1.5三角形全等的判定（培优卷）-浙教版（2024）数学八（上）进阶同步练
一、选择题
1．（2023八上·景县期末）观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，能得出的依据是（ ）．
A．由“等边对等角”可得
B．由可得，进而可证
C．由可得，进而可证
D．由可得，进而可证
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据作图可得，
∴，
∴，即，
故答案为：B
【分析】根据作图可得，根据全等三角形判定定理可得，则，即，即可求出答案.
2．两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB.小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO= AC；③△ABD≌△CBD.其中正确的结论有( ).
A．0个 B．1 个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△ABD与△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
故③正确；
∴∠ADB=∠CDB，
在△AOD与△COD中，
∴△AOD≌△COD(SAS)，
∴∠AOD=∠COD =90°， AO=OC，
∴AC⊥DB，
故①②正确；
故答案为：D .
【分析】先证明△ABD与△CBD全等， 再证明△AOD与△COD全等即可判断.
3．（2023八上·丰台期中）如图，已知与上的点C，点A，小临同学现进行如下操作：①以点O为圆心，长为半径画弧，交于点D，连接；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M；③以点M为圆心，长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点E，连接．下列结论不能由上述操作结果得出的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：如图，连接，
在和中，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴即，
∴．
故A、B、D都可得到，无法得到C．
故答案为：C
【分析】连接，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直线平行判定定理可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
4．（2024七下·武侯期末）在和中，若有：①；②；③；④；⑤；⑥，则下列条件组合中，不能判定的是（ ）
A．①②③ B．①②⑤ C．②④⑤ D．①③⑥
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：A、由①②③组合，用“”可判定，
∴此选项不符合题意；
B、由①②⑤组合，用“”可判定，
∴此选项不符合题意；
C、由②④⑤组合，用“”可判定，
∴此选项不符合题意；
D、由①③⑥组合，已知条件满足“”或者“”两个三角形不一定全等，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、由题意，根据有三边对应相等的两个三角形全等可判断求解；
B、由题意，根据有两边及夹角对应相等的两个三角形全等可判断求解；
C、由题意，根据有两角及夹边对应相等的两个三角形全等可判断求解；
D、由题意，根据有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等可判断求解.
5．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O，∠1=∠2.图中全等三角形共有( ).
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADO＝∠AEO＝90°，
又∵∠1＝∠2，AO＝AO，
∴ADO≌AEO；（AAS）
∴OD＝OE，AD＝AE，
∵∠DOB＝∠EOC，∠ODB＝∠OEC＝90°，OD＝OE，
∴BOD≌COE；（ASA）
∴BD＝CE，OB＝OC，∠B＝∠C，
∵AE＝AD，∠DAC＝∠CAB，∠ADC＝∠AEB＝90°
∴ADC≌AEB；（ASA）
∵AD＝AE，BD＝CE，
∴AB＝AC，
∵OB＝OC，AO＝AO，
∴ABO≌ACO．（SSS）
所以共有四对全等三角形．
故答案为：C．
【分析】本题考查三角形全等的判定方法.已知CD⊥AB，BE⊥AC，根据垂直的定义可得：∠ADO＝∠AEO＝90°，再结合∠1＝∠2，AO＝AO，利用全等三角形的判定定理AAS可证明：ADO≌AEO，利用全等三角形的性质可得：OD＝OE，AD＝AE，再结合∠DOB＝∠EOC，∠ODB＝∠OEC＝90°，OD＝OE，利用全等三角形的判定定理ASA可证明：BOD≌COE，利用全等三角形的性质可得：BD＝CE，OB＝OC，∠B＝∠C，再结合AE＝AD，∠DAC＝∠CAB，∠ADC＝∠AEB＝90°，利用全等三角形的判定定理ASA可证明：ADC≌AEB，利用线段的运算可得：B＝AC，再根据OB＝OC，AO＝AO，利用全等三角形的判定定理SSS可证明ABO≌ACO，据此可选出答案.
