浙教版（2024) 数学八年级上册2.6.1 直角三角形 同步分层练习
一、夯实基础：
1．直角三角形的一个锐角为34°，则它的另一个锐角为( ).
A．34° B．36° C．56° D．66°
2．（2020八上·嘉兴期末） 中， ，则 的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
3．已知，在Rt中，为直角，是的2倍，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·洞头期中）如图，在中，，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在Rt中，是斜边AB上的中线，若，则AB的长为（ ）
A．2.5 B．4 C．5 D．6
6．（2024八上·余杭期中）如图，一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，点P是AB的中点，A'B'表示竹竿AB上下滑动时的情形，则下列判断正确的是（ ）
A．下滑时，OP的长度增大 B．上升时，OP的长度减小
C．只要滑动，OP的长度就变化 D．无论怎样滑动，OP的长度不变
7．（2025八上·温州期中）在△ABC中， ∠C=90°，∠A=∠B，则B=
8．（2023八上·金华月考）直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，若AB＝10，则CD的长为 ．
9．（2023八上·德清月考）直角三角形斜边上的中线与高的长分别是6cm、5cm，则它的面积是 cm2．
10．（2024八上·瑞安期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
二、能力提升：
11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°.分别以点A，B为圆心，以相同的长(大AB)为半径弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AB于点D，交BC于点E，连结CD.下列结论错误的是( ).
A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC
12．（2024八上·浙江期中）如图，在中，点在边上，E，F分别是线段，的中点．若，，则（ ）
A．5 B．6 C． D．4
13．（2024八上·鹿城期中）如图，是等腰底边边上的中线，，，则度数是（ ）
A． B． C． D．
14．（2025八上·温州期中） 两个直角三角形积木 和 按如图所示摆放在水平桌面上， 已知 ， ， 把下端挂有铅锤的细绳的上端拴在直角顶点 处， 则
15．（2025八上·嵊州期末）如图，在等腰中，，，D是射线上一点，连结，过点A作，连结与直线交于点F，若，则的长是 ．
16．（2025八上·西湖期末）如图，在中，，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接，，．
（1）求证：．
（2）已知，求的度数．
17．（2025八上·诸暨期末）如图，和分别位于异侧，，点O是的中点，连接，，．
（1）若，，求的度数：
（2）若锐角，求的度数（用的代数式表示）．
三、拓展创新：
18．（2024八上·乐清期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”.比如：三个内角分别为100°，50°，30°的三角形是“智慧三角形”，如图∠MON=40°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C.
（1）∠ABO=
（2）若∠ACB=60°.求证： △AOC为“智慧三角形”
（3）当△ABC为“智慧三角形”时，请求出∠OAC的度数
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解： 直角三角形的一个锐角为34°，则它的另一个锐角90°-34°=56°
故答案为：56°.
【分析】根据直角三角形两个锐角互余，即可解答.
2．【答案】B
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ Rt△ABC中，∠C=90°
∴ ∠A+∠B=90°
又∵ ∠B-∠A=30°
∴ ∠B-30°+∠B=90°
∴ ∠B=60°
故答案为： B.
【分析】根据三角形的内角和定理可得∠A和∠B互余，代入∠B-∠A=30°，即可得到答案.
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠B=2∠A，
∴180°=90°+∠A+∠B=90°+3∠A，
∴∠A=30°.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的内角和定理即可求得.
4．【答案】D
【知识点】垂线的概念；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
故选：D．
【分析】由垂线定义求得，同角的余角相等可得，即可求解.
5．【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：根据题意得：CD=AB，则AB=2CD=5.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半求得.
6．【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点P是AB的中点，
∴
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质得到：进而即可求解.
7．【答案】45°
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠A=∠B，
∴∠B=90°÷2=45°，
故答案为：45°.
【分析】根据直角三角形及等腰三角形性质求解即可.
8．【答案】5
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，
在中，，点D是边的中点，
．
故答案为：5．
【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此求解．
9．【答案】30
【知识点】直角三角形斜边上的中线
10．【答案】解：∵AB＝AC，∠A＝30°
∴∠C＝∠ABC＝75°
∵BD是AC边上的高
∴∠BDC＝90°
∴∠DBC＝90°－∠C＝15°
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】由等边对等角及三角形的内角和定理得∠C＝∠ABC＝75°，由三角形高线性质可得∠BDC＝90°，最后根据直角三角形的量锐角互余可得∠DBC的度数.
