第一章二次函数培优提升训练（含答案）浙教版2025—2026学年九年级上册

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第一章二次函数培优提升训练浙教版2025—2026学年九年级上册
一、选择题
1．已知3x﹣6是二次函数，则a＝（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
2．将抛物线y＝ax2+2ax+2（a为常数，且a≠0）向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线经过点（﹣1，2），则a的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
3．已知二次函数y＝kx2﹣3x﹣2与一次函数y＝﹣x+1数的图象有交点，则k的取值范围是（　　）
A． B．且k≠0
C． D．k且k≠0
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是函数图象上的两点，下列结论正确的是（　　）
A．a+b+c＜0 B．b+2a＝0
C．x1＞x2，则y1＞y2 D．若y1＝y2，则x1+x2＝1
5．抛物线y＝x2+3bx﹣4c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+3，n），则n＝（　　）
A． B． C．2 D．
6．已知同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝kx+c图象如图所示，则函数y＝﹣ax2﹣bx+kx+1图象可能是（　　）
A． B． C． D．
7．已知二次函数y＝x2﹣2x，当﹣1≤x≤n时，函数的最大值与最小值的和为2，则n的取值范围是（　　）
A．﹣1≤n≤1 B．﹣1≤n≤3 C．1≤n≤3 D．n≥3
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，与y轴的交点纵坐标是2，与x轴的一个交点在1和2之间．有下列结论：①2a﹣b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一根在﹣3和﹣4之间；③方程ax2+bx+c﹣1＝0一定有两个不等实根：④a+b＞﹣2．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数）的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为　　 ．
10．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2，那么小球到达最大高度的时间是 　　 s．
11．若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为　 ．
12.对于抛物线y＝x2﹣4x+3，当﹣1＜x时，关于x的一元二次方程x2﹣4x+3﹣t＝0有解，则t的取值范围是 　 　 ．
三、解答题
13．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，且点B（﹣2，n）在一次函数上，求m，n的值与原点到直线的距离；
（2）若这个函数是二次函数，求m的值满足的条件．
14．如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙（墙长22m），并在BC边上开一道2m宽的门，现在可用的材料为38m长的木板．
（1）若仓库的面积为150平米，求AB．
（2）当仓库的面积最大时，求AB，并指出仓库的最大面积．
15．春节期间，《哪吒2》热映，某文创公司设计了一款成本价为每卷4元的哪吒贴纸投放到市场，公司以不低于成本价且不超过每卷8元的价格销售，当每卷售价为6元时，每天售出贴纸900卷；当每卷售价为7元时，每天售出贴纸850卷，通过分析销售数据发现：每天销售贴纸的数量y（卷）与每卷售价x（元）满足一次函数关系．
（1）求每天销售贴纸的数量y（卷）与每卷售价x（元）满足的函数关系式；
（2）当每卷售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
16．已知抛物线C1：y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1的顶点为M；抛物线C2；y＝（x﹣n）2﹣n+3的顶点为N．
（1）点M是否在直线y＝x﹣1上，并说明理由；
（2）已知点N在直线y＝x﹣1上，m＝2n﹣1，点A（s，t）在抛物线C2上，且s≠n，点B在抛物线C1上．
①若AN∥BM，求直线BM的解析式（用s表示）；
②若点B的坐标为（s+p，t+q），且p＝s+1，求q的最小值．
17．已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标是抛物线y＝﹣x2+4x的顶点横坐标的2倍．
（1）b的值为　 　 ．
（2）已知点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+4x上，点B（x1+m，y1+t）在抛物线y＝﹣x2+bx上．
①若x1＝2，t＝6m，求m的值；
②若x1＝m+2，且3≤x1≤6，求t的最小值．
18．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a为常数，且a≠0）．
（1）若函数图象过点（﹣1，0），求a的值．
（2）当2≤x≤6时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝11，求a的值．
