1.3证明-浙教版（2024）数学八（上）进阶同步练
一、选择题
1．（2024八上·诸暨月考）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．80°
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解∶∵∠1=100°，∠C=70°，
∴∠A=∠1﹣∠C=100°﹣70°=30°．
故选：C．
【分析】根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”列式计算．
2．（2024八上·杭州月考）如图，将三角形纸板直角顶点放在直尺上，∠1＝35°，∠2＝69°，则∠3的度数为（ ）
A．34° B．35° C．69° D．104°
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠2＝∠1+∠3，∠1＝35°，∠2＝69°，
∴∠3=∠2-∠1=69°-35°=34°，
故答案为：A．
【分析】根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和，即可得到答案.
3．如图，平分，求证：.以下是排乱的证明过程：
①(已知)，
②平分(已知)，
③(角平分线的定义)，
④(两直线平行，同位角相等)，
⑤(等量代换).
证明步 顺序正确的是（ ）
A．③②①④⑤ B．①④②③⑤
C．①③④②⑤ D．①④③②⑤
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；证明的含义与一般步骤
【解析】【解答】.
平分，
，
.
故正确的证明步聚是①④②③⑤.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得∠2=∠3；根据角平分线的性质，可得∠1=∠2；根据等量代换原则，可得∠1=∠3.
4．在证明过程中，作为逻辑推理依据最全的是（ ）
A．基本事实、定理
B．定义、基本事实、定理
C．基本事实、定理、题设(已知条件)
D．定义、基本事实、定理、题设(已知条件)
【答案】D
【知识点】证明的含义与一般步骤
【解析】【解答】解：在证明过程中，定义、基本事实、定理、题设（已知条件）都可以作为逻辑推理的依据.
故答案为：D.
【分析】 定理和命题就是在定义和公理的基础上通过理性的加工使得理论的再延伸，我认为它们的区别主要在于，定理的理论高度比命题高些，定理主要是描述各定义（范畴）间的逻辑关系，命题一般描述的是某种对应关系（非范畴性的）。
5．（2024八上·浙江期中）将一副直角三角板按如图所示方式摆放，含角的三角板的斜边经过含角的三角板的直角顶点，短的直角边与含角的三角板的斜边重合，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意，得，，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】如图，根据三角形的外角性质即可得到结论．
6．（2024八上·义乌月考）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）
A．120° B．90° C．100° D．30°
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠A+∠B，
∵∠ACD=120°，∠B =20°，
∴∠A=∠ACD﹣∠B
=120°﹣20°
=100°.
故答案为：C．
【分析】根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求解.
7．（2024八上·拱墅月考）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，不小心打碎了玻璃窗．老师问他们是谁打碎了玻璃窗．
甲说：“是丙，也可能是丁打碎的．”
乙说：“一定是丁打碎的．”
丙说：“我没有打碎玻璃窗．”
丁说：“我没有干这件事．”
若四位同学中只有一位说了谎话，由此我们可以推断，打碎玻璃的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：A、假设是甲打碎玻璃窗，可推出甲、乙2人说了谎，故A不符合题意；
B、假设是乙打碎玻璃窗，可推出甲、乙2人说了谎，B不符合题意；
C、假设是丙打碎玻璃窗，可推出乙、丙2人说了谎，故C不符合题意；
D、假设是丁打碎玻璃窗，可推出丁1人说了谎，故D符合题意；
故选：D．
【分析】根据题意，利用假设法逐一判断即可．
8．（2025七下·柯桥期末） 如果甲同学的语文分数或英语分数至少有一门比乙同学高，则称甲同学不亚于乙同学．在班级45个学生中，如果某同学不亚于其他44人，就称他（她）为“潜力之星”，那么某班45个学生中的“潜力之星”最多可能有（ ）
A．22人 B．23人 C．44人 D．45人
【答案】D
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：要使“潜力之星”最多，可将每名学生的长处与其他同学的短处相比较；
取45人一种特殊情况：他们中语文成绩与英语成绩都互不相等，并且语文成绩最高者英语成绩最低，语文成绩次高者英语成绩次低，
这样以来，语文成绩最好的学生(语文优于其他44人)自然是“潜力之星”，语文成绩第二的学生(优于其他43人)英语比较是倒数第二(优于1人)，他也是“潜力之星”，同理可说明45人可以都是“潜力之星”，
故答案为：D.
