浙教版（2024) 数学八年级上册2.3.2 等腰三角形的性质定理 同步分层练习
一、夯实基础：
1．等腰三角形的“三线合一”指的是（ ）
A．中线、高线、角平分线互相重合
B．腰上的中线、腰上的高线、底角的平分线互相重合
C．顶角的平分线、中线、高线三线互相重合
D．顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线三线互相重合
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形的“三线合一”指的是： 顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线三线互相重合.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的性质即可作答.
2．（2025八上·玉林期末）如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
3．（2023八上·鄞州月考）如图，在中，，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
4．（2024八上·浙江期中）如图，是等腰底边上的中线，点在上，且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵是等腰三角形，，
∴，，
∵是上的中线，
∴，即是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：A ．
【分析】根据等腰三角形“等边对等角”性质以及三角形内角和定理得，由等腰三角形“三线合一”性质得是的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质可得，从而推出是等腰直角三角形，进而得，最后根据即可求解．
5．某地地震后，某同学用下面的方式检测教室的房梁是否水平．在等腰直角三角尺斜边AB的中点O处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点C，即判断房梁是水平的．这样做的理由是（ ）
A．等腰直角三角形的底角为45°
B．等腰三角形的中线和高线重合
C．等腰三角形的顶角平分线和底边上的中线重合
D．等腰三角形底边上的中线和底边上的高线重合
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中AC=BC，点O是AB的中点，
∴CO⊥AB.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形底边上的中线和底边上的高线重合可得结论.
6．（2023八上·北仑期中）如图，，，于，则 ．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质
7．（2016八上·龙湾期中）如图，已知AB=AC，∠1=∠2，BD=5cm，则BC= cm.
【答案】10
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB=AC，∠1=∠2，
∴BD=CD= BC，
∵BD=5，
∴BC=10cm
故答案为：10
【分析】根据等腰三角形的三线合一即可得出BC=2BD，从而得出答案。
8．（2022八上·桐乡市期中）李老师在探究等腰三角形“三线合一”性质时，部分板书如图所示，请帮他在横线上填一个适当的结论 ．
【答案】，平分．
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，，
是等腰三角形，
，平分，
故答案为：，平分．
【分析】根据“三线合一”解题即可．
9． 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证：AE=FE.
【答案】证明： AB=AC， AD⊥BC
EF∥AC
AE=FE
【知识点】两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】根据等腰三角形性质可得，根据平行线性质可得，则，可证AE=FE。
二、能力提升：
10．（2024八上·湖州期中）如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，∠B＝40°，则∠BAD＝（ ）
A．100° B．80° C．50° D．40°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】∵AB＝AC，D 是 BC 的中点，
∴AD⊥BC，
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
故选C．
【分析】先由等腰三角形三线合一性质得 AD⊥BC，再由直角三角形两锐角互余即可．
11．如图，在等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的中线，DE是△ABD的高线.图中与∠BAD相等的角有( ).
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AD是等腰ABC底边上的中线
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC
∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=90°
∴∠BAD+∠B=90°
∵DE是ABD的高线
∴DE⊥AB
∴∠BED=90°
∴∠BDE+∠B=90°
∠BAD=∠BDE
即与∠BAD相等的角有2个
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质，中线、高线的性质等即可求出答案.
12．（2024八上·连云港月考）已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有（ ）
（1）AD平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）BD=CD；（4）AD⊥BC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-三线合一
13．（2024八上·婺城月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为 ．
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
14．（2024八上·浙江期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠CPE的度数是 °.
【答案】60
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接BP，
∵ΔABC是等边三角形，AD是BC边上的高，
∴D是BC中点，
∴AD垂直平分BC，
∴PB=PC.
∴PC+PE=PB+PE≥BE，
当B、P、E三点共线时，PC+PE有最小值，
∵点E是AC边的中点，
∴BE⊥AC
∴∠CEP=∠CEB=90°，
∵ΔABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，BE⊥AC，
∴BE平分∠ABC.
∴∠CBE=∠ABC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠CPE=∠PBC+ ∠PCB=60°.
故选：60.
【分析】先说明当B、P、E三点共线时，PC+PE有最小值，再说明PE平分∠ABC，求出∠CBE，再利用三角形的外角的性质求出∠CPE.
15．（2024八上·路桥期中）如图，在四边形中，，E为中点，连接并延长交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）已知，．当为何值时，点E在的平分线上？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵，
∴，，
∵E为中点，
∴，
在△ADE和△FCE中，
∴，
∴；
（2）解：当时，点E在的平分线上，理由如下：
连接，如图所示：
由（1）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
即AB=8时，点E在的平分线上．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由平行线的性质推出，，由判定，推出；
（2）由，推出，由等腰三角形的性质推出平分，即可得点E在的平分线上．
（1）证明：∵，
∴，，
∵E为中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当时，点E在的平分线上，理由如下：
连接，
由（1）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵），
∴，
∴平分，
∴点E在的平分线上．
16．已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，P是AD上任意一点.
