浙教版（2024) 数学八年级上册第1章 三角形的初步知识 单元检测培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025八上·拱墅期末）木工师傅要做一个三角形木架，有两根木条的长度为7cm和14cm，第三根木条的长度可以是（ ）
A．5cm B．18cm C．21cm D．23cm
2．（2021八上·衢州期中）为说明命题“若，则”是假命题，所列举反例正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023八上·惠州期末）如图，∠1＝∠2，补充一个条件后仍不能判定△ABC≌△ADC是（ ）
A．AB＝AD B．∠B＝∠D
C．BC＝DC D．∠BAC＝∠DAC
4．（2025八上·宁波期末）下列尺规作图中，一定能得到AD+BD=BC的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024八上·浙江期中）通过如下尺规作图，能说明△ABD的面积和△ACD的面积相等的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024八上·金华月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，妈妈在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八上·广汉期末）如图，中，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（ ）
A．2.4 B．3 C．4 D．
8．（2023八上·椒江月考）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（ ）
A．2 B．2.5 C．4 D．5
9．（2024八上·浙江期中）如图，在中，，，的平分线分别交、于点D、E，、相交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④点F到三边的距离相等；⑤．其中错误的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024八上·义乌期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC与点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的是（ ）
①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024八上·西湖月考）如图，在中，、分别为、的中点，若的面积为，则的面积为 ．
12．如图，在长方形ABCD中，AD=10cm，点E在边AB上，且BE=6cm.点P，Q分别在BC，CD上.当∠BEP=∠CPQ时，要使△BPE与△CQP全等，CQ= cm.
13．（2023八上·江北期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8．点P从点A出发，沿折线AC-CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC-CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F，当△PEC与△QFC全等时，PC的长为 ．
14．（2024八上·诸暨月考）如图1，六分仪是一种测量天体高度的航海仪器，观测者手持六分仪，可得出观测点的地理坐标．
在图2所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线自动与刻度线保持平行（即），并与A处的镜面所在直线相交于点C，所在直线与水平线相交于点D，，观测角= （用表示）．
小贴士： 如图3，光线经过镜面反射时，反射角等于入射角，所以图2中，
15．（2024八上·东阳开学考）某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图1方式放在两条平行线、之间，其中点E、F在直线上，点H、N在直线上，，，．记，，，．
（1）比较大小： ．（填“”或“”或“”）
（2）如图2，的平分线交直线于点P，记，．现保持三角板不动，将三角板从如图位置向左平移，若在运动过程中与始终平行，与满足的数量关系为 ．
16．（2023八上·衢江期中）已知中，，在图（1）中、的角平分线交于点，则计算可得；
（1）在图（2）中，设、的两条三等分角线分别对应交于、，得到则 ；
（2）在图（3）中请你猜想，当、同时n等分时，条等分角线分别对应交于、，则 （用含n的代数式表示）．
三、解答题（共8题，共72分）
17．列举两个命题，要求其中一个是真命题，另一个是假命题。你是用什么方法来判断它们的真假的
18．（2024八上·湖州期中）小明将下列题目梳理到自己的错题本中，题目为“如图，点，，，在同一条直线上，，且，．求证：．”，请你帮他完成题目的梳理过程．
题目来源 第一章书本例题 图形呈现
关键已知 ①②③
解题过程
19．如图
（1）如图1，在中，于点D，AE平分，你能找出与，之间的数量关系吗？并说明理由.
（2）如图2，平分为AE上一点，于点，这时与，之间又有何数量关系？并说明理由.
20．（2024八上·拱墅月考）如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
21．（2024八上·金华月考）阅读并完成相应的任务．
如图，小明站在堤岸凉亭点处，正对他的点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．
课题 测凉亭与游艇之间的距离
测量工具 皮尺等
测量方案示意图 （不完整）
测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆旁（直线与堤岸平行）； ②再往前走相同的距离，到达点； ③他到达点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点处．
测量数据 米，米
任务一 根据题意将测量方案示意图补充完整．
任务二 ①凉亭与游艇之间的距离是________米． ②请你说明小明方案正确的理由．
22．（2025八上·慈溪期末）如图，在等腰锐角△ABC中，AB=AC，CD为AB边上的高线，E为AC边上的点，连结BE交CD于点F，设∠BCD=α。
（1）用含α的代数式表示∠A：
（2）若 CE=CF，求∠EBC 的度数；
（3）在（2）的条件下，若E为AC中点，AB-AC=2，求△ABC的面积。
23．（2024八上·金华月考）
（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围。请写出的取值范围，并说明理由
（2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：。小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使……，请你帮她完成证明过程。
（3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明.
24．（2022八上·吴兴期中）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
（1）【问题解决】
如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数；
（3）【延伸推广】
在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（m＞54），∠B＝54°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三根木条的长度为x，则，
即，
∴第三根木条的长度可以是18，
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，即可解答.
2．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、当时，，满足，但，是错误的反例，此项不符题意；
B、当时，，满足，但，是正确的反例，此项符合题意；
C、当时，，满足，但，是错误的反例，此项不符题意；
D、当时，不满足，是错误的反例，此项不符题意；
故答案为：B.
【分析】命题“若a>b，则a2>b2”为假命题应满足a>b，但a2≤b2，据此判断.
