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第一章：二次函数能力提升测试题答案
一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案： B
解析：抛物线的顶点坐标为（1，2），
向右平移2个单位，再向下平移3个单位后的图象的顶点坐标为（3，﹣1），
所以，所得图象的解析式为
故选择：B.
2.答案：B
解析：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n），且在第四象限，
∴m＞0，n＜0，
则一次函数y=mx+n经过第一、三、四象限．
故答案为 ：B．
3.答案：D
解析：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴二次函数的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），
故A，C错误，不符合题意；
∵﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵顶点坐标为（1，﹣2），
∴图象与x轴没有交点，
故D正确，符合题意；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
故B错误，不符合题意．
故选择：D．
4.答案：C
解析：A选项，a＝1＞0，开口向上，故该选项不符合题意；
B选项，图象的对称轴为x＝2，故该选项不符合题意；
C选项，当x＝0时，y=5，图象与y轴交于点（0，5）故该选项符合题意；D选项，图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，故该选项不符合题意；
故选择：C．
5.答案：D
解析：设利润为w元，
由题意得：w＝y（x﹣10）＝﹣2（x﹣30）（x﹣10），
则抛物线的对称轴为直线x＝（30+10）＝20，
当15≤x≤26时，
抛物线的对称性x＝20时，取得最大值为200，
当x＝26时，w取得最小值为128，
即销售这种文具每天可得最小利润128元，
故选择：D．
6.答案：C
解析：二次函数y=x2+2x+3=（x+2）2+1，对称轴为直线x=-2．
A、a=＞0，开口向上，本选项不符合题意；B、当时，y随x的增大而减小，本选项不符合题意；C、该函数的最小值为1，大于零，本选项符合题意；
D、该函数图象与y轴的交点为（0，3），位于y轴的正半轴，本选项不符合题意；
故选择：C．
7.答案：B
解析：如图，把y=3.05代入函数，
解得：x＝1.5或x＝﹣1.5（舍），
则L＝3+1.5＝4.5m.
故选择：B.
8.答案：C
解析：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴，
∴a、b同号，而a＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，
因此①正确；
由于抛物线过点（1，0）点，
∴a+b+c＝0，
又∵对称轴为x＝﹣1，即，
∴b＝2a，
∴a+2a+c＝0，
即3a+c＝0，
而a＞0，
∴2a+c＜0，
因此②正确；
由图象可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），而对称轴为x＝﹣1，由对称性可知，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
因此③正确；
由二次函数的最小值可知，
当x＝﹣1时，y最小值＝a﹣b+c，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
即am2+bm﹣a+b≥0，
因此④不正确；
综上所述，正确的结论有①②③，共3个，
故选择：C．
9.答案：D
解析：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，
∴，
∴2a﹣b＝0，故①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在1和2之间，
∴另一个交点在﹣4和﹣3之间，
∴方程ax2+bx+c＝0一定有一根在﹣3和﹣4之间，故②正确；
∵抛物线与y轴的交点纵坐标是2，
∴抛物线与直线y＝1一定有两个交点，
∴方程ax2+bx+c﹣1＝0一定有两个不等实根，故③正确；
∵抛物线开口向下，与y轴的交点纵坐标是2，与x轴的一个交点在1和2之间，
∴当x＝1时，y＞0，
∴a+b+2＞0，
∴a+b＞﹣2，故④正确．
故选择：D．
10.答案：B
解析：∵y＝x2﹣mx+1＝（x﹣m）2+（﹣m2+1），
∴图象f的对称轴为直线x＝m，
当m≤2时，抛物线开口向上，
∴当x＝m时，y有最小值，y最小＝﹣m2+1＝0，
解得m＝，
当m＞2时，抛物线开口向上，在﹣4≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴x＝2时，y有最小值，y最小＝（2﹣m）2+（﹣m2+1）＝0，
解得m＝（不合题意，舍去），
综上，m＝．
故选择：B．
二．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝﹣3x2相同，
则a＝﹣3，
则抛物线的表达式为：y＝﹣3（x+2）2+1，
故答案为：y＝﹣3（x+2）2+1．
12.答案：>
解析：∵二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2+1，
∴该抛物线开口向上，且对称轴为直线：x＝1.
