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第一章：二次函数培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象先向右移动2个单位，向下平移3个单位，得到的图象对应的表达式是（ ）
A．y＝（x+2）2+4 B．y＝（x﹣3）2﹣1 C．y＝（x﹣3）2+5 D．y＝（x+1）2+5
2．某超市以每件10元的价格购进一种文具．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）（15≤x≤26）之间满足y＝﹣2x+60，则销售这种文具每天可得（ ）
A．最大利润150元 B．最大利润128元 C．最小利润150元 D．最小利润128元
3.已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
5.已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（ ）
A．小球的飞行高度不能达到15m B．小球的飞行高度可以达到25m
C．小球从飞出到落地要用时4s D．小球飞出1s时的飞行高度为10m
7．新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.如图，四边形ABCD是边长为2 cm的正方形，E，F分别为边AD，CD的中点，点O为正方形ABCD的中心，连结OE，OF，点P从点E出发，沿E→O→F运动，同时点Q从点B出发，沿BC边运动，两点运动的速度均为1 cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，连结BP，PQ.设运动时间为t s，△BPQ的面积为S cm2，下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是( )
9.如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10.如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，且，当时，则的取值范围为．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11．抛物线y＝x2﹣4x+5，当﹣3≤x≤4时，y的取值范围是
12．如图，小明想用长16米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是 平方米．
13.已知二次函数（a，b为常数）．命题①：该函数的图像经过点(1，0)；命题②：该函数的图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图像的对称轴为直线．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是__________
14．已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣2；当x≤0时，函数的最小值为﹣1，则bc的值为
15.如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；
②；③；④关于x的方程一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填写序号）
16.已知二次函数的与的部分对应值如下表：
下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为______
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.（本题6分）如图，已知二次函数图象经过点和．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
18．（本题6分）已知P（﹣5，m）和Q（3，m）是二次函数y＝2x2+bx+1图象上的两点．
（1）求b的值；（2）将二次函数y＝2x2+bx+1的图象进行一次平移，使图象经过原点．（写出一种）
19.（本题8分）已知二次函数，为常数．
(1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围；
(2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值；(3)求证：该二次函数的图像不经过原点．
20.（本题8分）在二次函数中，(1)若它的图象过点，则t的值为多少？
(2)当时，y的最小值为，求出t的值：(3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．
21.（本题10分）已知点和在二次函数是常数，的图像上．
(1)当时，求和的值；
(2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围；
(3)求证：．
22.（本题10分）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为．
(1)求b与c的值．
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
23.（本题12分）已知抛物线经过点．
(1)求该抛物线的对称轴；(2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）．①若，且，比较与的大小；②当时，若是一个与无关的定值，求与的值．
24.（本题12分）已知抛物线（a为常数）经过点．
(1)求a的值．
(2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值．
(3)设抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值．
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第一章：二次函数培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：B
解析：抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），
向右平移2个单位，再向下平移3个单位后的图象的顶点坐标为（3，﹣1），
所以，所得图象的解析式为y＝（x﹣3）2﹣1.
故选择：B.
2.答案：D
解析：设利润为w元，
由题意得：w＝y（x﹣10）＝﹣2（x﹣30）（x﹣10），
则抛物线的对称轴为直线x＝（30+10）＝20，
当15≤x≤26时，
抛物线的对称性x＝20时，取得最大值为200，
当x＝26时，w取得最小值为128，
即销售这种文具每天可得最小利润128元，
故选择：D．
3.答案：C
解析：∵二次函数解析式为，
∴二次函数的图象开口向下，对称轴为，
∴离对称轴越近，函数值越大，
点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为．
∵，
∴，
故选择：C．
4.答案：C
解析：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0
∴k＞﹣1
∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数
∴k≠0
则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．
故选择：C．
5.答案：A
解析：∵，
∴当时，，
∴抛物线过点，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴，
∵，，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离，
∴；
故选择：A．
6.答案：C
解析：A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2，
解得：t1＝1，t2＝3，
故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；
B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，
故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；
C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2，
解得：t1＝0，t2＝4，
∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；
D、当t＝1时，h＝15，
故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；
故选择：C．
7.答案：D
解析：由题意可知，
当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，
∴当0≤m≤3时，-2≤n′≤2，
当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，
∴当-1≤m＜0时，-2＜n′≤3，
综上，当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3，
故选择：D．
8.答案：D
解析：当0＜t≤1时，∵正方形ABCD的边长为2 cm，点E为AD的中点，点O为正方形ABCD的中心，EP＝t cm，
∴易得点P到直线BC的距离为(2－t)cm.
又∵BQ＝t cm，
∴S＝(2－t)·t＝－t2＋t.其图象是一段开口向下的抛物线．
当1∴点P到直线BC的距离为1 cm.