3．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：若添加AB=AD，不能判定△ABC≌△ADC， 故A符合题意；
若添加∠B=∠D，
∵∠1=∠2，
∴∠ACB=∠ACD，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS）， 故B不符合；
若添加BC=DC，
∵∠1=∠2，
∴∠ACB=∠ACD，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）， 故C不符合；
若添加∠BAC=∠DAC，
∵∠1=∠2，
∴，
∴∠ACB=∠ACD，
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（ASA）， 故D不符合；
故答案为：A．
【分析】根据全等三角形的判定定理ASA、AAS、SAS，即可推出结论．
4．【答案】C
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-作高
【解析】【解答】解：选项C中， 由作图可知.
故答案为： C.
【分析】由 推出 由此判断即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图痕迹可得选项A和D中的AD是角平分线，无法证得△ABD的面积和△ACD的面积相等，A、D不符合题意；
由作图痕迹可得选项B作的是垂直平分线，由垂直平分线的性质可得AD=BD，无法证得△ABD的面积和△ACD的面积相等，B不符合题意；
由作图痕迹可得选项C作的是垂直平分线，由垂直平分线的性质可得BD=CD，
△ABD的面积和△ACD的面积相等，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】由作图痕迹可得选项A和D中的AD是角平分线，无法证得△ABD的面积和△ACD的面积相等；选项B作的是垂直平分线，由垂直平分线的性质可得AD=BD，无法证得△ABD的面积和△ACD的面积相等；选项C作的是垂直平分线，由垂直平分线的性质可得BD=CD，进而证得△ABD的面积和△ACD的面积相等.
6．【答案】B
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC，
∵∠BOC=90°，
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠COE=∠OBD，
在△COE和△OBD中，，∴△COE≌△OBD（AAS），∴CE=OD，OE=DB，∵BD=1.2m，CE=1.6m，∴DE=OD-OE=CE-OE=0.4m，∵AE=1.5m，∴AD=AE-DE=1.1m，即妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度是，
故答案为：B.
【分析】由直角三角形的性质得出∠COE=∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出CE=OD，OE=DB，求出DE的长即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作于，交于点，过点作于点，
∵平分，
∴，
∴，
∵中，，，，
∵，
∴，
∴，即的最小值是
故答案为：D．
【分析】过点作于，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质可得，即可得到，然后根据三角形的面积求出CE长，即可得到最小值．
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长CD、BA，交于点G，过G作GH⊥AC，交CA的延长线于点H，
∴∠GHA=90°，
∵BD平分∠ABC，BD⊥CD，
∴∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°，
在△BDG和△BDC中，
，
∴△BDG≌△BDC（ASA），
∴BC=BG，CD=DG，
∴，
又∵∠GHA=90°，AC=5，
∴，
∴，
∵BC-AB=2，
∴BG-AB=AG=2，
∵GH≤AG，即GH≤2，
∴当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG=2，此时GH达到最大，
∴则GH的最大值为2，
∴△ADC的最大面积为：，
故答案为：B．
【分析】延长CD、BA，交于点G，过G作GH⊥AC，交CA的延长线于点H，得∠GHA=90°，接下来根据角平分线、垂直的定义得∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°，从而利用全等三角形判定定理“ASA”证明△BDG≌△BDC，根据全等三角形对应边相等得BC=BG，CD=DG，接下来利用中线的性质得，从而利用三角形面积公式得，要求△ADC的最大面积，即求GH的最大值，在中，GH≤2，进而有当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG=2，此时GH达到最大，最大值为GH=2，即可求出△ACD的最大面积．
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①，只有在是等边三角形时才成立，现有条件无法证明是等边三角形，所以①错误；
②，
，
平分，平分，
，，
，
，所以②正确；
③平分
当时，
而原不确定，所以③错误；
④，的平分线分别交、于点，，、相交于点，
为三角形的内心，
点到三边的距离相等正确．所以④正确；
⑤如图，在上截取，
平分，
，
，
．
由②知，
，
，
又平分，
，
．
，
，
，所以⑤正确．
故答案为：B．
【分析】①当是等边三角形时才成立；
②利用三角形的内角和，角平分线的性质以及三角形的外角求出即可；
③当时，，所以③错误；
④根据角平分线上的点到角两边的距离相等可作判断；
⑤作辅助线，证明两对三角形全等：，，可得结论．
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC，
∴∠ABC=180°-70°-60°=50°，
∵AG平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=×70°=35°，
∵BE⊥AG，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-35°=55°，
∴∠EBC=∠ABE-∠ABC=55°-50°=5°，故①正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBG=∠ABC=×50°=25°，
∴∠EBF=∠FBG+∠EBC=25°+5°=30°，
∴BF=2EF，故②正确；
延长BE，AC交于点H，
在△ABE和△AHE中
∴△ABE≌△AHE（ASA）
∴BE=HE，
∴点E是BH的中点，
只有当∠BCH=90°时，CE=BE，故③错误；
在AB上截取AM=AD，
在△AMF和△AFD中
∴△AMF≌△AFD（SAS）
∴∠AFM=∠AFD=∠BFE=90°-30°=60°，
∴∠BFM=180°-∠AFM-∠BFE=180°-60°-60°=60°，
∴∠BFM=∠BFG，
在△BFM和△BFG中
∴△BFM≌△BFG（ASA）
∴BM=BG，
∴AB=AM+BM=AD+BG，故④正确；
∴正确结论有3个.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再利用角平分线的概念可求出∠BAE=∠CAE=35°，利用垂直的定义可求出∠AEB的度数，即可求出∠ABE的度数，根据∠EBC=∠ABE-∠ABC，代入计算可对①作出判断；利用角平分线的概念可求出∠FBG的度数，可求出∠EBF的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可对②作出判断；延长BE，AC交于点H，利用ASA可证得△ABE≌△AHE，利用全等三角形的性质可证得BE=HE，只有当∠BCH=90°时，CE=BE，可对③作出判断；在AB上截取AM=AD，利用SAS可证得△AMF≌△AFD，利用全等三角形的性质可推出∠BFM=∠BFG，利用ASA可证得△BFM≌△BFG，利用全等三角形的性质可推出BM=BG，然后根据AB=AM+BM，代入可对④作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
11．【答案】6
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】
解：∵D、E分别是BC，AD的中点，
∴S△CDE＝S△ACD，S△ACD＝S△ABC，
∴S△CDE＝S△ABC＝×24＝6．
故答案为：6．
【分析】根据中线将三角形面积分为相等的两部分可得：△ACD是△CDE的面积的2倍，△ABC的面积是△ACD的面积的2倍，然后根据S△CDE＝S△ABC计算可求解．
12．【答案】4
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠BEP=∠CPQ，∠B=∠C=90°， △BPE与△CQP全等，
∴点E与点P是对应点，点P与点Q是对应点，点B与点C是对应点，
∴△BPE≌△CQP，
∴BE=PC=6cm，PB=CQ，
∵AD=10cm，
∴PB=BC-PC=AD-PC=10-6=4cm，
∴CQ=PB=4cm，
故答案为：4.
