浙教版（2024) 数学八年级上册2.6.2 直角三角形 同步分层练习
一、夯实基础：
1．（2022八上·广州期中）给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵
∴△ABC是直角三角形，故A不符合题意.
B、∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°
∴∠C=90°
∴△ABC是直角三角形，故B不符合题意.
C、∵
设，则，
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴
解得
∴
∴△ABC是直角三角形，故C不符合题意.
D、∵
设，则，
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴
解得：
∴△ABC是钝角三角形，故D符合题意
故选D．
【分析】
A、由题意知：∠C是最大的角，计算出∠C的度数为：
B、根据三角形的内角和等于180度，再，计算出∠C=90°
C、设，则，，再根据三角形的内角和等于180°，列出方程：，解出x，再计算∠C的度数即可.
D、设，则，，再根据三角形的内角和等于180°，列出方程：，解出x即可.
2．（2024八上·诸暨期中）在下列条件中：①，②，③中，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：①，，
，
，
为直角三角形，故①符合题意；
②，
设，，，
，
，
解得：，
，
为直角三角形，故②符合题意；
③，
，
，
，
为直角三角形，故③符合题意；
综上所述，能确定是直角三角形的条件有3个，
故答案为：D．
【分析】①根据三角形内角和定理求出；②由三个角的比可设未知数列方程求出；③根据三角形内角和定理求出.
3．（2024八上·清河月考）如图，，过点作于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行，同旁内角互补；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据垂直的定义得，从而得，由两直线平行，同旁内角互补即可求出的度数．
4．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=( ).
A．60° B．45° C．30° D．不确定
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BF ∠AEC=∠ACE且∠BFC=∠BCF ∠ECF=180°-（∠FEC+∠CFE）=（∠BAC+∠ABC）/2=45°。
故答案为：B .
【分析】在直角三角形ABC中，由于AC=AE和BC=BF，我们可以得到∠AEC=∠ACE和∠BFC=∠BCF。通过角度关系的计算，可以得出∠ECF=45°。
5．（2023八上·呼和浩特期中）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合） ，下列说法正确说法正确的是（ ）
A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC
B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC
C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°
D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A．∵∠BAC=90°，
∴∠BAP+∠CAP=∠B+∠C=90°，
∵∠BAP=∠B，
∴∠CAP=∠C，
∴AP=PC，
只有当∠B=30°时，AC=PC，故错误；
B．∵∠BAC=90°，
∴∠BAP+∠CAP=90°，
∵∠BAP=∠C，
∴∠C+∠CAP=90°，
∴∠APC=180°-（∠C+∠CAP）=90°，
即AP⊥BC，故正确；
C．∵AP⊥BC，PB=PC，
∴AP垂直平分BC，
而∠BAC不一定等于90°，故错误；
D．根据PB=PC，∠BAP=∠CAP，无法证明∠BAC=90°，故错误，
故选：B．
【分析】利用等边对等角和直角三角形的两锐角互余逐项判定可求解．
6．（2024八上·浙江期中）如图，在中，点在边上，E，F分别是线段，的中点．若，，则（ ）
A．5 B．6 C． D．4
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，为的中点，
∴，
即，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，代入即可求出答案．
7．（2024八上·洪山月考）中，，是的高，若，则x的值为 ．
【答案】66或24
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形的性质
8．（人教版（2024）数学八上 第十三章 三角形小结）下列四个条件：
①在△ABC 中， ∠A， ∠B 都是锐角；
②△ABC的三个内角的度数之比是1：2：3；
③在△ABC中， ∠A-∠B=∠C；
④△ABC的三个外角的度数之比是3：4：5.
其中能确定△ABC 是直角三角形的是 (只填序号).
【答案】②③④
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定
9．（浙教版(2024)数学八年级上册教材习题 2.6直角三角形 第二课时）根据下列条件判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由。
（1） 有一个外角为90°；
（2） ∠A=36°，∠B=54°；
（3） 如图，∠1与∠2互余，∠B=∠1。
【答案】（1）解：有一个外角为90°
则相邻内角为180°- 90°= 90°
∴△ABC是直角三角形
（2）解：∵∠A=36°，∠B=54°
∴∠A+∠B=90°
∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=90°
∴△ABC是直角三角形
（3）解：∵∠1与∠2互余
∴∠1+∠2= 90°
∵∠B=∠1
∴∠B+∠2=90°
∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=90°
∴△ABC是直角三角形
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定
【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定，通过已知条件求出三角形的某个内角是否为90°来判断是否为直角三角形；
(2)根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定，通过已知条件求出三角形的某个内角是否为90°来判断是否为直角三角形；
(3)根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定，通过已知条件求出三角形的某个内角是否为90°来判断是否为直角三角形.