【分析】通过将学生分为两组，语文组和英语组，分别在语文和英语科目上形成互补优势，确保两组内、组间的学生均满足"不亚于'条件.
二、填空题
9． 如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，那么∠A+∠P= .
【答案】90°
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解： BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°
ABP=CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°
ABC=2ABP=40°，ACM=2ACP=100°
A=ACM-ABC=100°-40°=60°
P=PCM-CBP=50°-20°=30°
A+P=30°+60°=90°
故答案为：90°
【分析】根据角平分线的定义可得ABP=CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，ABC=2ABP=40°，ACM=2ACP=100°，根据三角形外角的性质可得A=ACM-ABC=100°-40°=60°，P=PCM-CBP=50°-20°=30°，则A+P=30°+60°=90°。
10．（2022七下·南京期末）结合下图，用符号语言表达定理“同位角相等，两直线平行”的推理形式：
∵ ，
∴a∥b．
【答案】∠1＝∠3
【知识点】平行线的判定；推理与论证
【解析】【解答】解：∵∠1和∠3是同位角，
∴若∠1=∠3，则 a∥b．
故答案为：∠1=∠3.
【分析】 同位角有两个特征，1. 在截线的同旁；2.在被截两直线的同方向； 依此找出同位角，再列等式即可.
11． 已知：如图，△ABC的两条高线BE，CF相交于点O。
求证：∠BOC=180°-∠A(填空)。
证明：因为BE，CF是△ABC的两条高线( )，
所以∠OEC=∠BFC=90°( )。
因为∠ACF+∠A=∠BFC=90°( )，
所以∠ACF=90°-∠A。
所以
【答案】已知；高的定义；三角形的外角定理
【知识点】三角形外角的概念及性质；证明的含义与一般步骤
【解析】【解答】解：题干明确指出 BE，CF是△ABC的两条高线，所以第一空填“已知”，根据“高的定义”即可得出 ∠OEC=∠BFC=90° ， ∠ACF+∠A=∠BFC =90°体现的是三角形的外角定理，即“三角形的外角等于不相邻的两个内角和”。
故答案为：已知；高的定义；三角形外角定理 .
【分析】利用高的定义得到 ∠OEC=∠BFC=90° ，再结合三角形外角定理有 ∠ACF=90°-∠A ，再进行等量代换即可证明。
12．（2023八上·武威开学考）小明沿街心公园的环形跑道从起点出发按逆时针方向跑步，他用软件记录了跑步的轨迹，他每跑1km软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前5 km 的记录如图所示.已知该环形跑道一圈的周长大于1km.小明恰好跑3圈时，路程 5km (填“超过”或“不超过”)
【答案】不超过
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】根据题意可知，标注2km的位置位于标注1km的前面，
∴小明跑完第一圈的路程的路程大于1km，小于2千米；
同理可得，小明跑完第二圈的路程的路程大于2km，小于3千米；
∴小明跑完第三圈的路程的路程大于4km，小于5千米；
∴小明恰好跑3圈时，路程没有超过了5km，
故答案为：不超过.
【分析】先根据题意求出小明恰好跑3圈时，路程大于4km，小于5千米，再求解即可.
三、解答题
13．
（1）如图，若∠α=∠β，则AB∥CD.这个命题是真命题还是假命题
（2）若上述命题是真命题，请说明理由；若上述命题是假命题，请再添加一个条件，使该命题成为真命题，并说明理由.
