浙教版（2024) 数学八年级上册2.7.2 探索勾股定理 同步分层练习
一、夯实基础：
1．（2023八上·开江期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17
2．（2025八上·嘉兴期末）在下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A．， B．，，
C．， D．，
3．（2024八上·萧山期中）如果的三边分别为，其中为大于1的正整数，则（ ）
A．是直角三角形，且斜边为
B．是直角三角形，且斜边为2m
C．是直角三角形，且斜边为
D．不是直角三角形
4．如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，每个小正方形的顶点都叫格点，连结AE，AF，则∠EAF的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．35°
5．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021八上·余杭期中）三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
7．（2024八上·鄞州期末）若三角形的三边之比为，则此三角形为 三角形．
8．如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 ，最大边所对的角是 .
9．如图，在△ABC中，已知∠A为钝角，边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E．若BD2+CE2=DE2，则∠A= ．
10．（2023八上·婺城月考）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
二、能力提升：
11．（2024八上·鄞州期中）下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024八上·瑞安月考）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；若此类勾股数的勾为（，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（ ）
A． B． C． D．
13．在中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足(则是 三角形.
14．如图，已知CD=3，AD=4，BC=12，AB=13，∠ADC=90°，则阴影部分的面积为 .
15．（2024八上·杭州月考）如图，中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，，则 ．
16．（2020八上·四川月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向 由 行驶向 ，已知点 为一海港，且点 与直线 上的两点 ， 的距离分别为 ， ，又 ，以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域．
（1）求 的度数．
（2）海港 受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点 处时，海港 刚好受到影响，当台风运动到点 时，海港 刚好不受影响，即 ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
17．（2025八上·宁波期末）如图1，ΔABC和ΔCDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为ΔABC外一点，AB>2CD，A，C，E三点不共线，连结AD，AE，BD，BE，AE与BD交于点F
（1）求证：AE=BD；
（2）当AD2+2CD2=BD2时，求∠ADC的度数；
（3）如图2，当BC∥DE时，CD=，AC=3，求四边形△BED的面积.
三、拓展创新：
18．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB三条线段.若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB三条线段.若AM=2，MN=4，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗 请说明理由.
（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边.若AB=12，AM=5，求BN的长.
19．（2025八上·滨江期末）为了测量如图墙体是否与地面垂直，即是否垂直于点，在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组分别设计了三种不同解决方案，其中第一、第二组的设计方案如下表．
问题 如何测量墙体是否与地面垂直？
工具 若干条无弹性的绳子
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 模仿古埃及人用结绳的方法，在一条绳子上打个结，得到条线段，且用叠合法使得这条线段都相等，设每一条线段长为．如下图放置这总长是的绳子，使在上的绳子，在上的绳子，若，则，即于点，否则不垂直． 如图2，在射线，上分别取点，，放置绳子，对折得到相等的两段，，放置绳子，用叠合法比较与的长度，若，则墙体与地面垂直，即于点，否则不垂直．
测量示意图
（1）第一、二小组的方案可行吗 如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由．
（2）请你代表第三小组，写出一个方案的应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案，并画出测量示意图，然后证明方案的可行性．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵22+32=13≠52=25，∴以2、3、5为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵42+52=41≠62=36，∴以4、5、6为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵52+112=146≠122=144，∴以5、11、12为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵82+152=289=172，∴以8、15、17为边长的三个木棍能围成直角三角形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此一一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：A、，，
，
是直角三角形，本选项不符合题意；
B、，，，
，
，
是直角三角形，本选项不符合题意；
C、，，
，
，
是直角三角形，本选项不符合题意．
D、，，
不能得出是直角三角形，本选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质逐项判断即可．
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边分别为m2-1，2m，m2+1，
而(m2-1)2=m4-2m2+1，(2m)2=4m2，(m2+1)2=m4+2m2+1，
∴(m2-1)2+(2m)2=m4-2m2+1+4m2=m4+2m2+1=(m2+1)2，
∴△ABC是直角三角形，且m2+1为斜边.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形就是直角三角形，且根据直角三角形斜边最长可得结论.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可知，AE=，AF=；
连接EF，则EF=；
∵，且AE=EF
∴三角形AEF是等腰直角三角形
∴∠EAF = 45°
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆应用，三角形三条边a、b、c满足s时，该三角形是直角三角形；两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、设小正方形的边长为1，则三角形三边长为、、，，所以A不是直角三角形，符合题意；
B、，B是直角三角形，不符合题意；
C、，C是等腰直角三角形，不符合题意；
D、，D是等腰直角三角形，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆应用，三角形三条边a、b、c满足s时，该三角形是直角三角形.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴a2+b2=c2．
因为a、b、c，为三角形的三边长，
所以为直角三角形．
故答案为：C．
【分析】由已知等式整理得出a2+b2=c2，则由勾股定理的逆定理判定该三角形为直角三角形.