10．（2016八上·铜山期中）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽像出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的宇母）；
（2）证明：DC⊥BE．
【答案】（1）△ABE≌△ACD．
证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE．
即∠BAE=∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD；
（2）证明∵△ABE≌△ACD，
∴∠ACD=∠ABE=45°，
又∵∠ACB=45°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，
∴DC⊥BE．
【知识点】三角形全等的判定；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可以得出△ABE≌△ACD；（2）由△ABE≌△ACD可以得出∠B=∠ACD﹣45°，进而得出∠DCB=90°，就可以得出结论．
二、能力提升：
11．（2024八上·昭阳期末）如图，等腰中，腰上的高线为，的平分线为，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵腰上的高线为，，
∴，
∵等腰，，
∴，
∵的平分线为，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，角平分线的计算．利用三角形高线的性质可得：，再根据直角三角形两锐角互以及等边对等角可得：，利用角平分线定义可得：，再利用角的运算可得：，再代入数据进行计算可求出答案.
12．（2024八上·诸暨月考）如图，在中，，分别为边上的高线和的角平分线，于点F，当，时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的两锐角互余；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵为边上的高线 ，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】先根据直角三角形两个锐角互余，求出，再根据根据直角三角形两个锐角互余计算出，从而得到，再利用角平分线定义求得，然后利用三角形内角和求．
13．（2024八上·西湖期末）如图，在中，于点于点D，点F是的中点，连接设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：于点于点
∵点F是的中点，
即，
故答案为：D．
【分析】由垂直的定义得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，等边对等角得到，，于是根据平角定义及三角形的内角和定理得到结论．
14．（2024八上·长兴月考）如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接交于点，已知，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：①∵BD⊥AP，
∴∠ADB=90°，
∴∠ACP=∠ADB，
∵∠APC=∠DPB，
∴∠CAP=∠CBD，故①正确；
②∵CH⊥CD，
∴∠HCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACH=∠BCD，
在△ACH和△BCD中，
，
∴△ACH≌△BCD（ASA），故②正确；
③∵△ACH≌△BCD，
∴S△ACH=S△BCD，
，
∴，
∴，
∴，故③正确；
④∵△ACH≌△BCD，
∴CH=CD，
∵∠HCD=90°，
∴，
∴CD=，故④错误，
综上所述，正确的结论有①②③，共3个，
故答案为：C.
【分析】根据等角的余角相等可得出①正确；利用可证明△ACH≌△BCD可得出②正确；根据△ACH≌△BCD可得S△ACH=S△BCD，结合即可得出③正确；根据③中结论求出即可得出④错误．
15．（2024八上·路桥期中）如图，四边形中，，平分，，，垂足为E，且，则的度数是 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴∠DEC=90°，
∴，
故答案为：．
【分析】利用证明，于是可得，，再根据等腰三角形的性质可求得△ACD的度数，最后根据直角三角形的性质即可解决问题．
16．（浙教版(2024)数学八年级上册教材习题 2.6直角三角形 第二课时） 已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠1=∠B，∠A=∠2。求证：△ABC是直角三角形。
【答案】证明：∵∠1=∠B，∠2=∠A
∴∠1+∠2=∠A+∠B
∴∠1+∠2=180°-(∠A+∠B)=180°-(∠1+∠2)
∴∠1+∠2=90°
∴△ABC是直角三角形
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定
【解析】【分析】利用三角形内角和的性质可得∠1+∠2=90°，即可证明三角形ABC是直角三角形.
