浙教版（2024) 数学八年级上册2.7.1 探索勾股定理 同步分层练习
一、夯实基础：
1．如图，在Rt中，，边BC的长是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．
2．在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·沐川期末）如图，在中，，，点A恰好落在数轴上表示的点上，以原点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·浙江期中）如图，三条直线互相平行，的三个顶点分别在三条平行线上．已知，，且之间的距离为2，之间的距离为3，则的面积为（ ）
A．6 B． C．10 D．13
5．（2024八上·宁波竞赛） 直角三角形的三边为 且 都为正整数，则三角形其中一边长可能为 （ ）.
A．61 B．71 C．81 D．91
6．（2021八上·龙泉期末）若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是（ ）
A．13 B．13或 C． D．12或13
7．直角三角形两条直角边的平方和等于 ，如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，则 .
8．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC的中点，则AD的长是 .
9．已知直角三角形的两边长分别为5和12，则斜边上的中线长为 .
10．（2024八上·余杭期中）如图，在中，.求：
（1）BC边上的中线AD的长
（2）求△ABC的面积.
二、能力提升：
11．（2025八上·宁波期末）如图，在中，，点在AB边上，连结CD，点是CD的中点，连结AE．若，则AE的长是（ ）
A．2 B． C． D．
12．（2025八上·淳安期末）如图，在中，，为的中点，于点，若，，则为（ ）．
A． B． C． D．
13．（2024八上·拱墅期中）如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
14．（2025八上·宁波期末）如图，在△ABC中，CB=90°，∠ACB=60°，点D，E分别为AB，AC上的动点，若BC=1，则CD+DE的最小值是 .
15．（2025八上·余姚期末）如图，在 中， 于点 于点 ，并且点 是 的中点，的周长是 ，则 的长是 。
16．（2025八上·宁波期末）如图，AD是△ABC的高线，E为AB上一点，连结CE，交AD于点F，BE=CE.
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）若点F是CE的中点，CE=26，CD=12，求AF的长、
17．（2025八上·鄞州期末）如图，在 中， 是 边上的高线， 是 边上的中线， ，点 是 中点．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
三、拓展创新：
18．（2024八上·瑞安期中）勾股定理是证明方法最多的定理之一，小明便以此建立项目，加以探究.
【问题提出】小明在做作业本时发现利用右图可以证明勾股定理.思路为利用面积法，将梯形的面积用不同的方式表示列出等式.由此猜想如果将Rt△DAF向左平移，能否证明勾股定理？
【方案设计】考虑到探究的难度，他首先设计了两种特殊的位置，开展研究：
方案 方案一 方案二
图形
备注 Rt△BCA≌Rt△EAD Rt△BCA≌Rt△CFD
BC=a，AC=b，AB=c
【探究验证】首先验证方案一为方案二提供经验基础.
方式 验证过程 （分别用含有a，b，c的代数式完成填空） 图形
方式① S四边形ADBE=S△ABE +S△ABD S△ABE = ▲ ．（以AE为底，高为BC） S△ABD = ▲ ．（以AD为底，则AD边上的高与AC等长） 连结BE，BD，不难得出AB⊥ED
方式② S四边形ADBE =S△EBD +S△EAD ▲
综上所述利用方式①，②列出等式即可证明勾股定理.
【方法应用】
根据上述经验，请你继续完成方案二后续的证明过程.
提示：如图，连结BD，AD，不难得出CD⊥BA，利用两种方法表示四边形BCAD的面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理得，然后代值计算可得答案.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A+∠C+∠B=180°，∠A+∠C=90°，
∴∠B=90°，
∴AB2+BC2=AC2.
故答案为：B.
【分析】首先根据三角形的内角和定理求出∠B=90°，即△ABC为直角三角形，进而根据直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方可得答案.
3．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵中，，，，
∴，
又∵，
∴，
又∵点P在原点的左边，
∴点P表示的数为，
故答案为：A．
【分析】
根据及实数与数轴的关系：任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数，因而先依据勾股定理即可得到的长，进而得出的长，即可得到点P所表示的数，解答即可．
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过A作于D，交直线c于点E，如图所示：
∵，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴，
∴在Rt△ABD中，，
∴．
故答案为：B．
【分析】过A作于D，交直线c于点E，可得，，，证明，得出，根据勾股定理得出AB2的值，根据三角形面积公式即可得到答案．
5．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题可知： 解之得： 所以直角三角形三边分别为3b、4b、5b.
