浙教版（2024) 数学八年级上册第2章 特殊三角形 单元检测提升卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025八上·余姚期末）在中国传统文化中，有一种特殊的花卉纹样．下列四个花卉纹样分别代表玉簪花、杏花、水仙花和茶花其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·永嘉月考）如图，是斜边上的高线，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·永嘉月考）如图，若则下列结论中不成立的是（ ）
A． B． C．DA平分 D．
4．（2024八上·拱墅期中）如图，在AB、BC、CD、DE中是四根长度相同的小木棒，A、C、E三点共线，BC⊥CD于点C，若AC=6，CE=8，则一根小木棒的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2024八上·长兴期中）下列命题中，假命题是（ ）
A．面积相等的两个三角形全等
B．等腰三角形的两底角相等
C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
D．直角三角形的两个锐角互余
6．（2024八上·衢江期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是3和6，则该等腰三角形的周长为
A．15 B．12 C．12或15 D．9或15
7．（2021八上·余杭期中）在锐角中，，，高，则BC的长度为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
8．（2025八上·慈溪期末）如图，D、E为等边△ABC边AB、BC上的点，连结DE，∠ADE和∠DEC的角平分线恰好过 AC边上同一点F。若要知道△ABC 的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长 该三角形是（ ）
A．△ADF B．△BDE C．△CEF D．△DEF
9．（2025八上·慈溪期末）如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
10．（2025八上·海曙期末）如图，在中，，依据尺规作图痕迹，给出结论：①；结论②．下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024八上·瑞安月考）命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是 （填“真”/“假“”）命题
12． 周长为13，那么边长为整数的等腰三角形共有 个.
13．（2025八上·西湖期末）如图，在中，点D，E在上，，，若，则的度数为 ．
14．（2024八上·浙江期中）如图是边长均为的小正方形网格，，，，均在格点上，则 ．
15．校园科技节上，小华展示了一件小发明作品——“简便衣架”.该衣架在使用时能轻松地收拢，套进衣服后松开即可.如图①，衣架杆OA=OB=20cm，当衣架收拢时，∠AOB=60°，如图②，此时A，B两点之间的距离是 cm.
16．（2024八上·浙江期中）如图，已知和，，点是的中点，连接，，，设．则当 时，为等边三角形．（用含的代数式表示）
三、解答题（共8题，共72分）
17．如图所示的直角三角形ABD是某等腰三角形对称轴的一侧，请补全该等腰三角形.(只需画出图形)
18．（2024八上·杭州期中）如图，在和中，已知，以及可以选择的条件①；②．
（1）选择 条件（填序号）使得，并给出证明；
（2）若边与交于点G，，，求的长．
19．（2024八上·余杭期中）如图，一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西25°的方向行驶20海里到达B地，再由B地向北偏西35°的方向行驶20海里到达A地，求A，C两地相距多少海里
20．（2024八上·西湖期中）在中，D是的中点，，垂足分别为E、F，且．求证：是等腰三角形．
21．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，CE平分∠ACB．
（1）直接写出∠ACE的度数．
（2）若CD⊥AB于点D，∠CDF=75°，求证：△CFD是直角三角形．
22．（2024八上·杭州期中）我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且．
（1）求证：．
（2）由（1）可得伞圈在伞圈上滑动．如图1，伞打开时，；当伞缩拢到图2状态时，时，伞圈下滑的距离长是多少？
23．（2024八上·鄞州期中）已知：如图，在四边形中，，点是中点，连接、、，且．
（1）求证：．
（2）若，求证：是等边三角形．
24．（2024八上·浙江期中）如图，在中，，为上任意一点（不与点，点重合），连接．将绕点逆时针旋转至，且，连接，，与相交于点．
（1）求证；
（2）若，，求四边形的周长的最小值；
（3）若，且，当为等腰三角形时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：、此选项中的特殊的花卉纹样不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
、此选项中的特殊的花卉纹样不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
、此选项中的特殊的花卉纹样是轴对称图形，故此选项符合题意；
、此选项中的特殊的花卉纹样不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：．
【分析】根据平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形，据此逐项分析即可．
2．【答案】C
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵是斜边上的高线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据题意得，从而求出的度数.
3．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∴，
∴，故A不符合题意；
B、如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故B不符合题意；
C、∵，
∴，，
∴，
∴，
∴平分，故C不符合题意；
D、∵，
∴，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形对应角相等得，从而得，即可判断A成立；根据全等三角形对应角相等以及三角形外角的性质得，即可判断B成立；根据全等三角形的性质以及等腰三角形“等边对等角”的性质得，即可判断C成立；根据全等三角形对应边相等得，即可判断D不成立.