6．（2024八上·上城期末）如图，在四边形中，，连接，取，连接，下列条件中不一定能判定的是
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由题意得， ，
，
，
当，由SAS即可判定△ABD≌△ECB，故A不符合题意；
当，由SSA，不一定能说明△ABD≌△ECB，故B符合题意；
当，
，
，
又，
，由ASA即可判定△ABD≌△ECB，故C不符合题意；
当， ，由AAS即可判定△ABD≌△ECB，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】 要判定△ABD△ECB，我们可以通过分析全等三角形的判定条件，如SSS、SAS、ASA、AAS和HL等，来判断给定的条件是否足以满足这些判定条件.
7．（2024七下·浦东期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∵、分别平分、，
∴，，
∴，
∴，故结论①正确；
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故结论②正确；
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵是的外角，
∴，
∴，故结论③错误；
又∵，，
∴，
即，故结论④正确，
∴正确的个数是个．
故选：C．
【分析】
①由直角三角形两锐角互余知，由角平分线的概念得，由内角和得；
②由周角的概念可得，结合角平分线的概念可利用ASA证明；
③由于与互余、与互余，而等于的一半，即；
④由②知，又，则由同角的余角相等可得，则可利用ASA证明，由全等的性质可得，则等量代换得．
8．（2024八上·天河期中）如图，在中，，D，E是BC上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF．给出下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确结论的字号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：，∠ACB=45°，
，
∴∠B=∠ACF.
∵，，
，
，
，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，即，
在与中，
，
，故结论①正确，符合题意；
∵△ABD≌△ACF，
，，
，∠DAF=90°，
，
在与中，
，
，
，故结论②正确，符合题意；
∵△ABD≌△ACF，△AED≌△AEF，
∴S△ABD=S△ACF，S△ADE=S△AFE，
若，，
，
，故结论③正确，符合题意；
∵△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵△CEF中，CE+CF>EF，
，故结论④错误，不符合题意．
故正确选项有：①②③.
故答案为：A．
【分析】证明∠B=∠ACF，，即可利用ASA证明△ABD≌△ACF，可判断①；根据全等三角形的性质得，，从而可利用SAS证明△AED≌△AEF，根据全等三角形的性质得，可判断②；若根据全等的性质可得S△ABD=S△ACF，S△ADE=S△AFE，再结合，，等量代换即可求出并判断③；利用△ABD≌△ACF可得BD=CF，在中，根据三角形三边关系得，等量代换即可判断④．
二、填空题
9．（2024八上·宁波期末）如图，在中，已知平分，且于点D，的面积是8，则的面积是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；三角形的中线
【解析】【解答】解：如图，延长交于，
∵平分，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交于，得到，即可得到，然后根据三角形的中线平分三角形的面积相等得到，，最后利用解题即可．
10．如图，AB⊥CD，且AB=CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为 .
【答案】a+b-c
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，
∵EF＝c，
∴AD＝AF＋DF＝a＋（b c）＝a＋b c.
故答案为：a＋b c.
【分析】先利用角的运算求出∠A＝∠C，再利用“AAS”证出△ABF≌△CDE，利用全等三角形的性质可得AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，再结合F＝c，利用线段的和差及等量代换可得AD＝AF＋DF＝a＋（b c）＝a＋b c.
11．（2024八上·青山期末）在中，，，分别是，边上一点，，，，，，则的长 ．（用含，，的式子表示）
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在AC上取点F，使，
设，，
∵，
∴，
与中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴.
∴，
故答案为：.
【分析】在AC上取点F，使，设，，由得到，证明，可得，根据，可得，证明得到即可得解.
