n n
∴∠ABF=∠CAF=60°. 22.解:(1)∵点M 为DE 的中点,
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF. ∴DM=ME.
∴∠DBF=∠FAE, ∵AD∥EN,
∵BF=AF. ∴∠ADM=∠MEN,
∴△DBF≌△EAF, 又∵∠DMA=∠EMN,
∴DF=EF,∠BFD=∠AFE. ∴△DMA≌△EMN,
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA ∴AM=MN,
+∠BFD=60°. 即M 为AN 的中点.
∴△DEF 为等边三角形. (2)由(1)中△DMA≌△EMN 可知DA
20.解:(1)①∠EAF=120° =EN,
②DE=EF,理由如下: 又∵DA=AB,
∵∠DCF=60°,∠DCE=30°,∴∠FCE ∴AB=NE,
·21·
∵∠ABC=∠NEC=135°,BC=CE, ∴∠A=∠D,
∴△ABC≌△NEC, ì∠A=∠D
∴AC=CN,∠ACB=∠NCE, 在△ABC 和△DEF 中,í∠B=∠E,
∵∠BCE=∠BCN+∠NCE=90°, AC=DF
∴∠BCN+∠ACB=90°, ∴△ABC≌△DEF(AAS).
∴∠ACN=90°, (3)解:如图,△DEF 和△ABC 不全等.
∴△CAN 为等腰直角三角形.
(3)由(2)可知AB=NE,BC=CE.
又∵∠ABC=360°-45°-45°-∠DBE
=270°-∠DBE=270°-(180°-∠BDE-
∠BED)=90°+∠BDE+∠BED=90°+
∠ADM-45°+∠BED=45°+∠MEN + (4)∠B≥∠A
∠BED=∠CEN, 24.证明:如图,(1)∵∠BAC=90°,AF
∴△ABC≌△NEC, ⊥AE,
再同(2)可 证 △CAN 为 等 腰 直 角 三 ∴∠1+∠EAC=90°,
角形, ∠2+∠EAC=90°,
∴(2)中的结论仍然成立. ∴∠1=∠2.
23.解:(1)HL 又∵AB=AC,
(2)证明:如图,过点C 作CG⊥AB 交 ∴∠B=∠ACB=45°.
AB 的延长线于G,过点 F 作FH ⊥DE 交 ∵FC⊥BC,
DE 的延长线于H, ∴∠FCA =90°- ∠ACB =90°-45°
=45°,
∴∠B=∠FCA.
∴△ABE≌△ACF(ASA).
∴BE=CF.
∵∠B=∠E,且∠B、∠E 都是钝角,
∴180°-∠B=180°-∠E,
即∠CBG=∠FEH,
在△CBG 和△FEH 中,
ì ∠CBG=∠FEH
í∠G=∠H=90°, (2)①过E 作EG⊥AB 于点G.
BC=EF ∵∠B=45°,
∴△CBG≌△FEH(AAS), ∴△GBE 是等腰直角三角形,
∴CG=FH, ∴BG=EG,∠3=45°.
在Rt△ACG 和Rt△DFH 中, ∵AD⊥BC,AE 平分∠BAD,
{AC=DF, ∴EG=ED,∴BG=ED.CG=FH ∵BM=2ED,∴BM=2BG,
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL), 即G 是BM 的中点.
·22·
∴GE 是BM 的垂直平分线, 9.71° 10.42 11.AB=DE;∠A=
∴EB=EM,∴∠4=∠3=45°. ∠D;∠ACB=∠DFE;AC∥DF(答案不唯
∴∠MEB=∠4+∠3=45°+45°=90°,
一) 或5或 65
即ME⊥BC. 12.25 2 2 13.8 14.BC=
②∵AD⊥BC,∴ME∥AD, DC(或∠BAC=∠DAC) 15.2×31007
∴∠5=∠6. 16.(1)证明:在四边形ABCD 中,
∵∠1=∠5,∴∠1=∠6,∴AM=EM. ∵∠A=∠BCD=90°,
∵MC=MC, ∴∠B+∠ADC=180°.
∴Rt△AMC≌Rt△EMC(HL). 又∵∠ADC+∠EDC=180°,
∴∠7=∠8. ∴∠ABC=∠EDC.
∵∠BAC=90°,AB=AC, (2)证明:连结AC.
∴∠ACB=45°,
∠BAD=∠CAD=45°,
∴∠5=∠7=22.5°,AD=CD.
∵∠ADE=∠CDN=90°,
∴△ADE≌△CDN(ASA).
∴DE=DN. ìBC=DC
25.① ∵ í∠ABC=∠EDC,
AB=DE
∴△ABC≌△EDC.
, , , 17.解:()点 的位置如图所示( 为如上图 AB=AC=10cm AD=6cm 1 D D
中垂线与
CD=4cm, AB BC
的交点).
∴BC=45cm.
②
如上图,AB=AC=10cm,BD=DC= (2)∵在Rt△ABC 中,∠B=37°,
6cm, ∴∠CAB=53°.
∴BC=12cm. 又∵AD=BD,
③ ∴∠BAD=∠B=37°.
∴∠CAD=53°-37°=16°.
18.解:(1)答 案 不 唯 一,以 下 答 案 供
如上图,AD=6cm,AB=AC=10cm, 参考:
∴BC=85cm.
期中测试卷
1.D 2.A 3.A 4.D 5.B 6.D
7.B 8.A
·23·
即DB⊥AC,DB 平分AC.
21.解:(1)∵AB=AC,∠A=60°,
∴△ABC 是等边三角形.
∵AB=4,D 为BC 中点,∴BD=2.
由四边形AEDF 的内角和为360°,
可知DE⊥AB,故BE=1.
(2)取AB 的中点G,连结DG.
易证:DG 为△ABC 的中位线,
(2) (3)
故DG=DC,∠BGD=∠C=60°.
又四边形AEDF 的对角互补,
故∠GED=∠DFC.
∴△DEG≌△DFC.
故EG=CF.
19.证明:(1)∵CE=DE,
1
∴∠ECD=∠EDC. ∴BE+CF=BE+EG=BG=2AB.
∵AB∥CD, (3)取AB 的中点G,连结DG.
∴∠AEC=∠ECD,∠BED=∠EDC, 同(2),易证△DEG≌△DFC.
∴∠AEC=∠BED. 故EG=CF.
(2)∵E 是AB 的中点, 1
∴AE 故=BE. BE-CF=BE-EG=BG=2AB.
∵CE=DE,∠AEC=∠BED, 设CN=x,由题意可得,
∴△ACE≌△BDE(SAS). 在Rt△DCN 中,CD=2x,DN= 3x.
∴AC=BD.
在Rt△DFN 中,NF=DN= 3x,
20.解:结 论:①∠DAB=∠DCB;②
; , 故EG=CF=(BD 平分∠ADC 和∠ABC ③DB⊥AC DB 3-1
)x.
平分AC. BE=BG+EG=DC+CF=2x+(3-
结论①证明: 1)x=(3+1)x.