【答案】（1）解：假命题；
（2）解：添加条件：BE∥DF，理由如下：
∵BE∥DF，
∴∠EBD=∠FDG，即∠α+∠ABD=∠β+∠CDG，
∵∠α=∠β，
∴∠ABD=∠CDG，
∴AB∥CD．
【知识点】平行线的判定与性质；证明的含义与一般步骤；举反例判断命题真假
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定定理即可求解；
（2）添加条件为BE∥DF，根据两直线平行，同位角相等得∠EBD=∠FDG，从而由角的和差关系、∠α=∠β，得∠ABD=∠CDG，进而根据同位角相等，两直线平行得证AB∥CD．
14．（2025七下·肇庆月考）将下列证明过程补充完整：
已知：如图，点分别在上，分别交于点，．
求证：．
证明：因为（已知）
又因为（____________），
所以___________（等量代换）．
所以（ ）
所以（____________）．
又因为（已知），
所以（____________）．
所以__________（ ）．
所以（ ）．
【答案】证明：∵（已知），
又∵（对顶角相等），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（等量代换）．
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理步骤分析求解即可.
15．（2025七下·青秀月考）填空：如图，于，于，，可得平分．
理由如下：
于，于（已知），
（______）．
（______）．
（______），
．
又（______），
（______）．
平分（______）．
【答案】证明：于．于（已知）．
（垂直的定义），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
．
又（已知）．
（等量代换），
平分（角平分线的定义）．
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法及角平分线的定义和推理的步骤分析求解即可
16． 已知：如图，直线a，b被直线c所截，且.
求证： a∥b.
你有几种证明方法
【答案】证明：
方法一： ∵∠1+∠2 =180°，∠2+∠6=180°，
∴∠1=∠6，
∴allb.
方法二： ∵∠1+∠2=180°，∠1= ∠5，
∴∠2+∠5 =180°，
∴allb.
方法三： ∵∠1+∠2=180°， ∠1+∠3=180°，
∴∠2=∠3，
∴allb.
方法四： ∵∠1+∠2=180°， ∠1+∠4=180°，
∴∠2 =∠4，
∴allb.
【知识点】平行线的判定；证明的含义与一般步骤
【解析】【分析】
方法一：只要证明∠1 =∠6，根据同位角相等，两直线平行得到结论.
方法二： 只要证明∠2+∠5 =180°，根据同旁内角互补，两直线平行得到结论.
方法三：只要证明∠2 =∠3，根据同位角相等，两直线平行得到结论.
方法四：只要证明∠4 =∠2，根据内错角相等，两直线平行解答.
17．（2024八上·铜梁开学考）如图，点，分别在直线，上，连接，，，分别与，相交于点，，，．
（1）求证：；
（2）求证：．
（3）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵∠1=∠2，∠1=∠CGD，
∴∠2=∠CGD，
∴BF∥CE.
（2）证明： ∵BF∥CE
∴∠AEC=∠B，
∵∠AEC=∠BFD，
∴∠B=∠BFD，
∴AB∥CD，
∴∠BAD=∠ADC．
（3）解：∵BF∥CE，AB∥CD，
∴∠BHD=∠EGD，∠AEG=∠C=68°，
∴∠EGD=∠A+∠AEG=98°，
∴∠BHD=∠EGD=98°.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等，可以推算出∠2=∠CGD，根据同位角相等，两直线平行，即可证得；
（2）根据两直线平行，同位角相等可得∠AEC=∠B，推得∠B=∠BFD，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等即可证明；
（3）根据两直线平行，同位角相等，内错角相等可得∠BHD=∠EGD，∠AEG=∠C=68°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠EGD=∠A+∠AEG=98°，故∠BHD=∠EGD=98°.