12．（2023八上·绍兴月考）已知，四边形和四边形中，，，，，现在只需补充一个条件，就可得四边形四边形，下列四个条件：①；②；③；④，其中，符合要求的条件的有 ．（填所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：连接，
∵，，，
∴，
∴，，
当时，
，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形四边形，
∴①符合题意，
当时，
∵，，，
∴，
∴四边形四边形，
∴②符合题意，
当时，不能得到，
故③不符合题意，
当时，
∵，，，
∴，
∴四边形四边形，
∴④符合题意，
故答案为：①②④．
【分析】利用全等三角形的判断方法及性质，及全等四边形的判定方法和性质逐项分析判断即可.
三、解答题
13．（2024八上·瑞安期中）如图1，已知△ABC，过点C作CD∥AB，且CD＝BC.用尺规作△ECD≌△ABC，E是边BC上一点.
小瑞：如图2．以点C为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，连结DE，则△ECD≌△ABC．
小安：以点D为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点E，连结DE，则△ECD≌△ABC．
小瑞：小安，你的作法有问题．
小安：哦…我明白了！
（1）指出小安作法中存在的问题．
（2）证明：△ECD≌△ABC.
【答案】（1）解：以点D为圆心，AC长为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意，故小安的作法有问题．
（2）证明：由作法得：AB＝CE
∵AB∥CD
∴∠B＝∠BCD
∵CD＝BC
∴△ECD≌△ABC （SAS）
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由小安的作法可知△ACB与△EDC中，AC=DE，由平行线性质知∠B=∠BCD，已知知CD=BC，根据SSA不能判定三角形全等可得结论；
（2）由二直线平行，内错角相等得∠B=∠BCD，从而由SAS可判断△ECD≌△ABC.
14．（2024八上·海曙开学考）
（1）模型的发现：
如图，在中，，，直线经过点，且，两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为点、问：、和的数量关系．
（2）模型的迁移：位置的改变
如图，在的条件下，若、两点在直线的异侧，请说明、和的数量关系，并证明．
【答案】（1），
证明：理由如下：，，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
（2），
证明如下：，
，
直线，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用余角的性质可证得∠DAB=∠ECA，利用AAS证明△DAB≌△ECA，利用全等三角形的性质可推出AE=BD，AD=CE，然后根据DE=AD+AE，代入可证得结论.
（2）利用垂直的概念和余角的性质可证得∠DAB=∠ECA，利用AAS证明△DAB≌△ECA，利用全等三角形的性质可推出AE=BD，AD=CE，然后根据AE=AD+DE，代入可证得结论.
15．（2024八上·杭州期中）如图，，，，于，
（1）求证：≌；
（2）猜想：，，的数量关系为 不需证明；
（3）当绕点旋转到图位置时，猜想线段，，之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：，，
在和中
≌
（2）
（3）解：DE=BE-AD，
，，
在和中
≌
，，
．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（2）解：∵ △BCE≌△CAD，∴ CE=AD，BE=CD，
∵ DE=CE-CD，∴ DE=AD-BE；
故答案为：
【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，依据AAS即可判定△BCE≌△CAD；
（2）由（1）△BCE≌△CAD可知，CE=AD，BE=CD，即可证明；
（3）根据AAS判定△BCE≌△CAD，推出AD=CE，BE=CD，即可得到DE=BE-AD.
16．（2024八上·柯桥月考）阅读与思考
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题.
在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．
例：如图1，D是△ABC内一点，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，连结BD，若△ABD的面积为10，求△ABC的面积．
该问题的解答过程如下：
解：如图2，过点B作BH⊥CD交CD延长线于点H，CH，AB交于点E，
∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC．∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°．
在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（依据1）
∴ED＝CD（依据2），S△ADE＝S△ADC，∵，．
…
（1）任务一：上述解答过程中的依据1是 ，依据2是 .
（2）任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整.