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：作BG⊥AC，DH⊥CE，如图，
∴
∴
∵
∴
∴
在和中
∴
∴
∵
∴
同理：
∴
在中，
故答案为：A.
【分析】作BG⊥AC，DH⊥CE，利用"AAS"证明，则最后利用勾股定理计算即可.
5．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定；真命题与假命题；全等三角形的概念；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，为假命题；
BCD、说法均正确，为真命题；
故答案为：A.
【分析】全等三角形是形状和大小都相同的三角形，面积相等不一定全等.
6．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】当腰为3时，，
、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，，
、6、6能组成三角形，
该三角形的周长为．
故答案为：A．
【分析】分腰为3和腰为6两种情况，先根据三边关系判断，然后计算周长即可．
7．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
AD是锐角△ABC的高，
，，
在中，
在中，
故答案为：C.
【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD长，在Rt△ACD中，由勾股定理求出CD长，然后根据线段的和差关系求BC长即可.
8．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点O作OG⊥AC于点G， OH⊥DE于点H， OM⊥BC于点M， 连接OE， GM， OC， 如图，
∵ DF是∠ADE的平分线， OG⊥AC，
OH⊥DE，
∴OG=OH.
在Rt△DGO和Rt△DHO中，
，
∴Rt△DGO≌Rt△DHO(HL)，
∴DG=DH，
∵O为△ABC的内心，
∴CO平分∠ACB，
∵OG⊥AC， OM⊥BC，
∴OG=OM，
∴OH=OM.
在Rt△CGO和Rt△CMO中，
，
∴Rt△CGO≌Rt△CMO(HL)，
∴CG=CM.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴△CGM为等边三角形，
∴CG=CM = MG.
∵O为正△ABC的内心，
在Rt△EHO和Rt△EMO中，
，
∴Rt△EHO≌Rt△EMO(HL)，
∴EH=EM，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE
=CD+DH+EH+CE
=CD+DG+EM+CE
=CG+CM
=2CG
= AC.
∴△ABC的周长
=AB+AC+BC=3AC=3△CDE的周长，
∴要知道△ABC的周长，则只需要知道△CDE的周长即可.
故答案为：A.
【分析】过点O作 于点G， 于点H， 于点M， 连接OE， GM， OC， 利用三角形的内心是三个内角平分线的交点和角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，得到 ， 从而计算得到 的周长为AC，进而得出 的周长的周长，则结论可得.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】
解：，，，，∴由勾股定理得，
∵将沿翻折，使得点C与点B重合．
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
∴，
解得：，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】由勾股定理可知，由翻转的性质知、、，则在中求DE长，需知道BD长，又中，，再次利用勾股定理即可算出BD。当然也可以使用面积法来求DE，因为前面用勾股定理能算出BC与BD的长，则AD长就知道了，此时利用就可求出DE长。
10．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由作图可得：平分，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，故①正确；
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故②正确，
故答案为：A．
【分析】由作图得到平分，，即可得到，然后根据同角的余角相等即可判断①；推导，得到，即可判断②．
11．【答案】假
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形互为全等三角形，
该逆命题为假命题，
故答案为：假.
【分析】根据逆命题即为将原命题的题设和结论交换位置，据此写出原命题的逆命题，进而即可判断.
12．【答案】3
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：周长为13， 边长为整数的等腰三角形 边长只能是：3，5，5；4，4，5；6，6，1；共3组.
故答案为：3
【分析】根据已知条件，利用三角形三边关系，结合边长是整数进行分析可得答案。
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC= AE，BC=BD，
∴∠AEC=∠ACE，∠BDC=∠BCD，
设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，
∴∠A=180°-2x°，∠B=180°-2y°，
∵∠DCE=180°-(∠AEC+∠BDC)=180°-(x°+y°)=20°，
∴x°+y°=160°，
∵∠ACB+∠A+∠B=180°，
∴∠ACB+(180°-2x°)+(180°-2y°)=∠ACB+360°-2(x°+y°)=∠ACB+360°-2×160°=180°，
∴∠ACB=140°，
故答案为：140°．
【分析】根据题意，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程，求解，即可得出结论.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：观察得：，构造Rt△ABE和Rt△DCF，如图所示：
由网格可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】在网格中利用勾股定理得AB=CD，构造Rt△ABE和Rt△DCF，由网格可知，，，可得，然后根据全等三角形的性质即可求解.
