浙教版（2024) 数学八年级上册2.3.1等腰三角形的性质定理 同步分层练习
一、夯实基础：
1．（2022八上·杭州期中）等腰三角形的一个底角是，则顶角的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 等腰三角形的底角为 80° ，
它的一个顶角为 .
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形两底角相等及三角形的内角和定理即可算出答案.
2．已知为等边三角形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵为等边三角形 ，
∴∠A=60°.
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质即可求得.
3．（2023八上·东莞期中）等腰三角形的一个角为，则其余两角的度数是（ ）
A．， B．，
C．，或， D．无法确定
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵三角形是等腰三角形，
∴当顶角是时，两个底角的度数为：.
当底角是时，则另一个底角的度数为50°，顶角的度数180°－50°×2=.
故答案为：C
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和是，分顶点是50°和一个底角是50°两种情况分别计算其他两个角的度数即可．
4．（2024八上·海安月考）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠C=∠B=25°，再由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠ADB=∠C+∠CAD，从而代值计算可得答案.
5．（2023八上·椒江月考）如图，已知等腰三角形，，长为半径画弧，交腰于点E，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠EBC+∠BEC+∠ACB=180°，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据题意，得，再根据等腰三角形”等边对等角“性质得，最后根据三角形内角和定理得.
6．（2024八上·滨江期末）如图，在△ABC中，AB=AC，外角∠ACD=110°，则∠A= ．
【答案】40°
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠ACD=110，
∴∠ACB=180-110=70；
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=70；
∴∠A=∠ACD-∠B=110-70=40.
故答案为：40.
【分析】先求出∠ACB=70；然后根据等边对等角得到∠B=∠ACB=70，然后利用三角形外角求出∠A即可.
7．（2024八上·萧山期中）△ABC是等腰三角形，∠C=100°，则∠A= .
【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵ △ABC是等腰三角形，∠C=100°，
∴∠A=∠B=(180°-∠C)=40°.
故答案为：40°.
【分析】由于等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和为180°可得∠C只能为等腰△ABC的顶角，据此即可求出∠A的度数.
8．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC.若∠B=65°，则∠BAD的度数为 .
【答案】25°
【知识点】角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵在等腰三角形ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C=65°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=50°，
∵AD平分∠BAC ，
∴.
故答案为：25°.
【分析】根据等边对等角得出∠B=∠C=65°， 根据三角形内角和是180°得出∠BAC=50°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线即可求解.
9．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，，点，点分别在边上，满足，连接.
（1）求证：.
（2）若，求的度数.
【答案】（1）证明：因为，
所以，所以
（2）因为，所以，
因为，所以，
所以，因为，
所以，
所以，所以
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由“SAS”证明出，即可解答；
（2）根据等腰三角形的性质“等边对等角”得出，再由全等三角形的性质得“”最后根据三角形的内角和为180°，即可解出∠A.
二、能力提升：
10．（2025八上·嵊州期末）如图，等边中，，分别是，，连结，则的度数是( )
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵是等边三角形
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先得到，即可得到，然后利用三角形的外角的性质解题即可．
11．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，，点是边AB上的一个动点，则的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵，，
∴．
∵是的外角，
∴，
∴，
∴度数可能是．
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形等边对等角的性质，先求出，再根据三角形外角的性质得出的范围，进而得出答案．
12． 如图，在△ABC中，∠ABC=100°，且AM=AN，CN=CP，则∠MNP为 °.
【答案】40
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解： AM=AN，CN=CP
，
， ∠ABC=100°
故答案为：40
【分析】根据等腰三角形的性质可得，，根据三角形内角和定理可得，则
，
根据平角的定义可得。
13． 如图，点A，C，F，E在同一直线上，△ABC是等边三角形，且CD=CE，EF=EG，则∠F= 度.
【答案】15
【知识点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： △ABC是等边三角形
CD=CE
EF=EG
故答案为：15
【分析】根据等边三角形的性质可得根据等腰三角形底角相等即可得出的度数。
14．（2024八上·诸暨期末）如图，在ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝ ．
【答案】115°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，
设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，
∴∠ABC＝∠BAD+∠BDA＝2x，∠ACB＝∠E+∠CAE＝2y，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴2x+2y+50°＝180°，
∴x+y＝65°，
∴∠DAE＝∠DAB+∠CAE+∠BAC＝65°+50°＝115°．
故答案为：115°．
【分析】根据等边对等角可得∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，根据三角形的内角和定理建立方方程，解方程即可求出答案.
