第一章二次函数培优训练（含答案）浙教版2025—2026学年九年级上册

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第一章二次函数培优训练浙教版2025—2026学年九年级上册
一、选择题
1．下列函数中，一定是关于x的二次函数的是（　　）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝﹣x﹣4
C． D．y＝3x2+x﹣2
2．若函数y＝a是二次函数且图象开口向上，则a＝（　　）
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．4或3
3．抛物线y＝x2与直线y＝x﹣1的交点情况是（　　）
A．有两个交点 B．有且只有一个交点
C．至少有一个交点 D．没有交点
4．关于二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a是常数且a＞0），下列说法正确的是（　　）
A．函数图象开口向下
B．对称轴为直线x＝﹣1
C．函数图象与x轴没有交点
D．在y轴左侧，y的值随x值的增大而减小
5．已知二次函数y＝x2﹣2x，当﹣1≤x≤n时，函数的最大值与最小值的和为2，则n的取值范围是（　　）
A．﹣1≤n≤1 B．﹣1≤n≤3 C．1≤n≤3 D．n≥3
6．如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x＝2，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③方程cx2+bx+a的两个根为x1，x2；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，则y1＞y2．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．已知抛物线y＝x2+2x﹣3，经过（﹣2，y1）和（2，y2）两点，则y1　 　 y2（填“＞”“＜”或“＝”）．
8．若y＝（m+2）（m﹣2）x+m是关于x的二次函数，则m的值为 　 　 ．
9．二次函数的顶点为P，则点P到直线y＝10的距离的最小值为　　 ．
10．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x+1）（x﹣2）+5向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点A，B，则AB的长为　 　 ．
11．若关于x函数y＝ax2﹣（a﹣3）x+1的图象与x轴有唯一公共点，则a＝　 　 ．
三、解答题
12.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 10 m 2 1 2 5 …
（1）直接写出m的值 　 ；
（2）求出函数表达式；
（3）直接写出关于x的不等式ax2+bx+c＞x﹣1的解集：　 　 ．
13.．如图，二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0，c为常数）的图象与一次函数的图象相交于A（0，﹣3），B（3，0）两点．点P是二次函数图象上一点，且点P在第四象限，PC⊥x轴于点C，交直线AB于点D．
（1）求二次函数的关系式，并写出它的顶点坐标；
（2）设点C坐标为（t，0），线段PD的长为s，求出s与t的函数关系式，并写出s的最大值．
14.某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为30m的篱笆围成．已知墙长为18m，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为x（m），其中6≤x＜15，平行于墙的一边的长为y（m），矩形劳动实践基地的面积为S（m2）．
（1）请直接写出y与x，S与x的函数关系式；
（2）当S＝100m2时，求垂直于墙的一边长；
（3）若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过14m，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值．
15.．商店计划销售某种食品，进价为20元/千克，经市场调研发现，该食品每千克的售价必须高于20元，又要低于50元．这种食品日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）若该食品的日销量不低于90千克，当售价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
16．如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线y＝a（x+3）2+5的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米．
（1）写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管OA的长度；
（2）若在喷水池中竖直放置一盏高为1.8米的景观射灯EF，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯EF与池中心的水平距离；
（3）现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管OA要升高多少米？
17．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+4，其中a≠0．
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，其中x1＜x2，求x1+2x2的值．
（3）若a＝1，当t﹣1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值．
18．已知二次函数y＝x2﹣6x+5．
（1）求二次函数的顶点坐标和对称轴；
（2）当1≤t≤6时，函数的最大值和最小值分别是多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
参考答案
一、选择题