ìAB=CB 故 BE+CF=(3+1)x+(3-1)x
在△ABD 与△CBD 中,∵ íAD=CD,
=23x. DB=DB
3(∴△ABD≌△CBD. BE-CF
)=3[(3+1)x-(3-1)x]
∴∠DAB=∠DCB. =23x.
结论②证明:同上△ABD≌△CBD. 故BE+CF= 3(BE-CF).
∴∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD.
即: 第 章 一元一次不等式BD 平分∠ADC 和∠ABC. 3
结论③证明:∵AD=CD,
∴点D 在线段AC 的垂直平分线上. 3.1 认识不等式
同理:点B 在线段AC 的垂直平分线上, 【典型例题】
∴BD 是线段AC 的垂直平分线. 例1 解:(1)12·24·
比较,即当a-b>0时,a>b;当a-b=0时,
a=b;当a-b<0时,a(2)①②发电机不能正常工作,③④发电
差法比较大小.此题也可用特殊值法,如令m
机能正常工作.
4 5
变式练习1 -1,所以
3 A>C
变式练习2 (1)正常范围:18≤x≤24 数 >B.
轴略 (2)①②④不正常,③正常 (3)略 例2 B 解答类似的问题要弄清不等号的
例2 解:∵x-y=-3,∴x=y-3. 方向是否改变,不等号的方向不变则逆用不
又∵x<-1,∴y-3<-1,∴y<2. 等式的基本性质1或基本性质2;不等号的方
又∵y>1,∴1同理得-2由①+②得1-2
∴x+y 的取值范围是-1变式练习3 1≤k<3 【巩固练习】
【巩固练习】 1.B 2.C 3.C 4.D 5.(1)< 性
1.D 2.C 3.A 4.B 5.x>49 质2 (2)> 性质3 (3)> 性质3 (4)
6.x=-2,-1 < 性质3 6.(1)> (2)> (3)> (4)
7.解:(1)根据题意得:|a-1|<3,得出 ≥ (5)≥ (6)<
-27.(1)> (
5
() () : 2
)< 8.-2 9. 2 由 1 得 只有0所对应的点到B 点 2
的距离小于3. 08.2≤k<3 10.(1)a-19.解:∵2a+b=12,a≥0,b≥0, (3)-2a>-2b
∴2a≤12.∴a≤6.∴0≤a≤6. 11.不一定.当a>0时,a>-a;当a<0
由2a+b=12得:b=12-2a,将b=12 时,a<-a;当a=0时,a=-a.
-2a 代入P=3a+2b 得:P=3a+2(12- 12.解:∵x2a)=24-a. ∴-2x>-2y(不等式性质3),
当a=0时,P 有最大值,最大值为 P ∴ -2x+3>-2y+3(不等式性质2).
=24. 13.(1)∵B-A=(a-1)2+2>0,
当a=6时,P 有最小值,最小值为 P ∴B>A;
=18. (2)∵C-A=(a+7)(a-3),且a>2,
10.(1)> (2)= (3)< (4)(4+3a2 ∴a+7>0,从而当2C,当a
-2b+b2)-(3a2-2b+1)=b2+3>0,所以 =3时,A=C;当a>3时,A4+3a2-2b+b2>3a2-2b+1. 14.a≥4.
15.(1)解:x2≥1+a.
3.2 不等式的基本性质 ①a≤-1时,解集为全体实数;
【典型例题】 ②a>-1时,解集为x≥ 1+a或x≤
例1 B 应用不等式的基本性质1比较a - 1+a.
和b的大小时,可转化为代数式a-b与0的 (2)解:移项得:(m-3)x<-3.
·25·
当 时, -3 68
元.
m>3 x< ;m-3 变式练习5 3当m=3时,不等式无解; 【巩固练习】
当m<3时,
-3
x>m-3. 1.D 2.C 3.500 4.m≥-4 5.21
16.(1)-10 6.24
17.提示:三式相乘得(abc)2>1,故abc 7.解:(1)由①得:
2-a
x< ,由②得:3 x<
>1或abc<-1.
1,由两个不等式的解集相同,得到2-a3.3 一元一次不等式及其解法 3 3 =
3.4 一元一次不等式的应用 1,解得:
3 a=1.
【典型例题】 (2)由不等式①的解都是②的解,得到
例1 解方程组得x=2a+1,y=2a-2,∵x 2-a 1
+y<3,∴2a+1+2a-2<3,即4a<4,∴a ≤ ,解得:3 3 a≥1.
<1. 8.相减得:x+y=-2,代入得:x=p+
变式练习1 x<0 5,得y=-p-7,因 为 x>y,所 以 p+
变式练习 42 m≥- 5>-p-7,解得p>-6.3 9.解:(1)+ - + (2)-2例2 解:3x-a≤0,移项得,3x≤a, 或3系数化为1得,
a
x≤3 3.5 一元一次不等式组
【典型例题】
∵不等式3x-a≤0的正整数解恰是1,
例 m+61 解:由3x-m>6移项得,x> 3
2,3,
a
∴3≤ <4时,即9≤a<12时,不等式3
由1 解得, ,
3x-a≤0的正整数解恰是1,2,3. 2
x>3m+1 x>6m+2
变式练习3 6≤a<9 当m+6① >6m+2,即3 m<0
,
变式练习4 4
例3 解:设1月份的零售票的票价不能低于 m+6∴
, , : 3
=1
每张x 元 总票数a 张 根据题意得
∴m=-3;
2 2 3 1
50× × a+x× × a ≥(
3
5 3 4 3 40×5 m+6②当6m+2> 时,即m>0,3
2 1 1
× ) ,3a+50×4×3a ×1.5 ∴6m+2=1
1
解得:40 1 121
3a+4ax ≥ a
, ∴m=- ,与m>0矛盾,
4 6
∴m 值是-3.
∵总票数a>0,解得:
2
x≥67 ;3 变式练习1 k≤-2
∵票价必须为整数, 变式练习2 -1
∴1月份的零售票的票价不能低于每张 例2 解得不等式组的解集为:2≤x·26·
为不等式组只有2个整数解, 25个;
所以这两个整数解为:2,3, 方案二:购买A 种足球26个,B 种足球
因此实数m 的取值范围是3故选C. 方案三:购买A 种足球27个,B 种足球
变式练习3 0,1 23个.
例3 解:(1)设A 型污水处理设备每周每台 (3)当购买方案中B 种足球最多时,费用
可以处理污水x 吨,B 型污水处理设备每周 最高,即方案一花钱最多.
x+2y=640
每台可以处理污水 吨,{ , ∴25×54+25×72=3150(元).y 2x+3y=1080 【巩固练习】
,{x=240解得 1.C 2.C 3.C 4.A 5.By=200 6.(1)1 1 (2)1,4,5 3
即A 型污水处理设备每周每台可以处理 (3)解:f(x)的值的个数是1+2+3+…
污水240吨,B 型污水处理设备每周每台可
( 1
以处理污水200吨. + n-1
)= ·( )2n n-1
(2)设购买 A 型污水处理设备x 台,则 7.(1)设他用x 只网箱养殖A 种淡水
购买B 型污水处理设备(20-x)台, 鱼,由题意得
{12x+10(20-x)≤230 (2.3+3)x+(4+5.5)(, 80-x)+120≥700则 240x+200(20-x)≥4500 {(2.3+3)x+(4+5.5)(80-x)+120≤720
解得,12.5≤x≤15. ì 6
: x≤42第一种方案 当x=13时,20-x=7,花 7
解得 í .