（1）证明：∵直线与相交，
∴（对顶角相等），
∵，
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
（2）证明：∵，
∴（两直线平行，同位角相等）．
又∵，
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等）．
（3）解：由（1）（2）得到，，
，
，
，
．
18．（2023八上·永兴月考）证明命题“三角形的外角和等于”是真命题．
已知：
求证：
证明：
【答案】已知：如图所示，
分别为三个外角，
求证：．
证明：∵，，，
∴
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；证明的含义与一般步骤
【解析】【分析】根据命题证明的解题方法，写出已知、求证，再证明，结合邻补角性质及三角形内角和定理即可求出答案.
19．（2023八上·北京市期中） 下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°， 已知：如图，， 求证：
【答案】解：证明：
方法一：过点作，
则，． 两直线平行，内错角相等）
∵点，，在同一条直线上，
∴．（平角的定义）
．
即三角形的内角和为．
方法二：
如图，过点C作
∵CD//AB，
∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，
∴∠B+∠ACB+∠A=180°．
即三角形的内角和为．
【知识点】三角形内角和定理；推理与论证
【解析】【分析】利用平行线的性质来证明三角形的内角和即可.
20．（2024八上·温江期末）如图1，在中，平分．
（1）若为线段上的一个点，过点作交线段的延长线于点．
①若，，则 ；
②猜想与、之间的数量关系，并给出证明．
（2）如图2，若在线段的延长线上，过点作交直线于点，请直接写出与、的数量关系．
【答案】（1）①
②，证明如下：
∵平分，，
∴，
∵，
∵，
∴；
（2）
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）①∵，，∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵平分，，
∴，
∵，
∵，
∴．
【分析】（1）①先根据三角形内角和定理得到∠BAC的度数，进而根据角平分线的定义得到，等量代换得到，再根据垂直即可求解；
②先根据角平分线的定义结合三角形内角和定理得到，再根据垂直进行角的运算即可求解；
（2）根据角平分线的定义结合三角形内角和定理得到，进而根据垂直进行角的运算即可求解。
（1）解：①∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
②，证明如下：
∵平分，，
∴，
∵，
∵，
∴；
（2）∵平分，，
∴，
∵，
∵，
∴．
1 / 11.3证明-浙教版（2024）数学八（上）进阶同步练
一、选择题
1．（2024八上·诸暨月考）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．80°
2．（2024八上·杭州月考）如图，将三角形纸板直角顶点放在直尺上，∠1＝35°，∠2＝69°，则∠3的度数为（ ）
A．34° B．35° C．69° D．104°
3．如图，平分，求证：.以下是排乱的证明过程：
①(已知)，
②平分(已知)，
③(角平分线的定义)，
④(两直线平行，同位角相等)，
⑤(等量代换).
证明步 顺序正确的是（ ）
A．③②①④⑤ B．①④②③⑤
C．①③④②⑤ D．①④③②⑤
4．在证明过程中，作为逻辑推理依据最全的是（ ）
A．基本事实、定理
B．定义、基本事实、定理
C．基本事实、定理、题设(已知条件)
D．定义、基本事实、定理、题设(已知条件)
5．（2024八上·浙江期中）将一副直角三角板按如图所示方式摆放，含角的三角板的斜边经过含角的三角板的直角顶点，短的直角边与含角的三角板的斜边重合，则为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·义乌月考）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）
A．120° B．90° C．100° D．30°
7．（2024八上·拱墅月考）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，不小心打碎了玻璃窗．老师问他们是谁打碎了玻璃窗．
甲说：“是丙，也可能是丁打碎的．”
乙说：“一定是丁打碎的．”
丙说：“我没有打碎玻璃窗．”
丁说：“我没有干这件事．”
若四位同学中只有一位说了谎话，由此我们可以推断，打碎玻璃的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（2025七下·柯桥期末） 如果甲同学的语文分数或英语分数至少有一门比乙同学高，则称甲同学不亚于乙同学．在班级45个学生中，如果某同学不亚于其他44人，就称他（她）为“潜力之星”，那么某班45个学生中的“潜力之星”最多可能有（ ）
A．22人 B．23人 C．44人 D．45人
二、填空题
9． 如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，那么∠A+∠P= .