【分析】先利用全等三角形的性质可得BE=PC=6cm，PB=CQ，再利用线段的和差求出CQ=PB=4cm即可.
13．【答案】2或1或4
【知识点】三角形全等及其性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠PCE+∠QCF=90°，
∵PE⊥l，QF⊥l，
∴∠PEC=∠QFC=90°，
∴∠PCE+∠CPE=90°，
∴∠CPE=∠QCF，
∴当PC=CQ时，△PEC与△QFC全等，
设运动的时间为t s，由题意分以下三种情况：
①当0≤t≤时，PC=4-t，CQ=8-3t，
∵PC=CQ，
∴4-t=8-3t，
解得t=2，此时PC=2；
②当＜t≤4时，PC=4-t，CQ=3t-8，
∵PC=CQ，
∴4-t=3t-8，
解得：t=3，此时PC=1，
③当4＜t≤12时，PC=t-4，CQ=4，
∵PC=CQ，
∴t-4=4，
解得t=8，此时PC=4，
综上可得，PC的长为2或1或4．
故答案为：2或1或4．
【分析】由等角的余角相等得到∠CPE=∠QCF，根据全等三角形的判定方法，当PC=CQ时，△PEC与△QFC全等，设运动的时间为t s，讨论：①当0≤t≤时，PC=4-t，CQ=8-3t，②当＜t≤4时，PC=4-t，CQ=3t-8，③当4＜t≤12时，PC=t-4，Q点在A点，即CQ=4，分别根据PC=CQ列关于t的方程，解方程求出t的值，并分别求出对应的PC的长即可．
14．【答案】2
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵是的外角，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
【分析】先利用平行线的性质证得，再利用已知条件得到，然后根据三角形外角的性质得出，最后根据三角形内角和定理求解．
15．【答案】；或
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）延长HG交AB于点K，延长NM交AB于点Q，如图：
，
∴∠2=∠EKG，∠3=∠FQN，
，，
，，
，
故答案为：
（2）在三角板中，，，
，
如图，运动过程中，当三角板平移至三角板右侧时，
，
，即∠MNP=180°－α.
，
，
∴，
平分，
，
∴∠PFN=∠FPN=β，
∴2β+120°－α=180°，
∴；
如图，当三角板平移至三角板左侧时，
，
，
，
，
，，
平分，
，
，即，
故答案为：或
【分析】（1）延长HG交AB于点K，延长NM交AB于点Q，根据两直线平行，内错角相等，得到∠2=∠EKG，∠3=∠FQN，再结合三角形的外角性质得，，即可比较大小；
（2）分两种情况讨论：当三角板平移至三角板右侧时和当三角板平移至三角板左侧时，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可．
16．【答案】；
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）在中，，
，
和分别是的三等分线，
；
．
故答案为：；
（2）∵和分别是的n等分线，
；
．
故答案为：．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出，再由、的两条三等分角线分别对应交于得出的度数，然后由三角形内角和定理即可求解；
（2）根据n等分的定义求出的度数，在中，根据三角形内角和定理求解即可．
17．【答案】解：(1)真命题：如果a=b，那么a+2=b+2，
根据等式的性质，等式的两边都加上2，所得结果仍是等式，
故a=b ，那么a+2=b+2是真命题；
(2)假命题：对角线相等的四边形是矩形，
举出反例：∵等腰梯形的对角线相等，
∴对角线相等的四边形不一定是矩形，
故对角线相等的四边形是矩形是假命题.
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】根据题目要求写出命题即可.
18．【答案】证明：，
，
，
，
，
在与中，
，
∴，
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】先根据已知条件利用证明，再根据全等三角形对应边相等即可．
19．【答案】（1）解：，理由如下：
平分，
.
又，
，
即；
（2）解：如图，过点作于.
，
.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，表示出∠EAC，再根据直角三角形两锐角互余表示出∠DAC，然后根据∠EAD=∠EAC-∠DAC表示出∠EAD，整理即可求解；
（2）过点A作AD⊥BC于D，则可得AD//FM，根据（1）的答案即可求得.
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解：由三角形外角的性质可得：，，
由（1）可得，
∴，
∵点，，在同一直线上，
∴，
∵，，
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由可得，再根据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等即可求证；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出，，由全等三角形的对应角相等得出，推得，结合平角的定义即可求解.
