浙教版（2024) 数学八年级上册2.5 逆命题和逆定理 同步分层练习
一、夯实基础：
1．（2023八上·衢江期中）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等；
B．对顶角相等；
C．如果，那么；
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
2．（2024八上·浙江期末）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（ ）
A．在同一个三角形中，等边对等角
B．两个角互余的三角形是等腰三角形
C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
D．如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形
3．下列定理中有逆定理的是（ ）
A．对顶角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．同角的余角相等
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
4．（2022八上·镇海区期中）已知命题“若，则”，下列说法正确的是（ ）
A．它是一个真命题
B．它是一个假命题，反例
C．它是一个假命题，反例
D．它是一个假命题，反制
5．（2021八上·东阳期末）在△ABC纸片上有一点P，且PA＝PB，则P点一定（ ）
A．是边AB的中点 B．在边AB的垂直平分线上
C．在边AB的高线上 D．在边AB的中线上
6．（2016八上·嵊州期末）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ．
7．（2024八上·路桥期中）如图，一形状为四边形的风筝四边形中，已知，，则此风筝的骨架与即四边形的两对角线有怎样的关系？答： ．
8．（2024八上·黄浦期末）勾股定理的逆命题是（写成“如果…那么”的形式） ．
9．（2024八上·余杭期中）"内错角相等，两直线平行"的逆命题是 ，该命题是 （填"真"或"假"）命题。
10．（2023八上·沭阳月考）如图，与相交于点，，，．
求证：
（1）；
（2）垂直平分．
二、能力提升：
11．（2024八上·浙江期中）下列说法中不正确的是（ ）
A．“三边对应相等的两个三角形全等”是基本事实，所以没有逆命题
B．“若a＝b，则-2a＝-2b”的逆命题是“若-2a＝-2b，则a＝b”
C．“两个全等三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的两个三角形全等”
D．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“三角对应相等的两个三角形全等”
12．（2024八上·诸暨月考）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024八上·湖南期末）已知命题；若，则；若，则；两个全等的三角形的面积相等；三条边对应相等的两个三角形全等上述命题的逆命题为真命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
14．（2024八上·宁波竞赛） 如图， 中， ， ， ，则 度.
15．（2024八上·海曙开学考）如图所示，已知平分，于点E，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 （把正确结论的序号填写在横线上）．
16．说出“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题.这个逆命题是真命题吗 证明你的判断.
17．如图，△ABC是等边三角形.
（1）若AD=BE=CF，求证：△DEF是等边三角形.
（2）第(1)题的逆命题成立吗 若成立，请证明；若不成立，请举反例加以说明.
三、拓展创新：
18．（2022八上·顺平期中）数学活动：利用全等三角形研究“筝形”的特征．
认识图形：如图，四边形中，．像这样，两条邻边分别相等的四边形叫做筝形．
（1）研究特征：琪琪猜想筝形的对角与相等，他的结论成立吗？说明理由．
（2）嘉嘉连接筝形的对角线、后发现垂直平分，请你补全图形，并帮她说明理由．
（3）拓展应用：在筝形中，对角线长为8，长为12，请直接写出此筝形的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A. 逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题，故选项A不符合题意；
B. 逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，故选项B符合题意；
C. 逆命题为：如果，那么，是真命题，故选项C不符合题意；
D. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题，故选项D不符合题意.
故答案为：B．
【分析】逐项写出逆命题，然后判定真假即可．
2．【答案】C
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 ”
故答案为：C.
【分析】交换命题的题设和结论，写出逆命题即可.
3．【答案】D
【知识点】逆定理
【解析】【解答】解：A、对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角，该逆命题是假命题，故该选项定理没有逆定理；
B、 全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等得两个三角形全等，该逆命题是假命题，故该选项定理没有逆定理；
C、同角的余角相等的逆命题为：相等的两个角是同一个角的余角，该逆命题是假命题，故该选项定理没有逆定理；
D、 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆命题是：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，该逆命题是真命题，故该选项定理有逆定理.
故答案为：D.
【分析】一个命题包括题设与结论两部分，题设一般用如果领起，结论一般用那么领起，将一个命题的题设与结论互换位置即可得出该命题的逆命题，据此找出各个定理的逆命题，再判断逆命题的真假，当一个定理的逆命题也正确，这个逆命题就是原定理的逆定理，据此逐个解答判断即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A.若，则，说法错误，是一个假命题；
B.是一个假命题，反例：能确定原命题是个假命题，故正确；
C.是一个假命题，反例：不能确定原命题是个假命题，故错误；
D.是一个假命题，反例：不能确定原命题是个假命题，故错误；
故答案为：B.