1．下列函数中，一定是关于x的二次函数的是（　　）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝﹣x﹣4
C． D．y＝3x2+x﹣2
【解答】解：根据二次函数的定义y＝ax2+bx+c（a≠0且a是常数）逐项分析判断如下：
A、a＝0时不是二次函数，故A不符合题意；
B、y＝﹣x﹣4是一次函数，故B不符合题意；
C、里含有分式，故C不符合题意；
D、y＝3x2+x﹣2是二次函数，故D符合题意；
故选：D．
2．若函数y＝a是二次函数且图象开口向上，则a＝（　　）
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．4或3
【解答】解：∵函数y＝a是二次函数且图象开口向上，
∴a2﹣2a﹣6＝2，且a＞0，
解得 a＝4．
故选：B．
3．抛物线y＝x2与直线y＝x﹣1的交点情况是（　　）
A．有两个交点 B．有且只有一个交点
C．至少有一个交点 D．没有交点
【解答】解：由题意，令x2＝x﹣1，
∴x2﹣x+1＝0．
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1＝﹣3＜0．
∴抛物线y＝x2与直线y＝x﹣1没有交点．
故选：D．
4．关于二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a是常数且a＞0），下列说法正确的是（　　）
A．函数图象开口向下
B．对称轴为直线x＝﹣1
C．函数图象与x轴没有交点
D．在y轴左侧，y的值随x值的增大而减小
【解答】解：∵a＞0，
∴函数图象开口向上，
故A选项不正确，不符合题意；
二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a图象的对称轴为直线x1，
故B选项不正确，不符合题意；
∵Δ＝（﹣2a）2﹣4a×（﹣3a）＝4a2+12a2＝16a2＞0，
∴函数图象与x轴有两个交点，
故C选项不正确，不符合题意；
∵函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴在y轴左侧，y的值随x值的增大而减小，
故D选项正确，符合题意．
故选：D．
5．已知二次函数y＝x2﹣2x，当﹣1≤x≤n时，函数的最大值与最小值的和为2，则n的取值范围是（　　）
A．﹣1≤n≤1 B．﹣1≤n≤3 C．1≤n≤3 D．n≥3
【解答】解：∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y的值随着x的值增大而减小；当x＞1时，y的值随着x的值增大而增大；
①当n＜1时，当﹣1≤x≤n时，y随的x增大而减小，
那么x＝﹣1时取得最大值，x＝n时取得最小值，
最大值为﹣1，最小值为（n﹣1）2﹣1，
则可列出方程：（n﹣1）2﹣1﹣1＝2，
解得n＝3或n＝﹣1，
但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去；
②当1≤n≤3时，
此时 x＝1时取得最小值，x＝﹣1时取得最大值，
最大值为3，最小值为﹣1，
此时最大值与最小值的和为2，
符合题意；
③当n＞3时，
此时x＝1时取得最小值，x＝n时取得最大值，
最小值为﹣1，最大值为（n﹣1）2﹣1，
则可列出方程：（n﹣1）2﹣1﹣1＝2，
解得n＝3或n＝﹣1，
但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去．
∴综上，得到n的取值范围为：1≤n≤3．
故选：C．
6．如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x＝2，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③方程cx2+bx+a的两个根为x1，x2；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，则y1＞y2．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由抛物线的开口可知：a＜0，由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，由抛物线的对称轴可知：，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x＝2，
则另一个交点（﹣2，0），
∴x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，故②错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（6，0）和（﹣2，0），
∴ax2+bx+c＝0的两根为6和﹣2，
∴，，则b＝﹣4a，c＝﹣12a，
∴方程cx2+bx+a＝0转化为﹣12ax2﹣4ax+a＝0，
整理得，12x2+4x﹣1＝0，
∴（2x+1）（6x﹣1）＝0，
解得，，故③错误；
∵x1＜2＜x2，
∴P、Q两点分布在对称轴的两侧，
∵（x2﹣2）﹣（2﹣x1）＝x2﹣2﹣2+x1＝（x1+x2）﹣4＞0，
即x1到对称轴的距离小于x2到对称轴的距离，
∴y1＞y2，故④正确．
综上，正确的有④．
故选：A．
二、填空题
7．已知抛物线y＝x2+2x﹣3，经过（﹣2，y1）和（2，y2）两点，则y1　＜　 y2（填“＞”“＜”或“＝”）．
【解答】解：由条件可知抛物线对称轴为直线x＝﹣1，且开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵2﹣（﹣1）＝3＞﹣1﹣（﹣2）＝1，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
8．若y＝（m+2）（m﹣2）x+m是关于x的二次函数，则m的值为 　2　 ．
【解答】解：由题意得：m+2≠0且m2﹣2＝2，
解得：m＝2，
故答案为：2．
9．二次函数的顶点为P，则点P到直线y＝10的距离的最小值为　　 ．
【解答】解：∵次函数，
∴该函数顶点的纵坐标为：，
∴点P到直线y＝10的距离为：10（a﹣1）2，
∴当a＝1时，点P到直线y＝10的距离取得最小值，