15．（2025八上·鄞州期末）如图， ，点 在 上．
（1）求证： ；
（2）若 平分 ，求 的度数．
【答案】（1）证明：∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠EAC= ∠CAD + Z∠EAC，
∴∠BAC= ∠EAD，
在△BAC和△EAD中，
，
∴△BAC≌△EAD(SAS)
（2）解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= ∠CAE = 42°，
∵∠BAE=∠CAD，
∴∠CAD=∠BAE= ∠CAE = 42°，
∵△BAC≌△EAD，
∴AC=AD，∠ACB= ∠D，
∴∠ACB=∠D=∠ACD，
∵∠ACD + ∠D + ∠CAD =180°， ∠ACD + ∠ACB +∠BCE=180°，
∴∠BCE= ∠CAD =42°
【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)根据SAS即可证明△BAC≌△EAD；
(2)由角平分线的定义得∠BAE=∠CAE，由全等三角形的性质得AC=AD，∠ACB=∠D，从而得∠ACB=∠D=∠ACD，进而可求出 BCE=∠CAD 的度数.
16．（2024八上·杭州月考）如图，已知，，．
（1）用直尺和圆规、作出线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）
（2）如果线段的垂直平分线交于点D，连结，已知，求的度数．
【答案】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：如图，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法，以点为圆心，大于线段一半的长度作为半径，画弧，两弧交于点，连接，则直线即为所求；
（2）根据线段的垂直平分线的性质得，由等腰三角形“等边对等角”性质得，然后根据三角形外角的性质得，最后利用三角形内角和定理即可求出的度数.
（1）如图，以点A，B为圆心，以大于线段一半的长度作为半径，画弧，两弧交于点M，N，过M，N作直线，
∴直线即为所求；
（2）如图所示，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
三、拓展创新：
17．（2024八上·海曙期末）等腰中，，，点为边上一点，满足，点与点位于直线的同侧，是等边三角形．
（1）请在图中将图形补充完整；
若点与点关于直线轴对称， ；
（2）如图所示，若，用等式表示线段、、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）根据题意，补全图形如图所示，
②75°
（2）解：如图，在上取一点，使，与的交点记作点，
是等边三角形，
，，
在中，，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，
≌，
，
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）②当点与点关于直线轴对称时，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
故答案为：；
【分析】(1)①根据题意画出图形即可；
②根据对称性得，由等边三角形的性质及三角形内角和定理可求出；
（2）在上取一点，使，与的交点记作点，根据等边三角形的性质及三角形内角和定理推出，然后根据全等三角形的判定定理SAS证明≌，由全等三角形的性质即可得到答案.
1 / 1浙教版（2024) 数学八年级上册2.3.1等腰三角形的性质定理 同步分层练习
一、夯实基础：
1．（2022八上·杭州期中）等腰三角形的一个底角是，则顶角的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
2．已知为等边三角形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·东莞期中）等腰三角形的一个角为，则其余两角的度数是（ ）
A．， B．，
C．，或， D．无法确定
4．（2024八上·海安月考）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八上·椒江月考）如图，已知等腰三角形，，长为半径画弧，交腰于点E，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·滨江期末）如图，在△ABC中，AB=AC，外角∠ACD=110°，则∠A= ．
7．（2024八上·萧山期中）△ABC是等腰三角形，∠C=100°，则∠A= .
8．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC.若∠B=65°，则∠BAD的度数为 .
9．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，，点，点分别在边上，满足，连接.
（1）求证：.
（2）若，求的度数.
二、能力提升：
10．（2025八上·嵊州期末）如图，等边中，，分别是，，连结，则的度数是( )
A． B． C． D．无法确定
11．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，，点是边AB上的一个动点，则的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
12． 如图，在△ABC中，∠ABC=100°，且AM=AN，CN=CP，则∠MNP为 °.
13． 如图，点A，C，F，E在同一直线上，△ABC是等边三角形，且CD=CE，EF=EG，则∠F= 度.
14．（2024八上·诸暨期末）如图，在ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝ ．
15．（2025八上·鄞州期末）如图， ，点 在 上．
（1）求证： ；
（2）若 平分 ，求 的度数．
16．（2024八上·杭州月考）如图，已知，，．
（1）用直尺和圆规、作出线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）
（2）如果线段的垂直平分线交于点D，连结，已知，求的度数．
三、拓展创新：
17．（2024八上·海曙期末）等腰中，，，点为边上一点，满足，点与点位于直线的同侧，是等边三角形．
（1）请在图中将图形补充完整；
若点与点关于直线轴对称， ；
（2）如图所示，若，用等式表示线段、、之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 等腰三角形的底角为 80° ，
它的一个顶角为 .
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形两底角相等及三角形的内角和定理即可算出答案.
2．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵为等边三角形 ，
∴∠A=60°.
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质即可求得.
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵三角形是等腰三角形，
∴当顶角是时，两个底角的度数为：.
当底角是时，则另一个底角的度数为50°，顶角的度数180°－50°×2=.
