浙教版（2024) 数学八年级上册2.8 直角三角形全等的判定 同步分层练习
一、夯实基础：
1．（2022八上·杭州期中）如图，，，，要根据“”证明≌，则还要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：因为
所以
∴，均为直角三角形，
根据已知条件知道已经有一条直角边，
则还需要补充斜边相等即可，
即需要：，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据“”证明≌，知道H指的直角边，L为斜边，即可选出答案.
2．（2024八上·正安期中）如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
3．如图，最适合用“HL”定理判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是（ ）
A．AC=DF，BC=EF． B．∠A=∠D，AB=DE．
C．AC=DF，AB=DE． D．∠B=∠E，BC= EF．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：在 Rt△ABC和Rt△DEF 中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.
故答案为：C.
【分析】要用“HL” 定理判定Rt△ABC和Rt△DEF全等 ，只需两个直角三角形中的直角边与斜边对应相等.
4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．下列结论中，不正确的是（ ）
A．DA平分∠EDF
B．AE=AF
C．AD上任一点P到AB，AC的距离相等
D．AB，AC上的点到AD的距离相等
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解： 在△ABC中，∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF.
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.
∴∠ADE=∠ADF，即DA平分∠EDF． 故A正确；
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF． 故B正确；
∵AD是△ABC的角平分线，∴AD上任一点P到AB，AC的距离相等．故C正确.
因为要选择不正确的，A、B、C均正确，故D错误.
故答案为：D.
【分析】（1）利用HL证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，再利用全等三角形的性质得出∠ADE=∠ADF，从而有DA平分∠EDF成立；
（2）利用（1）中证得的全等三角形，根据全等三角形的性质推得AE=AF；
（3）根据角平分线的性质说明 ；（4）角两边上任意一点到角平分线的距离不一定相等.
5．如图，在中，于点.如果，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠BDE=90°，
在Rt△BDE与Rt△BCE中，
∵DB=CB，BE=BE，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），
∴CE=ED，
∴AE+DE=AE+CE=AC=4cm.
故答案为：B.
【分析】首先利用HL判断出Rt△BDE≌Rt△BCE，由全等三角形对应边相等得CE=ED，进而根据线段的和差及等量代换将AE+DE转化为AC，此题得解.
6．如图，OC是内部的一条射线，是射线OC上任意一点，.下列条件：①；②；③；④，其中，能判定OC是的平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，①符合题意；
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD= PE，
∴OC是∠AOB的角平分线，②符合题意；
在Rt△POD与Rt△POE中
∵OD=OE，OP=OP，
∴Rt△POD≌Rt△POE（HL），
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，③符合题意；
在Rt△POD与Rt△POE中，
∵∠DPO=∠EPO，∠ODP=∠OEP=90°，OP=OP，
∴Rt△POD≌Rt△POE（AAS）
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，④符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，分别进行判定即可.
7．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C，D.若要根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则应添加的条件是 .(写一种即可)
【答案】AC=BD或BC=AD
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：若添加 AC=BD，在Rt △ ABC和Rt △ BAD中，，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（ HL）
若添加 BC=AD，在Rt △ ABC和Rt △ BAD中，，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（ HL）
故答案为：AC=BD或BC=AD.
【分析】两个直角三角形全等可以通过斜边和一条直角边对应相等得到.
8．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线OP就是的平分线.”小明的做法，其理论依据是 .
【答案】角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平分线.
故答案为：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
【分析】根据角平分线的判断定理即可证明.
9．（2020八上·上虞月考）下列命题中逆命题是真命题的是 .（写序号）
（ 1 ）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
（ 2 ）等腰三角形两腰上的高线相等；
（ 3 ）若三条线段 是三角形的三边，则这三条线段满足 ；
（ 4 ）角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
（ 5 ）全等三角形的面积相等.