费的费用为:13×12+7×10=226万元; 2
x≥38
第二种方案:当x=14时,20-x=6,花 21
费的费用为:14×12+6×10=228万元; 又∵x 为整数,∴39≤x≤42.∴x=39,
第三种方案;当x=15时,20-x=5,花 40,41,42;所以他有4种养殖方式:
费的费用为:15×12+5×10=230万元; ①养殖A 种淡水鱼39只,养殖B 种淡
即购买A 型污水处理设备13台,则购买 水鱼41只;
B 型污水处理设备7台时,所需购买资金最 ②养殖A 种淡水鱼40只,养殖B 种淡
少,最少是226万元. 水鱼40只;
变式练习4 (1)购买一个A 种品牌的足球 ③养殖A 种淡水鱼41只,养殖B 种淡
需要50元,购买一个B 种品牌的足球需要 水鱼39只;
80元. ④养殖A 种淡水鱼42只,养殖B 种淡
(2)设第二次购买A 种足球m 个,则购 水鱼38只.
买B 种足球(50-m)个. (2)A 种鱼的利润=100×0.1-(2.3+3)
依题意得: =4.7(百元),
{(50+4)m+80×0.9(50-m)≤4500×70% B 种鱼的利润=55×0.4-(4+5.5)=50-m≥23 12.5(百元),
解得:25≤m≤27. 四种养殖方式所获得的利润:
故这次学校购买足球有三种方案: ①4.7×39+12.5×41-120=575.8(百
方案一:购买A 种足球25个,B 种足球 元),
·27·
②4.7×40+12.5×40-120=568(百 (1)当3+k>0,即k>-3时,方程有正
元), 数解.
③4.7×41+12.5×39-120=560.2(百 (2)当3+k<0,即k<-3时,方程有负
元), 数解.
④4.7×42+12.5×38-120=552.4(百 (3)当方程解不大于1时,得k≥-1或k
元). <-3.
所以A 种鱼39箱、B 种鱼41箱获得的 例3 解:(1)x> 3或x<- 3
利润最大; (2)x>a 或x<-a
(3)当a=34时,利润相等;当34 3,可
50时第④种方式利润最大;当0化为2x+1> 3①或2x+1<- 3②,解①
第①种方案利润最大.
得, 3-1,解 得, - 3-1专题拓展 不等式的解 x> 2 ② x< 2 .
【夯实基础】 故不 等 式 的 解 集 为: 3-1x> 或2 x
1.A 2.C 3.B 4.C 5.D
【典型例题】 - 3-1< 2 .
例1 (1)①
变式练习
() :( ) ( ) , 3 x>3 x>3 x>3 x>3 x2 去分母得 22x-1 - 9x+2 ≤6
>3
去括号得:4x-2-9x-2≤6,
移项得:4x-9x≤6+2+2, 解不等式
x x-3
3>1-
,
n
合并同类项得:-5x≤10, ∵n>0,∴去分母得:nx>3n-3(x-
把x 的系数化为1得:x≥-2,这个不等 3),
式的解集在数轴上的表示如图所示:
去括号,得:nx>3n-3x+9
移项,合并,得:(n+3)x>3(n+3),
(3)A 系数化为1,得:x>3;
变式练习1 (1)代入,解得
8
x= 当 , 时,x x-35 n>0x>3 3>1
,
n >0
,
() 8x 则x x-3 x x-32 ≥5 3>1>1-
,即
n 3>1- n .
(3)满足x>-9的最小整数x=-8. 【巩固练习】
例2 解:(1)方程4x+2m+1=2x+5的解 1.C 2.C 3.D 4.A 5.C 6.C
是:x=2-m. 7.m<2 8.m<1 9.m<-10
由题意,得:2-m<0,所以m>2.
10.131或26或 或
4
5
(2)去分母,得:2(x-1)>mx+1, 5
得:(2-m)x>3,因为m>2, 11.解:(1)根据题意:(-3) 4=(-3-
3 4)×4-1=-7×4-1=-29;所以2-m<0,所以x<2-m. (2)∵a b=(a-b)b-1,∴x 2=(x
变式练习2 解:将原方程变形为(3+k)x -2)×2-1=2x-4-1=2x-5,
=2. ∴2x-5<5,解得:x<5,
·28·
用数轴表示为: 客车上正好配一名随团医生,
设有a 辆大车,(11-2a)辆小车.∵要求
最后的车最少有 座上座率, ,
12.解:设A, , ,
20 30-20=10
B C D 四校的选手人数
∴最后车的空位不超过10个,0≤45a+
ìx+y=16 (11-2a),,, ×30-
(253+11)≤10,56≤15a
分别为xyzu.据题意 íy+z=20
≤66, z+u=34
由 , ∵
大客车上至少配两名随团医生,小客
x+y车上至少配一名随团医生,
所以x为整数,得 ,那么 ;
又由于人数的多少是按A,B,C,D 四校 ∵a a=4 11-2a=3
, ②若大客车上配两名随团医生,小客车的顺序选派的
上有若干辆配 名随团医生,
所以有x有
辆大客车,n 辆小客车.即2m+n
所以y>8.易得20-y=z>y,所以y <11
,
<10. ∵m、n 是正整数,∴2m+n≤10,则0≤
于是8,符合题意的有:m=2,
整数). n=6,
将y=9代入可知x=7,z=11, 租车方案为:租45座的客车4辆,30座
易得u=23. 的客车3辆或租45座的2辆,租30座的6辆.
故A 校7人,B 校9人,C 校11人,D 校 变式练习1 (1)设租甲种客车x 辆,则租乙
23人. 种客车(8-x)辆,依题意得
3 45x+30×(8-x)≥318+8
13.x<5
解得 11x≥5 ,15
专题拓展 不等式(组)的应用问题 ∵打算同时租甲、乙两种客车,
【夯实基础】 11
∴x<8,即5 1.A 2.C 3.C 4.C 15
【典型例题】 有两种租车方案:
例1 解:(1)设租甲种客车x 辆,则租乙种 租甲种客车6辆,则租乙种客车2辆,租
客车(7-x)辆,依题意,得40x+30(7-x)≥ 甲种客车7辆,则租乙种客车1辆;
253+7,解得x≥5,又x≤7,即5≤x≤7,x (2)∵6×800+2×600=6000元,7×800
=5,6,7,有三种租车方案: +1×600=6200元,
租甲种客车5辆,则租乙种客车2辆, ∴租甲种客车6辆,租乙种客车2辆;所
租甲种客车6辆,则租乙种客车1辆, 需付费最少为6000元;
租甲种客车7辆,则租乙种客车0辆; (3)设同时租65座、45座和30座的大小
(2)∵5×350+2×280=2310元,6×350 三种客车各x 辆,y 辆,(7-x-y)辆,
+1×280=2380元,7×350=2450元, 根据题意得,
∴租甲种客车5辆;租乙种客车2辆,所 65x+45y+30×(7-x-y)=318+7,
需付费最少为2310(元); 整理得:7x+3y=23
(3)①大客车上正好配两名随团医生,小 1≤x<7,1·29·
故符合题意的有x=2,y=3,7-x-y 间10间,二人普通间10间.