（1）证明：∵
∴
在和中
∴
（2）解：由三角形外角的性质可得：，
由（1）可得
∴，
∵点，，在同一直线上
∴
∵，
∴
∴
21．【答案】解：任务一：如图所示：
即为测量方案示意图；
任务二：②理由：
根据题意可知：CD=CA，∠D=∠A=90°，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB=DE=10m，
∴小明的方案是正确的.
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】任务二：①根据题意可知，△ABC≌△DEC，
∴AB=DE=10m；
故答案为：10.【分析】任务一：直接根据题意，将图形补充完整即可；
任务二：①由补充完整的图形可知，△ABC≌△DEC可得，即可得出答案；
②由题意可知根据题意可知：CD=CA，∠D=∠A=90°，=，由“”可判定，则米，即可说明小明的方案是正确的．
22．【答案】（1）解：∵CD为AB边上的高线， ∠BCD=α，
∴∠ABC=90°-α，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=90°-α，
∴∠A=180°-(∠ACB+∠ABC)=180°-(90°-α+90°-α)=2α；
（2）解：∵CD为AB边上的高线， ∠A=2α，
∴∠ACD=90°-2α，
∵CE=CF，
180°-90°+2α)=45°+α，
∵∠CFE是△BCF的一个外角，
∴∠CFE=∠EBC+∠BCD=∠EBC+α，
∴∠EBC+α=45°+α，
∴∠EBC =45°；
（3）过点A作AN⊥BC于点N， AN交BE于点M，连接CM，如图所示：
∵AB=AC， ∠A=2α，
∴∠EAM=α，
∴∠EAM =∠BCD =α，
∵CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，
∵∠CEF+∠MEA=180°，
∠CFE+∠BFC=180°，
∴∠MEA=∠BFC，
∵若E为AC中点，
∴AE=CE=CF=
在△AEM和△CFB中，
∴△AEM≌△CFB(SAS)，
∴设ME=BF =x，
∵AB= AC， AN⊥BC，
∴AN是BC的垂直平分线，
∴MC= MB，
∵∠EBC =45°，
∴∠MCB=∠EBC =45°，
即△BCM是等腰直角三角形，
∴∠BMC=90°，
即CM⊥EF，
∵CE=CF，
∴ME=MF=BF=x，
∴MC =MB=BF+MF=2x，在Rt△CME中， ME=x， CM =2x，CE=，
由勾股定理得：
∴x=1，
，
在 中， 由勾股定理得：
在 中， 由勾股定理得：
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；三角形的高
【解析】【分析】(1)先求出. 进而得，再根据三角形的内角和定理即可得出答案；
(2)先求出∠ACD=90°-2α， 根据CE=CF得∠CFE=∠CEF =45°+α， 再根据三角形外角性质得∠CFE=∠EBC+α， 由此可得出∠EBC的度数；
(3)过点A作AN⊥BC于点N， AN交BE于点M，连接CM， 证明△AEM和△CFB全等得设ME= BF =x， 结合 (2) 的结论证明△BCM是等腰直角三角形得∠BMC=90°，进而得ME=MF =BF =x， 则MC =MB=2x，在Rt△CME中， 由勾股定理得x = 1， 则 进而得 由此可得出△ABC的面积.
23．【答案】（1）解：，在和中，
，，，
，，
（2）解：如图，延长到，使得，连结，.
在和中，
，，，
又，，
在中，，，，
（3）解：结论：.
理由：延长到，使得.
，，
，，，
，，，
，
，，
，
，，
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）证明△CDE≌△BDA（SAS），得到CE＝4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），得到BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）结论：AF＋EC＝EF．延长BC到H，使得CH＝AF，通过两次全等证明AF＝CE，EF＝EH即可解决问题．
24．【答案】（1）解：如图②所示，
当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°；
当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°，
∴∠BDC的度数为95°或110°.
（2）解：∵BP、CP分别是邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
又∵∠BPC=140°，
∴∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=40°，
∴∠ABC+∠ACB=40°，
∴∠ABC+∠ACB=120°
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-120°=60°.
（3）解：情况一：如图，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠PBC=∠B，∠PCD=∠ACD，
∵∠B=54°，∠A=m°，
∴∠ACD=m°+54°，
∴∠BPC＝∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠B）=m°；
情况二：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
∴∠PBC=∠B，∠PCD=∠ACD，
∵∠B=54°，∠A=m°，
∴∠ACD=m°+54°，
∴∠BPC＝∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠B）=m°；
情况三：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠PBC=∠B，∠PCD=∠ACD，
∵∠B=54°，∠A=m°，
∴∠ACD=m°+54°，
∴∠BPC＝∠PCD-∠PBC=∠ACD-∠B=m°+18°；
情况四：如图，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，
∴∠PBC=∠B，∠PCD=∠ACD，
∵∠B=54°，∠A=m°，
∴∠ACD=m°+54°，
∴∠BPC＝∠PCD-∠PBC=∠ACD-∠B=m°-18°，
综上所述：∠BPC的度数为m°或m°或m°+18°或m°-18°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据∠B的三分线BD交AC于点D，分两种情况，即当BD是“邻AB三分线”时和当BD是“邻BC三分线”时，再分别通过外角定理计算∠BDC的度数即可；
（2）根据BP、CP分别是邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，可得∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，利用三角形内角和定理得∠PBC+∠PCB=40°，得∠ABC+∠ACB=40°，求得∠ABC+∠ACB=120°，再利用三角形内角和定理求得∠A的度数即可；
（3）分四种情况画图计算，即情况一：如图，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时；情况二：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时；情况三：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时；情况四：如图，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，然后根据角三分线性质及三角形外角定理，分别列式计算即可.