7．【答案】直角
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：三角形的三边之比为，设三角形三边分别是3x、4x、5x。
，
此三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用。可以根据三边比假设出三边的长度，然后列示计算即可得出该三角形是直角三角形。
8．【答案】直角三角形；直角
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是：直角三角形；最大边所对的角是：直角，
故答案为：直角三角形；直角.
【分析】利用勾股定理的逆定理及大边对大角的计算方法分析求解即可.
9．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AD和AE，如下图：
∵边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E
∴BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC
∵BD2+CE2=DE2
∴ AD2+AE2=DE2 ∴三角形ADE是直角三角形，∠DAE= 90°
∴∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+90° = 180°
∴2（∠B+∠C）=90° ∴∠B+∠C=
∴∠A=180° -=
故答案为：.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC；根据勾股定理的逆定理，可得三角形ADE是直角三角形；根据三角形内角和定理，可得∠B+∠C的值，进而求出∠A的值.
10．【答案】解：，，，
，
，
又，，，
，
是直角三角形，
四边形的面积为：
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得AB，再根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据四边形面积=，结合三角形面积即可求出答案.
11．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、设，则 ，可得是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，则 ，可得是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、因为，所以，因为，则，可得是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、设 ，则 ，解得： ，所以 ，即不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】
A、使用勾股定理的逆定理判定三角形的形状时，注意必须用较小的两个边的平方和与最大边的平方比较；
B、把等号左边的平方差展开恰好得到符合勾股定理；
C、利用三角形的内角和定理即可得出；
D、利用三角形的内角和定理进行计算可发现三个内角都是锐角．
12．【答案】A
【知识点】勾股数；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵m为正整数，
∴2m为偶数，设其股为a，则弦为a+2
∴
∴
∴弦为
故答案为：A.
【分析】根据题意得到：2m为偶数，设其股为a，则弦为a+2，则得到关于a和m的方程：进而即可求解.
13．【答案】等腰直角
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴a-b=0，a2+b2-c2=0，
∴a=b，a2+b2=c2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角.
【分析】先利用非负数之和为0的性质可得a-b=0，a2+b2-c2=0，可得a=b，a2+b2=c2，再利用勾股定理的逆定理可证出△ABC是等腰直角三角形.
14．【答案】24
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：在Rt△ADC中，由勾股定理得：，
∵AC=5，AB=13，BC=12，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴阴影部分的面积，
故答案为：24．
【分析】根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AC，根据勾如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角得出∠ACB=90°，再根据三角形的面积公式即可求解．
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接BG，
∵AD⊥BC，AB=AC，
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC，CD=BD=BC=6，
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDG=∠EDC，
∵EF⊥AB，
∴∠AFG=90°，
∴∠FAG+∠AGF=90°即∠FAG+∠DGE=90°，
∵∠DAC+∠C=90°，
∴∠DGE=∠C，
在△DGE和△DCE中
∴△DGE≌△DCE（AAS）
∴DG=CD=6；
∴AD=AG+DG=2+6=8，
在Rt△ABC中
，
，
∴，
解之：，
在Rt△AFG中
故答案为：.