17．（2024八上·路桥期中）已知命题“如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，请按以下步骤完成此命题的证明．
（1）根据题意，画出图形：画及边上的中线，且满足；（画图工具不限）
（2）结合（1）中画出的图形，请写出已知与求证；
（3）证明：写出证明过程．
【答案】（1）解：作线段的垂直平分线，以中点D为圆心，长为半径画圆，在圆周上取一点C，连接，，则即为所求；
（2）解：已知：如图，中，是边的中线，且；
求证：是直角三角形；
（3）证明：∵是边上的中线，
∴．
又，
∴，
∴，，
∴．
∵，
即，
∴，
即，
∴是直角三角形．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线；直角三角形的判定
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线，以中点D为圆心，长为半径画圆，取一点C，连接，，即为所求；
（2）结合（1）中画出的图形，写出已知与求证即可；
（3）利用（1）中写出已知，利用等腰三角形性质及内角和定理，即可求解．
（1）解：作线段的垂直平分线，以点D为圆心，长为半径画圆，取一点C，连接，，即为所求；
（2）解：已知：中，是边的中线，且；
求证：是直角三角形；
（3）证明：∵是边上的中线，
∴．
又，
∴，
∴，，
∴．
∵，
即，
∴，
即，
∴是直角三角形．
三、拓展创新：
18．（2024八上·平果期末） 综合与实践
【问题情境】
数学课上老师组织同学们利用直角三角形纸片来进行拼图探究活动．
（1）【实验探究】阳光小组将一张含30°角的直角三角形纸片和一张等腰直角三角形纸片按图①的方式摆放，则图中 ．
（2）无敌小组将两张等腰直角三角形纸片和按图②的方式摆放，点A与点D以重合，且点B，C，E在同一直线上，连接CF交AE于点G，小组同学测量发现，请你帮他们证明此结论．
（3）【拓展探究】课后小强自制了两张三角形纸片和，其中，，，他把两张三角形纸片按图③的方式摆放（A与D重合，B与E重合）．点C，F在AB两侧，过点B作，交AC的延长线于点G，小强发现线段AC，AF，CG之间存在一定的数量关系，请你探究此关系并加以证明．
【答案】（1）
（2）证明：∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，点A与点D以重合，
∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAF＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAF，
∴在△BAE和△CAF中，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠BEA＝∠CFA，
∵∠EAF＝90°，
∴∠AEF＋∠AFE＝90°，
∴∠EFC＋∠FEC＝∠EFC＋∠FEA＋∠AEB＝∠EFC＋∠FEA＋∠AFC＝∠AFE＋∠FEA＝90°，
∴∠ACE＝180° （∠EFC＋∠FEC）＝180° 90°＝90°，
∴CF⊥BE.
（3）解：AF＝AC＋2CG.
证明如下：过点B作BH⊥AF于点H，如图所示：
∴∠BHA＝∠BHF＝90°，
∵BG⊥AC，
∴∠G＝90°，
∴∠BHA＝∠BHF＝∠G，
由题意可得∠BAF＝∠BAG，
∴在△ABH和△ABG中，
，
∴△ABH≌△ABG（AAS），
∴AH＝AG，BH＝BG，
∵∠F＋∠ACB＝180°，∠ACB＋∠BCG＝180°，
∴∠F＝∠BCG，
在△BHF和△BGC中
，
∴△BHF≌△BGC（AAS），
∴HF＝GC，
∴AF＝AH＋HF＝AG＋CG＝AC＋CG＋CG＝AC＋2CG．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】（1）解：如图所示，
由题意可得：∠D＝30°，∠DEF＝90°，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACE=∠ACB=×90°＝45°，
∴∠1＝∠ACE ∠D＝45° 30°＝15°；
故答案为：15°.
【分析】（1）先求出∠ACE=∠ACB=×90°＝45°，再利用角的运算求出∠1的度数即可；
（2）先利用“SAS”证出△BAE≌△CAF，可得∠BEA＝∠CFA，再利用角的运算和等量代换可得∠ACE＝180° （∠EFC＋∠FEC）＝180° 90°＝90°，即可得到CF⊥BE；
（3）过点B作BH⊥AF于点H，先利用“AAS”证出△ABH≌△ABG，可得AH＝AG，BH＝BG，再结合∠F＝∠BCG，利用“AAS”证出△BHF≌△BGC，可得HF＝GC，最后利用线段的和差及等量代换可得AF＝AH＋HF＝AG＋CG＝AC＋CG＋CG＝AC＋2CG．
1 / 1浙教版（2024) 数学八年级上册2.6.2 直角三角形 同步分层练习
一、夯实基础：
1．（2022八上·广州期中）给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·诸暨期中）在下列条件中：①，②，③中，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2024八上·清河月考）如图，，过点作于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=( ).