11．【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线；直角三角形的两锐角互余；线段垂直平分线的概念
【解析】【解答】解：根据题意可得MN为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，∠BDE=90°；
∵∠ACB=90°，AD=BD，
∴CD=BD；
∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，
∴∠A=∠BED；
∵∠A≠60°，AC≠AD，
∴EC≠ED，
∴∠ECD≠∠EDC．
故答案为：D.
【分析】根据作图可得MN为AB的垂直平分线，得出AD=BD，∠BDE=90°，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得出CD=BD，根据直角三角形中两锐角互余和等角的余角相等得出∠A=∠BED，结合等边对等角即可求解.
12．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，为的中点，
∴，
即，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，代入即可求出答案．
13．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵是等腰底边边上的中线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质"等腰三角形的三线合一"可得BD是AC的垂线且是∠ABC的角平分线，在Rt△BCD中，由直角三角形的两锐角互余可求得∠CBD=∠ABD的度数，然后由平行线的性质即可求解．
14．【答案】15°
【知识点】两直线平行，同旁内角互补；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵直角三角形ABC，∠B=30°，
∴∠ACB=90°-30°=60°，
∵ ，
∴∠ACD=60°+45°=105°，
由题意DG∥AC，则∠CDG=180°-105°=75°，
∵直角三角形CDE，∠CDE=90°，
∴∠EDG=90°-75°=15°，
故答案为：15°.
【分析】根据直角三角形的性质及平行线的性质求解角度即可.
15．【答案】
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：作，交的延长线于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∴
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】作，交的延长线于H，即可得到，进而得到，，再推理得到，可得，设，则，求出x值即可解题．
16．【答案】（1）证明：∵，为上的中线，
∴，
∴是直角三角形，
∵点F为中点，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵点F为中点，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，即，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，直角三角形的性质，可知，再根据，得到是直角三角形，进而可以得到结论；
（2）由直角三角形的性质求出，进而得到，结合，再根据，得到垂直平分，即可得到答案．
（1）证明：∵，为上的中线，
∴，
∴是直角三角形，
∵点F为中点，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵点F为中点，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，即，
∴．
17．【答案】（1）解：∵在和中，，点是的中点，∴，，
∴，，
∴，，
∴．
（2）解：∵在和中，，点是的中点，∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）利用30°的直角三角形斜边上的中线性质得到，，然后利用等边对等角爱哦得到，，然后解题即可；
（2）利用30°的直角三角形斜边上的中线性质得到，，然后利用等边对等角得到，，再利用三角形的外角得到，，即可解题．
（1）解：∵在和中，，点是的中点，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
（2）解：∵在和中，，点是的中点，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴
．
18．【答案】（1）50°
（2）解：∵∠ACB=60°，∠MON=40°
∴∠CAO=∠ACB-∠MON=60°-40°=20°
∴∠AOC=2∠CAO
∴△AOC为“智慧三角形”
（3）解：分情况讨论： ①当∠ACB=2∠ABC时，∠ACB=100°，∠BAC=30°，∠OAC=60°；
②当∠ABC=2∠ACB时，∠ACB=25°，∠BAC=105°＞90°，故舍去；
③当∠BAC=2∠ABC时，∠BAC=100°＞90°，故舍去；
④当∠ABC=2∠BAC时，∠BAC=25°，∠OAC=65°；
⑤当 时， ；
⑥当 时， ；
综上所述， 的度数为 或 或 或
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：(1)，
，
，
.
故答案为：.
【分析】(1)由垂直的定义可得，再利用三角形的内角和定理求得 ∠ABO 的度数.
(2)利用三角形的外角和性质计算出∠CAO的度数，进而证得∠AOC=2∠CAO，故△AOC为''智慧三角形''.
(3)根据智慧三角形的定义对 △ABC 的内角度数进行分类讨论，①当∠ACB=2∠ABC时，则∠ACB=100°，由三角形的外角和性质求得∠OAC=60°；②当∠ABC=2∠ACB时，则∠ACB=25°，利用三角形内角和定理求得∠BAC=105°＞90°，故舍去； ③当∠BAC=2∠ABC时，则∠BAC=100°＞90°，故舍去； ④当∠ABC=2∠BAC时，则∠BAC=25°，由余角的性质求得∠OAC=65°；⑤当 时，则由余角的性质求得；⑥当 时， 则，由三角形的外角和性质求得，综上所述， 的度数为 或 或 或 .