1 / 1浙教版（2024) 数学八年级上册第1章 三角形的初步知识 单元检测培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025八上·拱墅期末）木工师傅要做一个三角形木架，有两根木条的长度为7cm和14cm，第三根木条的长度可以是（ ）
A．5cm B．18cm C．21cm D．23cm
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三根木条的长度为x，则，
即，
∴第三根木条的长度可以是18，
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，即可解答.
2．（2021八上·衢州期中）为说明命题“若，则”是假命题，所列举反例正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、当时，，满足，但，是错误的反例，此项不符题意；
B、当时，，满足，但，是正确的反例，此项符合题意；
C、当时，，满足，但，是错误的反例，此项不符题意；
D、当时，不满足，是错误的反例，此项不符题意；
故答案为：B.
【分析】命题“若a>b，则a2>b2”为假命题应满足a>b，但a2≤b2，据此判断.
3．（2023八上·惠州期末）如图，∠1＝∠2，补充一个条件后仍不能判定△ABC≌△ADC是（ ）
A．AB＝AD B．∠B＝∠D
C．BC＝DC D．∠BAC＝∠DAC
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：若添加AB=AD，不能判定△ABC≌△ADC， 故A符合题意；
若添加∠B=∠D，
∵∠1=∠2，
∴∠ACB=∠ACD，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS）， 故B不符合；
若添加BC=DC，
∵∠1=∠2，
∴∠ACB=∠ACD，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）， 故C不符合；
若添加∠BAC=∠DAC，
∵∠1=∠2，
∴，
∴∠ACB=∠ACD，
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（ASA）， 故D不符合；
故答案为：A．
【分析】根据全等三角形的判定定理ASA、AAS、SAS，即可推出结论．
4．（2025八上·宁波期末）下列尺规作图中，一定能得到AD+BD=BC的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-作高
【解析】【解答】解：选项C中， 由作图可知.
故答案为： C.
【分析】由 推出 由此判断即可.
5．（2024八上·浙江期中）通过如下尺规作图，能说明△ABD的面积和△ACD的面积相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图痕迹可得选项A和D中的AD是角平分线，无法证得△ABD的面积和△ACD的面积相等，A、D不符合题意；
由作图痕迹可得选项B作的是垂直平分线，由垂直平分线的性质可得AD=BD，无法证得△ABD的面积和△ACD的面积相等，B不符合题意；
由作图痕迹可得选项C作的是垂直平分线，由垂直平分线的性质可得BD=CD，
△ABD的面积和△ACD的面积相等，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】由作图痕迹可得选项A和D中的AD是角平分线，无法证得△ABD的面积和△ACD的面积相等；选项B作的是垂直平分线，由垂直平分线的性质可得AD=BD，无法证得△ABD的面积和△ACD的面积相等；选项C作的是垂直平分线，由垂直平分线的性质可得BD=CD，进而证得△ABD的面积和△ACD的面积相等.
6．（2024八上·金华月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，妈妈在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC，
∵∠BOC=90°，
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠COE=∠OBD，
在△COE和△OBD中，，∴△COE≌△OBD（AAS），∴CE=OD，OE=DB，∵BD=1.2m，CE=1.6m，∴DE=OD-OE=CE-OE=0.4m，∵AE=1.5m，∴AD=AE-DE=1.1m，即妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度是，
故答案为：B.
【分析】由直角三角形的性质得出∠COE=∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出CE=OD，OE=DB，求出DE的长即可得出答案.
7．（2024八上·广汉期末）如图，中，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（ ）
A．2.4 B．3 C．4 D．
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作于，交于点，过点作于点，
∵平分，
∴，
∴，
∵中，，，，
∵，
∴，
∴，即的最小值是
故答案为：D．
【分析】过点作于，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质可得，即可得到，然后根据三角形的面积求出CE长，即可得到最小值．
8．（2023八上·椒江月考）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（ ）
A．2 B．2.5 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长CD、BA，交于点G，过G作GH⊥AC，交CA的延长线于点H，
∴∠GHA=90°，
∵BD平分∠ABC，BD⊥CD，
∴∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°，
在△BDG和△BDC中，
，
∴△BDG≌△BDC（ASA），
∴BC=BG，CD=DG，
∴，
又∵∠GHA=90°，AC=5，
∴，
∴，
∵BC-AB=2，
∴BG-AB=AG=2，
∵GH≤AG，即GH≤2，
∴当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG=2，此时GH达到最大，
∴则GH的最大值为2，
∴△ADC的最大面积为：，
故答案为：B．
【分析】延长CD、BA，交于点G，过G作GH⊥AC，交CA的延长线于点H，得∠GHA=90°，接下来根据角平分线、垂直的定义得∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°，从而利用全等三角形判定定理“ASA”证明△BDG≌△BDC，根据全等三角形对应边相等得BC=BG，CD=DG，接下来利用中线的性质得，从而利用三角形面积公式得，要求△ADC的最大面积，即求GH的最大值，在中，GH≤2，进而有当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG=2，此时GH达到最大，最大值为GH=2，即可求出△ACD的最大面积．
9．（2024八上·浙江期中）如图，在中，，，的平分线分别交、于点D、E，、相交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④点F到三边的距离相等；⑤．其中错误的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①，只有在是等边三角形时才成立，现有条件无法证明是等边三角形，所以①错误；
②，
，
平分，平分，
，，
，
，所以②正确；
③平分
当时，
而原不确定，所以③错误；
④，的平分线分别交、于点，，、相交于点，
为三角形的内心，
点到三边的距离相等正确．所以④正确；
⑤如图，在上截取，
平分，
，