【答案】（1）、（2）、（4）
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；角平分线的判定
【解析】【解答】（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，逆命题是两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，是真命题；（2）等腰三角形两腰上的高线相等，逆命题是两边上的高线相等的三角形是等腰三角形，是真命题；（3）若三条线段 是三角形的三边，则这三条线段满足 ，逆命题是若三条线段 满足 ，则这三条线段是三角形的三边，是假命题；（4）角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，逆命题是在角的平分线上的点到角的两边的距离相等，是真命题；（5）全等三角形的面积相等，逆命题是面积相等的三角形是全等三角形，是假命题；
故答案为：（1）（2）（4）
【分析】先分析各命题的题设和结论，再根据逆命题的定义“对于两个命题，如果一个命题的题设和结论分别是另外一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题”写出各个命题的逆命题，再根据已有的知识判断真假即可.
10．（2025八上·温州期中）如图， 已知 ， 点 A， E， B， D 在同一直线上， A C 与 F D 相交于点 ， 求证： . 请补全证明过程， 并在括号里写上理由.
证明： ，
∴∠FED= ▲ =90°
∵AE=DB，
∵AE+ ▲ = ▲ +BD，
即AB=DE.
在Rt△ABC与Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（ ▲ ）
∴∠A= ▲
∴GA=GD（ ▲ ）
【答案】证明：∵FE⊥AD， CB⊥AD，
∴∠FED= ∠CBA =90°．
∵AE=DB，
∴AE+BE =BE +BD，
即AB=DE．
在Rt△ABC与Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF ( HL)，
∴∠A=∠D ，
∴ GA=GD (在同一个三角形中，等角对等边 )．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】利用HL证△ABC≌△DEF，得到∠A=∠D，结合等角对等边即可得到结论.
二、能力提升：
11．（2024八上·杭州期末）用三角尺可按下面方法画角平分线： 在已知的的两边上，分别截取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线，则平分．这样画图的主要依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵OM=ON，OP=OP
∴( )
∴∠AOP=∠BOP
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形的斜边和直角边对应相等的两个三角形全等判断
12．（2022八上·东阳期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交点O，作射线AO，交BC于点E.已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点E作ED⊥AB于点D，
由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，
∵EC⊥AC，ED⊥AB，
∴EC=ED=3，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴AC=AD，
∵在Rt△EDB中，DE=3，BE=5，
∴BD=4，
设AC=x，则AB=4+x，
故在Rt△ACB中，
AC2+BC2=AB2，
即x2+82=（x+4）2，
解得：x=6，
即AC的长为：6.
故答案为：C.
【分析】过点E作ED⊥AB于点D，由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，由角平分线的性质可得EC=ED=3，利用HL证明Rt△ACE≌Rt△ADE，得到AC=AD，由勾股定理可得BD=4，设AC=x，则AB=4+x， 然后在Rt△ACB中，利用勾股定理计算即可.
13．（2025八上·滨江期末）如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．
B．与的面积比等于边与之比
C．
D．若，则
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点P作于点M，作于点N，作于点H，
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴．故选项A的结论一定成立；
．故选项B的结论一定成立；
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．故选项D的结论一定成立．
根据题意无法证明选项C的结论一定成立．
故答案为：C.
【分析】过点P作于点M，作于点N，作于点H，利用角平分线的性质及判定判断A选项；利用三角形的面积公式判断B选项，利用三角形的内角和定理判断D选项解题即可．
14．如图所示，P，Q分别是BC，AC上的点，作于点，作于点，若，下面三个结论：①AS；②；③，其中，正确的是 .(填序号)
【答案】①②
【知识点】平行线的判定；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【解答】解：连结AP，如图，
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠PRA=∠PSA=90°，
在Rt△APR与Rt△APS中，
∵PR=PS，AP=AP，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AS=AR，故①正确；
∵PR=PS，PR⊥AB，PS⊥AC，
∴AP是∠BAC的平分线，
∴∠BAP=∠CAP，
∵AQ=PQ，
∴∠QAP=∠QPA，
∴∠BAP=∠QPA，
∴PQ∥AR，故②正确；
∵BC只是过点P，并没有固定，
明显△BRP≌△CSP不一定成立，故③错误，
综上正确的有①②.