1 / 1浙教版（2024) 数学八年级上册2.6.1 直角三角形 同步分层练习
一、夯实基础：
1．直角三角形的一个锐角为34°，则它的另一个锐角为( ).
A．34° B．36° C．56° D．66°
【答案】C
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解： 直角三角形的一个锐角为34°，则它的另一个锐角90°-34°=56°
故答案为：56°.
【分析】根据直角三角形两个锐角互余，即可解答.
2．（2020八上·嘉兴期末） 中， ，则 的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】B
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ Rt△ABC中，∠C=90°
∴ ∠A+∠B=90°
又∵ ∠B-∠A=30°
∴ ∠B-30°+∠B=90°
∴ ∠B=60°
故答案为： B.
【分析】根据三角形的内角和定理可得∠A和∠B互余，代入∠B-∠A=30°，即可得到答案.
3．已知，在Rt中，为直角，是的2倍，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠B=2∠A，
∴180°=90°+∠A+∠B=90°+3∠A，
∴∠A=30°.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的内角和定理即可求得.
4．（2023八上·洞头期中）如图，在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线的概念；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
故选：D．
【分析】由垂线定义求得，同角的余角相等可得，即可求解.
5．如图，在Rt中，是斜边AB上的中线，若，则AB的长为（ ）
A．2.5 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：根据题意得：CD=AB，则AB=2CD=5.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半求得.
6．（2024八上·余杭期中）如图，一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，点P是AB的中点，A'B'表示竹竿AB上下滑动时的情形，则下列判断正确的是（ ）
A．下滑时，OP的长度增大 B．上升时，OP的长度减小
C．只要滑动，OP的长度就变化 D．无论怎样滑动，OP的长度不变
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点P是AB的中点，
∴
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质得到：进而即可求解.
7．（2025八上·温州期中）在△ABC中， ∠C=90°，∠A=∠B，则B=
【答案】45°
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠A=∠B，
∴∠B=90°÷2=45°，
故答案为：45°.
【分析】根据直角三角形及等腰三角形性质求解即可.
8．（2023八上·金华月考）直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，若AB＝10，则CD的长为 ．
【答案】5
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，
在中，，点D是边的中点，
．
故答案为：5．
【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此求解．
9．（2023八上·德清月考）直角三角形斜边上的中线与高的长分别是6cm、5cm，则它的面积是 cm2．
【答案】30
【知识点】直角三角形斜边上的中线
10．（2024八上·瑞安期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
【答案】解：∵AB＝AC，∠A＝30°
∴∠C＝∠ABC＝75°
∵BD是AC边上的高
∴∠BDC＝90°
∴∠DBC＝90°－∠C＝15°
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】由等边对等角及三角形的内角和定理得∠C＝∠ABC＝75°，由三角形高线性质可得∠BDC＝90°，最后根据直角三角形的量锐角互余可得∠DBC的度数.
二、能力提升：
11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°.分别以点A，B为圆心，以相同的长(大AB)为半径弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AB于点D，交BC于点E，连结CD.下列结论错误的是( ).
A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线；直角三角形的两锐角互余；线段垂直平分线的概念
【解析】【解答】解：根据题意可得MN为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，∠BDE=90°；
∵∠ACB=90°，AD=BD，
∴CD=BD；
∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，
∴∠A=∠BED；
∵∠A≠60°，AC≠AD，
∴EC≠ED，
∴∠ECD≠∠EDC．
故答案为：D.
【分析】根据作图可得MN为AB的垂直平分线，得出AD=BD，∠BDE=90°，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得出CD=BD，根据直角三角形中两锐角互余和等角的余角相等得出∠A=∠BED，结合等边对等角即可求解.
12．（2024八上·浙江期中）如图，在中，点在边上，E，F分别是线段，的中点．若，，则（ ）
A．5 B．6 C． D．4
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，为的中点，
∴，
即，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，代入即可求出答案．
13．（2024八上·鹿城期中）如图，是等腰底边边上的中线，，，则度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵是等腰底边边上的中线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质"等腰三角形的三线合一"可得BD是AC的垂线且是∠ABC的角平分线，在Rt△BCD中，由直角三角形的两锐角互余可求得∠CBD=∠ABD的度数，然后由平行线的性质即可求解．
14．（2025八上·温州期中） 两个直角三角形积木 和 按如图所示摆放在水平桌面上， 已知 ， ， 把下端挂有铅锤的细绳的上端拴在直角顶点 处， 则
【答案】15°
【知识点】两直线平行，同旁内角互补；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵直角三角形ABC，∠B=30°，
∴∠ACB=90°-30°=60°，
∵ ，
∴∠ACD=60°+45°=105°，
由题意DG∥AC，则∠CDG=180°-105°=75°，
∵直角三角形CDE，∠CDE=90°，
∴∠EDG=90°-75°=15°，
故答案为：15°.