＜ y随x的增大而减小，
∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象上，且0＞x2＞x1，
∴y1＞y2.
故答案为：＞.
13.答案：35
解析：设该文具定价为x元，每天的利润为y元，
根据题意得：y＝（x-20）[250-10（x-25）]
＝（x-20）（-10x+500）
＝-10x2+700x-10000
＝-10（x-35）2+2250，
∵-10＜0，
∴当x＝35时，y最大，最大值为2250.
故答案为：35.
14.答案：
解析：∵函数y＝x2＋3x＋c的对称轴为，且开口向上，
∴距离对称轴越远，函数值越大，
∵A（﹣1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），距离对称轴的距离依次为：
∴
故答案为：.
15.答案：
解析：∵关于x的方程的两根满足，
∴，
∴，
∵
∴
∵二次函数
∴对称轴为直线，顶点为，图象开口向上，
∴当时y随x的增大而减小，
∵在对称轴的左侧，，
∴当时，点距对称轴最近，顶点最高，此时顶点纵坐标取得最大值，
∴,
∴，
∴顶点纵坐标的最大值是．
故答案为：．
16.答案：（1）2或﹣2； （2）b＞2或﹣3＜b＜﹣2．
解析：（1）把点（b﹣2，c）代入，得c＝（b﹣2）2﹣b（b﹣2）+c，
∴b＝±2，
故答案为：2或﹣2；
（2）二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，
∵点（b﹣2，y1），（2b，y2），（2b+6，y3）都在该函数图象上，且y1＜y2＜y3，
∴|b﹣2﹣b|＜|2b﹣b|＜|2b+6﹣b|，即2＜|b|＜|b+6|，
当b＞0时，b＞2，
当﹣6＜b＜0时，﹣3＜b＜﹣2，
当b＜﹣6时，不合题意，
∴b＞2或﹣3＜b＜﹣2．
故答案为：b＞2或﹣3＜b＜﹣2．
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）将（﹣1，0）、（3，0）代入y＝x2+bx+c
得，
∴，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣4），
∴x＝1时，y最小值为﹣4，
∵1﹣（﹣2）＞2﹣1，
∴x＝﹣2时，y＝4+4﹣3＝5为最大值，
∴当﹣2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为5﹣（﹣4）＝9．
18.解析：（1）由题意得：A（ 1，0），B（0，a），
∴OA＝1，OB＝ a，
∵，
∴
解得：a＝ 1，
∴抛物线的解析式为y＝ （x＋1）2；
（2）∵A（ 1，0），B（0， 1），
∴直线AB为y＝ x 1，
过C作CD⊥x轴，交直线AB于点D，
设C（x， （x＋1）2），则D（x， x 1），
∴CD＝ （x＋1）2＋x＋1，
∵S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝[ （x＋1）2＋x＋1]×1，
∴
∵
∴△ABC面积的最大值是
19.解析：（1）抛物线的对称轴为直线
（2）解：∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a＝﹣[x2﹣（a﹣1）x﹣a]＝﹣（x+1）（x﹣a），
∴该抛物线一定经过定点（﹣1，0）
（3）解：∵二次函数图象顶点在y轴右侧，
∴
∴a＞1，
设二次函数图象与x轴交点分别为C，D，C在D左侧，
令y＝0，则﹣（x+1）（x﹣a）＝0，
∴x＝﹣1或a，
∴C（﹣1，0），D（a，0），
∴CD＝a+1，
∵点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，
∴A在CD上方，
∵过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，如图，
∴CD≤3，
∴a+1≤3，
∴a≤2，
∴1＜a≤2.
