浙教版（2024) 数学八年级上册第2章 特殊三角形 单元检测培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025八上·慈溪期末）国家大力发展新能源汽车，下列新能源汽车的车标是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·义乌月考）下列命题中，假命题是（ ）
A．等腰三角形是轴对称图形
B．对顶角相等
C．若，则
D．如果直线，，那么直线
3．（2025八上·嘉兴期末）在下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A．， B．，，
C．， D．，
4．（2025八上·西湖期末）如图，在中，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·杭州月考）如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，，点是边AB上的一个动点，则的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025八上·宁波期末）如图，在中，，点在AB边上，连结CD，点是CD的中点，连结AE．若，则AE的长是（ ）
A．2 B． C． D．
8．（2024八上·吴兴月考）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025八上·滨江期末）如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．
B．与的面积比等于边与之比
C．
D．若，则
10．（2024八上·奉化期末）如图，中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、.若已知，则的值为（ ）
A．18 B．24 C．25 D．36
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024八下·白云期末）“正方形的四条边都相等”的逆命题可以写成 ，该逆命题是 命题（填写“真”或“假”）．
12．（2024八上·路桥期中）如图，一形状为四边形的风筝四边形中，已知，，则此风筝的骨架与即四边形的两对角线有怎样的关系？答： ．
13．（2024八上·东阳期末）如图，这是一个台阶的模型图．已知每级台阶的宽度都是，每级台阶的高度都是，连接，则的长为 ．
14．（2024八上·浙江期中）如图，一架的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角，若梯子的顶端下滑，则梯足将滑动 ．
15．（2025八上·鄞州期末）如图，在 中， 是边 上一点（不与 重合）， 和 的角平分线交于点 ．
（1）若 ，则 的度数为 ；
（2）记 和 的度数之和为 ，则 的取值范围为 ．
16．（2024八上·柯桥月考）在等边△ABC三边上分别取点D、E、F，使得AD＝BE＝CF，连结三点得到△DEF，易得△ADF≌△BED≌△CFE，设S△ABC＝1，则S△DEF＝1﹣3S△ADF．
如图①当时，S△DEF＝1﹣3；
如图②当时，S△DEF＝1﹣3；
如图③当时，S△DEF＝1﹣3；
…
直接写出，当时，S△DEF＝ ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024八上·拱墅月考）在ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
18．（2024八上·路桥期中）如图，在的正方形网格中，点在网格线的交点上．
（1）仅用无刻度直尺，画出以为腰的等腰．
（2）仅用无刻度直尺，画出以为底的等腰．
19．（2025八上·慈溪期末）如图，在等腰RtΔABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上一点，连结AD，过点A作 AD的垂线，过点B作BC的垂线，两条垂线交于点E。
（1）证明： ΔAEB≌ΔADC；
（2）若CD=3BD=3，求 AD 的长。
20．今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽.问：索长几何 (选自《九章算术》)
题目大意：在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺(如图).在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直.这根绳索有多长
将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾长a，弦与股的差为d，求弦长c.
（1）试用a， d表示c；
（2）查阅资料，了解《九章算术》解决这类问题的思路与方法.
21．（2024八上·绍兴竞赛）【概念学习】
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．
（1）【概念理解】
如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD平分∠ACB，则△CBD与△ABC （填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．
（2）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝36°，∠B＝48°．求证：CD为△ABC的等腰分割线；
（3）【概念应用】
在△ABC中，∠A＝45°，CD是△ABC的等腰分割线，直接写出∠ACB的度数．
22．（2025八上·温州期中）如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB 的中点，
（1）如图1，求证：△ECD 是等腰三角形
（2）如图2，CD与AB交于点F，若AC=BC，若CE=4，BF=1，求CD的长
23．（2025八上·宁波期末）如图1，ΔABC和ΔCDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为ΔABC外一点，AB>2CD，A，C，E三点不共线，连结AD，AE，BD，BE，AE与BD交于点F
（1）求证：AE=BD；
（2）当AD2+2CD2=BD2时，求∠ADC的度数；
（3）如图2，当BC∥DE时，CD=，AC=3，求四边形△BED的面积.
24．（2024八上·路桥期中）在中，，；于点D，点E，F分别在，上，且，与交于点N．
（1）如图1，当点E与点A重合时，
①求证：；
②直接写出的值．
（2）如图2（图在答题卷上），当点E在边上时，
①依题意补全图2；
②的值是否发生变化，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A：是轴对称图形；
B：不是轴对称图形；
C：不是轴对称图形；
D：不是轴对称图形；
故答案为：A.
【分析】根据一个图形沿着一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形，逐项判断即可.