当 时，
故答案为： C.
【分析】直角三角形的三边为a 由他们的大小关系可知，直角边为a-b，a，则根据勾股定理可知： 解得 所以直角三角形的三边为3b、4b、5b，看给出的答案是不是3、4、5的倍数，如果是，就可能是边长. 如果不是就一定不是. 所以题中81能被3整除，所以可能.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：①当12为斜边时，它的斜边长是12；
②当12是直角边时，它的斜边长==13.
故答案为：D.
【分析】分12为斜边和直角边两种情况讨论，再利用勾股定理求解即可.
7．【答案】斜边的平方；
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，则，
故答案为：斜边的平方；.
【分析】利用勾股定理的定义及计算方法分析求解即可.
8．【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AB=AC=5，BC=6，D是BC的中点
∴，AD⊥BC
∴
故答案为：4
【分析】根据等腰三角形性质可得，AD⊥BC，再根据勾股定理即可求出答案.
9．【答案】6或
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：当5和12为直角三角形的两条直角边时，
斜边，
此时斜边的中线长为；
当5为一条直角边，12为斜边时，
另一条直角边，
此时斜边的中线长为6.
故答案为：6或.
【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答.
10．【答案】（1）解：在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴BD＝CDBC30＝15，
在Rt△ABD中，AB＝17，AD2＋BD2＝AB2，
∴AD
（2）解：∵BC＝30，AD＝8，
∴△ABC的面积120
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形中的三线合一求出BD的长度，最后在Rt△ABD中利用勾股定理计算即可；
（2）根据三角形面积计算公式计算即可.
11．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；三角形的中线
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，
则BF=FC=4，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，则可以求出AF=3，即可得到△ABC的面积，然后根据求出AE长即可.
12．【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵为的中点，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴为．
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质得到的长，再根据勾股定理得到的长解题．
13．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形三边关系；勾股定理；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：在AC上取点G，使AG=AN，连接MG，BG，过B作BH⊥AC于点H，如图所示：
∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴∠CAM=∠BAM，
∵AM=AM，
∴△AGM≌△ANM(SAS)，
∴GM=GN，
∴BM+MN=BM+MG≥BG≥BH（垂线段最短），
，，
，
的最小值是 ．
故答案为：C．
【分析】在AC上取点G，使AG=AN，连接MG，BG，过B作BH⊥AC于点H，利用SAS证明△AGM≌△ANM，可得GM=GN，于是根据三角形的三边关系和垂线段最短可得BM+MN=BM+MG≥BG≥BH，再在Rt△ABH中利用勾股定理，即可得到答案.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：延长CB到F，使得 过F作 于点E，如下图：
∴AB垂直平分CF，
∴CD+DE的最小值是
故答案为：
【分析】先找到C关系AB的对称点，再根据垂线段最短找到最小值，再根据勾股定理求解.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵BM⊥AC，∴△BMC和△AMB都是直角三角形，
∵H点事BC中点，∴MH=，
∵N是AB中点，∴MN=，HN=，即MN=HN，
∵的周长是 ，∴MH+HN+MN=，即2MH+2=，解得MH=，
∴AB=，
AH=.
故答案为：。
【分析】本题多次利用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，即可求出MH的长度，然后在直角三角形ABH中，利用勾股定理即可求出AH的长度。
16．【答案】（1）证明：∵BE=CE，
∴∠B=∠BCE
∵AD是△ABC 的高线，
∴∠ADB=∠ADC=90°
∴∠B+∠BAD=90°，∠BCE+∠CFD=90°
∴∠BAD=∠CFD，
∵∠AFE=∠CFD，
∴∠BAD=∠AFE
∴△AEF 是等腰三角形.
（2）解：过点E作 EG⊥AF于点G，
∴∠EGF=90°，
∵点F是CE的中点，CE=26，
∴CF=EF=13，
∵∠ADC=90°，CD=12，
∴，
∵∠EFG=∠CFD， ∠EGF=∠CDF，EF=CF，
∴△EFG≌△CFD(AAS)，
∴FG=DF=5，
∵△AEF是等腰三角形，EG⊥AF，
∴AF=2FG=2×5=10
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】(1)先根据BE=CE得∠B=∠BCE， 再根据AD是△ABC的高线得∠B+∠BAD = 90°，
∠BCE+∠CFD=90°， 则∠BAD=∠CFD=∠AFE， 由此可得出结论；
(2)过点E作EG⊥AF于点G， 先求出DF =5， 再证明△EGF和△CDF全等得FG=DF =5， 再根据△AEF是等腰三角形的性质得AG =FG=5， 由此可得AF的长.