求证：∠ABP=∠ACP.
【答案】证明：∵△ABC中，AB=AC，AD为BC边的中线，
∴AD是角平分线，
∴∠BAP=∠CAP，
在△ABP与△ACP中，
，
∴△ABP≌△ACP（SAS），
∴∠ABP=∠ACP．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质得出AD是角平分线，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出∠BAP=∠CAP，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△ABP与△ACP全等，根据全等三角形对应角相等即可证明.
17．（2024八上·杭州月考）求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等（要求画图，写已知、求证、然后证明）
【答案】证明：已知：如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
求证：DE=DF．
证明：如图，连接AD，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD为∠BAC的平分线，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴等腰三角形底边中点到两腰的距离相等．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】先写出已知、求证，然后根据等腰三角形的性质和角平分线的性质进行证明即可．
三、拓展创新：
18．（2022八上·海淀期中）周末，老师带同学去北京植物园中的一二﹒九运动纪念广场，这里有三座侧面为三角形的纪念亭，挺拔的建筑线条象征青年朝气蓬勃、积极向上的精神．基于纪念亭的几何特征，同学们编拟了如下的数学问题：
如图1，点A，B，C，D在同一条直线上，在四个论断“EA=ED，EF⊥AD，AB=DC，FB=FC”中选择三个作为已知条件，另一个作为结论，构成真命题（补充已知和求证），并进行证明．
已知：如图，点A，B，C，D在同一条直线上， ．
求证： ．
证明： ．
【答案】解：已知：如图，EA=ED，EF⊥AD，AB=DC，求证FB=FC．理由：延长EF交BC于H．
∵EA=ED，EF⊥AD，
∴AH=HD（等腰三角形三线合一），
∵AB=DC，
∴BH=CH，∵FH⊥BC，
∴FB=FC．
故答案为EA=ED，EF⊥AD，AB=DC；FB=FC；
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】延长EF交BC于H，由EA=ED，EF⊥AD，根据等腰三角形三线合一（等腰三角形的三线合一指的是顶角平分线、底边中线和高线互相重合）推出AH=HD，由AB=DC推出BH=CH，由FH⊥BC推出FB=FC；由EA=ED，EF⊥AD推出AH=HD，由AB=DC，推出BH=CH，由FH⊥BC推出FB=FC．
1 / 1浙教版（2024) 数学八年级上册2.3.2 等腰三角形的性质定理 同步分层练习
一、夯实基础：
1．等腰三角形的“三线合一”指的是（ ）
A．中线、高线、角平分线互相重合
B．腰上的中线、腰上的高线、底角的平分线互相重合
C．顶角的平分线、中线、高线三线互相重合
D．顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线三线互相重合
2．（2025八上·玉林期末）如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
3．（2023八上·鄞州月考）如图，在中，，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
4．（2024八上·浙江期中）如图，是等腰底边上的中线，点在上，且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．某地地震后，某同学用下面的方式检测教室的房梁是否水平．在等腰直角三角尺斜边AB的中点O处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点C，即判断房梁是水平的．这样做的理由是（ ）
A．等腰直角三角形的底角为45°
B．等腰三角形的中线和高线重合
C．等腰三角形的顶角平分线和底边上的中线重合
D．等腰三角形底边上的中线和底边上的高线重合
6．（2023八上·北仑期中）如图，，，于，则 ．
7．（2016八上·龙湾期中）如图，已知AB=AC，∠1=∠2，BD=5cm，则BC= cm.
8．（2022八上·桐乡市期中）李老师在探究等腰三角形“三线合一”性质时，部分板书如图所示，请帮他在横线上填一个适当的结论 ．
9． 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证：AE=FE.
二、能力提升：
10．（2024八上·湖州期中）如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，∠B＝40°，则∠BAD＝（ ）
A．100° B．80° C．50° D．40°
11．如图，在等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的中线，DE是△ABD的高线.图中与∠BAD相等的角有( ).
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2024八上·连云港月考）已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有（ ）
（1）AD平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）BD=CD；（4）AD⊥BC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2024八上·婺城月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为 ．
14．（2024八上·浙江期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠CPE的度数是 °.
15．（2024八上·路桥期中）如图，在四边形中，，E为中点，连接并延长交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）已知，．当为何值时，点E在的平分线上？请说明理由．
16．已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，P是AD上任意一点.
求证：∠ABP=∠ACP.
17．（2024八上·杭州月考）求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等（要求画图，写已知、求证、然后证明）
三、拓展创新：
18．（2022八上·海淀期中）周末，老师带同学去北京植物园中的一二﹒九运动纪念广场，这里有三座侧面为三角形的纪念亭，挺拔的建筑线条象征青年朝气蓬勃、积极向上的精神．基于纪念亭的几何特征，同学们编拟了如下的数学问题：
如图1，点A，B，C，D在同一条直线上，在四个论断“EA=ED，EF⊥AD，AB=DC，FB=FC”中选择三个作为已知条件，另一个作为结论，构成真命题（补充已知和求证），并进行证明．
已知：如图，点A，B，C，D在同一条直线上， ．
求证： ．
证明： ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形的“三线合一”指的是： 顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线三线互相重合.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的性质即可作答.