【分析】利用特殊值进行判断即可.
5．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵PA=PB，
∴P点一定在边AB的垂直平分线上，
故答案为：B.
【分析】根据线段的垂直平分线的判定“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”可判断求解.
6．【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
7．【答案】垂直平分
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：垂直平分，理由如下：
，
∴点D在线段AC的垂直平分线上，
∵，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
垂直平分，
故答案为：垂直平分．
【分析】根据，，可得点D和E都在线段AC的垂直平分线上，继而可得垂直平分．
8．【答案】如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：勾股定理的逆命题是：如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．
故答案为：如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．
【分析】利用命题的定义及逆命题的定义和书写方法分析求解即可.
9．【答案】两直线平行，内错角相等；真
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解："内错角相等，两直线平行"的逆命题是：两直线平行，内错角相等，该命题为真命题.
故答案为：两直线平行，内错角相等，真.
【分析】根据把一个命题的题设和结论交换位置得到的命题即为原命题的逆命题，据此即可求解.
10．【答案】（1）证明：在与中，
，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据垂直平分线判定定理即可求出答案.
（1）证明：在与中，
，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
11．【答案】A
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：A、“三边对应相等的两个三角形全等”逆命题为“两个三角形全等，三边对应相等”A错误；
BCD逆命题的说法均正确；
故答案为：A.
【分析】任何命题都有逆命题，把原命题的条件和结论互换，即可得到逆命题.
12．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴A，B正确；
∵，
∴，
∴C正确；
不能确定之间的关系，
∴D不正确．
故选：D．
【分析】先证明是的垂直平分线，可判断A，B；再根据“SSS”证明C；能否确定三者之间的关系判断D．
13．【答案】C
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】①∵命题“若，则”的逆命题是“若，则”是假命题，∴①不符合题意；
②∵命题“若，则”的逆命题是“若，则”是真命题，∴②符合题意；
③∵命题“两个全等的三角形的面积相等”的逆命题是“如果两个三角形的面积相等，则这两个三角形是全等三角形”是假命题，∴③不符合题意；
④∵三条边对应相等的两个三角形全等”的逆命题是“如果两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等”是真命题，∴④符合题意；
综上，符合题意是②④，共2个，
故答案为：C.
【分析】先求出每个命题的逆命题，再利用真命题的定义逐项分析判断即可.
14．【答案】93
【知识点】线段垂直平分线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：在DC上截取DE= BD， 连接AE，
∵AD⊥BC，
∴AD是BE的垂直分线，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB=58°，
∵∠AEB是△ACE的一个外角，
∴∠AEB=∠C+∠CAE=58°，
∵AB+BD=CD， DE+CE=CD，
∴AB=CE，
∴AE=CE，
∴∠C=∠CAE=29°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=93°，
故答案为： 93.
【分析】在DC上截取DE=BD， 连接AE， 根据已知易得AD是BE的垂直分线， 从而可得AB= AE， 然后利用等腰三角形的性质可得∠B=∠AEB=58°， 再利用三角形的外角性质可得∠C+∠CAE=58°，最后根据已知和线段的和差关系可得AB=CE，从而可得AE=CE， 进而可得∠C=∠CAE=29°， 再利用三角形的内角和定理进行计算，即可解答.
15．【答案】①②③④
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，在上取点使
∵平分
∴
∵
∴
∴，
∵
∴AB=AF＋2BE
∵
∴
∵
∴CE是BF的垂直平分线
∴
∴
∴③正确
∵
∴①正确
∵
∴∠CFB=∠CBF
∵
∵
∴
∴②正确
∵EF=EB，
∵，
∴
∴④正确
综上：①②③④均正确
故答案为：①②③④．
【分析】，得出：在上取点使，根据SAS证明：，得出，，再根据，证明出CE是BF的垂直平分线，因而可以得到：，再根据等量代换，得出，再根据等量代换，可以得出：，
再由，结合∠CFB=∠CBF，得出：，最后根据EF=EB，，可以得到：，，因此可以得到：.