【分析】根据直角三角形的性质及平行线的性质求解角度即可.
15．（2025八上·嵊州期末）如图，在等腰中，，，D是射线上一点，连结，过点A作，连结与直线交于点F，若，则的长是 ．
【答案】
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：作，交的延长线于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∴
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】作，交的延长线于H，即可得到，进而得到，，再推理得到，可得，设，则，求出x值即可解题．
16．（2025八上·西湖期末）如图，在中，，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接，，．
（1）求证：．
（2）已知，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，为上的中线，
∴，
∴是直角三角形，
∵点F为中点，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵点F为中点，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，即，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，直角三角形的性质，可知，再根据，得到是直角三角形，进而可以得到结论；
（2）由直角三角形的性质求出，进而得到，结合，再根据，得到垂直平分，即可得到答案．
（1）证明：∵，为上的中线，
∴，
∴是直角三角形，
∵点F为中点，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵点F为中点，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，即，
∴．
17．（2025八上·诸暨期末）如图，和分别位于异侧，，点O是的中点，连接，，．
（1）若，，求的度数：
（2）若锐角，求的度数（用的代数式表示）．
【答案】（1）解：∵在和中，，点是的中点，∴，，
∴，，
∴，，
∴．
（2）解：∵在和中，，点是的中点，∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）利用30°的直角三角形斜边上的中线性质得到，，然后利用等边对等角爱哦得到，，然后解题即可；
（2）利用30°的直角三角形斜边上的中线性质得到，，然后利用等边对等角得到，，再利用三角形的外角得到，，即可解题．
（1）解：∵在和中，，点是的中点，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
（2）解：∵在和中，，点是的中点，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴
．
三、拓展创新：
18．（2024八上·乐清期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”.比如：三个内角分别为100°，50°，30°的三角形是“智慧三角形”，如图∠MON=40°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C.
（1）∠ABO=
（2）若∠ACB=60°.求证： △AOC为“智慧三角形”
（3）当△ABC为“智慧三角形”时，请求出∠OAC的度数
【答案】（1）50°
（2）解：∵∠ACB=60°，∠MON=40°
∴∠CAO=∠ACB-∠MON=60°-40°=20°
∴∠AOC=2∠CAO
∴△AOC为“智慧三角形”
（3）解：分情况讨论： ①当∠ACB=2∠ABC时，∠ACB=100°，∠BAC=30°，∠OAC=60°；
②当∠ABC=2∠ACB时，∠ACB=25°，∠BAC=105°＞90°，故舍去；
③当∠BAC=2∠ABC时，∠BAC=100°＞90°，故舍去；
④当∠ABC=2∠BAC时，∠BAC=25°，∠OAC=65°；
⑤当 时， ；
⑥当 时， ；
综上所述， 的度数为 或 或 或
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：(1)，
，
，
.
故答案为：.
【分析】(1)由垂直的定义可得，再利用三角形的内角和定理求得 ∠ABO 的度数.
(2)利用三角形的外角和性质计算出∠CAO的度数，进而证得∠AOC=2∠CAO，故△AOC为''智慧三角形''.
(3)根据智慧三角形的定义对 △ABC 的内角度数进行分类讨论，①当∠ACB=2∠ABC时，则∠ACB=100°，由三角形的外角和性质求得∠OAC=60°；②当∠ABC=2∠ACB时，则∠ACB=25°，利用三角形内角和定理求得∠BAC=105°＞90°，故舍去； ③当∠BAC=2∠ABC时，则∠BAC=100°＞90°，故舍去； ④当∠ABC=2∠BAC时，则∠BAC=25°，由余角的性质求得∠OAC=65°；⑤当 时，则由余角的性质求得；⑥当 时， 则，由三角形的外角和性质求得，综上所述， 的度数为 或 或 或 .
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