A．60° B．45° C．30° D．不确定
5．（2023八上·呼和浩特期中）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合） ，下列说法正确说法正确的是（ ）
A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC
B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC
C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°
D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°
6．（2024八上·浙江期中）如图，在中，点在边上，E，F分别是线段，的中点．若，，则（ ）
A．5 B．6 C． D．4
7．（2024八上·洪山月考）中，，是的高，若，则x的值为 ．
8．（人教版（2024）数学八上 第十三章 三角形小结）下列四个条件：
①在△ABC 中， ∠A， ∠B 都是锐角；
②△ABC的三个内角的度数之比是1：2：3；
③在△ABC中， ∠A-∠B=∠C；
④△ABC的三个外角的度数之比是3：4：5.
其中能确定△ABC 是直角三角形的是 (只填序号).
9．（浙教版(2024)数学八年级上册教材习题 2.6直角三角形 第二课时）根据下列条件判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由。
（1） 有一个外角为90°；
（2） ∠A=36°，∠B=54°；
（3） 如图，∠1与∠2互余，∠B=∠1。
10．（2016八上·铜山期中）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽像出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的宇母）；
（2）证明：DC⊥BE．
二、能力提升：
11．（2024八上·昭阳期末）如图，等腰中，腰上的高线为，的平分线为，，则为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024八上·诸暨月考）如图，在中，，分别为边上的高线和的角平分线，于点F，当，时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
13．（2024八上·西湖期末）如图，在中，于点于点D，点F是的中点，连接设，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2024八上·长兴月考）如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接交于点，已知，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（2024八上·路桥期中）如图，四边形中，，平分，，，垂足为E，且，则的度数是 ．
16．（浙教版(2024)数学八年级上册教材习题 2.6直角三角形 第二课时） 已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠1=∠B，∠A=∠2。求证：△ABC是直角三角形。
17．（2024八上·路桥期中）已知命题“如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，请按以下步骤完成此命题的证明．
（1）根据题意，画出图形：画及边上的中线，且满足；（画图工具不限）
（2）结合（1）中画出的图形，请写出已知与求证；
（3）证明：写出证明过程．
三、拓展创新：
18．（2024八上·平果期末） 综合与实践
【问题情境】
数学课上老师组织同学们利用直角三角形纸片来进行拼图探究活动．
（1）【实验探究】阳光小组将一张含30°角的直角三角形纸片和一张等腰直角三角形纸片按图①的方式摆放，则图中 ．
（2）无敌小组将两张等腰直角三角形纸片和按图②的方式摆放，点A与点D以重合，且点B，C，E在同一直线上，连接CF交AE于点G，小组同学测量发现，请你帮他们证明此结论．
（3）【拓展探究】课后小强自制了两张三角形纸片和，其中，，，他把两张三角形纸片按图③的方式摆放（A与D重合，B与E重合）．点C，F在AB两侧，过点B作，交AC的延长线于点G，小强发现线段AC，AF，CG之间存在一定的数量关系，请你探究此关系并加以证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵
∴△ABC是直角三角形，故A不符合题意.
B、∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°
∴∠C=90°
∴△ABC是直角三角形，故B不符合题意.
C、∵
设，则，
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴
解得
∴
∴△ABC是直角三角形，故C不符合题意.
D、∵
设，则，
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴
解得：
∴△ABC是钝角三角形，故D符合题意
故选D．
【分析】
A、由题意知：∠C是最大的角，计算出∠C的度数为：
B、根据三角形的内角和等于180度，再，计算出∠C=90°
C、设，则，，再根据三角形的内角和等于180°，列出方程：，解出x，再计算∠C的度数即可.
D、设，则，，再根据三角形的内角和等于180°，列出方程：，解出x即可.
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：①，，
，
，
为直角三角形，故①符合题意；
②，
设，，，
，
，
解得：，
，
为直角三角形，故②符合题意；
③，
，
，
，
为直角三角形，故③符合题意；
综上所述，能确定是直角三角形的条件有3个，
故答案为：D．
【分析】①根据三角形内角和定理求出；②由三个角的比可设未知数列方程求出；③根据三角形内角和定理求出.