16．【答案】解：逆命题：两边上的高线长相等的三角形是等腰三角形．是真命题．
已知：如图，BD，CE是△ABC的两条高线，且BD=CE．
求证：AB=AC．
证明：∵BD，CE是△ABC的两条高线，
∴∠BDA=∠CEA=90°．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴AB=AC．
【知识点】真命题与假命题；逆命题；举反例判断命题真假
【解析】【分析】根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等得出△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等得出AB=AC，即可证明.
17．【答案】（1）证明：由△ABC是等边三角形，知AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°．
∵AD=BE=CF，
∴BD=CE=AF，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DE=EF=DF，
∴△DEF是等边三角形．
（2）解：成立．逆命题是：若△DEF是等边三角形，则AD=BE=CF．
∵△DEF是等边三角形，
∴DE=EF=DF，∠EDF=∠DFE=∠DEF=60°，可得∠ADF+∠AFD=120°．
又∵∠EFC+∠AFD=120°，∴∠ADF=∠EFC，∴△ADF≌△CFE（AAS），
∴AD=CF．同理可证，AD=BE．∴AD=BE=CF．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；逆命题
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的三条边和三个角都相等得出AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，推得BD=CE=AF，根据两边及其夹角分别相等的两个三角形全等得出△ADF≌△BED≌△CFE，根据全等三角形的对应边相等得出DE=EF=DF，根据三条边相等的三角形是等边三角形即可证明；
（2）根据等边三角形的三条边和三个角都相等得出DE=EF=DF，∠EDF=∠DFE=∠DEF=60°，推得∠ADF=∠EFC，根据两边及其夹角分别相等的两个三角形全等得出△ADF≌△CFE，根据全等三角形的对应边相等得出AD=CF，同理得出AD=BE，即可证明.
18．【答案】（1）解：成立，理由：如图，连接．
在与中，
∵
∴．
∴．
（2）解：补全图形如图，
理由：∵
∴点、在线段的垂直平分线上，
即垂直平分；
（3）筝形的面积为48
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】（3）解：面积为：．
故答案为：48
【分析】（1）连接，根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）补全图形，根据垂直平分线的判定定理即可求出答案.
（3）根据题意即可求出答案.
（1）解：成立，
理由：如图，连接．
在与中，
∵
∴．
∴．
（2）解：补全图形如图，
理由：∵
∴点、在线段的垂直平分线上，
即垂直平分；
（3）解：面积为：．
1 / 1浙教版（2024) 数学八年级上册2.5 逆命题和逆定理 同步分层练习
一、夯实基础：
1．（2023八上·衢江期中）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等；
B．对顶角相等；
C．如果，那么；
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
【答案】B
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A. 逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题，故选项A不符合题意；
B. 逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，故选项B符合题意；
C. 逆命题为：如果，那么，是真命题，故选项C不符合题意；
D. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题，故选项D不符合题意.
故答案为：B．
【分析】逐项写出逆命题，然后判定真假即可．
2．（2024八上·浙江期末）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（ ）
A．在同一个三角形中，等边对等角
B．两个角互余的三角形是等腰三角形
C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
D．如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形
【答案】C
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 ”
故答案为：C.
【分析】交换命题的题设和结论，写出逆命题即可.
3．下列定理中有逆定理的是（ ）
A．对顶角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．同角的余角相等
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
【答案】D
【知识点】逆定理
【解析】【解答】解：A、对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角，该逆命题是假命题，故该选项定理没有逆定理；
B、 全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等得两个三角形全等，该逆命题是假命题，故该选项定理没有逆定理；
C、同角的余角相等的逆命题为：相等的两个角是同一个角的余角，该逆命题是假命题，故该选项定理没有逆定理；
D、 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆命题是：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，该逆命题是真命题，故该选项定理有逆定理.
故答案为：D.
【分析】一个命题包括题设与结论两部分，题设一般用如果领起，结论一般用那么领起，将一个命题的题设与结论互换位置即可得出该命题的逆命题，据此找出各个定理的逆命题，再判断逆命题的真假，当一个定理的逆命题也正确，这个逆命题就是原定理的逆定理，据此逐个解答判断即可得出答案.
4．（2022八上·镇海区期中）已知命题“若，则”，下列说法正确的是（ ）
A．它是一个真命题
B．它是一个假命题，反例
C．它是一个假命题，反例
D．它是一个假命题，反制
【答案】B
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A.若，则，说法错误，是一个假命题；
B.是一个假命题，反例：能确定原命题是个假命题，故正确；
C.是一个假命题，反例：不能确定原命题是个假命题，故错误；
D.是一个假命题，反例：不能确定原命题是个假命题，故错误；
故答案为：B.