19．探究题
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值．
参考答案
一、选择题
1．已知3x﹣6是二次函数，则a＝（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
【解答】解：由条件可知a2+1＝2，
解得a1＝﹣1或a2＝1，
∵a+1≠0，
∴a≠﹣1，
∴a＝1．
故选：B．
2．将抛物线y＝ax2+2ax+2（a为常数，且a≠0）向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线经过点（﹣1，2），则a的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【解答】解：抛物线y＝ax2+2ax+2＝a（x+1）2﹣a+2，
将抛物线y＝ax2+2ax+2（a为常数，且a≠0）向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线y＝a（x+1+2）2﹣a+2﹣3，即y＝a（x+3）2﹣a﹣1，
∵得到的抛物线经过点（﹣1，2），
∴4a﹣a﹣1＝2，
∴a＝1．
故选：B．
3．已知二次函数y＝kx2﹣3x﹣2与一次函数y＝﹣x+1数的图象有交点，则k的取值范围是（　　）
A． B．且k≠0
C． D．k且k≠0
【解答】解：把y＝﹣x+1代入y＝kx2﹣3x﹣2得：
﹣x+1＝y＝kx2﹣3x﹣2，
整理得kx2﹣2x﹣3＝0，
∵二次函数y＝kx2﹣3x﹣2与一次函数y＝﹣x+1数的图象有交点，
∴Δ≥0且k≠0，
∴（﹣2）2﹣4 k （﹣3）＝4+12k≥0，且k≠0，
解得k且k≠0．故选：B．
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是函数图象上的两点，下列结论正确的是（　　）
A．a+b+c＜0 B．b+2a＝0
C．x1＞x2，则y1＞y2 D．若y1＝y2，则x1+x2＝1
【解答】解：A、根据函数图象可得当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故A错误，不符合题意；
B、根据对称轴为直线x＝1可得：，故2a+b＝0，故B正确，符合题意；
C、根据函数图象可得当1＞x1＞x2，则y1＞y2，故C错误，不符合题意；
D、根据函数的对称性得：y1＝y2，则，故D错误，不符合题意；
故选：B．
5．抛物线y＝x2+3bx﹣4c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+3，n），则n＝（　　）
A． B． C．2 D．
【解答】解：∵抛物线过点A（m，n），B（m+3，n），
∴对称轴是直线，
又∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴顶点为，
∴设，
把A（m，n）代入，得：．
即．
故选：B．
6．已知同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝kx+c图象如图所示，则函数y＝﹣ax2﹣bx+kx+1图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为二次函数解析式为y＝﹣ax2﹣bx+kx+1，
所以当x＝0时，y＝1，
则此二次函数的图象过定点（0，1），
显然只有D选项符合题意．
故选：D．
7．已知二次函数y＝x2﹣2x，当﹣1≤x≤n时，函数的最大值与最小值的和为2，则n的取值范围是（　　）
A．﹣1≤n≤1 B．﹣1≤n≤3 C．1≤n≤3 D．n≥3
【解答】解：∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y的值随着x的值增大而减小；当x＞1时，y的值随着x的值增大而增大；
①当n＜1时，当﹣1≤x≤n时，y随的x增大而减小，
那么x＝﹣1时取得最大值，x＝n时取得最小值，
最大值为﹣1，最小值为（n﹣1）2﹣1，
则可列出方程：（n﹣1）2﹣1﹣1＝2，
解得n＝3或n＝﹣1，
但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去；
②当1≤n≤3时，
此时 x＝1时取得最小值，x＝﹣1时取得最大值，
最大值为3，最小值为﹣1，
此时最大值与最小值的和为2，
符合题意；
③当n＞3时，
此时x＝1时取得最小值，x＝n时取得最大值，
最小值为﹣1，最大值为（n﹣1）2﹣1，
则可列出方程：（n﹣1）2﹣1﹣1＝2，
解得n＝3或n＝﹣1，
但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去．
∴综上，得到n的取值范围为：1≤n≤3．
故选：C．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，与y轴的交点纵坐标是2，与x轴的一个交点在1和2之间．有下列结论：①2a﹣b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一根在﹣3和﹣4之间；③方程ax2+bx+c﹣1＝0一定有两个不等实根：④a+b＞﹣2．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，
∴1，
∴2a﹣b＝0，故①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在1和2之间，
∴另一个交点在﹣4和﹣3之间，