17．【答案】（1）证明：连结DE，如图，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB=∠ADC =90°，
∵CE是AB边上的中线，
∴E是AB边上的中点，
∴AB =2DE，
∵AB=2CD，
∴CD= DE，
∵点F是CE中点，
∴DF⊥EC，
∵∠DFC =90°，
∴∠FDC+∠DCF=90°，
∵∠ADC =90°，
∴∠FDC+∠ADF =90°，
∴∠DCE=∠ADF
（2）解：∵∠BAC =90°，
在直角三角形ACB中，由勾股定理得：
EC===10，
∵点F是CE中点，
∴CF=5，
∵∠ADB=90°，E是AB边上的中点，
∴DE =AE =6，
∴CD=DE =6，
∵∠DFC =90°，
在直角三角形CDF中，由勾股定理得：
DF===
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理
【解析】【分析】(1)连结DE，证明CD=DE得DF⊥EC，然后根据余角的性质即可证明∠DCE=∠ADF；
(2)由勾股定理求出EC的长度，从而求出CF的长度，由直角三角形斜边的中线得DE的长度，从而得CD=DE的长度，然后再利用勾股定理即可求出DE的长.
18．【答案】解：
【方法应用】
方式①
S四边形ADBC=S△BDC +S△ACD
方式②
S四边形ADBC=S△ABD +S△ACB
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：【探究验证】方式①：∵ Rt△BCA≌Rt△EAD ，
∴AE=BC=a，AD=AC=b，
∴，
，
方式②：由①可知，ED=AB=c，
∴，
故答案为：，，.
【分析】【探究验证】由Rt△BCA≌Rt△EAD，可知AE=BC，AD=AC，ED=AB，从而得出结论；
【方法应用】由图可知S四边形ADBC=S△BDC +S△ACD，分别求出S△BDC ，S△ACD，从而得出结论.
1 / 1浙教版（2024) 数学八年级上册2.7.1 探索勾股定理 同步分层练习
一、夯实基础：
1．如图，在Rt中，，边BC的长是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理得，然后代值计算可得答案.
2．在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A+∠C+∠B=180°，∠A+∠C=90°，
∴∠B=90°，
∴AB2+BC2=AC2.
故答案为：B.
【分析】首先根据三角形的内角和定理求出∠B=90°，即△ABC为直角三角形，进而根据直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方可得答案.
3．（2024八上·沐川期末）如图，在中，，，点A恰好落在数轴上表示的点上，以原点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵中，，，，
∴，
又∵，
∴，
又∵点P在原点的左边，
∴点P表示的数为，
故答案为：A．
【分析】
根据及实数与数轴的关系：任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数，因而先依据勾股定理即可得到的长，进而得出的长，即可得到点P所表示的数，解答即可．
4．（2024八上·浙江期中）如图，三条直线互相平行，的三个顶点分别在三条平行线上．已知，，且之间的距离为2，之间的距离为3，则的面积为（ ）
A．6 B． C．10 D．13
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过A作于D，交直线c于点E，如图所示：
∵，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴，
∴在Rt△ABD中，，
∴．
故答案为：B．
【分析】过A作于D，交直线c于点E，可得，，，证明，得出，根据勾股定理得出AB2的值，根据三角形面积公式即可得到答案．
5．（2024八上·宁波竞赛） 直角三角形的三边为 且 都为正整数，则三角形其中一边长可能为 （ ）.
A．61 B．71 C．81 D．91
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题可知： 解之得： 所以直角三角形三边分别为3b、4b、5b.
当 时，
故答案为： C.
【分析】直角三角形的三边为a 由他们的大小关系可知，直角边为a-b，a，则根据勾股定理可知： 解得 所以直角三角形的三边为3b、4b、5b，看给出的答案是不是3、4、5的倍数，如果是，就可能是边长. 如果不是就一定不是. 所以题中81能被3整除，所以可能.