20.解析：（1）∵矩形ABCD，
∴CD=AB，AD=BC，∠D=∠C=∠B=∠A=90°，
∵AE＝AH＝CG＝CF，
∴DG=BE，DH=BC
∴△AEH≌△CFG，△EBF≌△HDG，
∴S＝S矩形ABCD-2S△AEH-2S△EFB＝2×4-2×x2-2× （4-x）（2-x）＝-2x2+6x（0＜x＜2）．
（2）解：S＝-2x2+6x＝-2（x- ）2+ ．
所以当x＝ 时，S的值最大，最大值为 ．
21.解析：（1）∵每个书包涨价x元，
∴y＝（40﹣30+x）（600﹣10x）＝﹣10x2+500x+6000，
答：y与x的函数关系式为：y＝﹣10x2+500x+6000；
（2）∵y＝﹣10x2+500x+6000
＝﹣10（x2﹣50x）+6000，
＝﹣10（x2﹣50x+252）+6250+6000
＝﹣10（x﹣25）2+12250，
∴当x＝25时，y 有最大值12250，
即当书包售价为65元时，月最大利润为12250元，10000元不是月最大利润；
（3）解方程﹣10x2+500x+6000＝0
得，x1＝60，x2＝﹣10，
即当涨价60元时和降价10元时利润y 的值为0，
由该二次函数的图象性质可知，
当涨价大于60元时以及降价超过10元时利润y 的值为负，
所以书包售价在大于30元且低于100元时商场就有利润．
22.解析：（1）①由题意，∵二次函数y＝x2﹣2ax﹣3的图象经过点（2，﹣3），
∴4﹣4a﹣3＝﹣3．
∴a＝1．
②由①得，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
又a＝1＞0，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
（2）证明：由题意，∵点A（m，0），B（n，0），
∴抛物线的对称轴是直线．
∴抛物线为y＝x2﹣（m+n）x﹣3．
又C（m+1，p），D（n+1，q），
∴p＝（m+1）2﹣（m+n）（m+1）﹣3＝m﹣n﹣mn﹣2，q＝（n+1）2﹣（m+n）（n+1）﹣3
＝n﹣m﹣mn﹣2．
∴p+q＝﹣2mn﹣4．
又点A（m，0）在抛物线上，
∴m2﹣（m+n）m﹣3＝0．
∴mn＝﹣3．
∴p+q＝﹣2×（﹣3）﹣4＝2．
23.（1）解析：∵点B的坐标为，点A在点B左侧，
∴点A的坐标为，将代入．
，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：在抛物线上存在点P，使得△BPE是以BE为直角边的直角三角形．
理由如下：由得抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线的对称轴与经过点B的直线交于点E，
∴当时，，
∴点E的坐标为，则DE=BD=2，
∴.
当时，则，过点P作于点Q，如图．
则是等腰直角三角形，∴PQ=BQ，
设点P的坐标为，
∴，解得：（舍），
当时，，点P的坐标为；
设直线BP的函数表达式为，
将点代入，
得，解得，
∴直线BP的函数表达式为．
将直线BP平移至经过点E，此时直线与抛物线的交点分别为，
则，可设直线的函数表达式为，
将代入，得，解得，
∴直线的函数表达式为．
∴，解得：．
∴点P的坐标为．
综上可得，在抛物线上存在点P，使得△BPE是以BE为直角边的直角三角形，
点P的坐标为．
24.解析：（1）证明：抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+4中，
令y＝0，则抛物线转化成二次方程﹣x2+2mx﹣m2+4＝0，
∵a＝﹣1，b＝2m，c＝4﹣m2，
Δ＝b2﹣4ac＝4m2﹣4×（﹣1）×（4﹣m2）＝4m2+16﹣4m2＝16＞0，
∴该二次函数图象与x轴一定有2个交点；
（2）∵m＝2，
∴y＝﹣x2+4x，
令y＝0，则﹣x2+4x＝0，即x1＝0，x2＝4，
∴抛物线图象与x轴的交点为（0，0）和（4，0），
∵点M（n，y1），N（n+2，y2）都在该二次函数的图象上，且y1y2＜0，
∴①，即﹣2＜n＜0，②，即2＜n＜4，
综上所述，﹣2＜n＜0或2＜n＜4，
（3）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+4＝﹣（x﹣m）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，
①若，即m＜2，
则当x＝m时，ymax＝4，当x＝5时，ymin＝﹣（5﹣m）2+4，
∴4﹣[﹣（5﹣m）2+4]＝8，
∴m1＝5+2（舍去），m2＝5﹣2（舍去），
②若2≤m≤5，则当x＝m时，ymax＝4，当x＝m﹣3时，ymin＝﹣5，
∵4﹣（﹣5）＝9≠8，不符合题意，舍去；
③若5＜m≤8时，则当x＝5时，ymax＝﹣（5﹣m）2+4，当x＝m﹣3时，ymin＝﹣5，
∴﹣（5﹣m）2+4﹣（﹣5）＝8，
∴m1＝6，m2＝4（舍去），
综上所述，m＝6．
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第一章：二次函数能力提升测试题
一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．将二次函数的图象先向右移动2个单位，向下平移3个单位，得到的图象对应的表达式是（ ）
A． B． C． D．
2．如果二次函数的图像如图所示，那么一次函数 的图像经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
3．关于二次函数y＝﹣x2+2x﹣3的图象，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线x＝﹣1 B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小
C．顶点坐标为（﹣1，﹣2） D．图象与x轴没有交点
4.关于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象的对称轴为x＝2 C．图象与y轴交于点（0，1）
D．图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
5．某超市以每件10元的价格购进一种文具．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）（15≤x≤26）之间满足y＝﹣2x+60，则销售这种文具每天可得（ ）