故答案为：①②.
【分析】可直接用HL判断出Rt△APR≌Rt△APS，由全等三角形对应边相等得AS=AR，据此可判断①；由到角两边距离相等得点在这个角的角平分线上得AP是∠BAC的平分线，则∠BAP=∠CAP，由等边对等角得∠QAP=∠QPA，则∠BAP=∠QPA，由内错角相等，两直线平行，得PQ∥AR，据此判断②；BC只是过点P，并没有固定，明显△BRP≌△CSP不一定成立，据此判断③.
15．（2022八上·萧山期中）如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为27和14，则的面积为 ．
【答案】65
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如下图，过点D作于H，
∵AD是的角平分线，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵和的面积分别为27和14，
∴，即，
∴．
故答案为：6.5.
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质可得DF=DH，利用HL证明Rt△ADF≌Rt△ADH，Rt△DEF≌Rt△DGH，得到S△ADF=S△ADH，S△DEF=S△DGH，结合面积间的和差关系可得S△AED+S△DEF=S△ADG-S△DGH，据此求解.
16．（2024八上·江油期末）如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ．
【答案】1
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
17．（2024八上·南宁开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，两直角边AC＝8cm，BC＝6cm．
（1）作∠BAC的平分线AD交BC于点D；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）计算△ABD的面积．
【答案】（1）解：如图，射线AD即为所求；
（2）解：∵ ∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，
∴AB==10cm，
过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°
∴CD=DE，
∵∠ACB＝∠DEA＝90°，AD=AD，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL）
∴AE=AC =8cm，
∴BE=AB-AE=10-8=2，
设CD=DE=x，则BD=6-x，
在Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2，
∴x2+22=（6-x）2，
解得x=
∴ △ABD的面积=AB·DE=×10×=．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图，作出∠BAC的平分线即可；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，由勾股定理求出AB=10，证明Rt△ADC≌Rt△ADE（HL）可得AE=AC =8cm，BE=2，设CD=DE=x，则BD=6-x，在Rt△BDE中，利用勾股定理建立关于x方程并解之，即得DE的长，再利用△ABD的面积=AB·DE进行计算即可.
18．（2024八上·临海期中）如图，在△ABC中， ∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，点F，在BC上，使DF=AD.
（1）求证：Rt△ADE≌Rt△FDC.
（2）请判断CF，AB，BF之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵∠C=90°，DE⊥AB
∴∠C=∠DEA=90°
∵BD平分∠ABC
∴DE=CD.
又∵DF=AD.
∴Rt△ADE≌Rt△FDC(HL).
（2）解：AB=BF+2CF
∵Rt△ADE≌Rt△FDC，
∴CF=AE.
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD
由题知可∠C=∠DEB=90°
∵BD=BD.
∴△EBD≌ △CBD.
∴BE=BC.
∴AB=AE+EB=AE+BC=CF+CF+BF=2CF+BF
∴AB=BF+2CF
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】(1)根据角平分线的性质得到CD= DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△ADE≌Rt△FDC；
(2)根据全等三角形的性质定理得到BE=BC，根据(1)的结论得到答案.
三、拓展创新：
19．（2024八上·浙江期中）学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理.
（1）【理解定理】如图1，已知AD平分∠CAB，DC⊥AC于C，DB⊥AB于B，若CD=1，则DB= .
（2）【问题解决】如图2，点B，D，C分别是AF，AG和AE上的一点，且满足BD=CD，∠ABD+∠ACD=180°.
求证：AD平分∠BAC.
（3）【变式应用】如图3，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D为BC的中点，E，F分别为AB，AC上一点，且∠BED=∠AFD.