6．（2021八上·龙泉期末）若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是（ ）
A．13 B．13或 C． D．12或13
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：①当12为斜边时，它的斜边长是12；
②当12是直角边时，它的斜边长==13.
故答案为：D.
【分析】分12为斜边和直角边两种情况讨论，再利用勾股定理求解即可.
7．直角三角形两条直角边的平方和等于 ，如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，则 .
【答案】斜边的平方；
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，则，
故答案为：斜边的平方；.
【分析】利用勾股定理的定义及计算方法分析求解即可.
8．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC的中点，则AD的长是 .
【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AB=AC=5，BC=6，D是BC的中点
∴，AD⊥BC
∴
故答案为：4
【分析】根据等腰三角形性质可得，AD⊥BC，再根据勾股定理即可求出答案.
9．已知直角三角形的两边长分别为5和12，则斜边上的中线长为 .
【答案】6或
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：当5和12为直角三角形的两条直角边时，
斜边，
此时斜边的中线长为；
当5为一条直角边，12为斜边时，
另一条直角边，
此时斜边的中线长为6.
故答案为：6或.
【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答.
10．（2024八上·余杭期中）如图，在中，.求：
（1）BC边上的中线AD的长
（2）求△ABC的面积.
【答案】（1）解：在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴BD＝CDBC30＝15，
在Rt△ABD中，AB＝17，AD2＋BD2＝AB2，
∴AD
（2）解：∵BC＝30，AD＝8，
∴△ABC的面积120
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形中的三线合一求出BD的长度，最后在Rt△ABD中利用勾股定理计算即可；
（2）根据三角形面积计算公式计算即可.
二、能力提升：
11．（2025八上·宁波期末）如图，在中，，点在AB边上，连结CD，点是CD的中点，连结AE．若，则AE的长是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；三角形的中线
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，
则BF=FC=4，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，则可以求出AF=3，即可得到△ABC的面积，然后根据求出AE长即可.
12．（2025八上·淳安期末）如图，在中，，为的中点，于点，若，，则为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵为的中点，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴为．
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质得到的长，再根据勾股定理得到的长解题．
13．（2024八上·拱墅期中）如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形三边关系；勾股定理；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：在AC上取点G，使AG=AN，连接MG，BG，过B作BH⊥AC于点H，如图所示：
∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴∠CAM=∠BAM，
∵AM=AM，
∴△AGM≌△ANM(SAS)，
∴GM=GN，
∴BM+MN=BM+MG≥BG≥BH（垂线段最短），
，，
，
的最小值是 ．
故答案为：C．
【分析】在AC上取点G，使AG=AN，连接MG，BG，过B作BH⊥AC于点H，利用SAS证明△AGM≌△ANM，可得GM=GN，于是根据三角形的三边关系和垂线段最短可得BM+MN=BM+MG≥BG≥BH，再在Rt△ABH中利用勾股定理，即可得到答案.
14．（2025八上·宁波期末）如图，在△ABC中，CB=90°，∠ACB=60°，点D，E分别为AB，AC上的动点，若BC=1，则CD+DE的最小值是 .
【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：延长CB到F，使得 过F作 于点E，如下图：
∴AB垂直平分CF，
∴CD+DE的最小值是
故答案为：
【分析】先找到C关系AB的对称点，再根据垂线段最短找到最小值，再根据勾股定理求解.
15．（2025八上·余姚期末）如图，在 中， 于点 于点 ，并且点 是 的中点，的周长是 ，则 的长是 。
【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵BM⊥AC，∴△BMC和△AMB都是直角三角形，
∵H点事BC中点，∴MH=，
∵N是AB中点，∴MN=，HN=，即MN=HN，
∵的周长是 ，∴MH+HN+MN=，即2MH+2=，解得MH=，
∴AB=，
AH=.
故答案为：。
【分析】本题多次利用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，即可求出MH的长度，然后在直角三角形ABH中，利用勾股定理即可求出AH的长度。
16．（2025八上·宁波期末）如图，AD是△ABC的高线，E为AB上一点，连结CE，交AD于点F，BE=CE.
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）若点F是CE的中点，CE=26，CD=12，求AF的长、
【答案】（1）证明：∵BE=CE，
∴∠B=∠BCE
∵AD是△ABC 的高线，
∴∠ADB=∠ADC=90°
∴∠B+∠BAD=90°，∠BCE+∠CFD=90°
∴∠BAD=∠CFD，
∵∠AFE=∠CFD，
∴∠BAD=∠AFE
∴△AEF 是等腰三角形.