2．【答案】C
【知识点】平行公理及推论；轴对称图形；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角角平分线所在的直线，是真命题，故A不符合题意；
B．对顶角相等，是真命题，故B不符合题意；
C．若，则，即，是假命题，故C符合题意；
D．如果直线，，那么直线，是真命题，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】分别根据等腰三角形、对顶角的性质，乘方的意义，平行线的判定逐一进行判断即可.
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：A、，，
，
是直角三角形，本选项不符合题意；
B、，，，
，
，
是直角三角形，本选项不符合题意；
C、，，
，
，
是直角三角形，本选项不符合题意．
D、，，
不能得出是直角三角形，本选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质逐项判断即可．
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A=40°，
∴∠ABC+∠C=140°，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
故答案选：B．
【分析】根据三角形的内角和定理，与等腰三角形顶角的度数，可求出等腰三角形的底角度数；再根据角平分线的概念，即可得出结论.
5．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：A、 当 时，可利用AAS证全等，故A不符合题意；
B、当 时，不能证明全等，故B不符合题意；
C、当 时，可利用AAS证全等，故C不符合题意；．
D、当 时，可利用HL证全等，故D符合题意；．
故答案为：D．
【分析】HL定理：在两个直角三角形中，如果其中一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，根据HL定理的条件逐一进行判断即可.
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵，，
∴．
∵是的外角，
∴，
∴，
∴度数可能是．
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形等边对等角的性质，先求出，再根据三角形外角的性质得出的范围，进而得出答案．
7．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；三角形的中线
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，
则BF=FC=4，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，则可以求出AF=3，即可得到△ABC的面积，然后根据求出AE长即可.
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】、由图可知，以点为圆心，为半径画弧，交于点，
∴，
∵中，，，
∴∠A=180°-∠C-∠B=60°，
又∵，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠DCB=∠ACD-∠ACD=30°，
又∵，
∴∠DCB=∠B，
∴DB=DC
∴△DBC是等要三角形，
即此图中有两个等腰三角形，故A符合题意；
、由图可知，DE是BC的垂直平分线，
∴和不一定等腰三角形，符合题意；
、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点，
∴是等腰三角形，不符合题意；
、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点，
∴和是等腰三角形，不符合题意；
故答案为：．
【分析】本题考查尺规作图和等腰三角形的判定，对各项的尺规作图分析，再根据等腰三角形的判定判断即可，解题的关键是掌握基本的尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质的应用．
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点P作于点M，作于点N，作于点H，
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴．故选项A的结论一定成立；
．故选项B的结论一定成立；
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．故选项D的结论一定成立．
根据题意无法证明选项C的结论一定成立．
故答案为：C.
【分析】过点P作于点M，作于点N，作于点H，利用角平分线的性质及判定判断A选项；利用三角形的面积公式判断B选项，利用三角形的内角和定理判断D选项解题即可．
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：过点F作FD⊥AM，连接FP，如图，
∵ AF=BA，FD=AC，∠TAC=∠KFD，
∴ Rt△ADF≌Rt△BCA（HL）， Rt△TAC≌Rt△KFD（HL），
∴ S2=S△ABC，
∵ Rt△TAC≌Rt△KFD，
∴ AT=FK，
∴ AF-AT=FE-FK，
∴ FT=EK，
∴ △FPT≌△EMK（AAS），
∴ S1+S3=S△ABC，
∵ AB=EB，∠ABC=∠EBN，
∴ △ABC≌△EBN（AAS），
∴ S4=S△ABC，
∴ S1+S2+S3+S4=3S△ABC=3××AC×BC=3××12=18.
故答案为：A.
【分析】过点F作FD⊥AM，连接FP，通过证明Rt△ADF≌Rt△BCA， Rt△TAC≌Rt△KFD，△FPT≌△EMK，△ABC≌△EBN可得 S1+S2+S3+S4=3S△ABC，即可求得.
11．【答案】四条边相等的四边形是正方形；假
【知识点】正方形的判定；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：命题“正方形的四条边都相等”，它的逆命题是“四条边相等的四边形是正方形”，该逆命题是假命题，
故答案为：四条边相等的四边形是正方形；假．
【分析】先利用逆命题的定义及书写格式求出其逆命题，再利用真假命题的定义分析求解即可.
12．【答案】垂直平分
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：垂直平分，理由如下：
，
∴点D在线段AC的垂直平分线上，
∵，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
垂直平分，
故答案为：垂直平分．
【分析】根据，，可得点D和E都在线段AC的垂直平分线上，继而可得垂直平分．
13．【答案】10
【知识点】勾股定理的实际应用-台阶问题
【解析】【解答】解：如图，由题意得，
，
故．
故答案为：10．
【分析】根据勾股定理解答即可．
14．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得，，
∴，
∵梯子的顶端下滑2米，
∴，
∴，
∴梯子滑动的距离为：，
故答案为：．
【分析】根据题意得到，，然后利用勾股定理得，从而得，进而再利用勾股定理得，最后求出的值即可.