【分析】连接BG，利用等腰三角形的性质可证得∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC，同时求出BD，CD的长，利用角平分线的定义可证得∠EDG=∠EDC，利用垂直的定义和余角的性质可推出∠DGE=∠C，利用AAS证明△DGE≌△DCE，可求出DG的长；在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长；再利用三角形的面积公式求出FG的长；然后在Rt△AFG中，利用勾股定理求出AF的长.
16．【答案】（1）解： ， ， ，
，
是直角三角形，
∴∠ACB=90°
（2）解：海港 受台风影响，
过点 作 ，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域，
海港 受台风影响．
（3）解：当 ， 时，正好影响 港口，
，
，
台风的速度为 千米/小时，
（小时）
答：台风影响该海港持续的时间为 小时．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
17．【答案】（1）解：由题意可得，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE
∴∠ACE= ∠BCD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD
（2）解：∵△CDE是等腰直角三角形，
∴△ADE 是直角三角形，∠ADE=90°，
∴∠ADC=∠ADE-∠CDE=90°-45°=45°
（3）解：过点D作DG⊥BC于点G，AE与BC相交于点H
由题意可得，AC=BC=3，∠CED=45°，
∵BC∥DE，
∴∠BCE=∠CED=45°
∴∠DCG=180°-∠DCE-∠BCE
=180°-90°-45°=45°
∴∠CDG=45°，
∴CG=DG，
在 Rt△CDG中，根据勾股定理可得CG=DG=1，
∴BG=BC+CG=3+1=4，
在Rt△BDG中，
∴AE=BD=，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE= ∠CBD，
∵∠AHC= ∠BHF，
∴∠ACH=∠BFH=90°
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)证明 即可解决问题；
(2)利用勾股定理逆定理证明 是直角三角形，即可解决问题；
(3)过点D作 于点G，AE与BC相交于点H， 证明 根据勾股定理求出BD，然后根据四边形ABED的面积=三角形ABE的面积+三角形ADE的面积，即可解决问题.
18．【答案】（1）解：结论：是．
理由：∵AM2＋BN2＝22＋（）2＝16，MN2＝42＝16，
∴AM2＋NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．
故点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）解：设BN＝x，则MN＝12 AM BN＝7 x，
①当MN为最长线段时，根据题意可得：MN2＝AM2＋NB2，
即（7 x）2＝x2＋25，解得：x＝；
②当BN为最长线段时，根据题意可得：BN2＝AM2＋MN2．
即x2＝25＋（7 x）2，解得：x＝．
综上所述，BN的长为或．
【知识点】勾股定理的逆定理；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）设BN＝x，则MN＝12 AM BN＝7 x，再分类讨论：①当MN为最长线段时，；②当BN为最长线段时，再分别列出方程求解即可.
19．【答案】（1）解：第一、二小组的方案都可行，
理由如下：
方案一
如下图所示，
证明：因为，
若，
则，
，
，
；
方案二、
证明：如下图所示，
，若，则，
，，
又，
，
，
．
（2）解：第三小组的测量方案是：
如下图所示，
在射线，，上分别取点，，，
放置绳子，，使，
用叠合法比较与的长度，
若，则墙体与地面垂直，即于点，
否则不垂直，
证明：，
是等腰三角形，
若，则是等腰三角形的中线，
根据等腰三角形性质可知，
即．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理解题即可；
利用，即可得到，，然后利用三角形内角和定理可得解题即可；
以点为顶点得到等腰，然后利用三线合一定理得到，点是的中点，则解题即可．
（1）解：第一、二小组的方案都可行，
理由如下：
方案一
如下图所示，
证明：因为，
若，
则，
，
，
；
方案二、
证明：如下图所示，
，若，则，
，，
又，
，
，
．
（2）解：第三小组的测量方案是：
如下图所示，
在射线，，上分别取点，，，
放置绳子，，使，
用叠合法比较与的长度，
若，则墙体与地面垂直，即于点，
否则不垂直，
证明：，
是等腰三角形，
若，则是等腰三角形的中线，
根据等腰三角形性质可知，
即．
1 / 1浙教版（2024) 数学八年级上册2.7.2 探索勾股定理 同步分层练习
一、夯实基础：
1．（2023八上·开江期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵22+32=13≠52=25，∴以2、3、5为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵42+52=41≠62=36，∴以4、5、6为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵52+112=146≠122=144，∴以5、11、12为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵82+152=289=172，∴以8、15、17为边长的三个木棍能围成直角三角形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此一一判断得出答案.