求△BDE和△CDF的面积和.
【答案】（1）1
（2）证明：过 D 作 DP⊥AC 于 P，过 D 作 DQ⊥AB 于 F，
∵∠ABD+∠ACD=180°
∴∠DCP=∠DBQ
∵BD=CD， ∠DPC=∠DQB=90°
∴△DCP≌△DBQ（AAS）
∴DP=DQ
∵DP⊥AC，DQ⊥AB
∴AD 平分∠EAB
（3）解：连结 AD，过 D 作 DH⊥AB 于 H，DG⊥AC 于 G
∵AB=AC ，D 为 BC 的中点
∴ AD⊥BC，DA 平分∠BAC
∵ DH⊥AB，DG⊥AC，DA 平分∠BAC
∴DH=DG
∵∠BED=∠AFD，DH=DG，DH⊥AB，DG⊥AC
∴△DHE≌△DGF（AAS）
∴DE=DF
可证△BDH≌△CDG
由 可得
和 的面积和 的面积 .
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：(1) AD平分∠CAB，DC⊥AC，DB⊥AB， CD=1
.
故答案为：1.
【分析】(1)角平分线上的点到角两边的距离相等.
(2)作 DP⊥AC ，DQ⊥AB，可得∠DPC=∠DQB=90° ，由补角的性质可得∠DCP=∠DBQ，进而通过AAS判定△DCP≌△DBQ得到DP=DQ，即可证得AD 平分∠EAB.
(3) 作 DH⊥AB，DG⊥AC，利用等腰三角形的性质可得DA 平分∠BAC，进而证得DH=DG，再通过AAS判定△DHE≌△DGF，证得DE=DF，利用HL可判定△BDH≌△CDG，故 和 的面积和 的面积，然后通过等面积法求得DH的长度，再由勾股定理计算出BH的长度，即可求得△BDE和△CDF的面积和.
1 / 1浙教版（2024) 数学八年级上册2.8 直角三角形全等的判定 同步分层练习
一、夯实基础：
1．（2022八上·杭州期中）如图，，，，要根据“”证明≌，则还要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·正安期中）如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，最适合用“HL”定理判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是（ ）
A．AC=DF，BC=EF． B．∠A=∠D，AB=DE．
C．AC=DF，AB=DE． D．∠B=∠E，BC= EF．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．下列结论中，不正确的是（ ）
A．DA平分∠EDF
B．AE=AF
C．AD上任一点P到AB，AC的距离相等
D．AB，AC上的点到AD的距离相等
5．如图，在中，于点.如果，那么（ ）
A． B． C． D．
6．如图，OC是内部的一条射线，是射线OC上任意一点，.下列条件：①；②；③；④，其中，能判定OC是的平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C，D.若要根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则应添加的条件是 .(写一种即可)
8．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线OP就是的平分线.”小明的做法，其理论依据是 .
9．（2020八上·上虞月考）下列命题中逆命题是真命题的是 .（写序号）
（ 1 ）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
（ 2 ）等腰三角形两腰上的高线相等；
（ 3 ）若三条线段 是三角形的三边，则这三条线段满足 ；
（ 4 ）角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
（ 5 ）全等三角形的面积相等.
10．（2025八上·温州期中）如图， 已知 ， 点 A， E， B， D 在同一直线上， A C 与 F D 相交于点 ， 求证： . 请补全证明过程， 并在括号里写上理由.
证明： ，
∴∠FED= ▲ =90°
∵AE=DB，
∵AE+ ▲ = ▲ +BD，
即AB=DE.