∴方程ax2+bx+c＝0一定有一根在﹣3和﹣4之间，故②正确；
∵抛物线与y轴的交点纵坐标是2，
∴抛物线与直线y＝1一定有两个交点，
∴方程ax2+bx+c﹣1＝0一定有两个不等实根，故③正确；
∵抛物线开口向下，与y轴的交点纵坐标是2，与x轴的一个交点在1和2之间，
∴当x＝1时，y＞0，
∴a+b+2＞0，
∴a+b＞﹣2，故④正确．
故选：D．
二、填空题
9．关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数）的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为　4　 ．
【解答】解：由题意可得：
令y＝0，则x2﹣2mx+m2+m﹣4＝0，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣4）＝0，
∴4m2﹣4m2﹣4m+16＝0，
∴m＝4，
故答案为：4．
10．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2，那么小球到达最大高度的时间是 　3　 s．
【解答】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，
∵﹣5＜0，
小球到达最大高度的时间是3．
故答案为：3．
11．若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为　﹣5或1　 ．
【解答】解：y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2﹣1，
∵二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，
∴①当﹣1﹣t＞t+3，即t＜﹣2时，2t2+4t+1＝31
解得 t1＝﹣5，t2＝3（舍去）．
②当﹣1﹣t＜t+3，即t＞﹣2时，2（t+2）2+4（t+2）+1＝31，
解得 t1＝﹣7（舍去），t2＝1；
③当t＞﹣1时，2（t+2）2+4（t+2）+1＝31，
解得 t1＝﹣7（舍去），t2＝1；
综上所述，t的值是﹣5或1．
故答案为：﹣5或1．
12.对于抛物线y＝x2﹣4x+3，当﹣1＜x时，关于x的一元二次方程x2﹣4x+3﹣t＝0有解，则t的取值范围是 　﹣1≤t＜8　 ．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1），函数有最小值﹣1，
∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x的范围内有解，
∴当﹣1＜x时，抛物线y＝x2﹣4x+3与直线y＝t有交点，
当x＝﹣1，y＝x2﹣4x+3＝8，
∴t的取值范围是：﹣1≤t＜8，
故答案为：﹣1≤t＜8．
三、解答题
13．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，且点B（﹣2，n）在一次函数上，求m，n的值与原点到直线的距离；
（2）若这个函数是二次函数，求m的值满足的条件．
【解答】解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m＝0，
解得：m＝0或m＝1，
又∵m﹣1≠0，即m≠1．
∴当m＝0时，这个函数是一次函数．
此时，函数y＝﹣x+1，
将点B（﹣2，n）代入y＝﹣x+1得：n＝3；
令x＝0，则y＝1，
令y＝0，则x＝1，
故函数y＝﹣x+1与坐标轴的交点为（0，1）和（1，0），
两交点的距离为，
故原点到直线的距离．
答：m的值为0，n的值为3，原点到直线的距离是；
（2）根据二次函数的定义，得m2﹣m≠0，
解得m≠0且m≠1．
∴当m≠0且m≠1时，这个函数是二次函数．
答：m的值满足的条件m≠0且m≠1．
14．如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙（墙长22m），并在BC边上开一道2m宽的门，现在可用的材料为38m长的木板．
（1）若仓库的面积为150平米，求AB．
（2）当仓库的面积最大时，求AB，并指出仓库的最大面积．
【解答】解：（1）设AB的长为x m，则AD＝（38+2﹣2x）m，
根据题意得，x（38+2﹣2x）＝150，
解得：x1＝15，x2＝5，
当x1＝15时，AD＝10，当x2＝5时，AD＝30＞22（不合题意舍去），
∴AB＝15；
（2）设仓库的面积为y平方米，
根据题意得，y＝x（38+2﹣2x）＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，
∵a＝﹣2＜0，38+2﹣2×10＝20＜22，
∴当x＝10时，y最大值＝200，
答：当AB＝10时，仓库的最大面积为200平方米．
15．春节期间，《哪吒2》热映，某文创公司设计了一款成本价为每卷4元的哪吒贴纸投放到市场，公司以不低于成本价且不超过每卷8元的价格销售，当每卷售价为6元时，每天售出贴纸900卷；当每卷售价为7元时，每天售出贴纸850卷，通过分析销售数据发现：每天销售贴纸的数量y（卷）与每卷售价x（元）满足一次函数关系．
（1）求每天销售贴纸的数量y（卷）与每卷售价x（元）满足的函数关系式；
（2）当每卷售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【解答】解：（1）根据题意设y＝kx+b，当每卷售价为7元时，每天售出大米850卷；当每卷售价为6元时，每天售出900卷，
则，
解得，
则y与x的函数关系式；y＝﹣50x+1200（4≤x≤8），