15．【答案】（1）125°
（2）25°【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=80°，
∴∠ABC=∠ACB=50°，
∵∠BAD=20°，
∴∠CAD =60°，
∴∠DAC和∠BCA的角平分线交于点E，
∴∠EAC=∠DAC=30°，∠ACE=ACB=25°，
∴∠AEC=180°-∠EAC-∠ACE =125°；
故答案为：125°；
(2)由 (1) 可知：
∠DAE=∠DAC，∠ACE = 25°，
当点D与点B重合时，∠DAE取得最大值，即
∠DAE=∠BAC=40°，
∴∠DAE +∠ACE = 65°，
∴m的取值范围为25°故答案为：25°【分析】(1)由题意易得∠CAD的度数，∠ABC及∠ACB的度数，然后可得∠EAC及∠ACE的度数，进而根据三角形内角和可进行求解；
(2)当点D与点B重合时，∠DAE取得最大值，进而问题可求解.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图①，当时，
如图②，当时，
如图③，当时，
∴当时，
∴当时，
故答案为：.
【分析】根据题意发现并总结出规律：当时，进而把d代入计算即可.
17．【答案】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；
∵∠A＝20°，∠B＝60°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝100°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝50°，
∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝20°+50°＝70°，∠ECD＝90°﹣70°＝20°，
∴∠BCD＝30°，∠ECD＝20°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】由∠B＝60°，CD⊥AB，即可求得∠BCD的度数；又由∠A＝20°，∠B＝60°，求得∠ACB＝100°，由CE是∠ACB的平分线，可求得∠ACE＝50°，然后根据三角形外角的性质，求得∠CEB的度数．
18．【答案】（1）解：如图，等腰即为所求（答案不唯一）．
，
，
∴为以为腰的等腰三角形．
（2）如图，等腰即为所求（答案不唯一）．
，
，
∴为以为底的等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的判定和格线的长度计算方法按要求画图即可．
（2）根据等腰三角形的判定按要求画图即可．
（1）如图，等腰即为所求（答案不唯一）．
，
，为以为腰的等腰三角形．
（2）如图，等腰即为所求（答案不唯一）．
，
，为以为底的等腰三角形．
19．【答案】（1）证明： ∵AB = AC， ∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠C =45°，
∵BE⊥BC， AD⊥AE，
∴∠EAD=∠EBD=90°=∠BAC，
∴∠ABE=∠ACB=45° E
， ∠BAE=∠CAD，
∴△AEB≌△ADC(ASA)；
（2）解：如图， 过点A作AF⊥BC B于F，
∵CD=3BD=3，
∴BD=1，
∴BC=4，
∵AB=AC， ∠BAC=90°， AF⊥BC，
∴BF=AF=2，
∴DF =1，
∴AD= (负值舍去)。
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)由ASA可证△AEB≌△ADC；
(2)由等腰直角三角形的性质可得BF=AF =2，由勾股定理可求解.
20．【答案】（1）解：设弦长为c，因为弦与股的差为d，所以股长为c-d，勾长为a。
根据勾股定理可得：
展开得则方程变为
移项可得两边同时除以2d，解得c
因此，能用a，d表示c，
（2）设木杆长高为h，表示绳长，利用勾股定理列方程解答即可.
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）设弦长为c，因为弦与股的差为d，所以股长为c-d，勾长为a，根据勾股定理列方程，整理表示c的值解答即可；
（2）根据（1）的解题方法总结即可.
21．【答案】（1）是
（2）解：∵∠A=36°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°-36°-48°=96°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=48°，
∴∠BCD=∠B=∠ACD，
∴△BCD是等腰三角形，
∴∠ADC=∠BCD+∠B=96°，
在△ABC和△ACD中，
∠A=∠A，∠B=∠ACD，∠ACB=∠ADC，
∴△ABC与△ACD互为“形似三角形”
∴CD为△ABC的等腰分割线.
（3）解：105°或112.5°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACB=36°，
∵∠B=72°，
∴∠BDC=72°
∴ △CBD与△ABC 互为“形似三角形”.
故答案为：是.