在Rt△ABC与Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（ ▲ ）
∴∠A= ▲
∴GA=GD（ ▲ ）
二、能力提升：
11．（2024八上·杭州期末）用三角尺可按下面方法画角平分线： 在已知的的两边上，分别截取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线，则平分．这样画图的主要依据是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022八上·东阳期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交点O，作射线AO，交BC于点E.已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
13．（2025八上·滨江期末）如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．
B．与的面积比等于边与之比
C．
D．若，则
14．如图所示，P，Q分别是BC，AC上的点，作于点，作于点，若，下面三个结论：①AS；②；③，其中，正确的是 .(填序号)
15．（2022八上·萧山期中）如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为27和14，则的面积为 ．
16．（2024八上·江油期末）如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ．
17．（2024八上·南宁开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，两直角边AC＝8cm，BC＝6cm．
（1）作∠BAC的平分线AD交BC于点D；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）计算△ABD的面积．
18．（2024八上·临海期中）如图，在△ABC中， ∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，点F，在BC上，使DF=AD.
（1）求证：Rt△ADE≌Rt△FDC.
（2）请判断CF，AB，BF之间的数量关系，并说明理由.
三、拓展创新：
19．（2024八上·浙江期中）学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理.
（1）【理解定理】如图1，已知AD平分∠CAB，DC⊥AC于C，DB⊥AB于B，若CD=1，则DB= .
（2）【问题解决】如图2，点B，D，C分别是AF，AG和AE上的一点，且满足BD=CD，∠ABD+∠ACD=180°.
求证：AD平分∠BAC.
（3）【变式应用】如图3，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D为BC的中点，E，F分别为AB，AC上一点，且∠BED=∠AFD.
求△BDE和△CDF的面积和.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：因为
所以
∴，均为直角三角形，
根据已知条件知道已经有一条直角边，
则还需要补充斜边相等即可，
即需要：，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据“”证明≌，知道H指的直角边，L为斜边，即可选出答案.
2．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
3．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：在 Rt△ABC和Rt△DEF 中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.
故答案为：C.
【分析】要用“HL” 定理判定Rt△ABC和Rt△DEF全等 ，只需两个直角三角形中的直角边与斜边对应相等.
4．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解： 在△ABC中，∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF.
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.
∴∠ADE=∠ADF，即DA平分∠EDF． 故A正确；
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF． 故B正确；
∵AD是△ABC的角平分线，∴AD上任一点P到AB，AC的距离相等．故C正确.
因为要选择不正确的，A、B、C均正确，故D错误.
故答案为：D.
【分析】（1）利用HL证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，再利用全等三角形的性质得出∠ADE=∠ADF，从而有DA平分∠EDF成立；
（2）利用（1）中证得的全等三角形，根据全等三角形的性质推得AE=AF；
（3）根据角平分线的性质说明 ；（4）角两边上任意一点到角平分线的距离不一定相等.
5．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠BDE=90°，
在Rt△BDE与Rt△BCE中，
∵DB=CB，BE=BE，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），
∴CE=ED，
∴AE+DE=AE+CE=AC=4cm.
故答案为：B.
【分析】首先利用HL判断出Rt△BDE≌Rt△BCE，由全等三角形对应边相等得CE=ED，进而根据线段的和差及等量代换将AE+DE转化为AC，此题得解.
6．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，①符合题意；
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD= PE，
∴OC是∠AOB的角平分线，②符合题意；
在Rt△POD与Rt△POE中
∵OD=OE，OP=OP，
∴Rt△POD≌Rt△POE（HL），
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，③符合题意；
在Rt△POD与Rt△POE中，
∵∠DPO=∠EPO，∠ODP=∠OEP=90°，OP=OP，
∴Rt△POD≌Rt△POE（AAS）
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，④符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，分别进行判定即可.
7．【答案】AC=BD或BC=AD
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：若添加 AC=BD，在Rt △ ABC和Rt △ BAD中，，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（ HL）
若添加 BC=AD，在Rt △ ABC和Rt △ BAD中，，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（ HL）
故答案为：AC=BD或BC=AD.
【分析】两个直角三角形全等可以通过斜边和一条直角边对应相等得到.
8．【答案】角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平分线.
故答案为：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
【分析】根据角平分线的判断定理即可证明.