15．【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵OA=OB=20cm，∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形
∴AB=20cm
故答案为：20.
【分析】由OA=OB，∠AOB=60°可知△AOB是等边三角形，即可得出答案.
16．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，点是的中点，
∴分别是的中线，
∴，
即，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
即，，
∵，且，
∴，
则，
即，
则，
故答案为：．
【分析】先由斜边上的中线等于斜边的一半，得出，再结合等边三角形的性质，可得，，最后运用三角形的内角和性质列式计算化简，即可作答．
17．【答案】解：如图，即为所求.
【知识点】等腰三角形的对称性；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】分两种情况进行讨论：当AD或BD所在直线作为等腰三角形对称轴时，根据等腰三角形的性质直接画出图形即可.
18．【答案】（1）解：选择②，证明如下：
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
．
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）选择②，先求出，然后依据“”即可得证结论；
（2）根据全等三角形对应角相等得，由等腰三角形的判定得，最后根据线段和差关系计算即可．
（1）选择②，理由：
∵，
，
∴，
在和中
，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
．
19．【答案】解：如图，连接AC，由已知得∠BCD＝25°，∠ABE＝35°
∵CD∥BE
∴∠EBC＝∠BCD＝25°
∴∠ABC＝∠ABE＋∠EBC＝35°＋25°＝60°
∵AB＝BC＝20
∴△ABC是等边三角形
∴AC＝AB＝20
即A，C两地相距20海里.
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】连接AC，由题意得：，根据平行线的现在得到：进而求出∠ABC的度数，即可证明△ABC是等边三角形，进而即可求解.
20．【答案】证明：∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；线段的中点
【解析】【分析】根据中点的定义可得到，再根据全等三角形判定定理可得，从而可得到，根据等角对等边可得到，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
21．【答案】（1）
（2）证 ：，
.
又，
.
又，
，
是直角三角形.
【知识点】垂线的概念；角平分线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠A=30°，∠B=60°
∴∠ACB=180°-30°-60°=90°
∵ CE平分∠ACB
∴∠ACE =∠ACB=45°
【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得∠ACB=90°；根据角平分线的性子即可求得∠ACE 的值；
（2）根据三角形内角和定理，可得∠BCD的值；根据有理数的减法运算，可直接得出∠DCF的值；最后再根据三角形内角和定理，可得∠CDF的值，即可判定三角形.
22．【答案】（1）证明：在和中，，
∴，
∴．
（2）解：如图1，∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
如图2，设交于点，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
答：伞圈下滑的距离长是．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）由于公共边，可结合已知利用“”证明，则；
（2）由结合已知可证明是等边三角形，则，再由（1）的结论可知当时可证明是等边三角形，所以，设交于点，则，，利用勾股定理可得，再利用等腰三角形三线合一可得即可．
（1）证明：在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：如图1，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
如图2，设交于点，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
答：伞圈下滑的距离长是．
23．【答案】（1）证明：∵是斜边上的中线，∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：在和中，点是中点，∴，，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定；勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可；
（2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，再由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可得，同理可得出，则，又，即可证明结论．
（1）证明：∵是斜边上的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：在和中，点是中点，
∴，，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
24．【答案】（1）证明：∵，，，
∴；
（2）解：由（1）得，
∵四边形的周长，
所以当最小时，周长最小，
∴当时，周长最小，
，，
，
四边形周长的最小值是；
（3）解：∵，
，
，又，
，，
如果为等腰三角形，分三种情况讨论：
当时，
，
，则点不存在；
当时，
，，
∴，
点为的中点，
∴；
当时，
，
，
，
，
，
综上得，当为等腰三角形时，的长为或．
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用即可证明；
（2）当最小时，周长最小，即当时，周长最小，据此求解即可；
（3）分当、和时，三种情况讨论，利用等腰三角形的性质结合全等三角形的判定和性质求解即可．
（1）证明：∵，，，
∴；
（2）解：由（1）得，
因为四边形的周长
，
所以当最小时，周长最小，即当时，周长最小，
，，
时，
四边形周长的最小值是；
（3）解：∵，
，
，又，
，，
如果为等腰三角形，分三种情况讨论：
当时，
，
，则点不存在；
当时，
，，
∴，
点为的中点，
∴；
当时，
，
，
，
，
，
综上得，当为等腰三角形时，的长为或．
1 / 1浙教版（2024) 数学八年级上册第2章 特殊三角形 单元检测提升卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025八上·余姚期末）在中国传统文化中，有一种特殊的花卉纹样．下列四个花卉纹样分别代表玉簪花、杏花、水仙花和茶花其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：、此选项中的特殊的花卉纹样不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
、此选项中的特殊的花卉纹样不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
、此选项中的特殊的花卉纹样是轴对称图形，故此选项符合题意；
、此选项中的特殊的花卉纹样不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：．
【分析】根据平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形，据此逐项分析即可．
2．（2024八上·永嘉月考）如图，是斜边上的高线，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵是斜边上的高线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据题意得，从而求出的度数.