10．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x+1）（x﹣2）+5向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点A，B，则AB的长为　3　 ．
【解答】解：将抛物线y＝（x+1）（x﹣2）+5向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣2），
令（x+1）（x﹣2）＝0，
得x1＝﹣1，x2＝2，
∴A（﹣1，0），B（2，0），
∴AB的长为2﹣（﹣1）＝3．
故答案为：3．
11．若关于x函数y＝ax2﹣（a﹣3）x+1的图象与x轴有唯一公共点，则a＝　a＝0或a＝1或a＝9　 ．
【解答】解：若a＝0，函数解析式变形为y＝3x+1，与x轴只有一个公共点，符合题意；
若a≠0，由抛物线与x轴只有一个公共点，得到△＝（a﹣3）2﹣4a＝0，
解得：a＝1或9，
故答案为：a＝0或a＝1或a＝9．
三、解答题
12.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 10 m 2 1 2 5 …
（1）直接写出m的值 　5　 ；
（2）求出函数表达式；
（3）直接写出关于x的不等式ax2+bx+c＞x﹣1的解集：　x＜2或x＞3　 ．
【解答】解：（1）∵抛物线过点（1，2），（3，2），
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴当x＝4和x＝0时，函数值相等，
而x＝4时，y＝5，
∴m＝5；
故答案为：5；
（2）∵抛物线的顶点坐标为（2，1），
∴抛物线解析式可设为y＝a（x﹣2）2+1，
把（0，5）代入得5＝a×4+1，
解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+1；
（3）∵抛物线y＝ax2+bx+c和直线y＝x﹣1的交点坐标为（2，1），（3，2），
∴当x＜2或x＞3时，ax2+bx+c＞x﹣1，
即关于x的不等式ax2+bx+c＞x﹣1的解集为x＜2或x＞3．
故答案为：x＜2或x＞3．
13.．如图，二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0，c为常数）的图象与一次函数的图象相交于A（0，﹣3），B（3，0）两点．点P是二次函数图象上一点，且点P在第四象限，PC⊥x轴于点C，交直线AB于点D．
（1）求二次函数的关系式，并写出它的顶点坐标；
（2）设点C坐标为（t，0），线段PD的长为s，求出s与t的函数关系式，并写出s的最大值．
【解答】解：（1）将点A（0，﹣3），B（3，0）代入y＝ax2﹣2x+c得：
．
解得．
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∴顶点为（1，﹣4）．
（2）设直线AB为y＝kx+b（k≠0），
将点A（0，﹣3），B（3，0）代入直线AB为y＝kx+b（k≠0），
得．
解得，
∴y＝x﹣3．
∵C（t，0），PC⊥x轴，交直线AB于点D，
∴点P（t，t2﹣2t﹣3），点D的坐标为（t，t﹣3）．
∴s＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）
＝﹣t2+3t
．
∵﹣1＜0，且0＜t＜3，
∴当时，s有最大值，最大值为．
14.某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为30m的篱笆围成．已知墙长为18m，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为x（m），其中6≤x＜15，平行于墙的一边的长为y（m），矩形劳动实践基地的面积为S（m2）．
（1）请直接写出y与x，S与x的函数关系式；
（2）当S＝100m2时，求垂直于墙的一边长；
（3）若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过14m，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值．
【解答】解：（1）由题意可知，2x+y＝30，
∴y＝30﹣2x，
y与x的函数关系式为y＝30﹣2x；
S＝xy＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，
∴S与x的函数关系式为S＝﹣2x2+30x；
（2）∵S＝100，
∴100＝﹣2x2+30x，
解得x1＝10，x2＝5，
∵6≤x＜15，
∴x＝10，
∴当S＝100m2时，垂直于墙的一边长为10m；
（3）由题可得﹣2x+30≤14，
解得x≥8，
∵6≤x＜15，
∴8≤x＜15，
S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5
∵﹣2＜0，开口向下，对称轴为直线x＝7.5，
∴当x＝8时，S有最大值，S＝112m2．
所以当垂直于墙的一边长为8m时，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为112m2．
15.．商店计划销售某种食品，进价为20元/千克，经市场调研发现，该食品每千克的售价必须高于20元，又要低于50元．这种食品日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）若该食品的日销量不低于90千克，当售价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
【解答】】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，
把（30，100），（40，80）代入得：，
解得，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x+160；
（2）∵﹣2x+160≥90，
解得x≤35，
∵20＜x＜50，
∴20＜x≤35，
设每天获利W元，
W＝（x﹣20）（﹣2x+160）
＝﹣2x2+200x﹣3200
＝﹣2（x﹣50）2+1800，
∵a＝﹣2＜0，
∴开口向下，
∵对称轴为x＝50，
∴在x≤50时，W随x的增大而增大，