9．【答案】（1）、（2）、（4）
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；角平分线的判定
【解析】【解答】（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，逆命题是两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，是真命题；（2）等腰三角形两腰上的高线相等，逆命题是两边上的高线相等的三角形是等腰三角形，是真命题；（3）若三条线段 是三角形的三边，则这三条线段满足 ，逆命题是若三条线段 满足 ，则这三条线段是三角形的三边，是假命题；（4）角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，逆命题是在角的平分线上的点到角的两边的距离相等，是真命题；（5）全等三角形的面积相等，逆命题是面积相等的三角形是全等三角形，是假命题；
故答案为：（1）（2）（4）
【分析】先分析各命题的题设和结论，再根据逆命题的定义“对于两个命题，如果一个命题的题设和结论分别是另外一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题”写出各个命题的逆命题，再根据已有的知识判断真假即可.
10．【答案】证明：∵FE⊥AD， CB⊥AD，
∴∠FED= ∠CBA =90°．
∵AE=DB，
∴AE+BE =BE +BD，
即AB=DE．
在Rt△ABC与Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF ( HL)，
∴∠A=∠D ，
∴ GA=GD (在同一个三角形中，等角对等边 )．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】利用HL证△ABC≌△DEF，得到∠A=∠D，结合等角对等边即可得到结论.
11．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵OM=ON，OP=OP
∴( )
∴∠AOP=∠BOP
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形的斜边和直角边对应相等的两个三角形全等判断
12．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点E作ED⊥AB于点D，
由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，
∵EC⊥AC，ED⊥AB，
∴EC=ED=3，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴AC=AD，
∵在Rt△EDB中，DE=3，BE=5，
∴BD=4，
设AC=x，则AB=4+x，
故在Rt△ACB中，
AC2+BC2=AB2，
即x2+82=（x+4）2，
解得：x=6，
即AC的长为：6.
故答案为：C.
【分析】过点E作ED⊥AB于点D，由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，由角平分线的性质可得EC=ED=3，利用HL证明Rt△ACE≌Rt△ADE，得到AC=AD，由勾股定理可得BD=4，设AC=x，则AB=4+x， 然后在Rt△ACB中，利用勾股定理计算即可.
13．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点P作于点M，作于点N，作于点H，
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴．故选项A的结论一定成立；
．故选项B的结论一定成立；
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．故选项D的结论一定成立．
根据题意无法证明选项C的结论一定成立．
故答案为：C.
【分析】过点P作于点M，作于点N，作于点H，利用角平分线的性质及判定判断A选项；利用三角形的面积公式判断B选项，利用三角形的内角和定理判断D选项解题即可．
14．【答案】①②
【知识点】平行线的判定；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【解答】解：连结AP，如图，
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠PRA=∠PSA=90°，
在Rt△APR与Rt△APS中，
∵PR=PS，AP=AP，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AS=AR，故①正确；
∵PR=PS，PR⊥AB，PS⊥AC，
∴AP是∠BAC的平分线，
∴∠BAP=∠CAP，
∵AQ=PQ，
∴∠QAP=∠QPA，
∴∠BAP=∠QPA，
∴PQ∥AR，故②正确；
∵BC只是过点P，并没有固定，
明显△BRP≌△CSP不一定成立，故③错误，
综上正确的有①②.
故答案为：①②.
【分析】可直接用HL判断出Rt△APR≌Rt△APS，由全等三角形对应边相等得AS=AR，据此可判断①；由到角两边距离相等得点在这个角的角平分线上得AP是∠BAC的平分线，则∠BAP=∠CAP，由等边对等角得∠QAP=∠QPA，则∠BAP=∠QPA，由内错角相等，两直线平行，得PQ∥AR，据此判断②；BC只是过点P，并没有固定，明显△BRP≌△CSP不一定成立，据此判断③.