3．（2024八上·永嘉月考）如图，若则下列结论中不成立的是（ ）
A． B． C．DA平分 D．
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∴，
∴，故A不符合题意；
B、如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故B不符合题意；
C、∵，
∴，，
∴，
∴，
∴平分，故C不符合题意；
D、∵，
∴，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形对应角相等得，从而得，即可判断A成立；根据全等三角形对应角相等以及三角形外角的性质得，即可判断B成立；根据全等三角形的性质以及等腰三角形“等边对等角”的性质得，即可判断C成立；根据全等三角形对应边相等得，即可判断D不成立.
4．（2024八上·拱墅期中）如图，在AB、BC、CD、DE中是四根长度相同的小木棒，A、C、E三点共线，BC⊥CD于点C，若AC=6，CE=8，则一根小木棒的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：作BG⊥AC，DH⊥CE，如图，
∴
∴
∵
∴
∴
在和中
∴
∴
∵
∴
同理：
∴
在中，
故答案为：A.
【分析】作BG⊥AC，DH⊥CE，利用"AAS"证明，则最后利用勾股定理计算即可.
5．（2024八上·长兴期中）下列命题中，假命题是（ ）
A．面积相等的两个三角形全等
B．等腰三角形的两底角相等
C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
D．直角三角形的两个锐角互余
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定；真命题与假命题；全等三角形的概念；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，为假命题；
BCD、说法均正确，为真命题；
故答案为：A.
【分析】全等三角形是形状和大小都相同的三角形，面积相等不一定全等.
6．（2024八上·衢江期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是3和6，则该等腰三角形的周长为
A．15 B．12 C．12或15 D．9或15
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】当腰为3时，，
、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，，
、6、6能组成三角形，
该三角形的周长为．
故答案为：A．
【分析】分腰为3和腰为6两种情况，先根据三边关系判断，然后计算周长即可．
7．（2021八上·余杭期中）在锐角中，，，高，则BC的长度为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
AD是锐角△ABC的高，
，，
在中，
在中，
故答案为：C.
【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD长，在Rt△ACD中，由勾股定理求出CD长，然后根据线段的和差关系求BC长即可.
8．（2025八上·慈溪期末）如图，D、E为等边△ABC边AB、BC上的点，连结DE，∠ADE和∠DEC的角平分线恰好过 AC边上同一点F。若要知道△ABC 的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长 该三角形是（ ）
A．△ADF B．△BDE C．△CEF D．△DEF
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点O作OG⊥AC于点G， OH⊥DE于点H， OM⊥BC于点M， 连接OE， GM， OC， 如图，
∵ DF是∠ADE的平分线， OG⊥AC，
OH⊥DE，
∴OG=OH.
在Rt△DGO和Rt△DHO中，
，
∴Rt△DGO≌Rt△DHO(HL)，
∴DG=DH，
∵O为△ABC的内心，
∴CO平分∠ACB，
∵OG⊥AC， OM⊥BC，
∴OG=OM，
∴OH=OM.
在Rt△CGO和Rt△CMO中，
，
∴Rt△CGO≌Rt△CMO(HL)，
∴CG=CM.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴△CGM为等边三角形，
∴CG=CM = MG.
∵O为正△ABC的内心，
在Rt△EHO和Rt△EMO中，
，
∴Rt△EHO≌Rt△EMO(HL)，
∴EH=EM，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE
=CD+DH+EH+CE
=CD+DG+EM+CE
=CG+CM
=2CG
= AC.
∴△ABC的周长
=AB+AC+BC=3AC=3△CDE的周长，
∴要知道△ABC的周长，则只需要知道△CDE的周长即可.
故答案为：A.