（3）应用：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠CBA交AC于点D，过点C作CE⊥BD交BD延长线于点E．若CE＝6，求BD的长．
【答案】（1）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等
（2）解：如图2，剩余部分如下：
∴S△BDE＝S△BDC，
∴S△ADE+S△BDE＝S△ADC+S△BDC，
∴S△ABC＝2S△ABD＝20；
（3）解：延长CE、BA交于点F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵CE⊥BE，
∴∠BEF＝∠BEC＝90°，
在△FBE和△CBE中，
，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴EF＝CE＝6，
∴CF＝EF+EC＝12，
∵∠BEF＝∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠F＝∠ACF+∠F＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF＝12．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据三角形面积即可求出答案.
（3）分别设第1、第2、第3排的隔板长为y1，y2，y3，根据角平分线定义可得∠ABD＝∠CBD，再根据全等三角形判定定理可得△FBE≌△CBE（ASA），则EF＝CE＝6，根据边之间的关系可得CF=12，再根据角之间的关系可得∠ABD＝∠ACF，再根据全等三角形判定定理可得△ABD≌△ACF（ASA），则BD＝CF＝12，即可求出答案.
17．（2024八上·临海期中）下表是小聪同学开展项目化学习时填写了部分内容的记录表，
项目：测量小山坡的宽度.
活动：小山坡的宽度不能直接测量，可以借助一些工具，比如：皮尺，直角三角板，测角仪
标杆等，各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，再进行实地测量，得到具体数据，从而计算出小山坡的宽度.
成果：下面是小聪同学所在小组进行交流展示的部分项目研究内容：
项目 示意图 测量方案 测得数据
测量小山坡 的宽度AB 在小山坡外面的平地上找一点O，立一根标杆，然后再找到点C，D，使OC=OA. OD =OB OA=OC=200 m，OB=OD=250 m，CD =360 m
请你帮助小聪组完成下列任务.
（1）任务1：王老师发现小聪组的测量方案有问题，请你帮助小聪组找到问题并完善测量方案.
（2）任务2：完善方案后请你借助上述测量数据，计算小山坡的宽度AB，并说明理由
（3）任务3：利用所学知识，请你再设计一个测量方案，并简要说明你的设计思路.
【答案】（1）解：∠AOB+∠BOC=180°， ∠AOB+∠AOD=180°或点C，D分别在 AO，BO 的延长线上或A，O，C；B，O，D 三点共线等.
（2）解：∵OA=OC， OB=OD， ∠COD=∠AOB.
∴△COD≌△AOB.
∴CD=AB=360 m.
答：小山坡的宽度 AB 为 360 米.
（3）解：如图，先在B处立一根标杆，使∠BAD=60°，确定AD的方向；同理使∠ABE=60°，确定BE 的方向：然后找到两个方向的交汇处点 C：量出 AC的长度，即为小山坡的宽度 AB(测量方案只要符合即可).
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【分析】(1)l利用∠AOB+∠BOC=180°， ∠AOB+∠AOD=180°，即可求解；
（2）根据“SAS”得出△COD≌△AOB，即可求解；
（3）可以利用全等的性质来测量.
18．（2023八上·临海期中）
（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
【答案】（1）解：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ADB和△CEA中，
∴△ABD≌△CEA(AAS)
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE＋AD=BD＋CE；
（2）解：DE=BD＋CE.
如图2，证明如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA＋∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°—α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中．
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE＋AD=BD＋CE；
（3）证明：如图3，
过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N..'
∴∠EMI=∠GNI=90°
由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN
∴EM=GN
在△GNI和△EMI中，，
∴△GNI≌△EMI(AAS)，
∴EI=GI，
∴I是EG的中点．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得∠CAE=∠ABD，依据AAS判定△ABD≌△CEA，结论即可求得；
（2）根据已知条件得∠DBA=∠CAE，依据AAS判定△ADB≌△CEA，结论即可求得；
（3）通过辅助线构建全等三角形，由（1）和（2）结论得EM=AH=GN，再依据AAS判定△GNI≌△EMI，结论即可求得。
1 / 11.5三角形全等的判定（培优卷）-浙教版（2024）数学八（上）进阶同步练
一、选择题
1．（2023八上·景县期末）观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，能得出的依据是（ ）．
A．由“等边对等角”可得
B．由可得，进而可证
C．由可得，进而可证
D．由可得，进而可证
2．两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB.小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO= AC；③△ABD≌△CBD.其中正确的结论有( ).