，
．
由②知，
，
，
又平分，
，
．
，
，
，所以⑤正确．
故答案为：B．
【分析】①当是等边三角形时才成立；
②利用三角形的内角和，角平分线的性质以及三角形的外角求出即可；
③当时，，所以③错误；
④根据角平分线上的点到角两边的距离相等可作判断；
⑤作辅助线，证明两对三角形全等：，，可得结论．
10．（2024八上·义乌期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC与点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的是（ ）
①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC，
∴∠ABC=180°-70°-60°=50°，
∵AG平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=×70°=35°，
∵BE⊥AG，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-35°=55°，
∴∠EBC=∠ABE-∠ABC=55°-50°=5°，故①正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBG=∠ABC=×50°=25°，
∴∠EBF=∠FBG+∠EBC=25°+5°=30°，
∴BF=2EF，故②正确；
延长BE，AC交于点H，
在△ABE和△AHE中
∴△ABE≌△AHE（ASA）
∴BE=HE，
∴点E是BH的中点，
只有当∠BCH=90°时，CE=BE，故③错误；
在AB上截取AM=AD，
在△AMF和△AFD中
∴△AMF≌△AFD（SAS）
∴∠AFM=∠AFD=∠BFE=90°-30°=60°，
∴∠BFM=180°-∠AFM-∠BFE=180°-60°-60°=60°，
∴∠BFM=∠BFG，
在△BFM和△BFG中
∴△BFM≌△BFG（ASA）
∴BM=BG，
∴AB=AM+BM=AD+BG，故④正确；
∴正确结论有3个.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再利用角平分线的概念可求出∠BAE=∠CAE=35°，利用垂直的定义可求出∠AEB的度数，即可求出∠ABE的度数，根据∠EBC=∠ABE-∠ABC，代入计算可对①作出判断；利用角平分线的概念可求出∠FBG的度数，可求出∠EBF的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可对②作出判断；延长BE，AC交于点H，利用ASA可证得△ABE≌△AHE，利用全等三角形的性质可证得BE=HE，只有当∠BCH=90°时，CE=BE，可对③作出判断；在AB上截取AM=AD，利用SAS可证得△AMF≌△AFD，利用全等三角形的性质可推出∠BFM=∠BFG，利用ASA可证得△BFM≌△BFG，利用全等三角形的性质可推出BM=BG，然后根据AB=AM+BM，代入可对④作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024八上·西湖月考）如图，在中，、分别为、的中点，若的面积为，则的面积为 ．
【答案】6
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】
解：∵D、E分别是BC，AD的中点，
∴S△CDE＝S△ACD，S△ACD＝S△ABC，
∴S△CDE＝S△ABC＝×24＝6．
故答案为：6．
【分析】根据中线将三角形面积分为相等的两部分可得：△ACD是△CDE的面积的2倍，△ABC的面积是△ACD的面积的2倍，然后根据S△CDE＝S△ABC计算可求解．
12．如图，在长方形ABCD中，AD=10cm，点E在边AB上，且BE=6cm.点P，Q分别在BC，CD上.当∠BEP=∠CPQ时，要使△BPE与△CQP全等，CQ= cm.
【答案】4
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠BEP=∠CPQ，∠B=∠C=90°， △BPE与△CQP全等，
∴点E与点P是对应点，点P与点Q是对应点，点B与点C是对应点，
∴△BPE≌△CQP，
∴BE=PC=6cm，PB=CQ，
∵AD=10cm，
∴PB=BC-PC=AD-PC=10-6=4cm，
∴CQ=PB=4cm，
故答案为：4.
【分析】先利用全等三角形的性质可得BE=PC=6cm，PB=CQ，再利用线段的和差求出CQ=PB=4cm即可.
13．（2023八上·江北期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8．点P从点A出发，沿折线AC-CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC-CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F，当△PEC与△QFC全等时，PC的长为 ．
【答案】2或1或4
【知识点】三角形全等及其性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠PCE+∠QCF=90°，
∵PE⊥l，QF⊥l，
∴∠PEC=∠QFC=90°，
∴∠PCE+∠CPE=90°，
∴∠CPE=∠QCF，
∴当PC=CQ时，△PEC与△QFC全等，
设运动的时间为t s，由题意分以下三种情况：
①当0≤t≤时，PC=4-t，CQ=8-3t，
∵PC=CQ，
∴4-t=8-3t，
解得t=2，此时PC=2；
②当＜t≤4时，PC=4-t，CQ=3t-8，
∵PC=CQ，
∴4-t=3t-8，
解得：t=3，此时PC=1，
③当4＜t≤12时，PC=t-4，CQ=4，
∵PC=CQ，
∴t-4=4，
解得t=8，此时PC=4，
综上可得，PC的长为2或1或4．
故答案为：2或1或4．
【分析】由等角的余角相等得到∠CPE=∠QCF，根据全等三角形的判定方法，当PC=CQ时，△PEC与△QFC全等，设运动的时间为t s，讨论：①当0≤t≤时，PC=4-t，CQ=8-3t，②当＜t≤4时，PC=4-t，CQ=3t-8，③当4＜t≤12时，PC=t-4，Q点在A点，即CQ=4，分别根据PC=CQ列关于t的方程，解方程求出t的值，并分别求出对应的PC的长即可．
14．（2024八上·诸暨月考）如图1，六分仪是一种测量天体高度的航海仪器，观测者手持六分仪，可得出观测点的地理坐标．
在图2所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线自动与刻度线保持平行（即），并与A处的镜面所在直线相交于点C，所在直线与水平线相交于点D，，观测角= （用表示）．
小贴士： 如图3，光线经过镜面反射时，反射角等于入射角，所以图2中，
【答案】2
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵是的外角，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
【分析】先利用平行线的性质证得，再利用已知条件得到，然后根据三角形外角的性质得出，最后根据三角形内角和定理求解．
15．（2024八上·东阳开学考）某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图1方式放在两条平行线、之间，其中点E、F在直线上，点H、N在直线上，，，．记，，，．
（1）比较大小： ．（填“”或“”或“”）
（2）如图2，的平分线交直线于点P，记，．现保持三角板不动，将三角板从如图位置向左平移，若在运动过程中与始终平行，与满足的数量关系为 ．
【答案】；或
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）延长HG交AB于点K，延长NM交AB于点Q，如图：
，
∴∠2=∠EKG，∠3=∠FQN，
，，
，，
，
故答案为：
（2）在三角板中，，，
，
如图，运动过程中，当三角板平移至三角板右侧时，
，
，即∠MNP=180°－α.