（3）Ⅰ、当△ACD是等腰三角形时，
①如图1，
当AD=CD时，则∠ACD=∠A=45°，
∴∠BDC=∠ACD+∠A=90°，
此时，△ABC、△CBD是“形似三角形”，∠BCD=∠A=45°，
∴∠ACB=90°（不符合题意，故舍去）；
②如图2，
当AC=AD时，则∠ACD=∠ADC==67.5°，
此时△ABC、△CBD是“形似三角形”，可知∠BCD=∠A=45°，
∠ACB=∠BCD+∠ACD=112.5°；
③AC=CD情况不存在；
Ⅱ、当△BCD是等腰三角形时，
①如图3，
当CD=BD时，则∠BCD=∠B，
此时，△ABC、△ACD是“形似三角形”，可知∠ACD=∠B，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°；
∴∠A+∠ACD+∠BCD+∠B=180°，
即45°+3∠B=180°，
∴∠B=45°，
此时∠ACB=90°（不符合题意，故舍去）；
②如图4，
当BC=BD时，则∠BCD=∠BDC，
此时△ABC、△ACD是“形似三角形”，可知可知∠ACD=∠B，
∵∠BDC=∠A+∠ACD且∠BDC+∠BCD+∠B=180°，
即3∠B+2∠A=108°，
∴∠B=30°，
此时∠ACB=180°-∠A-∠B=105°；
③当CD=CB时，情况不存在.
故答案为：105°或112.5°.
【分析】（1）利用等腰三角形和角平分线的性质即可得出结论.
（2）利用角平分线的性质和三角形的内角和定理，可得△BCD是等腰三角形，△ABC与△ACD互为“形似三角形”，即可得出结论.
（3）需要△ACD和△BCD分别是等腰三角形两种情况讨论，再根据在等腰三角形中哪俩条边相等进行分析，计算出∠ACB的度数即可。
22．【答案】（1）证明：∵AC⊥BC， AD⊥DB
∴∠ACB=∠ADB=90°.
∵E为AB的中点
∴CE=DE=AB.
∴△ECD是等腰三角形.
（2）解：过E作EG⊥CD
∵CE=DE
∴CD=2CG
∵∠ACB=90°，AC=BC，E为AB的中点
∴ BE=CE=4， CE⊥AB.
∵ BF=1
∴EF =3，
∴在Rt△CEF中，CF=5
∴EG=
∴在Rt△CEG中，
∴CD=2CG=
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）结合直角三角形斜边上中线等于斜边一半即可证明；
（2）由题意得到等腰直角△CEB，求得EF长度，结合勾股定理求得CF长度，利用等面积法求得EG长度，从而得到CG，进而求解.
23．【答案】（1）解：由题意可得，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE
∴∠ACE= ∠BCD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD
（2）解：∵△CDE是等腰直角三角形，
∴△ADE 是直角三角形，∠ADE=90°，
∴∠ADC=∠ADE-∠CDE=90°-45°=45°
（3）解：过点D作DG⊥BC于点G，AE与BC相交于点H
由题意可得，AC=BC=3，∠CED=45°，
∵BC∥DE，
∴∠BCE=∠CED=45°
∴∠DCG=180°-∠DCE-∠BCE
=180°-90°-45°=45°
∴∠CDG=45°，
∴CG=DG，
在 Rt△CDG中，根据勾股定理可得CG=DG=1，
∴BG=BC+CG=3+1=4，
在Rt△BDG中，
∴AE=BD=，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE= ∠CBD，
∵∠AHC= ∠BHF，
∴∠ACH=∠BFH=90°
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)证明 即可解决问题；
(2)利用勾股定理逆定理证明 是直角三角形，即可解决问题；
(3)过点D作 于点G，AE与BC相交于点H， 证明 根据勾股定理求出BD，然后根据四边形ABED的面积=三角形ABE的面积+三角形ADE的面积，即可解决问题.
24．【答案】（1）①证明：，，
是等腰直角三角形，
∴AD=CD.
，，
，
∴∠B+∠BAF=90°=∠B+∠BCD，
∴∠BAF=∠BCD，
在△ADN和△CDB中，
，
②；
（2）解：①如图1，
②的值不变，理由如下：
过点作分别交，于点G，M，如图2，所示：
∵EM//AB，，，
∴CD⊥ME，∠MEC=∠BAC=45°，
△CGE是等腰直角三角形，
∴EG=CG.
，CD⊥ME，
，
∴∠EMF+∠MEF=90°=∠EMF+∠MCG，
∴∠MEF=∠MCG，
，
∴EN=CM=2CF，
．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）②∵，
，
即：.
故答案为：；
【分析】（1）①由，，可证明是等腰直角三角形，利用“角边角”即可证明；
（1）①利用全等三角形的性质得出，进而可得结论；
（2）①按题意作图即可；
（2）②过点作分别交，于点，，利用平行线的性质可得CD⊥ME，∠MEC=∠BAC=45°，再参考第（1）小题的证明过程，即可得到结论.