【分析】利用特殊值进行判断即可.
5．（2021八上·东阳期末）在△ABC纸片上有一点P，且PA＝PB，则P点一定（ ）
A．是边AB的中点 B．在边AB的垂直平分线上
C．在边AB的高线上 D．在边AB的中线上
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵PA=PB，
∴P点一定在边AB的垂直平分线上，
故答案为：B.
【分析】根据线段的垂直平分线的判定“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”可判断求解.
6．（2016八上·嵊州期末）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ．
【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
7．（2024八上·路桥期中）如图，一形状为四边形的风筝四边形中，已知，，则此风筝的骨架与即四边形的两对角线有怎样的关系？答： ．
【答案】垂直平分
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：垂直平分，理由如下：
，
∴点D在线段AC的垂直平分线上，
∵，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
垂直平分，
故答案为：垂直平分．
【分析】根据，，可得点D和E都在线段AC的垂直平分线上，继而可得垂直平分．
8．（2024八上·黄浦期末）勾股定理的逆命题是（写成“如果…那么”的形式） ．
【答案】如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：勾股定理的逆命题是：如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．
故答案为：如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．
【分析】利用命题的定义及逆命题的定义和书写方法分析求解即可.
9．（2024八上·余杭期中）"内错角相等，两直线平行"的逆命题是 ，该命题是 （填"真"或"假"）命题。
【答案】两直线平行，内错角相等；真
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解："内错角相等，两直线平行"的逆命题是：两直线平行，内错角相等，该命题为真命题.
故答案为：两直线平行，内错角相等，真.
【分析】根据把一个命题的题设和结论交换位置得到的命题即为原命题的逆命题，据此即可求解.
10．（2023八上·沭阳月考）如图，与相交于点，，，．
求证：
（1）；
（2）垂直平分．
【答案】（1）证明：在与中，
，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据垂直平分线判定定理即可求出答案.
（1）证明：在与中，
，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
二、能力提升：
11．（2024八上·浙江期中）下列说法中不正确的是（ ）
A．“三边对应相等的两个三角形全等”是基本事实，所以没有逆命题
B．“若a＝b，则-2a＝-2b”的逆命题是“若-2a＝-2b，则a＝b”
C．“两个全等三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的两个三角形全等”
D．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“三角对应相等的两个三角形全等”
【答案】A
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：A、“三边对应相等的两个三角形全等”逆命题为“两个三角形全等，三边对应相等”A错误；
BCD逆命题的说法均正确；
故答案为：A.
【分析】任何命题都有逆命题，把原命题的条件和结论互换，即可得到逆命题.
12．（2024八上·诸暨月考）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴A，B正确；
∵，
∴，
∴C正确；
不能确定之间的关系，
∴D不正确．
故选：D．
【分析】先证明是的垂直平分线，可判断A，B；再根据“SSS”证明C；能否确定三者之间的关系判断D．
13．（2024八上·湖南期末）已知命题；若，则；若，则；两个全等的三角形的面积相等；三条边对应相等的两个三角形全等上述命题的逆命题为真命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】①∵命题“若，则”的逆命题是“若，则”是假命题，∴①不符合题意；
②∵命题“若，则”的逆命题是“若，则”是真命题，∴②符合题意；
③∵命题“两个全等的三角形的面积相等”的逆命题是“如果两个三角形的面积相等，则这两个三角形是全等三角形”是假命题，∴③不符合题意；
④∵三条边对应相等的两个三角形全等”的逆命题是“如果两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等”是真命题，∴④符合题意；
综上，符合题意是②④，共2个，
故答案为：C.
【分析】先求出每个命题的逆命题，再利用真命题的定义逐项分析判断即可.
14．（2024八上·宁波竞赛） 如图， 中， ， ， ，则 度.
【答案】93
【知识点】线段垂直平分线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：在DC上截取DE= BD， 连接AE，
∵AD⊥BC，
∴AD是BE的垂直分线，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB=58°，
∵∠AEB是△ACE的一个外角，
∴∠AEB=∠C+∠CAE=58°，
∵AB+BD=CD， DE+CE=CD，
∴AB=CE，
∴AE=CE，
∴∠C=∠CAE=29°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=93°，
故答案为： 93.