10．（2022七下·南京期末）结合下图，用符号语言表达定理“同位角相等，两直线平行”的推理形式：
∵ ，
∴a∥b．
11． 已知：如图，△ABC的两条高线BE，CF相交于点O。
求证：∠BOC=180°-∠A(填空)。
证明：因为BE，CF是△ABC的两条高线( )，
所以∠OEC=∠BFC=90°( )。
因为∠ACF+∠A=∠BFC=90°( )，
所以∠ACF=90°-∠A。
所以
12．（2023八上·武威开学考）小明沿街心公园的环形跑道从起点出发按逆时针方向跑步，他用软件记录了跑步的轨迹，他每跑1km软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前5 km 的记录如图所示.已知该环形跑道一圈的周长大于1km.小明恰好跑3圈时，路程 5km (填“超过”或“不超过”)
三、解答题
13．
（1）如图，若∠α=∠β，则AB∥CD.这个命题是真命题还是假命题
（2）若上述命题是真命题，请说明理由；若上述命题是假命题，请再添加一个条件，使该命题成为真命题，并说明理由.
14．（2025七下·肇庆月考）将下列证明过程补充完整：
已知：如图，点分别在上，分别交于点，．
求证：．
证明：因为（已知）
又因为（____________），
所以___________（等量代换）．
所以（ ）
所以（____________）．
又因为（已知），
所以（____________）．
所以__________（ ）．
所以（ ）．
15．（2025七下·青秀月考）填空：如图，于，于，，可得平分．
理由如下：
于，于（已知），
（______）．
（______）．
（______），
．
又（______），
（______）．
平分（______）．
16． 已知：如图，直线a，b被直线c所截，且.
求证： a∥b.
你有几种证明方法
17．（2024八上·铜梁开学考）如图，点，分别在直线，上，连接，，，分别与，相交于点，，，．
（1）求证：；
（2）求证：．
（3）若，求的度数．
18．（2023八上·永兴月考）证明命题“三角形的外角和等于”是真命题．
已知：
求证：
证明：
19．（2023八上·北京市期中） 下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°， 已知：如图，， 求证：
20．（2024八上·温江期末）如图1，在中，平分．
（1）若为线段上的一个点，过点作交线段的延长线于点．
①若，，则 ；
②猜想与、之间的数量关系，并给出证明．
（2）如图2，若在线段的延长线上，过点作交直线于点，请直接写出与、的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解∶∵∠1=100°，∠C=70°，
∴∠A=∠1﹣∠C=100°﹣70°=30°．
故选：C．
【分析】根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”列式计算．
2．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠2＝∠1+∠3，∠1＝35°，∠2＝69°，
∴∠3=∠2-∠1=69°-35°=34°，
故答案为：A．
【分析】根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和，即可得到答案.
3．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；证明的含义与一般步骤
【解析】【解答】.
平分，
，
.
故正确的证明步聚是①④②③⑤.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得∠2=∠3；根据角平分线的性质，可得∠1=∠2；根据等量代换原则，可得∠1=∠3.
4．【答案】D
【知识点】证明的含义与一般步骤
【解析】【解答】解：在证明过程中，定义、基本事实、定理、题设（已知条件）都可以作为逻辑推理的依据.
故答案为：D.
【分析】 定理和命题就是在定义和公理的基础上通过理性的加工使得理论的再延伸，我认为它们的区别主要在于，定理的理论高度比命题高些，定理主要是描述各定义（范畴）间的逻辑关系，命题一般描述的是某种对应关系（非范畴性的）。
5．【答案】B
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意，得，，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】如图，根据三角形的外角性质即可得到结论．
6．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠A+∠B，
∵∠ACD=120°，∠B =20°，
∴∠A=∠ACD﹣∠B
=120°﹣20°
=100°.
故答案为：C．
【分析】根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求解.