（1）①证明：，，
是等腰直角三角形，
在中，
，，
，
，，
，
又，
，
②∵，
，
即：；
（2）①如图1，
②的值不变，理由如下：
如图2，过点作分别交，于点，，
，，，
∵于点，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
．
在与中
，
．
．
1 / 1浙教版（2024) 数学八年级上册第2章 特殊三角形 单元检测培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025八上·慈溪期末）国家大力发展新能源汽车，下列新能源汽车的车标是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A：是轴对称图形；
B：不是轴对称图形；
C：不是轴对称图形；
D：不是轴对称图形；
故答案为：A.
【分析】根据一个图形沿着一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形，逐项判断即可.
2．（2024八上·义乌月考）下列命题中，假命题是（ ）
A．等腰三角形是轴对称图形
B．对顶角相等
C．若，则
D．如果直线，，那么直线
【答案】C
【知识点】平行公理及推论；轴对称图形；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角角平分线所在的直线，是真命题，故A不符合题意；
B．对顶角相等，是真命题，故B不符合题意；
C．若，则，即，是假命题，故C符合题意；
D．如果直线，，那么直线，是真命题，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】分别根据等腰三角形、对顶角的性质，乘方的意义，平行线的判定逐一进行判断即可.
3．（2025八上·嘉兴期末）在下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A．， B．，，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：A、，，
，
是直角三角形，本选项不符合题意；
B、，，，
，
，
是直角三角形，本选项不符合题意；
C、，，
，
，
是直角三角形，本选项不符合题意．
D、，，
不能得出是直角三角形，本选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质逐项判断即可．
4．（2025八上·西湖期末）如图，在中，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A=40°，
∴∠ABC+∠C=140°，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
故答案选：B．
【分析】根据三角形的内角和定理，与等腰三角形顶角的度数，可求出等腰三角形的底角度数；再根据角平分线的概念，即可得出结论.
5．（2024八上·杭州月考）如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：A、 当 时，可利用AAS证全等，故A不符合题意；
B、当 时，不能证明全等，故B不符合题意；
C、当 时，可利用AAS证全等，故C不符合题意；．
D、当 时，可利用HL证全等，故D符合题意；．
故答案为：D．
【分析】HL定理：在两个直角三角形中，如果其中一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，根据HL定理的条件逐一进行判断即可.
6．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，，点是边AB上的一个动点，则的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵，，
∴．
∵是的外角，
∴，
∴，
∴度数可能是．
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形等边对等角的性质，先求出，再根据三角形外角的性质得出的范围，进而得出答案．
7．（2025八上·宁波期末）如图，在中，，点在AB边上，连结CD，点是CD的中点，连结AE．若，则AE的长是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；三角形的中线
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，
则BF=FC=4，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，则可以求出AF=3，即可得到△ABC的面积，然后根据求出AE长即可.
8．（2024八上·吴兴月考）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】、由图可知，以点为圆心，为半径画弧，交于点，
∴，
∵中，，，
∴∠A=180°-∠C-∠B=60°，
又∵，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠DCB=∠ACD-∠ACD=30°，
又∵，
∴∠DCB=∠B，
∴DB=DC
∴△DBC是等要三角形，
即此图中有两个等腰三角形，故A符合题意；
、由图可知，DE是BC的垂直平分线，
∴和不一定等腰三角形，符合题意；
、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点，
∴是等腰三角形，不符合题意；
、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点，
∴和是等腰三角形，不符合题意；
故答案为：．
【分析】本题考查尺规作图和等腰三角形的判定，对各项的尺规作图分析，再根据等腰三角形的判定判断即可，解题的关键是掌握基本的尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质的应用．
9．（2025八上·滨江期末）如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．
B．与的面积比等于边与之比
C．
D．若，则
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点P作于点M，作于点N，作于点H，
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴．故选项A的结论一定成立；
．故选项B的结论一定成立；
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．故选项D的结论一定成立．
根据题意无法证明选项C的结论一定成立．
故答案为：C.
【分析】过点P作于点M，作于点N，作于点H，利用角平分线的性质及判定判断A选项；利用三角形的面积公式判断B选项，利用三角形的内角和定理判断D选项解题即可．
10．（2024八上·奉化期末）如图，中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、.若已知，则的值为（ ）
A．18 B．24 C．25 D．36
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：过点F作FD⊥AM，连接FP，如图，
∵ AF=BA，FD=AC，∠TAC=∠KFD，
∴ Rt△ADF≌Rt△BCA（HL）， Rt△TAC≌Rt△KFD（HL），
∴ S2=S△ABC，
∵ Rt△TAC≌Rt△KFD，
∴ AT=FK，
∴ AF-AT=FE-FK，
∴ FT=EK，
∴ △FPT≌△EMK（AAS），
∴ S1+S3=S△ABC，
∵ AB=EB，∠ABC=∠EBN，
∴ △ABC≌△EBN（AAS），
∴ S4=S△ABC，
∴ S1+S2+S3+S4=3S△ABC=3××AC×BC=3××12=18.