【分析】在DC上截取DE=BD， 连接AE， 根据已知易得AD是BE的垂直分线， 从而可得AB= AE， 然后利用等腰三角形的性质可得∠B=∠AEB=58°， 再利用三角形的外角性质可得∠C+∠CAE=58°，最后根据已知和线段的和差关系可得AB=CE，从而可得AE=CE， 进而可得∠C=∠CAE=29°， 再利用三角形的内角和定理进行计算，即可解答.
15．（2024八上·海曙开学考）如图所示，已知平分，于点E，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 （把正确结论的序号填写在横线上）．
【答案】①②③④
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，在上取点使
∵平分
∴
∵
∴
∴，
∵
∴AB=AF＋2BE
∵
∴
∵
∴CE是BF的垂直平分线
∴
∴
∴③正确
∵
∴①正确
∵
∴∠CFB=∠CBF
∵
∵
∴
∴②正确
∵EF=EB，
∵，
∴
∴④正确
综上：①②③④均正确
故答案为：①②③④．
【分析】，得出：在上取点使，根据SAS证明：，得出，，再根据，证明出CE是BF的垂直平分线，因而可以得到：，再根据等量代换，得出，再根据等量代换，可以得出：，
再由，结合∠CFB=∠CBF，得出：，最后根据EF=EB，，可以得到：，，因此可以得到：.
16．说出“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题.这个逆命题是真命题吗 证明你的判断.
【答案】解：逆命题：两边上的高线长相等的三角形是等腰三角形．是真命题．
已知：如图，BD，CE是△ABC的两条高线，且BD=CE．
求证：AB=AC．
证明：∵BD，CE是△ABC的两条高线，
∴∠BDA=∠CEA=90°．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴AB=AC．
【知识点】真命题与假命题；逆命题；举反例判断命题真假
【解析】【分析】根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等得出△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等得出AB=AC，即可证明.
17．如图，△ABC是等边三角形.
（1）若AD=BE=CF，求证：△DEF是等边三角形.
（2）第(1)题的逆命题成立吗 若成立，请证明；若不成立，请举反例加以说明.
【答案】（1）证明：由△ABC是等边三角形，知AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°．
∵AD=BE=CF，
∴BD=CE=AF，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DE=EF=DF，
∴△DEF是等边三角形．
（2）解：成立．逆命题是：若△DEF是等边三角形，则AD=BE=CF．
∵△DEF是等边三角形，
∴DE=EF=DF，∠EDF=∠DFE=∠DEF=60°，可得∠ADF+∠AFD=120°．
又∵∠EFC+∠AFD=120°，∴∠ADF=∠EFC，∴△ADF≌△CFE（AAS），
∴AD=CF．同理可证，AD=BE．∴AD=BE=CF．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；逆命题
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的三条边和三个角都相等得出AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，推得BD=CE=AF，根据两边及其夹角分别相等的两个三角形全等得出△ADF≌△BED≌△CFE，根据全等三角形的对应边相等得出DE=EF=DF，根据三条边相等的三角形是等边三角形即可证明；
（2）根据等边三角形的三条边和三个角都相等得出DE=EF=DF，∠EDF=∠DFE=∠DEF=60°，推得∠ADF=∠EFC，根据两边及其夹角分别相等的两个三角形全等得出△ADF≌△CFE，根据全等三角形的对应边相等得出AD=CF，同理得出AD=BE，即可证明.
三、拓展创新：
18．（2022八上·顺平期中）数学活动：利用全等三角形研究“筝形”的特征．
认识图形：如图，四边形中，．像这样，两条邻边分别相等的四边形叫做筝形．
（1）研究特征：琪琪猜想筝形的对角与相等，他的结论成立吗？说明理由．
（2）嘉嘉连接筝形的对角线、后发现垂直平分，请你补全图形，并帮她说明理由．
（3）拓展应用：在筝形中，对角线长为8，长为12，请直接写出此筝形的面积．
【答案】（1）解：成立，理由：如图，连接．
在与中，
∵
∴．
∴．
（2）解：补全图形如图，
理由：∵
∴点、在线段的垂直平分线上，
即垂直平分；
（3）筝形的面积为48
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】（3）解：面积为：．
故答案为：48
【分析】（1）连接，根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）补全图形，根据垂直平分线的判定定理即可求出答案.
（3）根据题意即可求出答案.
（1）解：成立，
理由：如图，连接．
在与中，
∵
∴．
∴．
（2）解：补全图形如图，
理由：∵
∴点、在线段的垂直平分线上，
即垂直平分；
（3）解：面积为：．
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