2．（2025八上·嘉兴期末）在下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A．， B．，，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：A、，，
，
是直角三角形，本选项不符合题意；
B、，，，
，
，
是直角三角形，本选项不符合题意；
C、，，
，
，
是直角三角形，本选项不符合题意．
D、，，
不能得出是直角三角形，本选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质逐项判断即可．
3．（2024八上·萧山期中）如果的三边分别为，其中为大于1的正整数，则（ ）
A．是直角三角形，且斜边为
B．是直角三角形，且斜边为2m
C．是直角三角形，且斜边为
D．不是直角三角形
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边分别为m2-1，2m，m2+1，
而(m2-1)2=m4-2m2+1，(2m)2=4m2，(m2+1)2=m4+2m2+1，
∴(m2-1)2+(2m)2=m4-2m2+1+4m2=m4+2m2+1=(m2+1)2，
∴△ABC是直角三角形，且m2+1为斜边.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形就是直角三角形，且根据直角三角形斜边最长可得结论.
4．如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，每个小正方形的顶点都叫格点，连结AE，AF，则∠EAF的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．35°
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可知，AE=，AF=；
连接EF，则EF=；
∵，且AE=EF
∴三角形AEF是等腰直角三角形
∴∠EAF = 45°
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆应用，三角形三条边a、b、c满足s时，该三角形是直角三角形；两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形.
5．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、设小正方形的边长为1，则三角形三边长为、、，，所以A不是直角三角形，符合题意；
B、，B是直角三角形，不符合题意；
C、，C是等腰直角三角形，不符合题意；
D、，D是等腰直角三角形，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆应用，三角形三条边a、b、c满足s时，该三角形是直角三角形.
6．（2021八上·余杭期中）三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴a2+b2=c2．
因为a、b、c，为三角形的三边长，
所以为直角三角形．
故答案为：C．
【分析】由已知等式整理得出a2+b2=c2，则由勾股定理的逆定理判定该三角形为直角三角形.
7．（2024八上·鄞州期末）若三角形的三边之比为，则此三角形为 三角形．
【答案】直角
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：三角形的三边之比为，设三角形三边分别是3x、4x、5x。
，
此三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用。可以根据三边比假设出三边的长度，然后列示计算即可得出该三角形是直角三角形。
8．如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 ，最大边所对的角是 .
【答案】直角三角形；直角
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是：直角三角形；最大边所对的角是：直角，
故答案为：直角三角形；直角.
【分析】利用勾股定理的逆定理及大边对大角的计算方法分析求解即可.
9．如图，在△ABC中，已知∠A为钝角，边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E．若BD2+CE2=DE2，则∠A= ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AD和AE，如下图：
∵边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E
∴BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC
∵BD2+CE2=DE2
∴ AD2+AE2=DE2 ∴三角形ADE是直角三角形，∠DAE= 90°
∴∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+90° = 180°
∴2（∠B+∠C）=90° ∴∠B+∠C=
∴∠A=180° -=
故答案为：.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC；根据勾股定理的逆定理，可得三角形ADE是直角三角形；根据三角形内角和定理，可得∠B+∠C的值，进而求出∠A的值.
10．（2023八上·婺城月考）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
【答案】解：，，，
，
，
又，，，
，
是直角三角形，
四边形的面积为：
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得AB，再根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据四边形面积=，结合三角形面积即可求出答案.