故答案为：A.
【分析】过点F作FD⊥AM，连接FP，通过证明Rt△ADF≌Rt△BCA， Rt△TAC≌Rt△KFD，△FPT≌△EMK，△ABC≌△EBN可得 S1+S2+S3+S4=3S△ABC，即可求得.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024八下·白云期末）“正方形的四条边都相等”的逆命题可以写成 ，该逆命题是 命题（填写“真”或“假”）．
【答案】四条边相等的四边形是正方形；假
【知识点】正方形的判定；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：命题“正方形的四条边都相等”，它的逆命题是“四条边相等的四边形是正方形”，该逆命题是假命题，
故答案为：四条边相等的四边形是正方形；假．
【分析】先利用逆命题的定义及书写格式求出其逆命题，再利用真假命题的定义分析求解即可.
12．（2024八上·路桥期中）如图，一形状为四边形的风筝四边形中，已知，，则此风筝的骨架与即四边形的两对角线有怎样的关系？答： ．
【答案】垂直平分
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：垂直平分，理由如下：
，
∴点D在线段AC的垂直平分线上，
∵，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
垂直平分，
故答案为：垂直平分．
【分析】根据，，可得点D和E都在线段AC的垂直平分线上，继而可得垂直平分．
13．（2024八上·东阳期末）如图，这是一个台阶的模型图．已知每级台阶的宽度都是，每级台阶的高度都是，连接，则的长为 ．
【答案】10
【知识点】勾股定理的实际应用-台阶问题
【解析】【解答】解：如图，由题意得，
，
故．
故答案为：10．
【分析】根据勾股定理解答即可．
14．（2024八上·浙江期中）如图，一架的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角，若梯子的顶端下滑，则梯足将滑动 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得，，
∴，
∵梯子的顶端下滑2米，
∴，
∴，
∴梯子滑动的距离为：，
故答案为：．
【分析】根据题意得到，，然后利用勾股定理得，从而得，进而再利用勾股定理得，最后求出的值即可.
15．（2025八上·鄞州期末）如图，在 中， 是边 上一点（不与 重合）， 和 的角平分线交于点 ．
（1）若 ，则 的度数为 ；
（2）记 和 的度数之和为 ，则 的取值范围为 ．
【答案】（1）125°
（2）25°【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=80°，
∴∠ABC=∠ACB=50°，
∵∠BAD=20°，
∴∠CAD =60°，
∴∠DAC和∠BCA的角平分线交于点E，
∴∠EAC=∠DAC=30°，∠ACE=ACB=25°，
∴∠AEC=180°-∠EAC-∠ACE =125°；
故答案为：125°；
(2)由 (1) 可知：
∠DAE=∠DAC，∠ACE = 25°，
当点D与点B重合时，∠DAE取得最大值，即
∠DAE=∠BAC=40°，
∴∠DAE +∠ACE = 65°，
∴m的取值范围为25°故答案为：25°【分析】(1)由题意易得∠CAD的度数，∠ABC及∠ACB的度数，然后可得∠EAC及∠ACE的度数，进而根据三角形内角和可进行求解；
(2)当点D与点B重合时，∠DAE取得最大值，进而问题可求解.
16．（2024八上·柯桥月考）在等边△ABC三边上分别取点D、E、F，使得AD＝BE＝CF，连结三点得到△DEF，易得△ADF≌△BED≌△CFE，设S△ABC＝1，则S△DEF＝1﹣3S△ADF．
如图①当时，S△DEF＝1﹣3；
如图②当时，S△DEF＝1﹣3；
如图③当时，S△DEF＝1﹣3；
…
直接写出，当时，S△DEF＝ ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图①，当时，
如图②，当时，
如图③，当时，
∴当时，
∴当时，
故答案为：.