A．0个 B．1 个 C．2个 D．3个
3．（2023八上·丰台期中）如图，已知与上的点C，点A，小临同学现进行如下操作：①以点O为圆心，长为半径画弧，交于点D，连接；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M；③以点M为圆心，长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点E，连接．下列结论不能由上述操作结果得出的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024七下·武侯期末）在和中，若有：①；②；③；④；⑤；⑥，则下列条件组合中，不能判定的是（ ）
A．①②③ B．①②⑤ C．②④⑤ D．①③⑥
5．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O，∠1=∠2.图中全等三角形共有( ).
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
6．（2024八上·上城期末）如图，在四边形中，，连接，取，连接，下列条件中不一定能判定的是
A． B． C． D．
7．（2024七下·浦东期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．（2024八上·天河期中）如图，在中，，D，E是BC上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF．给出下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确结论的字号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
二、填空题
9．（2024八上·宁波期末）如图，在中，已知平分，且于点D，的面积是8，则的面积是 ．
10．如图，AB⊥CD，且AB=CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为 .
11．（2024八上·青山期末）在中，，，分别是，边上一点，，，，，，则的长 ．（用含，，的式子表示）
12．（2023八上·绍兴月考）已知，四边形和四边形中，，，，，现在只需补充一个条件，就可得四边形四边形，下列四个条件：①；②；③；④，其中，符合要求的条件的有 ．（填所有正确结论的序号）
三、解答题
13．（2024八上·瑞安期中）如图1，已知△ABC，过点C作CD∥AB，且CD＝BC.用尺规作△ECD≌△ABC，E是边BC上一点.
小瑞：如图2．以点C为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，连结DE，则△ECD≌△ABC．
小安：以点D为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点E，连结DE，则△ECD≌△ABC．
小瑞：小安，你的作法有问题．
小安：哦…我明白了！
（1）指出小安作法中存在的问题．
（2）证明：△ECD≌△ABC.
14．（2024八上·海曙开学考）
（1）模型的发现：
如图，在中，，，直线经过点，且，两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为点、问：、和的数量关系．
（2）模型的迁移：位置的改变
如图，在的条件下，若、两点在直线的异侧，请说明、和的数量关系，并证明．
15．（2024八上·杭州期中）如图，，，，于，
（1）求证：≌；
（2）猜想：，，的数量关系为 不需证明；
（3）当绕点旋转到图位置时，猜想线段，，之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论．
16．（2024八上·柯桥月考）阅读与思考
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题.
在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．
例：如图1，D是△ABC内一点，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，连结BD，若△ABD的面积为10，求△ABC的面积．
该问题的解答过程如下：
解：如图2，过点B作BH⊥CD交CD延长线于点H，CH，AB交于点E，
∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC．∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°．
在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（依据1）
∴ED＝CD（依据2），S△ADE＝S△ADC，∵，．
…
（1）任务一：上述解答过程中的依据1是 ，依据2是 .
（2）任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整.
（3）应用：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠CBA交AC于点D，过点C作CE⊥BD交BD延长线于点E．若CE＝6，求BD的长．
17．（2024八上·临海期中）下表是小聪同学开展项目化学习时填写了部分内容的记录表，
项目：测量小山坡的宽度.
活动：小山坡的宽度不能直接测量，可以借助一些工具，比如：皮尺，直角三角板，测角仪
标杆等，各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，再进行实地测量，得到具体数据，从而计算出小山坡的宽度.