二、能力提升：
11．（2024八上·鄞州期中）下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、设，则 ，可得是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，则 ，可得是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、因为，所以，因为，则，可得是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、设 ，则 ，解得： ，所以 ，即不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】
A、使用勾股定理的逆定理判定三角形的形状时，注意必须用较小的两个边的平方和与最大边的平方比较；
B、把等号左边的平方差展开恰好得到符合勾股定理；
C、利用三角形的内角和定理即可得出；
D、利用三角形的内角和定理进行计算可发现三个内角都是锐角．
12．（2024八上·瑞安月考）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；若此类勾股数的勾为（，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股数；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵m为正整数，
∴2m为偶数，设其股为a，则弦为a+2
∴
∴
∴弦为
故答案为：A.
【分析】根据题意得到：2m为偶数，设其股为a，则弦为a+2，则得到关于a和m的方程：进而即可求解.
13．在中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足(则是 三角形.
【答案】等腰直角
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴a-b=0，a2+b2-c2=0，
∴a=b，a2+b2=c2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角.
【分析】先利用非负数之和为0的性质可得a-b=0，a2+b2-c2=0，可得a=b，a2+b2=c2，再利用勾股定理的逆定理可证出△ABC是等腰直角三角形.
14．如图，已知CD=3，AD=4，BC=12，AB=13，∠ADC=90°，则阴影部分的面积为 .
【答案】24
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：在Rt△ADC中，由勾股定理得：，
∵AC=5，AB=13，BC=12，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴阴影部分的面积，
故答案为：24．
【分析】根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AC，根据勾如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角得出∠ACB=90°，再根据三角形的面积公式即可求解．
15．（2024八上·杭州月考）如图，中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，，则 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接BG，
∵AD⊥BC，AB=AC，
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC，CD=BD=BC=6，
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDG=∠EDC，
∵EF⊥AB，
∴∠AFG=90°，
∴∠FAG+∠AGF=90°即∠FAG+∠DGE=90°，
∵∠DAC+∠C=90°，
∴∠DGE=∠C，
在△DGE和△DCE中
∴△DGE≌△DCE（AAS）
∴DG=CD=6；
∴AD=AG+DG=2+6=8，
在Rt△ABC中
，
，
∴，
解之：，
在Rt△AFG中
故答案为：.
【分析】连接BG，利用等腰三角形的性质可证得∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC，同时求出BD，CD的长，利用角平分线的定义可证得∠EDG=∠EDC，利用垂直的定义和余角的性质可推出∠DGE=∠C，利用AAS证明△DGE≌△DCE，可求出DG的长；在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长；再利用三角形的面积公式求出FG的长；然后在Rt△AFG中，利用勾股定理求出AF的长.
16．（2020八上·四川月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向 由 行驶向 ，已知点 为一海港，且点 与直线 上的两点 ， 的距离分别为 ， ，又 ，以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域．
（1）求 的度数．
（2）海港 受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点 处时，海港 刚好受到影响，当台风运动到点 时，海港 刚好不受影响，即 ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）解： ， ， ，
，
是直角三角形，
∴∠ACB=90°
（2）解：海港 受台风影响，
过点 作 ，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域，
海港 受台风影响．
（3）解：当 ， 时，正好影响 港口，
，
，
台风的速度为 千米/小时，
（小时）
答：台风影响该海港持续的时间为 小时．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
17．（2025八上·宁波期末）如图1，ΔABC和ΔCDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为ΔABC外一点，AB>2CD，A，C，E三点不共线，连结AD，AE，BD，BE，AE与BD交于点F
（1）求证：AE=BD；
（2）当AD2+2CD2=BD2时，求∠ADC的度数；
（3）如图2，当BC∥DE时，CD=，AC=3，求四边形△BED的面积.