，
，
∴，
平分，
，
∴∠PFN=∠FPN=β，
∴2β+120°－α=180°，
∴；
如图，当三角板平移至三角板左侧时，
，
，
，
，
，，
平分，
，
，即，
故答案为：或
【分析】（1）延长HG交AB于点K，延长NM交AB于点Q，根据两直线平行，内错角相等，得到∠2=∠EKG，∠3=∠FQN，再结合三角形的外角性质得，，即可比较大小；
（2）分两种情况讨论：当三角板平移至三角板右侧时和当三角板平移至三角板左侧时，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可．
16．（2023八上·衢江期中）已知中，，在图（1）中、的角平分线交于点，则计算可得；
（1）在图（2）中，设、的两条三等分角线分别对应交于、，得到则 ；
（2）在图（3）中请你猜想，当、同时n等分时，条等分角线分别对应交于、，则 （用含n的代数式表示）．
【答案】；
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）在中，，
，
和分别是的三等分线，
；
．
故答案为：；
（2）∵和分别是的n等分线，
；
．
故答案为：．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出，再由、的两条三等分角线分别对应交于得出的度数，然后由三角形内角和定理即可求解；
（2）根据n等分的定义求出的度数，在中，根据三角形内角和定理求解即可．
三、解答题（共8题，共72分）
17．列举两个命题，要求其中一个是真命题，另一个是假命题。你是用什么方法来判断它们的真假的
【答案】解：(1)真命题：如果a=b，那么a+2=b+2，
根据等式的性质，等式的两边都加上2，所得结果仍是等式，
故a=b ，那么a+2=b+2是真命题；
(2)假命题：对角线相等的四边形是矩形，
举出反例：∵等腰梯形的对角线相等，
∴对角线相等的四边形不一定是矩形，
故对角线相等的四边形是矩形是假命题.
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】根据题目要求写出命题即可.
18．（2024八上·湖州期中）小明将下列题目梳理到自己的错题本中，题目为“如图，点，，，在同一条直线上，，且，．求证：．”，请你帮他完成题目的梳理过程．
题目来源 第一章书本例题 图形呈现
关键已知 ①②③
解题过程
【答案】证明：，
，
，
，
，
在与中，
，
∴，
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】先根据已知条件利用证明，再根据全等三角形对应边相等即可．
19．如图
（1）如图1，在中，于点D，AE平分，你能找出与，之间的数量关系吗？并说明理由.
（2）如图2，平分为AE上一点，于点，这时与，之间又有何数量关系？并说明理由.
【答案】（1）解：，理由如下：
平分，
.
又，
，
即；
（2）解：如图，过点作于.
，
.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，表示出∠EAC，再根据直角三角形两锐角互余表示出∠DAC，然后根据∠EAD=∠EAC-∠DAC表示出∠EAD，整理即可求解；
（2）过点A作AD⊥BC于D，则可得AD//FM，根据（1）的答案即可求得.
20．（2024八上·拱墅月考）如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解：由三角形外角的性质可得：，，
由（1）可得，
∴，
∵点，，在同一直线上，
∴，
∵，，
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由可得，再根据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等即可求证；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出，，由全等三角形的对应角相等得出，推得，结合平角的定义即可求解.
（1）证明：∵
∴
在和中
∴
（2）解：由三角形外角的性质可得：，
由（1）可得
∴，
∵点，，在同一直线上
∴
∵，
∴
∴
21．（2024八上·金华月考）阅读并完成相应的任务．
如图，小明站在堤岸凉亭点处，正对他的点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．
课题 测凉亭与游艇之间的距离
测量工具 皮尺等
测量方案示意图 （不完整）
测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆旁（直线与堤岸平行）； ②再往前走相同的距离，到达点； ③他到达点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点处．
测量数据 米，米
任务一 根据题意将测量方案示意图补充完整．
任务二 ①凉亭与游艇之间的距离是________米． ②请你说明小明方案正确的理由．
【答案】解：任务一：如图所示：
即为测量方案示意图；
任务二：②理由：
根据题意可知：CD=CA，∠D=∠A=90°，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB=DE=10m，
∴小明的方案是正确的.