成果：下面是小聪同学所在小组进行交流展示的部分项目研究内容：
项目 示意图 测量方案 测得数据
测量小山坡 的宽度AB 在小山坡外面的平地上找一点O，立一根标杆，然后再找到点C，D，使OC=OA. OD =OB OA=OC=200 m，OB=OD=250 m，CD =360 m
请你帮助小聪组完成下列任务.
（1）任务1：王老师发现小聪组的测量方案有问题，请你帮助小聪组找到问题并完善测量方案.
（2）任务2：完善方案后请你借助上述测量数据，计算小山坡的宽度AB，并说明理由
（3）任务3：利用所学知识，请你再设计一个测量方案，并简要说明你的设计思路.
18．（2023八上·临海期中）
（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据作图可得，
∴，
∴，即，
故答案为：B
【分析】根据作图可得，根据全等三角形判定定理可得，则，即，即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△ABD与△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
故③正确；
∴∠ADB=∠CDB，
在△AOD与△COD中，
∴△AOD≌△COD(SAS)，
∴∠AOD=∠COD =90°， AO=OC，
∴AC⊥DB，
故①②正确；
故答案为：D .
【分析】先证明△ABD与△CBD全等， 再证明△AOD与△COD全等即可判断.
3．【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：如图，连接，
在和中，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴即，
∴．
故A、B、D都可得到，无法得到C．
故答案为：C
【分析】连接，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直线平行判定定理可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：A、由①②③组合，用“”可判定，
∴此选项不符合题意；
B、由①②⑤组合，用“”可判定，
∴此选项不符合题意；
C、由②④⑤组合，用“”可判定，
∴此选项不符合题意；
D、由①③⑥组合，已知条件满足“”或者“”两个三角形不一定全等，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、由题意，根据有三边对应相等的两个三角形全等可判断求解；
B、由题意，根据有两边及夹角对应相等的两个三角形全等可判断求解；
C、由题意，根据有两角及夹边对应相等的两个三角形全等可判断求解；
D、由题意，根据有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等可判断求解.
5．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADO＝∠AEO＝90°，
又∵∠1＝∠2，AO＝AO，
∴ADO≌AEO；（AAS）
∴OD＝OE，AD＝AE，
∵∠DOB＝∠EOC，∠ODB＝∠OEC＝90°，OD＝OE，
∴BOD≌COE；（ASA）
∴BD＝CE，OB＝OC，∠B＝∠C，
∵AE＝AD，∠DAC＝∠CAB，∠ADC＝∠AEB＝90°
∴ADC≌AEB；（ASA）
∵AD＝AE，BD＝CE，
∴AB＝AC，
∵OB＝OC，AO＝AO，
∴ABO≌ACO．（SSS）
所以共有四对全等三角形．
故答案为：C．
【分析】本题考查三角形全等的判定方法.已知CD⊥AB，BE⊥AC，根据垂直的定义可得：∠ADO＝∠AEO＝90°，再结合∠1＝∠2，AO＝AO，利用全等三角形的判定定理AAS可证明：ADO≌AEO，利用全等三角形的性质可得：OD＝OE，AD＝AE，再结合∠DOB＝∠EOC，∠ODB＝∠OEC＝90°，OD＝OE，利用全等三角形的判定定理ASA可证明：BOD≌COE，利用全等三角形的性质可得：BD＝CE，OB＝OC，∠B＝∠C，再结合AE＝AD，∠DAC＝∠CAB，∠ADC＝∠AEB＝90°，利用全等三角形的判定定理ASA可证明：ADC≌AEB，利用线段的运算可得：B＝AC，再根据OB＝OC，AO＝AO，利用全等三角形的判定定理SSS可证明ABO≌ACO，据此可选出答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由题意得， ，
，
，
当，由SAS即可判定△ABD≌△ECB，故A不符合题意；
当，由SSA，不一定能说明△ABD≌△ECB，故B符合题意；
当，
，
，
又，
，由ASA即可判定△ABD≌△ECB，故C不符合题意；
当， ，由AAS即可判定△ABD≌△ECB，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】 要判定△ABD△ECB，我们可以通过分析全等三角形的判定条件，如SSS、SAS、ASA、AAS和HL等，来判断给定的条件是否足以满足这些判定条件.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∵、分别平分、，
∴，，
∴，
∴，故结论①正确；
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故结论②正确；
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵是的外角，
∴，
∴，故结论③错误；
又∵，，
∴，
即，故结论④正确，
∴正确的个数是个．
故选：C．
【分析】
①由直角三角形两锐角互余知，由角平分线的概念得，由内角和得；
②由周角的概念可得，结合角平分线的概念可利用ASA证明；
③由于与互余、与互余，而等于的一半，即；
④由②知，又，则由同角的余角相等可得，则可利用ASA证明，由全等的性质可得，则等量代换得．
8．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：，∠ACB=45°，
，
∴∠B=∠ACF.