=2,故租车方案为:租65座的客车2辆,45 12.(1)①3 ②3.5≤x<4.5
座的客车3辆,30座的2辆. (2)解:解不等式组得:-1≤x<,
例2 解:由已知条件得: 由不等式组整数解恰有3个,得1<≤
{3a+2b=5-c ,故, 2 1.5≤a<2.52a+b=1+3c (3) 3 3x=0, ,
a=7c-3 4 2
解得{ .b=7-11c 微探究 优化方案问题
ìa≥0
则m=3c-2,由 íb≥0, 【典型例题】
c≥0 例 (1)由题意,得
ì7c-3≥0 ì600x+120(15-x)≤5000
得 ,í7-11c≥0. í 1
x≥ (15-x) c≥0 2
解得3 7≤c≤ . 解不等式组得
: 205≤x≤
7 11 3
因为x 为整数,所以x=5,
故 的最大值为 1 5
6.所以共两
m - ,最小值为11 -7. 种购票方案:
1 方案一:A 种船票5张,B 种船票10张;变式练习2 由已知得a= (2 3-c
),b= 方案二:A 种船票6张,B 种船票9张.
1( ), ,, , , (2)因为1+3c 而由abc非负 ∴0≤c≤3 ∴s B
种船票价格便宜,所以B 种
2 船票越多,总购票费用越少.所以第一种方案
=a+b+c=2c+2, 省钱,省5×600+120×10=4200(元).
∴当c=3时,s最大=2×3+2=8, 变式练习 解:(1)设打包成件的帐篷有x
当c=0时,s最小=2×0+2=2. 件,则
【巩固练习】 x+(x-80)=320(或x-(320-x)=
1.C 2.C 3.B 4.C 5.D 6.A 80)
7.x>-1 8.152 9.4 2解:2x-1 3x+210. ≤ -1 (2)设租用甲种货车x 辆,则3 4
{40x+20(8-x)≥200两边同时乘12,得 10x+20(8-x)≥120
4(2x-1)≤3(3x+2)-12 解得2≤x≤4
整理得x≥2 所以x=2或3或4,民政局安排甲、乙两
∴不等式的解集为x≥2,解集在数轴上 种货车时有3种方案.
的表示如图所示. 设计方案分别为:
①甲车2辆,乙车6辆;
50-3x ②甲车3辆,乙车5辆;
11.(1) 2 ③甲车4辆,乙车4辆.
(2)客房部只有一种安排方案:三人普通 (3)3种方案的运费分别为:
·30·
①2×4000+6×3600=29600(元); 30a+40(70-a)≤2500,解得a≥30.
②3×4000+5×3600=30000(元); 答:最 少 需 要 购 进 A 型 号 的 计 算 器
③4×4000+4×3600=30400(元). 30台.
所以 方 案 ① 运 费 最 少,最 少 运 费 是 3.解:(1)设每本文学名著x 元,动漫书
29600元. y 元,根据题意,得
【巩固练习】 20x+40y=1520,
1.解:(1)设生产A 型号玩具x 件,则生 {20x=20y+440,
产B 型号玩具(100-x)件, {x=40,解得( )
依题意:{200x+240100-x ≥22400 y=18.200x+240(100-x)≤22500 答:每本文学名著40元,动漫书18元.
解之得:37.5≤x≤40 (2)设学校要求购买文学书a 本,则动漫
∵x 取正整数 书(a+20)本,根据题意,得
∴x=38、39、40
∴该玩具商有三种生产方案: {a+20+a≥72
,
40a+18(a+20)≤2000.
①生产A 型玩具38件,B 型62件;
解得 826≤a≤28 ,
②生产A 型玩具39件,B 型61件; 29
③生产A 型玩具40件,B 型60件. 因为a 为整数,所以a=26,27,28,有三
(2)设生产 A 型号玩具x 件,该玩具商 种方案:
共获得利润W 元. 方案一:文学书26本,动漫书46本;
由题意,得 方案二:文学书27本,动漫书47本;
W=50x+60(100-x)=6000-10x 方案三:文学书28本,动漫书48本.
∴当x=38时,W 最大=5620. 4.解:(1)设该超市购进甲商品x 件,则
答:(1)该玩具商有三种生产方案:①生 购进 乙 商 品 (80-x)件,由 题 意 有 10x
产A 型玩具38件,B 型62件;②生产A 型 +30(80-x)=1600
玩具39件,B 型61件;③生产A 型玩具40 解得x=40,80-x=40
件,B 型60件. ∴购进甲、乙两种商品各40件.
(2)当生产 A 型玩具38件,B 型62件 (2)设该超市购进甲商品x 件,乙商品
时,即采用上述第一种方案生产,玩具商获得 (80-x)件,由题意可得
最大利润5620元. {10x+30(80-x)≤1640,2.(1)设A,B 型号的计算器的销售价格 5x+10(80-x)≥600
分别是x 元,y 元,得: 解得38≤x≤40,
{5(x-30)+(y-40)=76 ∵x 为非整数,,6(x-30)+3(y-40)=120 ∴x=38,39,40,相应地y=42,41,40.
{x=42 从而利润分别为5×38+10×42=610解得 ,y=56 (元),5×39+10×41=605(元),5×40+10
答:A,B 两种型号计算器的销售价格分 ×40=600(元).
别为42元、56元. ∴该超市利润最大的方案是购进甲商品
(2)设最少需要购进A 型号的计算器a 38件,乙商品42件 .
台,得: 5.解:(1)y=1000x+1200(30-x).
·31·
(2){20x+15(30-x)≥565 5辆时费用最低,最低费用为 元, 8500 .15x+25(30-x)≥500 微探究 取值范围的确定
解得23≤x≤25,
因为x 为整数,所以x=23、24、25, 【典型例题】
方案一:甲货船23艘、乙货船7艘,运费 5-3x≥0 ì 5 x≤
y=1000×23+1200×7=31400(元); 例1 解不等式组{ ,得 í 3.x-m≥0
方案二:甲货船24艘、乙货船6艘,运费 x≥m
因为不等式组有实数解,所以其解集应
y=1000×24+1200×6=31200(元);
方案三:甲货船25艘、乙货船5艘,运费 为 5 5m≤x≤ ,即m≤ .故选3 3 A.
y=1000×25+1200×5=31000(元). 3x+a<0,
∴共有3种安排方案,方案三即甲货船 例2 解不等式组{2x+7>4x-1,
25艘,乙货船5艘,运费最低,为31000元.
ì a
6.解:(1)设每千米“空列”轨道的陆地建 x<- ,得 í 3
设费用为x 亿元,则每千米水上建设费用为 x<4.
(x+0.2)亿元,根据题意得: 因为不等式组的解集为x<0,所以
a
-
24(x+0.2)+(40-24)x=60.8, 3
解这个方程得:x=1.4, =0,即a=0.故选B.