【分析】根据题意发现并总结出规律：当时，进而把d代入计算即可.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024八上·拱墅月考）在ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
【答案】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；
∵∠A＝20°，∠B＝60°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝100°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝50°，
∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝20°+50°＝70°，∠ECD＝90°﹣70°＝20°，
∴∠BCD＝30°，∠ECD＝20°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】由∠B＝60°，CD⊥AB，即可求得∠BCD的度数；又由∠A＝20°，∠B＝60°，求得∠ACB＝100°，由CE是∠ACB的平分线，可求得∠ACE＝50°，然后根据三角形外角的性质，求得∠CEB的度数．
18．（2024八上·路桥期中）如图，在的正方形网格中，点在网格线的交点上．
（1）仅用无刻度直尺，画出以为腰的等腰．
（2）仅用无刻度直尺，画出以为底的等腰．
【答案】（1）解：如图，等腰即为所求（答案不唯一）．
，
，
∴为以为腰的等腰三角形．
（2）如图，等腰即为所求（答案不唯一）．
，
，
∴为以为底的等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的判定和格线的长度计算方法按要求画图即可．
（2）根据等腰三角形的判定按要求画图即可．
（1）如图，等腰即为所求（答案不唯一）．
，
，为以为腰的等腰三角形．
（2）如图，等腰即为所求（答案不唯一）．
，
，为以为底的等腰三角形．
19．（2025八上·慈溪期末）如图，在等腰RtΔABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上一点，连结AD，过点A作 AD的垂线，过点B作BC的垂线，两条垂线交于点E。
（1）证明： ΔAEB≌ΔADC；
（2）若CD=3BD=3，求 AD 的长。
【答案】（1）证明： ∵AB = AC， ∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠C =45°，
∵BE⊥BC， AD⊥AE，
∴∠EAD=∠EBD=90°=∠BAC，
∴∠ABE=∠ACB=45° E
， ∠BAE=∠CAD，
∴△AEB≌△ADC(ASA)；
（2）解：如图， 过点A作AF⊥BC B于F，
∵CD=3BD=3，
∴BD=1，
∴BC=4，
∵AB=AC， ∠BAC=90°， AF⊥BC，
∴BF=AF=2，
∴DF =1，
∴AD= (负值舍去)。
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)由ASA可证△AEB≌△ADC；
(2)由等腰直角三角形的性质可得BF=AF =2，由勾股定理可求解.
20．今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽.问：索长几何 (选自《九章算术》)
题目大意：在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺(如图).在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直.这根绳索有多长
将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾长a，弦与股的差为d，求弦长c.
（1）试用a， d表示c；
（2）查阅资料，了解《九章算术》解决这类问题的思路与方法.
【答案】（1）解：设弦长为c，因为弦与股的差为d，所以股长为c-d，勾长为a。
根据勾股定理可得：
展开得则方程变为
移项可得两边同时除以2d，解得c
因此，能用a，d表示c，
（2）设木杆长高为h，表示绳长，利用勾股定理列方程解答即可.
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）设弦长为c，因为弦与股的差为d，所以股长为c-d，勾长为a，根据勾股定理列方程，整理表示c的值解答即可；
（2）根据（1）的解题方法总结即可.
21．（2024八上·绍兴竞赛）【概念学习】
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．
（1）【概念理解】
如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD平分∠ACB，则△CBD与△ABC （填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．
（2）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝36°，∠B＝48°．求证：CD为△ABC的等腰分割线；
（3）【概念应用】
在△ABC中，∠A＝45°，CD是△ABC的等腰分割线，直接写出∠ACB的度数．
【答案】（1）是
（2）解：∵∠A=36°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°-36°-48°=96°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=48°，
∴∠BCD=∠B=∠ACD，
∴△BCD是等腰三角形，
∴∠ADC=∠BCD+∠B=96°，
在△ABC和△ACD中，
∠A=∠A，∠B=∠ACD，∠ACB=∠ADC，
∴△ABC与△ACD互为“形似三角形”
∴CD为△ABC的等腰分割线.
（3）解：105°或112.5°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACB=36°，
∵∠B=72°，
∴∠BDC=72°
∴ △CBD与△ABC 互为“形似三角形”.
故答案为：是.
（3）Ⅰ、当△ACD是等腰三角形时，
①如图1，
当AD=CD时，则∠ACD=∠A=45°，
∴∠BDC=∠ACD+∠A=90°，
此时，△ABC、△CBD是“形似三角形”，∠BCD=∠A=45°，
∴∠ACB=90°（不符合题意，故舍去）；
②如图2，
当AC=AD时，则∠ACD=∠ADC==67.5°，
此时△ABC、△CBD是“形似三角形”，可知∠BCD=∠A=45°，
∠ACB=∠BCD+∠ACD=112.5°；
③AC=CD情况不存在；
Ⅱ、当△BCD是等腰三角形时，
①如图3，
当CD=BD时，则∠BCD=∠B，
此时，△ABC、△ACD是“形似三角形”，可知∠ACD=∠B，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°；
∴∠A+∠ACD+∠BCD+∠B=180°，
即45°+3∠B=180°，
∴∠B=45°，
此时∠ACB=90°（不符合题意，故舍去）；
②如图4，
当BC=BD时，则∠BCD=∠BDC，
此时△ABC、△ACD是“形似三角形”，可知可知∠ACD=∠B，
∵∠BDC=∠A+∠ACD且∠BDC+∠BCD+∠B=180°，
即3∠B+2∠A=108°，
∴∠B=30°，
此时∠ACB=180°-∠A-∠B=105°；
③当CD=CB时，情况不存在.
故答案为：105°或112.5°.