∵，，
，
，
，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，即，
在与中，
，
，故结论①正确，符合题意；
∵△ABD≌△ACF，
，，
，∠DAF=90°，
，
在与中，
，
，
，故结论②正确，符合题意；
∵△ABD≌△ACF，△AED≌△AEF，
∴S△ABD=S△ACF，S△ADE=S△AFE，
若，，
，
，故结论③正确，符合题意；
∵△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵△CEF中，CE+CF>EF，
，故结论④错误，不符合题意．
故正确选项有：①②③.
故答案为：A．
【分析】证明∠B=∠ACF，，即可利用ASA证明△ABD≌△ACF，可判断①；根据全等三角形的性质得，，从而可利用SAS证明△AED≌△AEF，根据全等三角形的性质得，可判断②；若根据全等的性质可得S△ABD=S△ACF，S△ADE=S△AFE，再结合，，等量代换即可求出并判断③；利用△ABD≌△ACF可得BD=CF，在中，根据三角形三边关系得，等量代换即可判断④．
9．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；三角形的中线
【解析】【解答】解：如图，延长交于，
∵平分，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交于，得到，即可得到，然后根据三角形的中线平分三角形的面积相等得到，，最后利用解题即可．
10．【答案】a+b-c
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，
∵EF＝c，
∴AD＝AF＋DF＝a＋（b c）＝a＋b c.
故答案为：a＋b c.
【分析】先利用角的运算求出∠A＝∠C，再利用“AAS”证出△ABF≌△CDE，利用全等三角形的性质可得AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，再结合F＝c，利用线段的和差及等量代换可得AD＝AF＋DF＝a＋（b c）＝a＋b c.
11．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在AC上取点F，使，
设，，
∵，
∴，
与中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴.
∴，
故答案为：.
【分析】在AC上取点F，使，设，，由得到，证明，可得，根据，可得，证明得到即可得解.
12．【答案】①②④
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：连接，
∵，，，
∴，
∴，，
当时，
，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形四边形，
∴①符合题意，
当时，
∵，，，
∴，
∴四边形四边形，
∴②符合题意，
当时，不能得到，
故③不符合题意，
当时，
∵，，，
∴，
∴四边形四边形，
∴④符合题意，
故答案为：①②④．
【分析】利用全等三角形的判断方法及性质，及全等四边形的判定方法和性质逐项分析判断即可.
13．【答案】（1）解：以点D为圆心，AC长为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意，故小安的作法有问题．
（2）证明：由作法得：AB＝CE
∵AB∥CD
∴∠B＝∠BCD
∵CD＝BC
∴△ECD≌△ABC （SAS）
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由小安的作法可知△ACB与△EDC中，AC=DE，由平行线性质知∠B=∠BCD，已知知CD=BC，根据SSA不能判定三角形全等可得结论；
（2）由二直线平行，内错角相等得∠B=∠BCD，从而由SAS可判断△ECD≌△ABC.