∴1.4+0.2=1.6(亿元), x-a>0例3 解不等式组 { 得a∴每千米“空列”轨道的水上和陆地建设 1-x>0
费用分别为:1.6亿元,1.4亿元. 为x 的整数解共有3个,通过数轴(如图所
(2)设施工方准备租用小车a 辆,则租用 示)可得-3≤a<-2.
大车(10-a)辆,根据题意得:
{120a+200(10-a)≥1600 ,700a+1000(10-a)≤9300 变式练习 -37 【巩固练习】
∴ ,3≤a≤5 1.A 2.D 3.A 4.D 5.a≥-1
∵a 为正数, 6.-6
∴a=3,4,5. ì 4(x+1)≤7x+10 ①
∴租车方案如下: 7.解:í x-8 x-5< ②
方案一:租3辆小车,7辆大车; 3
: 由 得方案二 租4辆小车,6辆大车; ① 4x+4≤7x+10
, ;
方案三:租5辆小车,5辆大车. -3x≤6x≥-2
由②得3x-15方案一的费用为:3×700+7×1000=
7
9100(元); 2x<7,x<2.
方案二的费用为:4×700+6×1000= 7
8800(元); ∴不等式组的解集为-2≤x<2.
方案三的费用为:5×700+5×1000= ∴不等式组的非负整数解为0,1,2,3.
8500(元). x=2m+1
8.解方程组得 ,
∴应选择方案三,即租用小车5辆,大车 {y=m-2
·32·
由题意得:2m+1>m-2>0,解得 m 由不等式组的整数解只有3个,可得
>2. a
3< ≤4,解得9∴|m|+|2-m|=m+m-2=2m-2. 3
9.解法一:由不等式x+2>m+n 得x 周末拓展 一元一次不等式
>m+n-2,由不等式x-1所以不等式组的解集为 m+n-2又因为不等式组的解集是-1{m+n-2=-1, -2 12.21 13.x<-5所以 m=2. 三、14.x<2 数轴表示解集略
解之得{m=2, 315.a所以(m+n)2016=1. 116.a >-
x 2+2>m+n①
解法二:不等式组 { 的解 17.解:设车间每天安排x 名工人生产甲x-1种产品,其余工人生产乙种产品 根据题意可
集为-1得, (
由不等式①可知“分界点”为x=-1, 12x×100+1010-x
)×180≥15600,解
“ 得; ,对应的方程”是x+2=m+n, x≤4
,
由不等式②可知“分界点”为x=2,“对 ∴10-x≥6
” ∴至少要派6名工人去生产乙种产品才应的方程 是x-1=m-1.
{-1+2=m+n,
合适.
所以 ()购买 块电子白板需要
2-1=m-1. 18.1 1 15000
m=2, 元
,1台笔记本电脑需要4000元;
解之得{ () ,n=-1. 2 设购买电子白板a 块 则购买笔记本
所以(m+n)2016=1. 电脑(396-a)台,由题意得:
x+4 x {396-a≤3a10.解 > +1得x<2,3 2 15000a+4000(396-a)≤2700000
解x-a<0得x由不等式组的解集为x<2,得a≥2. 11
11.(1)解4-3x≥1得x≤1. ∵a 为正整数,∴a=99,100,101,则电
由不等式组无解得2m-1≥1,得m≥1. 脑依次买:297台,296台,295台.
(2)解4-3x≥1得x≤1. 因此该校有三种购买方案:
由不等式组无解得2m-1>1,得m>1. 方案一:购买笔记本电脑295台,则购买
(3)解4-3x≤1得x≥1. 电子白板101块;
由不等式组的解是x>2m-1,得2m-1 方案二:购买笔记本电脑296台,则购买
≥1,解得m≥1. 电子白板100块;
12.解4-3x≤1得x≥1, 方案三:购买笔记本电脑297台,则购买
a 电子白板99块;解3x·33·
2673000元. 香油60瓶.
19.解:(1)由题意得,[-4.5]=-5, (2)240元
<3.5>=4; (3)有三种购货方案:方案1:A 种香油
(2)因为[a]表示不大于a 的最大整数且 120瓶,B 种香油80瓶;方案2:A 种香油121
[x]=2,所以x 的取值范围是2≤x<3; 瓶,B 种香油79瓶;方案3:A 种香油122瓶,
因为表示大于a 的最小整数,且 B 种香油78瓶.
=-1,所以y 的取值范围是-2≤y< 20.n=15,k=13
-1;
( 第 章 图形与坐标3)解方程组,得 [x]=-1,=3 4
所以x,y 的取值范围分别为-1≤x<0,2≤
y<3. 4.1 平面直角坐标系
周末拓展 一元一次不等式 【典型例题】
例1 D
章拓展(二)
变式练习1 (3,3)
一、1.B 2.A 3.B 4.C 5.B 6.C 7. 例2 (0,-1)
D 8.B 变式练习2 (1,-2)
二、9.a<0 10.-312.3 13.m≤4 14.(1)-2≤a<-1 (2)E(-2.5,0)或E(2.5,0)
(2)5,6 (3)m>4
三、15.-1≤x<3,满足条件的整数解:x= 变式练习3 (1)提示:在四边形DPBO 中,
-1,0,1,2. ∠DPB+∠PBO+∠BOD+∠PDO=360°,
16.a=2,b=-1 推得∠PBO+∠PDO=180°,
解:( ) 5x+22+15+12+1917. 1 y = 又 由 于 BC 平 分 ∠ABO,DF 平9 分∠PDO,
5x+68
= ; ∴∠CBO+∠FDO=90°,9
又∵∠FDO+∠DFO=90°,
()由题意有5x+682 9 >x
,解得x<17, ∴∠CBO=∠DFO,所以DF∥CB.
所以小方在前5场比赛中总分的最大值应为 (2)直线 DF 与CB 的位置关系是DF
17×5-1=84分; ⊥CB.
(3)又由题意,小方在这10场比赛中得 提示:延长DF 交CB 于点Q,如图.
分至少为18×10+1=181分.
设他在第10场比赛中的得分为S,则有
84+(22+15+12+19)+S≥181.
解得S≥29,所以小方在第10场比赛中
得分的最小值应为29分.
18.(1)449 716 (2)41≤x<122 【巩固练习】
1 1.B 2.D 3.A 4.C 5.(2,0) (3)x≤ 的任意值.理由略2 6.(0,-5) 7.-2 8.(1007,1)
19.(1)该店购进A 种香油80瓶,B 种 9.(1)∵点A(a,3-2a)在第一象限,
·34·
∴点A 到y 轴的距离为a、到x 轴的距 5.用有序实数对来表示:A 点用(0,0)表
离为3-2a, 示,AB 方向表示横向的位置,AE 方向表示纵
∴a=3-2a,解得a=1; 向的位置,B(8,0),E(0,6),C(8,3),D(3,3).