【答案】（1）解：由题意可得，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE
∴∠ACE= ∠BCD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD
（2）解：∵△CDE是等腰直角三角形，
∴△ADE 是直角三角形，∠ADE=90°，
∴∠ADC=∠ADE-∠CDE=90°-45°=45°
（3）解：过点D作DG⊥BC于点G，AE与BC相交于点H
由题意可得，AC=BC=3，∠CED=45°，
∵BC∥DE，
∴∠BCE=∠CED=45°
∴∠DCG=180°-∠DCE-∠BCE
=180°-90°-45°=45°
∴∠CDG=45°，
∴CG=DG，
在 Rt△CDG中，根据勾股定理可得CG=DG=1，
∴BG=BC+CG=3+1=4，
在Rt△BDG中，
∴AE=BD=，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE= ∠CBD，
∵∠AHC= ∠BHF，
∴∠ACH=∠BFH=90°
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)证明 即可解决问题；
(2)利用勾股定理逆定理证明 是直角三角形，即可解决问题；
(3)过点D作 于点G，AE与BC相交于点H， 证明 根据勾股定理求出BD，然后根据四边形ABED的面积=三角形ABE的面积+三角形ADE的面积，即可解决问题.
三、拓展创新：
18．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB三条线段.若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB三条线段.若AM=2，MN=4，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗 请说明理由.
（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边.若AB=12，AM=5，求BN的长.
【答案】（1）解：结论：是．
理由：∵AM2＋BN2＝22＋（）2＝16，MN2＝42＝16，
∴AM2＋NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．
故点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）解：设BN＝x，则MN＝12 AM BN＝7 x，
①当MN为最长线段时，根据题意可得：MN2＝AM2＋NB2，
即（7 x）2＝x2＋25，解得：x＝；
②当BN为最长线段时，根据题意可得：BN2＝AM2＋MN2．
即x2＝25＋（7 x）2，解得：x＝．
综上所述，BN的长为或．
【知识点】勾股定理的逆定理；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）设BN＝x，则MN＝12 AM BN＝7 x，再分类讨论：①当MN为最长线段时，；②当BN为最长线段时，再分别列出方程求解即可.
19．（2025八上·滨江期末）为了测量如图墙体是否与地面垂直，即是否垂直于点，在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组分别设计了三种不同解决方案，其中第一、第二组的设计方案如下表．
问题 如何测量墙体是否与地面垂直？
工具 若干条无弹性的绳子
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 模仿古埃及人用结绳的方法，在一条绳子上打个结，得到条线段，且用叠合法使得这条线段都相等，设每一条线段长为．如下图放置这总长是的绳子，使在上的绳子，在上的绳子，若，则，即于点，否则不垂直． 如图2，在射线，上分别取点，，放置绳子，对折得到相等的两段，，放置绳子，用叠合法比较与的长度，若，则墙体与地面垂直，即于点，否则不垂直．
测量示意图
（1）第一、二小组的方案可行吗 如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由．
（2）请你代表第三小组，写出一个方案的应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案，并画出测量示意图，然后证明方案的可行性．
【答案】（1）解：第一、二小组的方案都可行，
理由如下：
方案一
如下图所示，
证明：因为，
若，
则，
，
，
；
方案二、
证明：如下图所示，
，若，则，
，，
又，
，
，
．
（2）解：第三小组的测量方案是：
如下图所示，
在射线，，上分别取点，，，
放置绳子，，使，
用叠合法比较与的长度，
若，则墙体与地面垂直，即于点，
否则不垂直，
证明：，
是等腰三角形，
若，则是等腰三角形的中线，
根据等腰三角形性质可知，
即．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理解题即可；
利用，即可得到，，然后利用三角形内角和定理可得解题即可；
以点为顶点得到等腰，然后利用三线合一定理得到，点是的中点，则解题即可．
（1）解：第一、二小组的方案都可行，
理由如下：
方案一
如下图所示，
证明：因为，
若，
则，
，
，
；
方案二、
证明：如下图所示，
，若，则，
，，
又，
，
，
．
（2）解：第三小组的测量方案是：
如下图所示，
在射线，，上分别取点，，，
放置绳子，，使，
用叠合法比较与的长度，
若，则墙体与地面垂直，即于点，
否则不垂直，
证明：，
是等腰三角形，
若，则是等腰三角形的中线，
根据等腰三角形性质可知，
即．
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