【分析】（1）利用等腰三角形和角平分线的性质即可得出结论.
（2）利用角平分线的性质和三角形的内角和定理，可得△BCD是等腰三角形，△ABC与△ACD互为“形似三角形”，即可得出结论.
（3）需要△ACD和△BCD分别是等腰三角形两种情况讨论，再根据在等腰三角形中哪俩条边相等进行分析，计算出∠ACB的度数即可。
22．（2025八上·温州期中）如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB 的中点，
（1）如图1，求证：△ECD 是等腰三角形
（2）如图2，CD与AB交于点F，若AC=BC，若CE=4，BF=1，求CD的长
【答案】（1）证明：∵AC⊥BC， AD⊥DB
∴∠ACB=∠ADB=90°.
∵E为AB的中点
∴CE=DE=AB.
∴△ECD是等腰三角形.
（2）解：过E作EG⊥CD
∵CE=DE
∴CD=2CG
∵∠ACB=90°，AC=BC，E为AB的中点
∴ BE=CE=4， CE⊥AB.
∵ BF=1
∴EF =3，
∴在Rt△CEF中，CF=5
∴EG=
∴在Rt△CEG中，
∴CD=2CG=
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）结合直角三角形斜边上中线等于斜边一半即可证明；
（2）由题意得到等腰直角△CEB，求得EF长度，结合勾股定理求得CF长度，利用等面积法求得EG长度，从而得到CG，进而求解.
23．（2025八上·宁波期末）如图1，ΔABC和ΔCDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为ΔABC外一点，AB>2CD，A，C，E三点不共线，连结AD，AE，BD，BE，AE与BD交于点F
（1）求证：AE=BD；
（2）当AD2+2CD2=BD2时，求∠ADC的度数；
（3）如图2，当BC∥DE时，CD=，AC=3，求四边形△BED的面积.
【答案】（1）解：由题意可得，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE
∴∠ACE= ∠BCD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD
（2）解：∵△CDE是等腰直角三角形，
∴△ADE 是直角三角形，∠ADE=90°，
∴∠ADC=∠ADE-∠CDE=90°-45°=45°
（3）解：过点D作DG⊥BC于点G，AE与BC相交于点H
由题意可得，AC=BC=3，∠CED=45°，
∵BC∥DE，
∴∠BCE=∠CED=45°
∴∠DCG=180°-∠DCE-∠BCE
=180°-90°-45°=45°
∴∠CDG=45°，
∴CG=DG，
在 Rt△CDG中，根据勾股定理可得CG=DG=1，
∴BG=BC+CG=3+1=4，
在Rt△BDG中，
∴AE=BD=，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE= ∠CBD，
∵∠AHC= ∠BHF，
∴∠ACH=∠BFH=90°
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)证明 即可解决问题；
(2)利用勾股定理逆定理证明 是直角三角形，即可解决问题；
(3)过点D作 于点G，AE与BC相交于点H， 证明 根据勾股定理求出BD，然后根据四边形ABED的面积=三角形ABE的面积+三角形ADE的面积，即可解决问题.
24．（2024八上·路桥期中）在中，，；于点D，点E，F分别在，上，且，与交于点N．
（1）如图1，当点E与点A重合时，
①求证：；
②直接写出的值．
（2）如图2（图在答题卷上），当点E在边上时，
①依题意补全图2；
②的值是否发生变化，请说明理由．
【答案】（1）①证明：，，
是等腰直角三角形，
∴AD=CD.
，，
，
∴∠B+∠BAF=90°=∠B+∠BCD，
∴∠BAF=∠BCD，
在△ADN和△CDB中，
，
②；
（2）解：①如图1，
②的值不变，理由如下：
过点作分别交，于点G，M，如图2，所示：
∵EM//AB，，，
∴CD⊥ME，∠MEC=∠BAC=45°，
△CGE是等腰直角三角形，
∴EG=CG.
，CD⊥ME，
，
∴∠EMF+∠MEF=90°=∠EMF+∠MCG，
∴∠MEF=∠MCG，
，
∴EN=CM=2CF，
．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）②∵，
，
即：.
故答案为：；
【分析】（1）①由，，可证明是等腰直角三角形，利用“角边角”即可证明；
（1）①利用全等三角形的性质得出，进而可得结论；
（2）①按题意作图即可；
（2）②过点作分别交，于点，，利用平行线的性质可得CD⊥ME，∠MEC=∠BAC=45°，再参考第（1）小题的证明过程，即可得到结论.
（1）①证明：，，
是等腰直角三角形，
在中，
，，
，
，，
，
又，
，
②∵，
，
即：；
（2）①如图1，
②的值不变，理由如下：
如图2，过点作分别交，于点，，
，，，
∵于点，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
．
在与中
，
．
．
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