(2)∵点A 到x 轴的距离小于到y 轴的 用方位和距离来表示:
距离, B 在A 点正东方向8个单位长度处,E
∴a>3-2a,解得a>1, 在A 点正北方向6个单位长度处,D 点在A
∵点A(a,3-2a)在第一象限, 点东北方向32个单位长度处,C 点在B 点
a>0
∴{ , 正北方向3个单位长度处.3-2a>0 6.(1)A(2,4),B(4,9),C(6,13),D(10,
即 30当 3∴ 12
点A 到x 轴的距离小于到y 轴的距离. 11+11
2≈15.56cm.
10.(1)从左上到右下分别是:(1,9),(1, 实际距离约为 115.56×10000×
),(,),(,),(, 100
=
6 27 35 42),(5,5),(6,4),(7,
(米)它是河马馆
3),(7,2),(
1556 . .
9,1).
:()
(2)
7.解 1 如图.
表示这名同学平均每周用于阅读课
外书的时间和用于看电视的时间相等.
(3)方格纸的对角线的左上方的点共同
的特点是:横坐标的值小于纵坐标的值,它的
右下方的点共同的特点是:横坐标的值大于
纵坐标的值.
(4)答案不唯一.
4.2 用方向和距离确定物体
的位置
【典型例题】
例1 (4,3) (2)C 点位置如图.
例2 在S 点北偏西30°的方向上距S 点 公园C 在学校的北偏西30°方向距学校
2000m远. 3cm处.
例3 (-3,-6) (-5,-5) 8.解:(1)B(0,3),C(2,2).
变式练习1 B (2)A(4,0°);B(3,90°);C(22,45°).
变式练习2 (6,1)→(6,3)→(8,3)→(8,5), 9.(1)只有方位,没有距离,因此不能确
(3,2)→(6,2)→(6,3)→(8,3)→(8,5)(合理 定“农达”化肥有限公司的位置;
即可),这三种走法的路程是相等的. (2)只有距离,没有方位,同样不能确定
【巩固练习】 “天天乐”味精厂的位置;
1.D 2.B 3.(2,1)→(1,1)→(1,2) (3)既有方位,又有距离,因此“安康”兽
4.经度 纬度 药厂的位置能够确定.
·35·
微探究 坐标方法的简单应用
【典型例题】
例1 1
变式练习1 3 -4
变式练习2 A ∵CD∥AB,
例2 南门(0,0),狮子(-4,5),飞禽(3,4), ∴CD∥PQ,AB∥PQ,
两栖动物(4,1). ∴∠CDP=∠1,∠BOP=∠2,
变式练习3 敌军指挥部如图. ∴ ∠CDP + ∠BOP = ∠1 + ∠2
=∠OPD.
12.(1)13 (2)6
(3)AB=AC.
理由:∵A(0,6)、B(-3,2)、C(3,2),
∴AB=5,BC=6,AC=5,
∴AB=AC.
例3 (1){3,5} {-2,-3} 4.3 坐标平面内图形
(2)①如图,最后的位置还是点B ②5 的轴对称和平移
【典型例题】
例1 D
例2 (5,4)
例3 略
(3)-3 变式练习 B(1,-1),当点A 在点B 左侧时,
【巩固练习】 A(-1,-1);当 点 A 在 点 B 右 侧 时,A
1.B 2.D 3.(-4,8) 4.(-5,-3) (3,-1).
5.2 【巩固练习】
6.答案不唯一,合理即可. 1.(3,-2) (-3,-2) x 轴 原点
7.走法①:(3,3)→(3,4)→(7,4)→(7, y 轴 2.(16,1+ 3) 3.(0,1) (3,1)
5) 4.(1)①二 ②1走法②:(3,3)→(6,3)→(6,5)→(7,5) 6.如图:
(答案不唯一) 相等
8.A1(-1,4),B1(-3,2),C1(2,1).
9.(1)(32,3) (64,0) (2)(2n,3)
(2n+1,0)
10.(1)a=4,b=3 (2)a≠-4,b=3
(3)a=-3,b=4
11.(1)(4,2) (0,2) (2)8 7.解:(1)平移后的小船如答图所示.
(3)证明:如图,过点P 作PQ∥AB,
·36·
(图4)
11.(1)AB=CD,AC=BD,AB∥CD,
AC∥BD;
(2)如答图,点A'与点A 关于直线L 成 (2)连结OD,设C(0,m)则依题意有D
轴对称,连结A'B 交直线L 于点P,则点P (1,m-2),S△ACD=S△AOC+S△COD-S△AOD=
为所求. 1 1 1
8.解:由题意可知,折痕 AD 是四边形 2×3×m+2×1×m-2×3×
(m-2)=
OAED 的对称轴, 1
m+3=5,∴m=4,C(0,4)、D(1,2);
在Rt△ABE 中, 2
AE=AO=10,AB=8, (3)存 在,依 题 意 有 EF=OM,EF∥
BE= AE2-AB2= 102-82=6, OM,则2a+1=-2b+3,a-b=OM=1,或
∴CE=4. 2a+1=-2b+3,b-a=OM=1,∴a=1,b
∴E 的坐标为(4,8). =0,或 a=0,b=1.∴S四边形OMFE =1 或
在Rt△DCE 中,DC2+CE2=DE2. S四边形OMFE=3.
又DE=OD, 微探究 画轴对称图形
∴(8-OD)2+42=OD2.
∴OD=5. 【典型例题】
∴D 的坐标为(0,5). 例1 (1)略 (2)略 (3)△ABC 的面积
9.解:P(m,n)先向左平移3个单位,再 为2
向上平移2个单位后得(m-3,n+2),关于x 变式练习 1 (1)图 略 (2)P(0,-1)
轴对称后坐标为(m-3,-n-2),即为(-5, 或P(2,1)(答案不唯一)
4). 变式练习2 (1)A1(8,0),B1(7,0),C1(7,2)
∴m -3=-5,-n-2=4,解 得 m (2)PP2=6
=-2,n=-6,即P 的坐标为(-2,-6). 例2 D
10.解:(1)2 (2)F4 如图2所示 变式练习3 略
(3)变换 PQ 与变换QP 不是相同的变换. 【巩固练习】
F5,F6如图3,4所示. 1.(2,5) 2.1 3.(3,-2) (-3,-2)
(-3,2) 4.(2,1) 6 5.a<1 6.(1)
画图略;点B1 坐标为:(-2,-1) (2)画图
略;点C2 的坐标为:(1,1) (3)8.5 7.B
8.(-1,1) 9.(0,-2)
10.(1)所画的点P 在AC 上且不是AC
(图2) (图3) 的中点和AC 的端点即可.
(2)作点B 关于AC 的对称点B',延长
·37·
DB'交AC 于点P,点P 为所求. 点坐标为( ,1P -3 ).故存在点 (
1
2 P -3
, ),
(3)连结 P1A,P1B,P1C,P1D,P B, 22
P D,证明△DP P ≌△BP P . 使四边形 ABOP 的面积与△ABC 的面积2 1 2 1 2
相等.
