浙教版八上1.7角平分线的性质 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
第1章 三角形的初步认识
1.7角平分线的性质
（浙教版）八年级
上
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
能用尺规作图作已知角的平分线，并知道其作图的理论依据。
探索并证明角平分线的性质，并能运用角平分线的性质解决相关问题，进一步提升推理能力。
02
新知导入
复习回忆：角的平分线的概念
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线.
O
B
C
A
1
2
03
新知讲解
探究
工人师傅用角尺来平分一个角。 如图，∠AOB 是任意角，在 OA，OB 上分别取 OM＝ON。移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC就是∠AOB的平分线。
想一想，这种方法的依据是什么？由此你能想到怎样作一个角的平分线？
在△OCM和△OCN中，
因为OC=OC，CM=CN.OM=ON，
所以△OCM≌△OPN （SSS），
所以∠NOC=∠MOC.
03
新知讲解
已知∠BAC（如图），用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD。
例1
分析：如果能找到∠BAC 的平分线上一点 D，那么射线 AD 就是∠BAC 的平分线。由于角平分线把角分成两个相等的角，因此可以想象通过作两个全等三角形来作出点D。
03
新知讲解
已知∠BAC（如图），用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD。
例1
作法：如图。
1.以点A为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E，F两点。
2.分别以 E，F 为圆心，大于 EF 长为半径作弧，两条弧交于∠BAC 内一点D。
3.作射线AD。
射线AD就是所求作的∠BAC的平分线。
03
新知讲解
已知∠BAC（如图），用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD。
例1
事实上，如图，连结DE，DF。
由作法可得△ADF≌△ADE，
所以∠1＝∠2（全等三角形的对应角相等），
即AD平分∠BAC。
03
新知讲解
做一做
任意作一个角，记为∠BAC，P 是∠BAC 的平分线上的一点，PB⊥AB 于点 B，PC⊥AC 于点 C。
比较PB和PC的大小，并证明你的结论。
证明：因为PB⊥AB，PC⊥AC(已知），
所以∠ABP=∠ACP=Rt∠(垂线的定义）.
∠PAB＝∠PAC,
∠ABP＝∠ACP ，
AP＝AP(公共边)
∴△APB≌△APC(AAS).
∴PB=PC.
因为
在△APB和△APC中，
03
新知探究
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等。
如图，∵OC 是∠AOB 的平分线，
P 是 OC 上一点，
PD⊥OA 于点 D，
PE⊥OB 于点 E，
∴PD = PE.
C
A
B
O
D
E
P
几何语言：
03
新知探究
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等。
C
A
B
O
D
E
P
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
应用所具备的条件：
03
新知讲解
已知：如图，AB∥CD，PB，PC 分别平分∠ABC，∠DCB，AD过点P，且与AB垂直。求证：PA=PD。
例2
分析：由 AB∥CD，AD⊥AB，可得 AD⊥CD，则 PA，PD 的长分别是点P 到 AB，CD 的距离。根据角平分线的性质定理可知，它们与点 P 到 BC 的距离相等。因此，可先作出点P到BC的垂线段。
03
新知讲解
已知：如图，AB∥CD，PB，PC 分别平分∠ABC，∠DCB，AD过点P，且与AB垂直。求证：PA=PD。
例2
证明：如图，作PE⊥BC于点E。
因为AB∥CD（已知），
所以∠BAD+∠CDA=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
由AD⊥AB（已知），
知∠BAD=90°（垂直的定义），
所以∠CDA=180°-∠BAD=180°-90°=90°，
即AD⊥CD（垂直的定义）。
03
新知讲解
已知：如图，AB∥CD，PB，PC 分别平分∠ABC，∠DCB，AD过点P，且与AB垂直。求证：PA=PD。
例2
因为PB平分∠ABC（已知），PA⊥AB，PE⊥BC，
所以PA=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，PD=PE。
所以PA=PE=PD。
04
课堂练习
基础题
1．如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D.下列结论错误的是(　　)
A．PC＝PD B．∠CPO＝∠DOP
C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
B
2. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连结BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C. 若P是边BC上一动点，则DP长的最小值为（　B　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
B
04
课堂练习
基础题
A. AAS B. ASA C. SSS D. SAS
3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E.
（1） 若BC＝8，BD＝5，则DE＝ 　3　；
（2） 若BC＝20，BD∶CD＝3∶2，则点D到AB的距离是 　8　.
3　
8　
04
课堂练习
基础题
4. 如图，铁路OA和铁路OB交于点O处，河岸AB与两条铁路分别交于点A处和点B处，试在河岸AB上建一座水厂M，要求水厂M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置（不写作法，保留画图痕迹）？
解： 如图，点M即为所求作
04
课堂练习
提升题
1. 如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E. 若△ABC的面积是15cm2，AB＝9cm，BC＝6cm，则DE的长为（　B　）
A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm
B
2. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.若AD＝8，则点P到BC的距离是 　4　.
4　
04
课堂练习
拓展题
1. 在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B，C重合），连结AD.
（1） 如图①，当D是BC边的中点时，S△ABD∶S△ACD＝ 　1∶1　.
1∶1　
（2） 如图②，当AD平分∠BAC时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD∶S△ACD的值（用含m，n的式子表示）.
解：（2） 如图②，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
因为AD平分∠BAC，所以DE＝DF. 因为AB＝m，AC＝n，
所以S△ABD∶S△ACD＝ ∶ ＝m∶n
05
课堂小结
1.作已知角的平分线：
2.角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等。
06
板书设计
1.7角平分线的性质
1.作已知角的平分线：
2.角平分线的性质定理：
Thanks!
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