（2）解：过点E作 EG⊥AF于点G，
∴∠EGF=90°，
∵点F是CE的中点，CE=26，
∴CF=EF=13，
∵∠ADC=90°，CD=12，
∴，
∵∠EFG=∠CFD， ∠EGF=∠CDF，EF=CF，
∴△EFG≌△CFD(AAS)，
∴FG=DF=5，
∵△AEF是等腰三角形，EG⊥AF，
∴AF=2FG=2×5=10
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】(1)先根据BE=CE得∠B=∠BCE， 再根据AD是△ABC的高线得∠B+∠BAD = 90°，
∠BCE+∠CFD=90°， 则∠BAD=∠CFD=∠AFE， 由此可得出结论；
(2)过点E作EG⊥AF于点G， 先求出DF =5， 再证明△EGF和△CDF全等得FG=DF =5， 再根据△AEF是等腰三角形的性质得AG =FG=5， 由此可得AF的长.
17．（2025八上·鄞州期末）如图，在 中， 是 边上的高线， 是 边上的中线， ，点 是 中点．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）证明：连结DE，如图，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB=∠ADC =90°，
∵CE是AB边上的中线，
∴E是AB边上的中点，
∴AB =2DE，
∵AB=2CD，
∴CD= DE，
∵点F是CE中点，
∴DF⊥EC，
∵∠DFC =90°，
∴∠FDC+∠DCF=90°，
∵∠ADC =90°，
∴∠FDC+∠ADF =90°，
∴∠DCE=∠ADF
（2）解：∵∠BAC =90°，
在直角三角形ACB中，由勾股定理得：
EC===10，
∵点F是CE中点，
∴CF=5，
∵∠ADB=90°，E是AB边上的中点，
∴DE =AE =6，
∴CD=DE =6，
∵∠DFC =90°，
在直角三角形CDF中，由勾股定理得：
DF===
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理
【解析】【分析】(1)连结DE，证明CD=DE得DF⊥EC，然后根据余角的性质即可证明∠DCE=∠ADF；
(2)由勾股定理求出EC的长度，从而求出CF的长度，由直角三角形斜边的中线得DE的长度，从而得CD=DE的长度，然后再利用勾股定理即可求出DE的长.
三、拓展创新：
18．（2024八上·瑞安期中）勾股定理是证明方法最多的定理之一，小明便以此建立项目，加以探究.
【问题提出】小明在做作业本时发现利用右图可以证明勾股定理.思路为利用面积法，将梯形的面积用不同的方式表示列出等式.由此猜想如果将Rt△DAF向左平移，能否证明勾股定理？
【方案设计】考虑到探究的难度，他首先设计了两种特殊的位置，开展研究：
方案 方案一 方案二
图形
备注 Rt△BCA≌Rt△EAD Rt△BCA≌Rt△CFD
BC=a，AC=b，AB=c
【探究验证】首先验证方案一为方案二提供经验基础.
方式 验证过程 （分别用含有a，b，c的代数式完成填空） 图形
方式① S四边形ADBE=S△ABE +S△ABD S△ABE = ▲ ．（以AE为底，高为BC） S△ABD = ▲ ．（以AD为底，则AD边上的高与AC等长） 连结BE，BD，不难得出AB⊥ED
方式② S四边形ADBE =S△EBD +S△EAD ▲
综上所述利用方式①，②列出等式即可证明勾股定理.
【方法应用】
根据上述经验，请你继续完成方案二后续的证明过程.
提示：如图，连结BD，AD，不难得出CD⊥BA，利用两种方法表示四边形BCAD的面积.
【答案】解：
【方法应用】
方式①
S四边形ADBC=S△BDC +S△ACD
方式②
S四边形ADBC=S△ABD +S△ACB
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：【探究验证】方式①：∵ Rt△BCA≌Rt△EAD ，
∴AE=BC=a，AD=AC=b，
∴，
，
方式②：由①可知，ED=AB=c，
∴，
故答案为：，，.
【分析】【探究验证】由Rt△BCA≌Rt△EAD，可知AE=BC，AD=AC，ED=AB，从而得出结论；
【方法应用】由图可知S四边形ADBC=S△BDC +S△ACD，分别求出S△BDC ，S△ACD，从而得出结论.
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