7．【答案】D
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：A、假设是甲打碎玻璃窗，可推出甲、乙2人说了谎，故A不符合题意；
B、假设是乙打碎玻璃窗，可推出甲、乙2人说了谎，B不符合题意；
C、假设是丙打碎玻璃窗，可推出乙、丙2人说了谎，故C不符合题意；
D、假设是丁打碎玻璃窗，可推出丁1人说了谎，故D符合题意；
故选：D．
【分析】根据题意，利用假设法逐一判断即可．
8．【答案】D
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：要使“潜力之星”最多，可将每名学生的长处与其他同学的短处相比较；
取45人一种特殊情况：他们中语文成绩与英语成绩都互不相等，并且语文成绩最高者英语成绩最低，语文成绩次高者英语成绩次低，
这样以来，语文成绩最好的学生(语文优于其他44人)自然是“潜力之星”，语文成绩第二的学生(优于其他43人)英语比较是倒数第二(优于1人)，他也是“潜力之星”，同理可说明45人可以都是“潜力之星”，
故答案为：D.
【分析】通过将学生分为两组，语文组和英语组，分别在语文和英语科目上形成互补优势，确保两组内、组间的学生均满足"不亚于'条件.
9．【答案】90°
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解： BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°
ABP=CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°
ABC=2ABP=40°，ACM=2ACP=100°
A=ACM-ABC=100°-40°=60°
P=PCM-CBP=50°-20°=30°
A+P=30°+60°=90°
故答案为：90°
【分析】根据角平分线的定义可得ABP=CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，ABC=2ABP=40°，ACM=2ACP=100°，根据三角形外角的性质可得A=ACM-ABC=100°-40°=60°，P=PCM-CBP=50°-20°=30°，则A+P=30°+60°=90°。
10．【答案】∠1＝∠3
【知识点】平行线的判定；推理与论证
【解析】【解答】解：∵∠1和∠3是同位角，
∴若∠1=∠3，则 a∥b．
故答案为：∠1=∠3.
【分析】 同位角有两个特征，1. 在截线的同旁；2.在被截两直线的同方向； 依此找出同位角，再列等式即可.
11．【答案】已知；高的定义；三角形的外角定理
【知识点】三角形外角的概念及性质；证明的含义与一般步骤
【解析】【解答】解：题干明确指出 BE，CF是△ABC的两条高线，所以第一空填“已知”，根据“高的定义”即可得出 ∠OEC=∠BFC=90° ， ∠ACF+∠A=∠BFC =90°体现的是三角形的外角定理，即“三角形的外角等于不相邻的两个内角和”。
故答案为：已知；高的定义；三角形外角定理 .
【分析】利用高的定义得到 ∠OEC=∠BFC=90° ，再结合三角形外角定理有 ∠ACF=90°-∠A ，再进行等量代换即可证明。
12．【答案】不超过
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】根据题意可知，标注2km的位置位于标注1km的前面，
∴小明跑完第一圈的路程的路程大于1km，小于2千米；
同理可得，小明跑完第二圈的路程的路程大于2km，小于3千米；
∴小明跑完第三圈的路程的路程大于4km，小于5千米；
∴小明恰好跑3圈时，路程没有超过了5km，
故答案为：不超过.
【分析】先根据题意求出小明恰好跑3圈时，路程大于4km，小于5千米，再求解即可.
13．【答案】（1）解：假命题；
（2）解：添加条件：BE∥DF，理由如下：
∵BE∥DF，
∴∠EBD=∠FDG，即∠α+∠ABD=∠β+∠CDG，
∵∠α=∠β，
∴∠ABD=∠CDG，
∴AB∥CD．
【知识点】平行线的判定与性质；证明的含义与一般步骤；举反例判断命题真假
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定定理即可求解；
（2）添加条件为BE∥DF，根据两直线平行，同位角相等得∠EBD=∠FDG，从而由角的和差关系、∠α=∠β，得∠ABD=∠CDG，进而根据同位角相等，两直线平行得证AB∥CD．
14．【答案】证明：∵（已知），
又∵（对顶角相等），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（等量代换）．
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理步骤分析求解即可.