故答案为：y＝﹣50x+1200（4≤x≤8）；
（2）设利润为W元，根据题意可得：W＝（x﹣4）（﹣50x+1200），
即W＝﹣50x2+1400x﹣4800＝﹣50（x﹣14）2+5000，
∵a＝﹣50＜0，对称轴为x＝14，
∴当x＜14时，W随x的增大而增大，
又∵4≤x≤8，
∴x＝8时，W＝﹣50（x﹣14）2+5000＝﹣50（8﹣14）2+5000＝3200（元），
当每卷售价定为8时，每天获利最大，最大利润为3200元．
16．已知抛物线C1：y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1的顶点为M；抛物线C2；y＝（x﹣n）2﹣n+3的顶点为N．
（1）点M是否在直线y＝x﹣1上，并说明理由；
（2）已知点N在直线y＝x﹣1上，m＝2n﹣1，点A（s，t）在抛物线C2上，且s≠n，点B在抛物线C1上．
①若AN∥BM，求直线BM的解析式（用s表示）；
②若点B的坐标为（s+p，t+q），且p＝s+1，求q的最小值．
【解答】解：（1）在，理由为：
y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1＝（x﹣m）2+m﹣1，
∴点M为（m，m﹣1），
把 x＝m代入y＝x﹣1 得，y＝m﹣1，
∴点M在直线 y＝x﹣1上；
（2）∵点N坐标为（n，﹣n+3），点N在直线y＝x﹣1上，
∴﹣n+3＝n﹣1，
解得n＝2，
∴m＝2n﹣1＝3，
∴抛物线C1：y＝x2﹣6x+11＝（x﹣3）2+2，
∴点M（3，2），
∵抛物线C2：y＝（x﹣2）2+1，
∴N（2，1），
∵点A（s，t）在抛物线C2上，
∴t＝（s﹣2）2+1；
①设直线AN的解析式为 y＝kx+b，
∴，
解得，
∵AN∥BM，
∴直线BM的解析式为 y＝（s﹣2）x+c，
代入点M（3，2），得2＝3（s﹣2）+c，
∴c＝8﹣3s，
∴直线BM的解析式为：y＝（s﹣2）x+8﹣3s；
②∵点B（s+p，t+q）在抛物线C1上，t＝（s﹣2）2+1，
∴t+q＝（s+p﹣3）2+2，
∴（s﹣2）2+1+q＝（s+p﹣3）2+2，
∴q＝p2+2sp﹣2s﹣6p+6，
∵p＝s+1，
∴，
∵3＞0，
∴q的最小值为．
17．已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标是抛物线y＝﹣x2+4x的顶点横坐标的2倍．
（1）b的值为　8　 ．
（2）已知点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+4x上，点B（x1+m，y1+t）在抛物线y＝﹣x2+bx上．
①若x1＝2，t＝6m，求m的值；
②若x1＝m+2，且3≤x1≤6，求t的最小值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标是抛物线y＝﹣x2+4x的顶点横坐标的2倍，
∴2，
∴b＝8．
故答案为：8；
（2）已知点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+4x上，点B（x1+m，y1+t）在抛物线y＝﹣x2+8x上，
①若x1＝2，t＝6m，则y1＝﹣22+4×2＝4，
∴B（2+m，4+6m），
∴4+6m＝﹣（2+m）2+8（2+m），
解得m＝2或m＝﹣4；
②若x1＝m+2，且3≤x1≤6，
∴1≤m≤4，
则y1＝﹣（m+2）2+4（m+2）＝﹣m2+4，
∴B（2m+2，﹣m2+4+t），
∴﹣m2+4+t＝﹣（2m+2）2+8（2m+2），
∴t＝﹣3m2+8m+8＝﹣3（m）2，
∵1≤m≤4，
∴m＝4时，t有最小值﹣8．
18．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a为常数，且a≠0）．
（1）若函数图象过点（﹣1，0），求a的值．
（2）当2≤x≤6时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝11，求a的值．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+2的图象过点（﹣1，0），
∴a+4a+2＝0，
∴a．
（2）由题意，∵y＝ax2﹣4ax+2＝a（x﹣2）2+2﹣4a，
∴抛物线的顶点为（2，2﹣4a），
∴x＝2时，y＝2﹣4a，
当x＝6时，y＝36a﹣24a+2＝12a+2，
当a＞0时，当2≤x≤6时，M＝12a+2，N＝2﹣4a，
∵M﹣N＝11，
∴12a+2﹣（2﹣4a）＝11，
∴a．
当a＜0时，当2≤x≤6时，N＝12a+2，M＝2﹣4a，
∵M﹣N＝11，
∴2﹣4a﹣（12a+2）＝11，
∴a．
∴a的值为或．
19．探究题
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值．
【解答】解：（1）由题意，∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，
∴，
∴．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标D为（﹣1，4）．
（2）由题意，设AD为解析式为 y＝kx+b，把点A（﹣3，0），D（﹣1，4）代入，
∴．
∴．
∴直线AD的解析式为y＝2x+6．
∴P（x，y）为P（x，2x+6）．
∴E（0，2x+6）．
∴x2﹣3x（﹣3＜x＜﹣1）．
∴．
∴当时，S有最大值，最大值为．
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