【分析】过点O作 于点G， 于点H， 于点M， 连接OE， GM， OC， 利用三角形的内心是三个内角平分线的交点和角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，得到 ， 从而计算得到 的周长为AC，进而得出 的周长的周长，则结论可得.
9．（2025八上·慈溪期末）如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】
解：，，，，∴由勾股定理得，
∵将沿翻折，使得点C与点B重合．
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
∴，
解得：，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】由勾股定理可知，由翻转的性质知、、，则在中求DE长，需知道BD长，又中，，再次利用勾股定理即可算出BD。当然也可以使用面积法来求DE，因为前面用勾股定理能算出BC与BD的长，则AD长就知道了，此时利用就可求出DE长。
10．（2025八上·海曙期末）如图，在中，，依据尺规作图痕迹，给出结论：①；结论②．下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由作图可得：平分，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，故①正确；
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故②正确，
故答案为：A．
【分析】由作图得到平分，，即可得到，然后根据同角的余角相等即可判断①；推导，得到，即可判断②．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024八上·瑞安月考）命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是 （填“真”/“假“”）命题
【答案】假
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形互为全等三角形，
该逆命题为假命题，
故答案为：假.
【分析】根据逆命题即为将原命题的题设和结论交换位置，据此写出原命题的逆命题，进而即可判断.
12． 周长为13，那么边长为整数的等腰三角形共有 个.
【答案】3
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：周长为13， 边长为整数的等腰三角形 边长只能是：3，5，5；4，4，5；6，6，1；共3组.
故答案为：3
【分析】根据已知条件，利用三角形三边关系，结合边长是整数进行分析可得答案。
13．（2025八上·西湖期末）如图，在中，点D，E在上，，，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC= AE，BC=BD，
∴∠AEC=∠ACE，∠BDC=∠BCD，
设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，
∴∠A=180°-2x°，∠B=180°-2y°，
∵∠DCE=180°-(∠AEC+∠BDC)=180°-(x°+y°)=20°，
∴x°+y°=160°，
∵∠ACB+∠A+∠B=180°，
∴∠ACB+(180°-2x°)+(180°-2y°)=∠ACB+360°-2(x°+y°)=∠ACB+360°-2×160°=180°，
∴∠ACB=140°，
故答案为：140°．
【分析】根据题意，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程，求解，即可得出结论.
14．（2024八上·浙江期中）如图是边长均为的小正方形网格，，，，均在格点上，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：观察得：，构造Rt△ABE和Rt△DCF，如图所示：
由网格可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】在网格中利用勾股定理得AB=CD，构造Rt△ABE和Rt△DCF，由网格可知，，，可得，然后根据全等三角形的性质即可求解.
15．校园科技节上，小华展示了一件小发明作品——“简便衣架”.该衣架在使用时能轻松地收拢，套进衣服后松开即可.如图①，衣架杆OA=OB=20cm，当衣架收拢时，∠AOB=60°，如图②，此时A，B两点之间的距离是 cm.
【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵OA=OB=20cm，∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形
∴AB=20cm
故答案为：20.
【分析】由OA=OB，∠AOB=60°可知△AOB是等边三角形，即可得出答案.
16．（2024八上·浙江期中）如图，已知和，，点是的中点，连接，，，设．则当 时，为等边三角形．（用含的代数式表示）
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，点是的中点，
∴分别是的中线，
∴，
即，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
即，，
∵，且，
∴，
则，
即，
则，
故答案为：．
【分析】先由斜边上的中线等于斜边的一半，得出，再结合等边三角形的性质，可得，，最后运用三角形的内角和性质列式计算化简，即可作答．
三、解答题（共8题，共72分）
17．如图所示的直角三角形ABD是某等腰三角形对称轴的一侧，请补全该等腰三角形.(只需画出图形)
【答案】解：如图，即为所求.
【知识点】等腰三角形的对称性；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】分两种情况进行讨论：当AD或BD所在直线作为等腰三角形对称轴时，根据等腰三角形的性质直接画出图形即可.