专题拓展 与有序数对有关 变式练习2 (1)依题意,得C(0,2),D(4,
的规律型问题 2),∴S四边形ABDC=AB×OC=4×2=8;
【夯实基础】 (2)存在.设点 P 到 AB 的距离为h,
1.C 2.B 3.C 4.(1)22 (2)4n+2 1S△PAB = 2 ×AB ×h=2h
,由 S△PAB =
5.n2+4n S四边形ABDC,得2h=8,解得h=4,∴点P 的坐
【典型例题】
标为(0,4)或(0,-4).
例1 P2(1,-1),P7(1,1),P100(1,-3) 例3 (1)S四边形ABCD=44.
变式练习1 (51,50) (-1009,1009) (2)①当点P 在x轴上,设P(x,0),则PB
例2 (1)0 (2)0
变式练习2 A =|x-7|,由
1
S△PBC= ,得2×|x-7|×5=50 x
变式练习3 (64,1) =27或-13,∴P1(27,0),P2(-13,0).
例3 1 (45,8) ②当点P 在y 轴上,延长CB 交y 轴于
【巩固练习】 E 点,过C 作CF⊥y 轴于F,设E(0,yE),
1.B 2.3或4 6n-3 3.80 4.10 1 1
∴S△CFE= (2 5-yE
)×9,S△BAE=2×1
10(i-1)+j 5.72 6.
(14,8) 7.212
7×(
1
-yE),S梯形CFAB= (7+9)×5.
én(ê n+1)úù
2 2
ê ú 8.(1)2 64 8 15
(2)(n-
又∵S△CFE=S△BAE+S梯形CFAB,
1)2+1 n2 2n-1 (3)2n3-3n2+3n-1 解得 35 35y=- ,∴E(0,2 -
)
2 .
专题拓展 与平面直角坐标系 设P(0,y),当P 点在E 点上方时,PE
有关的面积问题 35
=y+ ,2 ∴S△PBC=S△PEC-S△PEB
,解得y
【夯实基础】
65
1.(0,-5) 2.D 3.A 4.D 5.B = ,2
【典型例题】
当P 点在E 点下方时,
35
17 PE=- -y
,
例1 22 135
∴S
11 △PBC
=S△PEC-S△PEB,解得yB=- ,2
变式练习1 2 综上 所 述 P1(27,0),P2(-13,0),
例2 (1)a=2,b=3,c=4 (2)-m+3
(,65), (, 135P3 0 P4 0 - )满足题意() .3 过A 点作BC 边上的高,交BC 于点H, 2 2
1 1 【巩固练习】则△ABC 的面积为S= ·2BC AH=2×4 1.B 2.(2,0) 3.3 4.(4,-4)
×3=6,当四边形 ABOP 的面积与△ABC 5.(1)画图略,A1(-2,2),B1(3,5),C1 (3,
的面积相等时,即3-m=6,得m=-3,此时 -5) (2)4 6.A(0,4),B(-4,0),C(8,0)
·38·
7.易得点C 到直线AB 的距离是2.
周末拓展 图形与坐标章拓展
∴点C 是与AB 平行且距离为2的直线
l与表格格点的交点, 1.A 2.A 3.B 4.C 5.A 6.D
如图所示,符合条件的点C 有6×2= 7.D 8.B
12个. 9.-9 10.(0,0)或(2,2) 11.-1
12.(-1,-2)或(-1,6) 13.(-2,0)或(8,
) 170 14.10或-10 15.( ,8 3
)
16.点 P(-1,1)在第二象限;点 Q 在
原点.
8.(1)(0,4)或(0,-4). 17.(1)D(2,2) (2)4.24 (3)A(4,
(2)2(3)当 点 P 在 BD 上,则 ∠CPO = (4,-22)
∠DCP+∠BOP; 18.(1)80 (2)整个四边形向右平移两
当点 P 在BD 延长线上时,∠CPO= 个单位,面积不变,为80.
∠BOP-∠DCP; 19.60cm
当点P 在DB 延长线上时,则∠CPO= 20.(1)P(0,3)
∠DCP-∠BOP. (2)提示:在PB 上截取PF=PO,证明
9.设G 点坐标为(0,b),b>0, △POA≌△FOB.
(3)提示:延长 BA 交y 轴于点D,作
AN⊥y 轴于点N,证明PB=PD;即可求得
PO+PB=2NO=10.
21.(1)等腰三角形,证明过程略.
(2)提示:设 BC 交y 轴于 K,过 A 作
AN⊥y 轴于N,证△ANG≌△BKG,
∵S长方形OABC -S△GEC =S△OGC +S△AGE (3)证明:∵∠ACB=90°,∠ACM=45°,
+S△BEC, ∴CM 平分∠ACB,
1 1
∴9a-20= ×9×b+ ×3(a-b)+ 又AM 平分∠BAC,2 2 ∴BM 平分∠ABC.设∠OBC=x,
1 3 20
2×6a
,即b=2a-3.①
则x+∠POB=90°,
而
同理,由 S -S =S + ∠POA+∠POB=90°
,
长方形OABC △GFB △ABG
S +S , ∴x=∠POA.△OGF △BFC
由()知
1 1 1 1 AG=OG
,
得9a-16= ×9(2 a-b
)+2×3b+2 ∴x=∠GAM,
×6a, ∠OMB = ∠GAM + ∠ABM =x +
即3a=32-6b.② ∠ABM=x+∠PBM=∠MBO,
解由①②联立的方程组得a=6. ∴OB=OM.
3
22.(1)0 3 2
·39·
(2)∵点A(-3,0),B(3,0)的对应点分 用铝量为5.6cm3.
别为A'(-1,2),B'(2,2). (3)易拉罐底面半径为2.8cm时比较合
{-3a+m=-1 适,因为此时用铝较少,成本低, .∴ 3a+m=2 (4)当易拉罐底面半径在1.6~2.8cm之
ì 1 间变化时,用铝量随半径的增大而减小,当易a=
2
解得:í . 拉罐底面半径在2.8~4.0cm之间变化时,用
1
m= 铝量随半径的增大而增大. 2
11.(1)4.2 5.9 7.6
由题意可得n=2.设点F 的坐标为(x, (2)由(1)可得n 节链条长为:
y), 2.5n-0.8(n-1)=1.7n+0.8
ì1 1x+ =x (3)2 2 因为自行车上的链条为环形
,在展直
í ,
1 的基础上还要缩短0.8
,故这辆自行车链条的
2y+2=y 总长为1.7×50=85厘米,所以50节这样的
x=1 链条总长度是85厘米.
解得:{ .y=4 12.(1)奇函数有②④;偶函数有①⑤;
∴点F 的坐标为(1,4). (2)证明:④∵当x≠0时,f(-x)=-x
1 1 1
第5章 一次函数 +-x=-(x+ )=-f(x),x ∴y=x+x
是奇函数.
5.1 常量与变量 ⑤∵f(-x)=(-x)-2-2|-x|=x-2
5.2 认识函数 -2|x|=f(x),
【 】 ∴y=x-2典型例题 -2|x|是偶函数.