2．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
3．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵是等腰三角形，，
∴，，
∵是上的中线，
∴，即是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：A ．
【分析】根据等腰三角形“等边对等角”性质以及三角形内角和定理得，由等腰三角形“三线合一”性质得是的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质可得，从而推出是等腰直角三角形，进而得，最后根据即可求解．
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中AC=BC，点O是AB的中点，
∴CO⊥AB.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形底边上的中线和底边上的高线重合可得结论.
6．【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质
7．【答案】10
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB=AC，∠1=∠2，
∴BD=CD= BC，
∵BD=5，
∴BC=10cm
故答案为：10
【分析】根据等腰三角形的三线合一即可得出BC=2BD，从而得出答案。
8．【答案】，平分．
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，，
是等腰三角形，
，平分，
故答案为：，平分．
【分析】根据“三线合一”解题即可．
9．【答案】证明： AB=AC， AD⊥BC
EF∥AC
AE=FE
【知识点】两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】根据等腰三角形性质可得，根据平行线性质可得，则，可证AE=FE。
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】∵AB＝AC，D 是 BC 的中点，
∴AD⊥BC，
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
故选C．
【分析】先由等腰三角形三线合一性质得 AD⊥BC，再由直角三角形两锐角互余即可．
11．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AD是等腰ABC底边上的中线
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC
∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=90°
∴∠BAD+∠B=90°
∵DE是ABD的高线
∴DE⊥AB
∴∠BED=90°
∴∠BDE+∠B=90°
∠BAD=∠BDE
即与∠BAD相等的角有2个
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质，中线、高线的性质等即可求出答案.
12．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-三线合一
13．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
14．【答案】60
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接BP，
∵ΔABC是等边三角形，AD是BC边上的高，
∴D是BC中点，
∴AD垂直平分BC，
∴PB=PC.
∴PC+PE=PB+PE≥BE，
当B、P、E三点共线时，PC+PE有最小值，
∵点E是AC边的中点，
∴BE⊥AC
∴∠CEP=∠CEB=90°，
∵ΔABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，BE⊥AC，
∴BE平分∠ABC.
∴∠CBE=∠ABC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠CPE=∠PBC+ ∠PCB=60°.
故选：60.
【分析】先说明当B、P、E三点共线时，PC+PE有最小值，再说明PE平分∠ABC，求出∠CBE，再利用三角形的外角的性质求出∠CPE.
15．【答案】（1）证明：∵，
∴，，
∵E为中点，
∴，
在△ADE和△FCE中，
∴，
∴；
（2）解：当时，点E在的平分线上，理由如下：
连接，如图所示：
由（1）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
即AB=8时，点E在的平分线上．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由平行线的性质推出，，由判定，推出；
（2）由，推出，由等腰三角形的性质推出平分，即可得点E在的平分线上．
（1）证明：∵，
∴，，
∵E为中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当时，点E在的平分线上，理由如下：
连接，
由（1）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵），
∴，
∴平分，
∴点E在的平分线上．
16．【答案】证明：∵△ABC中，AB=AC，AD为BC边的中线，
∴AD是角平分线，
∴∠BAP=∠CAP，
在△ABP与△ACP中，
，
∴△ABP≌△ACP（SAS），
∴∠ABP=∠ACP．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质得出AD是角平分线，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出∠BAP=∠CAP，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△ABP与△ACP全等，根据全等三角形对应角相等即可证明.
17．【答案】证明：已知：如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
求证：DE=DF．
证明：如图，连接AD，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD为∠BAC的平分线，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴等腰三角形底边中点到两腰的距离相等．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】先写出已知、求证，然后根据等腰三角形的性质和角平分线的性质进行证明即可．
18．【答案】解：已知：如图，EA=ED，EF⊥AD，AB=DC，求证FB=FC．理由：延长EF交BC于H．
∵EA=ED，EF⊥AD，
∴AH=HD（等腰三角形三线合一），
∵AB=DC，
∴BH=CH，∵FH⊥BC，
∴FB=FC．
故答案为EA=ED，EF⊥AD，AB=DC；FB=FC；
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】延长EF交BC于H，由EA=ED，EF⊥AD，根据等腰三角形三线合一（等腰三角形的三线合一指的是顶角平分线、底边中线和高线互相重合）推出AH=HD，由AB=DC推出BH=CH，由FH⊥BC推出FB=FC；由EA=ED，EF⊥AD推出AH=HD，由AB=DC，推出BH=CH，由FH⊥BC推出FB=FC．
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