18．（2024八上·杭州期中）如图，在和中，已知，以及可以选择的条件①；②．
（1）选择 条件（填序号）使得，并给出证明；
（2）若边与交于点G，，，求的长．
【答案】（1）解：选择②，证明如下：
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
．
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）选择②，先求出，然后依据“”即可得证结论；
（2）根据全等三角形对应角相等得，由等腰三角形的判定得，最后根据线段和差关系计算即可．
（1）选择②，理由：
∵，
，
∴，
在和中
，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
．
19．（2024八上·余杭期中）如图，一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西25°的方向行驶20海里到达B地，再由B地向北偏西35°的方向行驶20海里到达A地，求A，C两地相距多少海里
【答案】解：如图，连接AC，由已知得∠BCD＝25°，∠ABE＝35°
∵CD∥BE
∴∠EBC＝∠BCD＝25°
∴∠ABC＝∠ABE＋∠EBC＝35°＋25°＝60°
∵AB＝BC＝20
∴△ABC是等边三角形
∴AC＝AB＝20
即A，C两地相距20海里.
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】连接AC，由题意得：，根据平行线的现在得到：进而求出∠ABC的度数，即可证明△ABC是等边三角形，进而即可求解.
20．（2024八上·西湖期中）在中，D是的中点，，垂足分别为E、F，且．求证：是等腰三角形．
【答案】证明：∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；线段的中点
【解析】【分析】根据中点的定义可得到，再根据全等三角形判定定理可得，从而可得到，根据等角对等边可得到，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
21．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，CE平分∠ACB．
（1）直接写出∠ACE的度数．
（2）若CD⊥AB于点D，∠CDF=75°，求证：△CFD是直角三角形．
【答案】（1）
（2）证 ：，
.
又，
.
又，
，
是直角三角形.
【知识点】垂线的概念；角平分线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠A=30°，∠B=60°
∴∠ACB=180°-30°-60°=90°
∵ CE平分∠ACB
∴∠ACE =∠ACB=45°
【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得∠ACB=90°；根据角平分线的性子即可求得∠ACE 的值；
（2）根据三角形内角和定理，可得∠BCD的值；根据有理数的减法运算，可直接得出∠DCF的值；最后再根据三角形内角和定理，可得∠CDF的值，即可判定三角形.
22．（2024八上·杭州期中）我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且．
（1）求证：．
（2）由（1）可得伞圈在伞圈上滑动．如图1，伞打开时，；当伞缩拢到图2状态时，时，伞圈下滑的距离长是多少？
【答案】（1）证明：在和中，，
∴，
∴．
（2）解：如图1，∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
如图2，设交于点，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
答：伞圈下滑的距离长是．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）由于公共边，可结合已知利用“”证明，则；
（2）由结合已知可证明是等边三角形，则，再由（1）的结论可知当时可证明是等边三角形，所以，设交于点，则，，利用勾股定理可得，再利用等腰三角形三线合一可得即可．
（1）证明：在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：如图1，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
如图2，设交于点，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
答：伞圈下滑的距离长是．
23．（2024八上·鄞州期中）已知：如图，在四边形中，，点是中点，连接、、，且．
（1）求证：．
（2）若，求证：是等边三角形．
【答案】（1）证明：∵是斜边上的中线，∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：在和中，点是中点，∴，，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定；勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可；
（2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，再由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可得，同理可得出，则，又，即可证明结论．
（1）证明：∵是斜边上的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：在和中，点是中点，
∴，，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
24．（2024八上·浙江期中）如图，在中，，为上任意一点（不与点，点重合），连接．将绕点逆时针旋转至，且，连接，，与相交于点．
（1）求证；
（2）若，，求四边形的周长的最小值；
（3）若，且，当为等腰三角形时，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，，
∴；
（2）解：由（1）得，
∵四边形的周长，
所以当最小时，周长最小，
∴当时，周长最小，
，，
，
四边形周长的最小值是；
（3）解：∵，
，
，又，
，，
如果为等腰三角形，分三种情况讨论：
当时，
，
，则点不存在；
当时，
，，
∴，
点为的中点，
∴；
当时，
，
，
，
，
，
综上得，当为等腰三角形时，的长为或．
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用即可证明；
（2）当最小时，周长最小，即当时，周长最小，据此求解即可；
（3）分当、和时，三种情况讨论，利用等腰三角形的性质结合全等三角形的判定和性质求解即可．
（1）证明：∵，，，
∴；
（2）解：由（1）得，
因为四边形的周长
，
所以当最小时，周长最小，即当时，周长最小，
，，
时，
四边形周长的最小值是；
（3）解：∵，
，
，又，
，，
如果为等腰三角形，分三种情况讨论：
当时，
，
，则点不存在；
当时，
，，
∴，
点为的中点，
∴；
当时，
，
，
，
，
，
综上得，当为等腰三角形时，的长为或．
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