例1 C 5.3 一次函数的意义
变式练习1 C
5.4 一次函数的图象与性质例2 A
变式练习2 B 【典型例题】
例3 B 例1 B
变式练习3 B 变式练习1 C
【巩固练习】 例2 A
1.D 2.C 3.D 4.C 5.A 6.2 变式练习2 C
7.x≥2且x≠3 例3 D
8.(1)100℃ 变式练习3 D
(2)温度 时间 时间 温度 例4 (1)(-2,1) y=-2x-3
(3)0至8分钟 8至12分钟 (2)点D 在直线l1上 (3)13.5
9.y=12x+1.5 变式练习4 (1)y=2x-2 (2)(2,2)
10.(1)易拉罐底面半径和用铝量的关 (3)(2,0)或(4,0)
系,易拉罐底面半径为自变量,用铝量为因 【巩固练习】
变量. 1.B 2.A 3.D 4.D 5.y=-x-1
(2)当底面半径为2.4cm 时,易拉罐的 6.(3,2) 7.-1·40·
10.(1)
3
k=- (2)
9 为7950.
4 S=-4x+18
(0故购进餐桌30张,餐椅170张时,才能
<8) (3) 13,9 ÷ 获得最大利润,最大利润是7950元.
è2 8 (3)涨价后每张餐桌的进价为160元,每
专题拓展 一次函数图象与性质 张餐椅的进价为50元,
设本次成套销售量为m 套.
【夯实基础】
依题意得:(500-160-4×50)×m+
1.D 2.B 3.C 4.B (30-m)×(270-160)+(170-4m)×(70-
【典型例题】
50)=7950-2250,
例1 D 即6700-50m=5700,解得:m=20.
变式练习1 C 答:本次成套的销售量为20套.
例2 B
变式练习2 D 微探究 寻找数形规律探求
例3 B 函数表达式
变式练习3 C 【典型例题】
例4 C 例 解:数字的序号为n,其值为y,由已知得
变式练习4 B n=1,y=3;n=2,y=8;n=3,y=13;n=4,
【巩固练习】
y=23;…仔细观察发现,序号每增加1,y 值
1.B 2.A 3.A 4.C 5.B 6.03
< 7.-2 8.1 9.2n-1 5(n-1),所以第n 个数应为5(n-1)+3,即2
()( ,) () ,当 时,10.1 -30 2 -3≤b≤2 y=5n-2 n=2006 y=5×2006-2
11.(1)C(2,2) (2)=-2x+6 =10028.y
变式练习
12.(1)不是 (2)±3 (3)18或-6 3n+2
【巩固练习】
13.解:(1)150
(2)设购进餐桌x 张,则购进餐椅(5x+ 1.C 2.C 3.6n+2 4.2n+1
20)张,销售利润为W 元. 5.
(2n,1) 6.3n+1 7.16 4n
: 解:()改造后每台发电量为 (由题意得 x+5x+20≤200, 8. 1 3001+
)
解得:x≤30. 20% =360
(万千瓦/月)
∵a=150,∴餐桌的进价为150元/张, ∴y1=300×5=1500
(万千瓦),
/ y2=300×4+360=1560(万千瓦),餐椅的进价为40元 张.
依题意可知: y3=300×3+360×2=1620(万千瓦),
1 1 y4=300×2+360×3=1680
(万千瓦),
W= ·(2x 500-150-4×40
)+2x
· y5=300×1+360×4=1740(万千瓦),
1 y6=360×5=1800(万千瓦),(270-150)+(5x+20-2x
·4)×(70- ∴y总 =y1+y2+y3+y4+y5+y6=
40)=245x+600, 9900(万千瓦).
∵k=245>0, 答:第2个月发电量为1560万千瓦,下
∴W 关于x 的函数单调递增, 半年总发电为9900万千瓦;
∴当 x=30时,W 取 最 大 值,最 大 值 (2)第x 个月已改造(x-1)台,正在改
·41·
造1台,未改造的为(6-x)台, ì 6,
∴y=300(6-x)+360(x-1)=60x+ {-2=-3k+b,
k=
5
解得 í
1440(1≤x≤6); 4=2k+b. 8 b= .
(3)设到第x 个月时w >w , 51 2
当x=6时,w1=9900×0.04-20×6= (2)直线
6 8
y= x+ 与横轴的交点是5 5
276(万元),w2=300×6×6×0.04=432(万
元),w 6. (
4
- ,0).所以不等式
6 8
3 5x+ >0
的解集为
1 2 5
∴w1=[9900+360×6(x-6)]×0.04- 4
, x>- .20×6=86.4x-242.4 3
w2=300×6x×0.04=72x. (3)从图象中可以看出,当x>2时,y
由w1>w2得86.4x-242.4>72x, >4,
解得x>16.8,∴x 取17. 所以不等式6 8
5x+5>4
的解集为x>2.
答:至少要到第17个月w1 超过w2.
9.(1)22 5n+2 8.(1)设直线l2表示的一次函数表达式
(2)正六边形的边长是2,所以边心距为 为y=kx+b,
因为x=0时,=-2;x=2时,=3.
3,故x1= 3;图2的对称中心在正六边形
y y
ì 5
的一边上,横坐标为 23;图3的对称中心是 {-2=b, k= ,所以 所以 2, í
正中间的正六边形的交点,横坐标为 , 3=2k+b3 3 b=-2.
……,以此类推,图2013的对称中心的横坐 所以直线l2表示的一次函数表达式是y=
标为20133. 5
2x-2.
5.5 一次函数的简单应用 (2)从图象可知,当x>-1时,直线l1表
【典型例题】 示的一次函数的函数值大于0,当
5
2x-2=0
例1 x=1 x<1
时,得 4 4变式练习 C x= .所以当x> 时,直线l2表示的5 5
【巩固练习】 4
1.C 2.D 3.D 4.C 一次函数值大于0.所以当x> 时, , 表5 l1l2
5.(1)因为函数y=kx+b 的图象过点 示的两个一次函数的函数值都大于0.
{0=-2k+b, 9.解:(1)设轿车要购买x 辆,那么面包(-2,0),(0,2),所 以 所 以2=0+b, 车要购买(10-x)辆,由题意得:
{k=1, 7x+4(10-x)≤55,解得:x≤5所以y=x+2.b=2. 又∵x≥3,则x=3,4,5
(2)图略 ∴购车方案有三种:
(3)由题意知有x+2>-2x+2,解得x 方案一:轿车3辆,面包车7辆;
>0. 方案二:轿车4辆,面包车6辆;
6.画图略,x>2. 方案三:轿车5辆,面包车5辆;
7.(1)将A(-3,-2),B(2,4)分别代入 (2)方案一的日租金为:3×200+7×110
y=kx+b,得 =1370(元)
·42·
方案二的日租金为:4×200+6×110= 时,W 最小值=10740元,此时从A 城调往C 乡
1460(元) 30台,调往D 乡0台,从B 城调往C 乡4台,
方案三的日租金为:5×200+5×110= 调往D 乡36台.
1550(元) 变式练习4 (1)甲,乙两种套房每套提升费
为保证日租金不低于1500元,应选择方 用分别为25万元,28万元;
案三. (2)设甲种套房提升 m 套,那么乙种套
10.(1)y1=50+0.4x,y2=0.6x; 房提升(80-m)套,依题意得:
(2)当y1=y2,即50+0.4x=0.6x 