3．【答案】B
【知识点】两直线平行，同旁内角互补；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据垂直的定义得，从而得，由两直线平行，同旁内角互补即可求出的度数．
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BF ∠AEC=∠ACE且∠BFC=∠BCF ∠ECF=180°-（∠FEC+∠CFE）=（∠BAC+∠ABC）/2=45°。
故答案为：B .
【分析】在直角三角形ABC中，由于AC=AE和BC=BF，我们可以得到∠AEC=∠ACE和∠BFC=∠BCF。通过角度关系的计算，可以得出∠ECF=45°。
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A．∵∠BAC=90°，
∴∠BAP+∠CAP=∠B+∠C=90°，
∵∠BAP=∠B，
∴∠CAP=∠C，
∴AP=PC，
只有当∠B=30°时，AC=PC，故错误；
B．∵∠BAC=90°，
∴∠BAP+∠CAP=90°，
∵∠BAP=∠C，
∴∠C+∠CAP=90°，
∴∠APC=180°-（∠C+∠CAP）=90°，
即AP⊥BC，故正确；
C．∵AP⊥BC，PB=PC，
∴AP垂直平分BC，
而∠BAC不一定等于90°，故错误；
D．根据PB=PC，∠BAP=∠CAP，无法证明∠BAC=90°，故错误，
故选：B．
【分析】利用等边对等角和直角三角形的两锐角互余逐项判定可求解．
6．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，为的中点，
∴，
即，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，代入即可求出答案．
7．【答案】66或24
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形的性质
8．【答案】②③④
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定
9．【答案】（1）解：有一个外角为90°
则相邻内角为180°- 90°= 90°
∴△ABC是直角三角形
（2）解：∵∠A=36°，∠B=54°
∴∠A+∠B=90°
∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=90°
∴△ABC是直角三角形
（3）解：∵∠1与∠2互余
∴∠1+∠2= 90°
∵∠B=∠1
∴∠B+∠2=90°
∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=90°
∴△ABC是直角三角形
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定
【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定，通过已知条件求出三角形的某个内角是否为90°来判断是否为直角三角形；
(2)根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定，通过已知条件求出三角形的某个内角是否为90°来判断是否为直角三角形；
(3)根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定，通过已知条件求出三角形的某个内角是否为90°来判断是否为直角三角形.
10．【答案】（1）△ABE≌△ACD．
证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE．
即∠BAE=∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD；
（2）证明∵△ABE≌△ACD，
∴∠ACD=∠ABE=45°，
又∵∠ACB=45°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，
∴DC⊥BE．
【知识点】三角形全等的判定；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可以得出△ABE≌△ACD；（2）由△ABE≌△ACD可以得出∠B=∠ACD﹣45°，进而得出∠DCB=90°，就可以得出结论．
11．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵腰上的高线为，，
∴，
∵等腰，，
∴，
∵的平分线为，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，角平分线的计算．利用三角形高线的性质可得：，再根据直角三角形两锐角互以及等边对等角可得：，利用角平分线定义可得：，再利用角的运算可得：，再代入数据进行计算可求出答案.
12．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的两锐角互余；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵为边上的高线 ，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】先根据直角三角形两个锐角互余，求出，再根据根据直角三角形两个锐角互余计算出，从而得到，再利用角平分线定义求得，然后利用三角形内角和求．
13．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：于点于点
∵点F是的中点，
即，
故答案为：D．
【分析】由垂直的定义得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，等边对等角得到，，于是根据平角定义及三角形的内角和定理得到结论．
14．【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：①∵BD⊥AP，
∴∠ADB=90°，
∴∠ACP=∠ADB，
∵∠APC=∠DPB，
∴∠CAP=∠CBD，故①正确；
②∵CH⊥CD，
∴∠HCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACH=∠BCD，
在△ACH和△BCD中，
，
∴△ACH≌△BCD（ASA），故②正确；
③∵△ACH≌△BCD，
∴S△ACH=S△BCD，
，
∴，
∴，
∴，故③正确；
④∵△ACH≌△BCD，
∴CH=CD，
∵∠HCD=90°，
∴，
∴CD=，故④错误，
综上所述，正确的结论有①②③，共3个，
故答案为：C.