又∵BQ＝t cm，∴S＝t.其图象是一条线段．
观察四个选项，选项D符合题意．
故选择：D
9.答案：B
解析：∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴在轴的右侧，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确，
∵二次函数的图象过，
∴，
∵二次函数的图象与轴交于两点，，且．
∴对称轴，即，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴
，
∴，故③错误；
④如图，
关于的一元二次方程的两个根，即函数与的交点的横坐标，
∵，
∴若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；故④正确；
⑤∵二次函数的图象与轴交于两点，，
∴
，
∴，，
∴，，
∴可化为，
即，
∵，
∴，
解得：或，
∴关于的不等式的解集为或不是故⑤错误
故正确的有①②④，共3个，
故选择：B
10.答案：C
解析：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则
∴，
又∵抛物线与轴交点坐标是，即，
∵，即，
∴，故①正确；
∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，
∴另一个交点坐标为，
∴当时，，故②错误；
∵，在抛物线的图象上，
∴，
又∵，
∴，
∴即，
∵，即，
∴，
∴即，
当时，取得最大值，最大值为，
∴，
∴，故③正确；
∵，，，
即，
∵
对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小，
又∵，
∴，
∴当时，，
∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确；
∵若点在抛物线上，且，
∴，，
∵存在，
∴，，
即，，，
解得：，故⑤正确；
故正确的有①③④⑤，共4个．
故选择：C．
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：1≤y≤26
解析：∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，函数有最小值1，
当x＝﹣3时，y＝26，当x＝4时，y＝5，
∴当﹣3≤x≤4时，y的取值范围是1≤y≤26；
故答案为：1≤y≤26．
12.答案：32
解析：设AB＝x米，则BC＝（16﹣2x）米，
矩形ABCD的面积：S＝x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32
即矩形ABCD的最大面积为32平方米
故答案为：32．
13.答案：①
解析：假设抛物线的对称轴为直线
则
解得a= -2，
∵函数的图像经过点(3，0),
∴3a+b+9=0，
解得b=-3，
故抛物线的解析式为
令y=0，得
解得
故抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），
函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；
故命题②，③，④都是正确，命题①错误，
故答案为：①
14.答案：2
解析：∵二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣2；当x≤0时，函数的最小值为﹣1，．
∴二次函数的对称轴位于y轴的右侧，抛物线开口向上，如图．
∴，则b＜0，
∵当x≤0时，函数的最小值为﹣1，
∴当x＝0时，y＝c＝﹣1，
∵x＞0时，函数的最小值为﹣2，
∴时，函数值为﹣2，
即．
解得：b＝﹣2（因b＜0，故另一解b＝2不合题意，舍去），
∴bc＝（﹣2）×（﹣1）＝2．
故答案为：2．
15.答案：①②③
解析：∵抛物线轴交于点，对称轴为直线，
∴与轴的另一个交点为，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，∴，
∵当时，，∴，所以①正确；
∵抛物线与y轴的交点B在和之间，
，
所以②正确；
由题意可得，方程的两个根为即，
，故③正确，
当时，
方程没有实数根或有两个相等的实数根，所以④不正确，
综上所述，正确的结论有3个：①②③，故答案为：①②③．
16.答案：
解析：把，，代入得，
，
解得，
∴，故正确；
∵，，，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的顶点坐标为，
又∵，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值，
∵与时函数值相等，等于，
∴当时， 的取值范围为，故错误；
∵，
∴点，关于对称轴对称，
∴，故正确；
由得，
即，
画函数和图象如下：
由，解得，，
∴，，
由图形可得，当或时，，即，故错误；
综上，正确的结论为，
故答案为：．
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解：∵二次函数图象经过点和
∴解得：
∴抛物线为
∴顶点坐标为：
（2）当时，
∴
解得：
如图，当时，
∴
18.解析：（1）∵P（﹣5，m）和Q（3，m）是二次函数y＝2x2+bx+1图象上的两点，
∴此抛物线对称轴是直线x＝﹣1．
∵二次函数的关系式为y＝2x2+bx+1，
∴有．
∴b＝4．
（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝2x2+4x+1，向下平移1个单位长度。
19.解析：（1）因为二次函数中，，
所以二次函数的图像开口向上，
因为二次函数的图像与直线有两个交点，
所以函数的最小值小于，
则，
即，
解得．
（2）解：因为二次函数的图像与轴有交点，
所以，
所以，
又因为，
所以，
解得．
（3）证明：当时，，
所以二次函数的图像不经过原点．
20.解析：（1）将代入中，
得
解得，
（2）抛物线对称轴为
若当时，函数值最小，
，
解得
，
若，当时，函数值最小，
，
解得（不合题意，舍去）
综上所述
（3）关于对称轴对称
且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧
抛物线与y轴交点为抛物线对称轴为直线
此交点关于对称轴的对称点为
且
，解得．
当A，B都在对称轴左边时，
，
解得，
当A，B分别在对称轴两侧时
到对称轴的距离大于A到对称轴的距离
，
解得
综上所述或
21.解析：（1）当时，图像过点和
∴解得
∴
∴
（2）解：∵函数图像过点和
∴函数图像的对称轴为直线．
∵图像过点
∴根据图像的对称性得
∵
∴
（3）解：∵图像过点和
∴根据图像的对称性得
∴顶点坐标为
将点和分别代人表达式可得
①②得
∴
．
．
．
．
22.解析：（1）∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，；
（2）解：存在，理由如下：
对于抛物线，
当，，
解得：，
当，
∴，，
∵，
∴，
过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，
∴，
∴，
过点作平行线与抛物线交点即为点，
∵，，
∴，
设直线，
则，
∴，
∴直线，
∵∥，
∴设直线，
代入得：，
解得：，
∴直线，
与抛物线解析联立得：，
整理得：
解得： 或，
∴点P的横坐标为或．
23.解析：（1）由题意得，将点代入得，
，即，
所以，
故所求抛物线的对称轴是直线．
（2）解：①由（1）可知，抛物线的解析式为．
又，
故．
因为抛物线过原点，且点A与原点不重合，所以．
于是，
故．
②由题意知，，．
∵，
∴．
因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以，．
故，即．
于是．
依题意知，是与无关的定值．
则，解得．
经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意．
所以，．
24.解析：（1）把代入，得：，
解得：；
（2）由（1）知：，
∴对称轴为直线，
∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，
∴关于对称轴对称，的纵坐标均为，
又∵点B为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴代入，得：，
∴；
（3）∵，
∴抛物线的顶点坐标，
当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间时，
为直线与抛物线的交点，
∴要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，
又∵直线之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如图：
∴当时，解得：，
即：，
∴的最大值为：．
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