15．【答案】证明：于．于（已知）．
（垂直的定义），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
．
又（已知）．
（等量代换），
平分（角平分线的定义）．
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法及角平分线的定义和推理的步骤分析求解即可
16．【答案】证明：
方法一： ∵∠1+∠2 =180°，∠2+∠6=180°，
∴∠1=∠6，
∴allb.
方法二： ∵∠1+∠2=180°，∠1= ∠5，
∴∠2+∠5 =180°，
∴allb.
方法三： ∵∠1+∠2=180°， ∠1+∠3=180°，
∴∠2=∠3，
∴allb.
方法四： ∵∠1+∠2=180°， ∠1+∠4=180°，
∴∠2 =∠4，
∴allb.
【知识点】平行线的判定；证明的含义与一般步骤
【解析】【分析】
方法一：只要证明∠1 =∠6，根据同位角相等，两直线平行得到结论.
方法二： 只要证明∠2+∠5 =180°，根据同旁内角互补，两直线平行得到结论.
方法三：只要证明∠2 =∠3，根据同位角相等，两直线平行得到结论.
方法四：只要证明∠4 =∠2，根据内错角相等，两直线平行解答.
17．【答案】（1）证明：∵∠1=∠2，∠1=∠CGD，
∴∠2=∠CGD，
∴BF∥CE.
（2）证明： ∵BF∥CE
∴∠AEC=∠B，
∵∠AEC=∠BFD，
∴∠B=∠BFD，
∴AB∥CD，
∴∠BAD=∠ADC．
（3）解：∵BF∥CE，AB∥CD，
∴∠BHD=∠EGD，∠AEG=∠C=68°，
∴∠EGD=∠A+∠AEG=98°，
∴∠BHD=∠EGD=98°.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等，可以推算出∠2=∠CGD，根据同位角相等，两直线平行，即可证得；
（2）根据两直线平行，同位角相等可得∠AEC=∠B，推得∠B=∠BFD，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等即可证明；
（3）根据两直线平行，同位角相等，内错角相等可得∠BHD=∠EGD，∠AEG=∠C=68°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠EGD=∠A+∠AEG=98°，故∠BHD=∠EGD=98°.
（1）证明：∵直线与相交，
∴（对顶角相等），
∵，
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
（2）证明：∵，
∴（两直线平行，同位角相等）．
又∵，
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等）．
（3）解：由（1）（2）得到，，
，
，
，
．
18．【答案】已知：如图所示，
分别为三个外角，
求证：．
证明：∵，，，
∴
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；证明的含义与一般步骤
【解析】【分析】根据命题证明的解题方法，写出已知、求证，再证明，结合邻补角性质及三角形内角和定理即可求出答案.
19．【答案】解：证明：
方法一：过点作，
则，． 两直线平行，内错角相等）
∵点，，在同一条直线上，
∴．（平角的定义）
．
即三角形的内角和为．
方法二：
如图，过点C作
∵CD//AB，
∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，
∴∠B+∠ACB+∠A=180°．
即三角形的内角和为．
【知识点】三角形内角和定理；推理与论证
【解析】【分析】利用平行线的性质来证明三角形的内角和即可.
20．【答案】（1）①
②，证明如下：
∵平分，，
∴，
∵，
∵，
∴；
（2）
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）①∵，，∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵平分，，
∴，
∵，
∵，
∴．
【分析】（1）①先根据三角形内角和定理得到∠BAC的度数，进而根据角平分线的定义得到，等量代换得到，再根据垂直即可求解；
②先根据角平分线的定义结合三角形内角和定理得到，再根据垂直进行角的运算即可求解；
（2）根据角平分线的定义结合三角形内角和定理得到，进而根据垂直进行角的运算即可求解。
（1）解：①∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
②，证明如下：
∵平分，，
∴，
∵，
∵，
∴；
（2）∵平分，，
∴，
∵，
∵，
∴．
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