故答案为：C
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和是，分顶点是50°和一个底角是50°两种情况分别计算其他两个角的度数即可．
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠C=∠B=25°，再由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠ADB=∠C+∠CAD，从而代值计算可得答案.
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠EBC+∠BEC+∠ACB=180°，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据题意，得，再根据等腰三角形”等边对等角“性质得，最后根据三角形内角和定理得.
6．【答案】40°
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠ACD=110，
∴∠ACB=180-110=70；
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=70；
∴∠A=∠ACD-∠B=110-70=40.
故答案为：40.
【分析】先求出∠ACB=70；然后根据等边对等角得到∠B=∠ACB=70，然后利用三角形外角求出∠A即可.
7．【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵ △ABC是等腰三角形，∠C=100°，
∴∠A=∠B=(180°-∠C)=40°.
故答案为：40°.
【分析】由于等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和为180°可得∠C只能为等腰△ABC的顶角，据此即可求出∠A的度数.
8．【答案】25°
【知识点】角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵在等腰三角形ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C=65°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=50°，
∵AD平分∠BAC ，
∴.
故答案为：25°.
【分析】根据等边对等角得出∠B=∠C=65°， 根据三角形内角和是180°得出∠BAC=50°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线即可求解.
9．【答案】（1）证明：因为，
所以，所以
（2）因为，所以，
因为，所以，
所以，因为，
所以，
所以，所以
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由“SAS”证明出，即可解答；
（2）根据等腰三角形的性质“等边对等角”得出，再由全等三角形的性质得“”最后根据三角形的内角和为180°，即可解出∠A.
10．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵是等边三角形
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先得到，即可得到，然后利用三角形的外角的性质解题即可．
11．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵，，
∴．
∵是的外角，
∴，
∴，
∴度数可能是．
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形等边对等角的性质，先求出，再根据三角形外角的性质得出的范围，进而得出答案．
12．【答案】40
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解： AM=AN，CN=CP
，
， ∠ABC=100°
故答案为：40
【分析】根据等腰三角形的性质可得，，根据三角形内角和定理可得，则
，
根据平角的定义可得。
13．【答案】15
【知识点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： △ABC是等边三角形
CD=CE
EF=EG
故答案为：15
【分析】根据等边三角形的性质可得根据等腰三角形底角相等即可得出的度数。
14．【答案】115°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，
设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，
∴∠ABC＝∠BAD+∠BDA＝2x，∠ACB＝∠E+∠CAE＝2y，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴2x+2y+50°＝180°，
∴x+y＝65°，
∴∠DAE＝∠DAB+∠CAE+∠BAC＝65°+50°＝115°．
故答案为：115°．
【分析】根据等边对等角可得∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，根据三角形的内角和定理建立方方程，解方程即可求出答案.
15．【答案】（1）证明：∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠EAC= ∠CAD + Z∠EAC，
∴∠BAC= ∠EAD，
在△BAC和△EAD中，
，
∴△BAC≌△EAD(SAS)
（2）解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= ∠CAE = 42°，
∵∠BAE=∠CAD，
∴∠CAD=∠BAE= ∠CAE = 42°，
∵△BAC≌△EAD，
∴AC=AD，∠ACB= ∠D，
∴∠ACB=∠D=∠ACD，
∵∠ACD + ∠D + ∠CAD =180°， ∠ACD + ∠ACB +∠BCE=180°，
∴∠BCE= ∠CAD =42°
【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)根据SAS即可证明△BAC≌△EAD；
(2)由角平分线的定义得∠BAE=∠CAE，由全等三角形的性质得AC=AD，∠ACB=∠D，从而得∠ACB=∠D=∠ACD，进而可求出 BCE=∠CAD 的度数.
16．【答案】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：如图，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法，以点为圆心，大于线段一半的长度作为半径，画弧，两弧交于点，连接，则直线即为所求；
（2）根据线段的垂直平分线的性质得，由等腰三角形“等边对等角”性质得，然后根据三角形外角的性质得，最后利用三角形内角和定理即可求出的度数.
（1）如图，以点A，B为圆心，以大于线段一半的长度作为半径，画弧，两弧交于点M，N，过M，N作直线，
∴直线即为所求；
（2）如图所示，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
17．【答案】（1）根据题意，补全图形如图所示，
②75°
（2）解：如图，在上取一点，使，与的交点记作点，
是等边三角形，
，，
在中，，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，
≌，
，
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）②当点与点关于直线轴对称时，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
故答案为：；
【分析】(1)①根据题意画出图形即可；
②根据对称性得，由等边三角形的性质及三角形内角和定理可求出；
（2）在上取一点，使，与的交点记作点，根据等边三角形的性质及三角形内角和定理推出，然后根据全等三角形的判定定理SAS证明≌，由全等三角形的性质即可得到答案.
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