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】任务二：①根据题意可知，△ABC≌△DEC，
∴AB=DE=10m；
故答案为：10.【分析】任务一：直接根据题意，将图形补充完整即可；
任务二：①由补充完整的图形可知，△ABC≌△DEC可得，即可得出答案；
②由题意可知根据题意可知：CD=CA，∠D=∠A=90°，=，由“”可判定，则米，即可说明小明的方案是正确的．
22．（2025八上·慈溪期末）如图，在等腰锐角△ABC中，AB=AC，CD为AB边上的高线，E为AC边上的点，连结BE交CD于点F，设∠BCD=α。
（1）用含α的代数式表示∠A：
（2）若 CE=CF，求∠EBC 的度数；
（3）在（2）的条件下，若E为AC中点，AB-AC=2，求△ABC的面积。
【答案】（1）解：∵CD为AB边上的高线， ∠BCD=α，
∴∠ABC=90°-α，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=90°-α，
∴∠A=180°-(∠ACB+∠ABC)=180°-(90°-α+90°-α)=2α；
（2）解：∵CD为AB边上的高线， ∠A=2α，
∴∠ACD=90°-2α，
∵CE=CF，
180°-90°+2α)=45°+α，
∵∠CFE是△BCF的一个外角，
∴∠CFE=∠EBC+∠BCD=∠EBC+α，
∴∠EBC+α=45°+α，
∴∠EBC =45°；
（3）过点A作AN⊥BC于点N， AN交BE于点M，连接CM，如图所示：
∵AB=AC， ∠A=2α，
∴∠EAM=α，
∴∠EAM =∠BCD =α，
∵CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，
∵∠CEF+∠MEA=180°，
∠CFE+∠BFC=180°，
∴∠MEA=∠BFC，
∵若E为AC中点，
∴AE=CE=CF=
在△AEM和△CFB中，
∴△AEM≌△CFB(SAS)，
∴设ME=BF =x，
∵AB= AC， AN⊥BC，
∴AN是BC的垂直平分线，
∴MC= MB，
∵∠EBC =45°，
∴∠MCB=∠EBC =45°，
即△BCM是等腰直角三角形，
∴∠BMC=90°，
即CM⊥EF，
∵CE=CF，
∴ME=MF=BF=x，
∴MC =MB=BF+MF=2x，在Rt△CME中， ME=x， CM =2x，CE=，
由勾股定理得：
∴x=1，
，
在 中， 由勾股定理得：
在 中， 由勾股定理得：
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；三角形的高
【解析】【分析】(1)先求出. 进而得，再根据三角形的内角和定理即可得出答案；
(2)先求出∠ACD=90°-2α， 根据CE=CF得∠CFE=∠CEF =45°+α， 再根据三角形外角性质得∠CFE=∠EBC+α， 由此可得出∠EBC的度数；
(3)过点A作AN⊥BC于点N， AN交BE于点M，连接CM， 证明△AEM和△CFB全等得设ME= BF =x， 结合 (2) 的结论证明△BCM是等腰直角三角形得∠BMC=90°，进而得ME=MF =BF =x， 则MC =MB=2x，在Rt△CME中， 由勾股定理得x = 1， 则 进而得 由此可得出△ABC的面积.
23．（2024八上·金华月考）
（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围。请写出的取值范围，并说明理由
（2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：。小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使……，请你帮她完成证明过程。
（3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明.
【答案】（1）解：，在和中，
，，，
，，
（2）解：如图，延长到，使得，连结，.
在和中，
，，，
又，，
在中，，，，
（3）解：结论：.
理由：延长到，使得.
，，
，，，
，，，
，
，，
，
，，
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）证明△CDE≌△BDA（SAS），得到CE＝4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），得到BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）结论：AF＋EC＝EF．延长BC到H，使得CH＝AF，通过两次全等证明AF＝CE，EF＝EH即可解决问题．
24．（2022八上·吴兴期中）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
（1）【问题解决】
如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数；
（3）【延伸推广】
在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（m＞54），∠B＝54°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）
【答案】（1）解：如图②所示，
当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°；
当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°，
∴∠BDC的度数为95°或110°.
（2）解：∵BP、CP分别是邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
又∵∠BPC=140°，
∴∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=40°，
∴∠ABC+∠ACB=40°，
∴∠ABC+∠ACB=120°
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-120°=60°.
（3）解：情况一：如图，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠PBC=∠B，∠PCD=∠ACD，
∵∠B=54°，∠A=m°，
∴∠ACD=m°+54°，
∴∠BPC＝∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠B）=m°；
情况二：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
∴∠PBC=∠B，∠PCD=∠ACD，
∵∠B=54°，∠A=m°，
∴∠ACD=m°+54°，
∴∠BPC＝∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠B）=m°；
情况三：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠PBC=∠B，∠PCD=∠ACD，
∵∠B=54°，∠A=m°，
∴∠ACD=m°+54°，
∴∠BPC＝∠PCD-∠PBC=∠ACD-∠B=m°+18°；
情况四：如图，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，
∴∠PBC=∠B，∠PCD=∠ACD，
∵∠B=54°，∠A=m°，
∴∠ACD=m°+54°，
∴∠BPC＝∠PCD-∠PBC=∠ACD-∠B=m°-18°，
综上所述：∠BPC的度数为m°或m°或m°+18°或m°-18°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据∠B的三分线BD交AC于点D，分两种情况，即当BD是“邻AB三分线”时和当BD是“邻BC三分线”时，再分别通过外角定理计算∠BDC的度数即可；
（2）根据BP、CP分别是邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，可得∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，利用三角形内角和定理得∠PBC+∠PCB=40°，得∠ABC+∠ACB=40°，求得∠ABC+∠ACB=120°，再利用三角形内角和定理求得∠A的度数即可；
（3）分四种情况画图计算，即情况一：如图，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时；情况二：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时；情况三：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时；情况四：如图，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，然后根据角三分线性质及三角形外角定理，分别列式计算即可.
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