∴x＝35时，W最大值＝15×90＝1350（元），
答：售价为35元时，每天获利最大为1350元．
16．如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线y＝a（x+3）2+5的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米．
（1）写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管OA的长度；
（2）若在喷水池中竖直放置一盏高为1.8米的景观射灯EF，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯EF与池中心的水平距离；
（3）现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管OA要升高多少米？
【解答】解：（1）由题意，∵y＝a（x+3）2+5，
∴其顶点为（﹣3，5）．
∴水柱离水面（x轴）的最大高度为5米．
又∵落水点B到池中心O的距离为8米，
∴当x＝﹣8时，y＝a（﹣8+3）2+5＝0．
∴a＝﹣0.2．
∴抛物线y＝﹣0.2（x+3）2+5．
∴令x＝0，则y＝3.2．
∴水管OA的长度为3.2米．
（2）由题意，当y＝1.8时，1.8＝﹣0.2（x+3）2+5，
∴0.2（x+3）2＝5﹣1.8．
∴（x+3）2＝16．
∴x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣7．
∴景观射灯EF与池中心的水平距离为7米．
（3）由题意，设升高水管后，水柱所在的抛物线的解析式为y＝﹣0.2（x+3）2+h．
∵经过点（﹣10，0），
∴﹣0.2×49+h＝0．
解得：h＝9.8．
∴y＝﹣0.2（x+3）2+9.8．
∴当x＝0时，y＝8．
∴8﹣3.2＝4.8（米）．
答：水管OA要升高4.8米．
17．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+4，其中a≠0．
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，其中x1＜x2，求x1+2x2的值．
（3）若a＝1，当t﹣1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值．
【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝ax2﹣2ax+4，
∴对称轴是直线x1．
（2）由题意得，y＝ax2﹣2ax+4＝a（x2﹣2x）+4，
∵无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，
∴令x2﹣2x＝0，即x＝0或x＝2，则y＝4．
又∵x1＜x2，
∴x1＝0，x2＝2．
∴x1+2x2＝0+2×2＝4．
（3）由题意得，当a＝1时，y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3．
∴当x＝1时，y取最小值为3；当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大；抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
①当t≤1时，当x＝t﹣1时，y取最大值，y＝t2﹣4t+7；当x＝t时，y取最小值，y＝t2﹣2t+4，
∴t2﹣4t+7﹣（t2﹣2t+4）＝2．
∴t．
②当t﹣1＜1＜t时，即1＜t＜2．
∴当x＝1时，y取最小值为3．
又当x＝t﹣1时，y取最大值，y＝t2﹣4t+7或当x＝t时，y取最大值，y＝t2﹣2t+4，
∴t2﹣4t+7﹣3＝2或t2﹣2t+4﹣3＝2．
∴t＝2±（不合题意，舍去）或t＝1（不合题意，舍去）．
③当t﹣1≥1时，即t≥2时，当x＝t﹣1时，y取最小值，y＝t2﹣4t+7；当x＝t时，y取最大值，y＝t2﹣2t+4，
∴t2﹣2t+4﹣（t2﹣4t+7）＝2．
∴t．
综上，t或t．
18．已知二次函数y＝x2﹣6x+5．
（1）求二次函数的顶点坐标和对称轴；
（2）当1≤t≤6时，函数的最大值和最小值分别是多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，﹣4）；
（2）∵顶点坐标为（3，﹣4），
∴当x＝3时，y最小值＝﹣4，
∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而减小，
∴当x＝1时，y最大值＝0，
∵当3＜x≤6时，y随着x的增大而增大，
∴当x＝6时，y最大值＝5．
∴当1≤x≤6时，函数的最大值为5，最小值为﹣4；
（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而减小，
当x＝t+3时，n＝（t+3）2﹣6（t+3）+5＝t2﹣4，
当x＝t时，m＝t2﹣6t+5，
∴m﹣n＝（t2﹣6t+5）﹣（t2﹣4）＝﹣6t+9，
∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合题意，舍去），
②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴n＝﹣4，
i）当0≤t时，在x＝t时，m＝t2﹣6t+5，
∴m﹣n＝（t2﹣6t+5）+4＝t2﹣6t+9，
∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3，t2＝3（不合题意，舍去）；
ii）当t＜3时，在x＝t+3时，m＝t2﹣4，
∴m﹣n＝（t2﹣4）+4＝t2，
∴t2＝3，解得t1，t2（不合题意，舍去），
③当t≥3时，y随着x的增大而增大，
当x＝t时，n＝t2﹣6t+5，
当x＝t+3时，m＝（t+3）2﹣6（t+3）+5＝t2﹣4，
∴m﹣n＝t2﹣6t+5﹣（t2﹣4）＝﹣6t+9，
∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合题意，舍去），
综上所述，t＝3或．
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