14．【答案】（1），
证明：理由如下：，，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
（2），
证明如下：，
，
直线，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用余角的性质可证得∠DAB=∠ECA，利用AAS证明△DAB≌△ECA，利用全等三角形的性质可推出AE=BD，AD=CE，然后根据DE=AD+AE，代入可证得结论.
（2）利用垂直的概念和余角的性质可证得∠DAB=∠ECA，利用AAS证明△DAB≌△ECA，利用全等三角形的性质可推出AE=BD，AD=CE，然后根据AE=AD+DE，代入可证得结论.
15．【答案】（1）证明：，，
在和中
≌
（2）
（3）解：DE=BE-AD，
，，
在和中
≌
，，
．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（2）解：∵ △BCE≌△CAD，∴ CE=AD，BE=CD，
∵ DE=CE-CD，∴ DE=AD-BE；
故答案为：
【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，依据AAS即可判定△BCE≌△CAD；
（2）由（1）△BCE≌△CAD可知，CE=AD，BE=CD，即可证明；
（3）根据AAS判定△BCE≌△CAD，推出AD=CE，BE=CD，即可得到DE=BE-AD.
16．【答案】（1）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等
（2）解：如图2，剩余部分如下：
∴S△BDE＝S△BDC，
∴S△ADE+S△BDE＝S△ADC+S△BDC，
∴S△ABC＝2S△ABD＝20；
（3）解：延长CE、BA交于点F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵CE⊥BE，
∴∠BEF＝∠BEC＝90°，
在△FBE和△CBE中，
，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴EF＝CE＝6，
∴CF＝EF+EC＝12，
∵∠BEF＝∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠F＝∠ACF+∠F＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF＝12．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据三角形面积即可求出答案.
（3）分别设第1、第2、第3排的隔板长为y1，y2，y3，根据角平分线定义可得∠ABD＝∠CBD，再根据全等三角形判定定理可得△FBE≌△CBE（ASA），则EF＝CE＝6，根据边之间的关系可得CF=12，再根据角之间的关系可得∠ABD＝∠ACF，再根据全等三角形判定定理可得△ABD≌△ACF（ASA），则BD＝CF＝12，即可求出答案.
17．【答案】（1）解：∠AOB+∠BOC=180°， ∠AOB+∠AOD=180°或点C，D分别在 AO，BO 的延长线上或A，O，C；B，O，D 三点共线等.
（2）解：∵OA=OC， OB=OD， ∠COD=∠AOB.
∴△COD≌△AOB.
∴CD=AB=360 m.
答：小山坡的宽度 AB 为 360 米.
（3）解：如图，先在B处立一根标杆，使∠BAD=60°，确定AD的方向；同理使∠ABE=60°，确定BE 的方向：然后找到两个方向的交汇处点 C：量出 AC的长度，即为小山坡的宽度 AB(测量方案只要符合即可).
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【分析】(1)l利用∠AOB+∠BOC=180°， ∠AOB+∠AOD=180°，即可求解；
（2）根据“SAS”得出△COD≌△AOB，即可求解；
（3）可以利用全等的性质来测量.
18．【答案】（1）解：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ADB和△CEA中，
∴△ABD≌△CEA(AAS)
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE＋AD=BD＋CE；
（2）解：DE=BD＋CE.
如图2，证明如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA＋∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°—α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中．
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE＋AD=BD＋CE；
（3）证明：如图3，
过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N..'
∴∠EMI=∠GNI=90°
由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN
∴EM=GN
在△GNI和△EMI中，，
∴△GNI≌△EMI(AAS)，
∴EI=GI，
∴I是EG的中点．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得∠CAE=∠ABD，依据AAS判定△ABD≌△CEA，结论即可求得；
（2）根据已知条件得∠DBA=∠CAE，依据AAS判定△ADB≌△CEA，结论即可求得；
（3）通过辅助线构建全等三角形，由（1）和（2）结论得EM=AH=GN，再依据AAS判定△GNI≌△EMI，结论即可求得。
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