【分析】根据等角的余角相等可得出①正确；利用可证明△ACH≌△BCD可得出②正确；根据△ACH≌△BCD可得S△ACH=S△BCD，结合即可得出③正确；根据③中结论求出即可得出④错误．
15．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴∠DEC=90°，
∴，
故答案为：．
【分析】利用证明，于是可得，，再根据等腰三角形的性质可求得△ACD的度数，最后根据直角三角形的性质即可解决问题．
16．【答案】证明：∵∠1=∠B，∠2=∠A
∴∠1+∠2=∠A+∠B
∴∠1+∠2=180°-(∠A+∠B)=180°-(∠1+∠2)
∴∠1+∠2=90°
∴△ABC是直角三角形
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定
【解析】【分析】利用三角形内角和的性质可得∠1+∠2=90°，即可证明三角形ABC是直角三角形.
17．【答案】（1）解：作线段的垂直平分线，以中点D为圆心，长为半径画圆，在圆周上取一点C，连接，，则即为所求；
（2）解：已知：如图，中，是边的中线，且；
求证：是直角三角形；
（3）证明：∵是边上的中线，
∴．
又，
∴，
∴，，
∴．
∵，
即，
∴，
即，
∴是直角三角形．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线；直角三角形的判定
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线，以中点D为圆心，长为半径画圆，取一点C，连接，，即为所求；
（2）结合（1）中画出的图形，写出已知与求证即可；
（3）利用（1）中写出已知，利用等腰三角形性质及内角和定理，即可求解．
（1）解：作线段的垂直平分线，以点D为圆心，长为半径画圆，取一点C，连接，，即为所求；
（2）解：已知：中，是边的中线，且；
求证：是直角三角形；
（3）证明：∵是边上的中线，
∴．
又，
∴，
∴，，
∴．
∵，
即，
∴，
即，
∴是直角三角形．
18．【答案】（1）
（2）证明：∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，点A与点D以重合，
∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAF＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAF，
∴在△BAE和△CAF中，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠BEA＝∠CFA，
∵∠EAF＝90°，
∴∠AEF＋∠AFE＝90°，
∴∠EFC＋∠FEC＝∠EFC＋∠FEA＋∠AEB＝∠EFC＋∠FEA＋∠AFC＝∠AFE＋∠FEA＝90°，
∴∠ACE＝180° （∠EFC＋∠FEC）＝180° 90°＝90°，
∴CF⊥BE.
（3）解：AF＝AC＋2CG.
证明如下：过点B作BH⊥AF于点H，如图所示：
∴∠BHA＝∠BHF＝90°，
∵BG⊥AC，
∴∠G＝90°，
∴∠BHA＝∠BHF＝∠G，
由题意可得∠BAF＝∠BAG，
∴在△ABH和△ABG中，
，
∴△ABH≌△ABG（AAS），
∴AH＝AG，BH＝BG，
∵∠F＋∠ACB＝180°，∠ACB＋∠BCG＝180°，
∴∠F＝∠BCG，
在△BHF和△BGC中
，
∴△BHF≌△BGC（AAS），
∴HF＝GC，
∴AF＝AH＋HF＝AG＋CG＝AC＋CG＋CG＝AC＋2CG．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】（1）解：如图所示，
由题意可得：∠D＝30°，∠DEF＝90°，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACE=∠ACB=×90°＝45°，
∴∠1＝∠ACE ∠D＝45° 30°＝15°；
故答案为：15°.
【分析】（1）先求出∠ACE=∠ACB=×90°＝45°，再利用角的运算求出∠1的度数即可；
（2）先利用“SAS”证出△BAE≌△CAF，可得∠BEA＝∠CFA，再利用角的运算和等量代换可得∠ACE＝180° （∠EFC＋∠FEC）＝180° 90°＝90°，即可得到CF⊥BE；
（3）过点B作BH⊥AF于点H，先利用“AAS”证出△ABH≌△ABG，可得AH＝AG，BH＝BG，再结合∠F＝∠BCG，利用“AAS”证出△BHF≌△BGC，可得HF＝GC，最后利用线段的和差及等量代换可得AF＝AH＋HF＝AG＋CG＝AC＋CG＋CG＝AC＋2CG．
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