A．最大利润150元 B．最大利润128元 C．最小利润150元 D．最小利润128元
6.二次函数的图象和性质描述正确的是( )
A．函数图象开口朝下 B．当时，y随x的增大而增大
C．函数的最小值大于零 D．函数图象与y轴的交点位于轴负半轴
7.小明在浙BA某场比赛中，有一次投篮，球的运动路线是抛物线的一部分，
如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是（ ）
A．4.6m B．4.5m C．4m D．3.5m
8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论正确的个数为（ ）
①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④am2﹣a+bm+b＞0（m为任意实数）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，与y轴的交点纵坐标是2，与x轴的一个交点在1和2之间．有下列结论：①2a﹣b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一根在﹣3和﹣4之间；③方程ax2+bx+c﹣1＝0一定有两个不等实根：④a+b＞﹣2．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．若当﹣4≤x≤2时，二次函数的最小值为0，则（ ）
A． B． C． D．或
二．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11．已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝﹣3x2相同，它的顶点坐标为（﹣2，1），则此抛物线的解析式
12．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象上，若0＞x2＞x1，则y1 y2.（填“＞”、“＜”或“＝”）.
13．某商场经营一种文具，进价为20元/件，当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.那么该文具定价为 元时每天的最大销售利润最大.
14．若函数y＝x2＋3x＋c的图象过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 （用“＜”连接）．
15.若关于x的方程的两根满足，则二次函数的顶点纵坐标的最大值是____________
16．已知二次函数．
（1）若点（b﹣2，c）在该函数图象上，则b的值为
（2）若点（b﹣2，y1），（2b，y2），（2b+6，y3）都在该函数图象上，且y1＜y2＜y3，则b的取值范围为
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．（本题6分）已知关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象过点（﹣1，0），（3，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；（2）求当﹣2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差．
18．（本题6分）如图，抛物线 的顶点为A，与 轴的负半轴交于点B，且,
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C是该抛物线上A、B两点之间的一点，求最大时，点C的坐标．
19．（本题8分）已知抛物线（为常数）的顶点在y轴右侧.
（1）求该抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）；
（2）试说明无论为何值.该抛物线一定经过一个定点，并求出这个定点的坐标；
（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求的范围.
20．（本题8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．
（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．
（2）当x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．
21．（本题10分）某商场将进价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．
（1）请写出每月售出书包的利润y元与每个书包涨价x元间的函数关系式；
（2）设每月的利润为10000的利润是否为该月最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元；
（3）请分析并回答售价在什么范围内商场就可获得利润．
22．（本题10分）已知二次函数y＝x2﹣2ax﹣3（a为常数）．
（1）若该二次函数的图象经过点（2，﹣3）．
①求a的值．②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？
（2）若点均在该二次函数的图象上，求证：．
23.（本题12分）如图，已知抛物线（为常数，且）与轴交于两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，．抛物线的对称轴与轴交于点D，与经过点B的直线交于点E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在点P，使得△BPE是以BE为直角边的直角三角形 若存在，求出所有得合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（本题12分）已知二次函数的解析式为y＝﹣x2+2mx﹣m2+4．
（1）求证：该二次函数图象与x轴一定有2个交点；
（2）若m＝2，点M（n，y1），N（n+2，y2）都在该二次函数的图象上，且y1y2＜0，求n的取值范围；
（3）当m﹣3≤x≤5时，函数最大值与最小值的差为8，求m的值．
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