15．【答案】65
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如下图，过点D作于H，
∵AD是的角平分线，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵和的面积分别为27和14，
∴，即，
∴．
故答案为：6.5.
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质可得DF=DH，利用HL证明Rt△ADF≌Rt△ADH，Rt△DEF≌Rt△DGH，得到S△ADF=S△ADH，S△DEF=S△DGH，结合面积间的和差关系可得S△AED+S△DEF=S△ADG-S△DGH，据此求解.
16．【答案】1
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
17．【答案】（1）解：如图，射线AD即为所求；
（2）解：∵ ∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，
∴AB==10cm，
过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°
∴CD=DE，
∵∠ACB＝∠DEA＝90°，AD=AD，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL）
∴AE=AC =8cm，
∴BE=AB-AE=10-8=2，
设CD=DE=x，则BD=6-x，
在Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2，
∴x2+22=（6-x）2，
解得x=
∴ △ABD的面积=AB·DE=×10×=．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图，作出∠BAC的平分线即可；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，由勾股定理求出AB=10，证明Rt△ADC≌Rt△ADE（HL）可得AE=AC =8cm，BE=2，设CD=DE=x，则BD=6-x，在Rt△BDE中，利用勾股定理建立关于x方程并解之，即得DE的长，再利用△ABD的面积=AB·DE进行计算即可.
18．【答案】（1）证明：∵∠C=90°，DE⊥AB
∴∠C=∠DEA=90°
∵BD平分∠ABC
∴DE=CD.
又∵DF=AD.
∴Rt△ADE≌Rt△FDC(HL).
（2）解：AB=BF+2CF
∵Rt△ADE≌Rt△FDC，
∴CF=AE.
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD
由题知可∠C=∠DEB=90°
∵BD=BD.
∴△EBD≌ △CBD.
∴BE=BC.
∴AB=AE+EB=AE+BC=CF+CF+BF=2CF+BF
∴AB=BF+2CF
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】(1)根据角平分线的性质得到CD= DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△ADE≌Rt△FDC；
(2)根据全等三角形的性质定理得到BE=BC，根据(1)的结论得到答案.
19．【答案】（1）1
（2）证明：过 D 作 DP⊥AC 于 P，过 D 作 DQ⊥AB 于 F，
∵∠ABD+∠ACD=180°
∴∠DCP=∠DBQ
∵BD=CD， ∠DPC=∠DQB=90°
∴△DCP≌△DBQ（AAS）
∴DP=DQ
∵DP⊥AC，DQ⊥AB
∴AD 平分∠EAB
（3）解：连结 AD，过 D 作 DH⊥AB 于 H，DG⊥AC 于 G
∵AB=AC ，D 为 BC 的中点
∴ AD⊥BC，DA 平分∠BAC
∵ DH⊥AB，DG⊥AC，DA 平分∠BAC
∴DH=DG
∵∠BED=∠AFD，DH=DG，DH⊥AB，DG⊥AC
∴△DHE≌△DGF（AAS）
∴DE=DF
可证△BDH≌△CDG
由 可得
和 的面积和 的面积 .
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：(1) AD平分∠CAB，DC⊥AC，DB⊥AB， CD=1
.
故答案为：1.
【分析】(1)角平分线上的点到角两边的距离相等.
(2)作 DP⊥AC ，DQ⊥AB，可得∠DPC=∠DQB=90° ，由补角的性质可得∠DCP=∠DBQ，进而通过AAS判定△DCP≌△DBQ得到DP=DQ，即可证得AD 平分∠EAB.
(3) 作 DH⊥AB，DG⊥AC，利用等腰三角形的性质可得DA 平分∠BAC，进而证得DH=DG，再通过AAS判定△DHE≌△DGF，证得DE=DF，利用HL可判定△BDH≌△CDG，故 和 的面积和 的面积，然后通过等面积法求得DH的长度，再由勾股定理计算出BH的长度，即可求得△BDE和△CDF的面积和.
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