课件20张PPT。第2章 特殊三角形2.8 直角三角形全等的判定第1课时 直角三角形全等的判定1课堂讲解“斜边、直角边”(HL)
直角三角形全等的综合判定2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升下课后，小强和小星为“边边角”是否成立展开了争论，
小强认为，对于两个三角形，有“边、边、角”对应相等
，这两个三角形不全等．小星则画了如下的两个直角三角
形（如图）．其中∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′，
将它们从纸片上剪下来，发现它们重合，于是断定“边、
边、角”对应相等的条件能判定两个三角形全等，你认为
他说的有道理吗？1知识点“斜边、直角边”(HL)回顾:要判定两个三角形全等，我们已经有哪些方法？知1－导问题（一）知1－导有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等吗？如
果这个角 是直角呢？你可以通过作图、叠合等方法
进行探索.问题（二）知1－讲归 纳________和一条________对应相等的两个直角三角形
全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．斜边直角边如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，点E在AD上，且BE＝AC，求证：DE＝CD.知1－讲【例1】 （来自《点拨》）导引：由∠ABC＝45°，AD⊥BC，易得AD＝BD，又知
BE＝AC，所以Rt△BDE≌Rt△ADC，从而得出
DE＝CD.知1－讲证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠BAD，
∴AD＝BD.
又∵BE＝AC，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)．
∴DE＝CD.知1－讲总 结(1)对于一般的两个三角形而言，如果有两边和其中一
边的对角对应相等，那么 这两个三角形不一定全等．
(2)“HL”只适用于判定两个直角三角形全等， 其他三
角形不能应用该方法．1知1－练（来自《教材》）已知：如图，AB丄BD于点B，CD丄BD 于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP丄PC.
求证：△ABP≌△PDC.知1－练（来自《典中点》）如图，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，则能够说明△ABC≌△ADC的理由是( )
A．ASA B．AAS C．SAS D．HL23知1－练（来自《典中点》）(中考·西宁)使两个直角三角形全等的条件是( )
A．一个锐角对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等
D．两条边对应相等2知识点直角三角形全等的综合判定知2－讲如图所示，有两个长度相等的滑梯(即BC＝EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，求∠ABC＋∠DFE的度数．【例2】 知2－讲解：∵AC⊥AB，
∴∠CAB＝90°.
∵ED⊥DF，∴∠EDF＝90°.
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∵BC＝EF，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，
∴∠BCA＝∠DFE.
∵∠ABC＋∠ACB＝90°，
∴∠ABC＋∠DFE＝90°.总 结知2－讲解答本题的关键是将实际问题转化为数学问题，
体现了转化思想．1知2－练两根长度相等的绳子，它们的一端都系在竖直的旗杆上的同一点(离地面有一定距离)，另一端分别固定在地面的两根木桩底部且绳子拉直，两根木桩底部到旗杆底部的距离相等吗？说明理由．（来自《点拨》）知2－练（来自《典中点》）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )
A．CB＝CD
B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BCA＝∠DCA
D．∠B＝∠D＝90°2知2－练（来自《典中点》）下列条件中，利用基本尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是( )
A．已知斜边和一锐角
B．已知一直角边和一锐角
C．已知斜边和一直角边
D．已知两个锐角3判定直角三角形全等的“四种思路”：
(1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，
用“HL”判定．
(2)若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定．
(3)若有一组锐角和一组直角边分别相等，①直角边是
锐角的对边，用“AAS”判定；②直角边是锐角的邻边，
用“ASA”判定．
(4)若有两组直角边分别相等，用“SAS”判定．必做：1.请完成教材P82课内练习T1，P82作业题T1，T3
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题课件22张PPT。第2章 特殊三角形2.8 直角三角形全等的判定第2课时 角的平分线的判定1课堂讲解角的平分线的判定
三角形的角平分线2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升l1,l2,l3三条道路两两相交，你能找出一点，使它到三条
道路的距离都相等吗？1知识点角的平分线的判定已知：如图所示，点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于D，
PE⊥OB于E，且PD= PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上，知1－导知1－导证明：过点P作射线OC ,在 Rt△OPD和 Rt△OPE中 , PD
= PE, OP = OP,
∴Rt△OPD≌Rt△OPE.
∴∠DOP=∠EOP，即OC是∠AOB的平分线，即
点P在∠AOB的平分线上．知1－讲归 纳角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分
线上.如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF，CE交于点D，BD＝CD.求证：点D在∠BAC的平分线上．知1－讲【例1】 （来自《点拨》）导引：此题容易根据条件证明△BED≌△CFD，进而可以
利用全等三角形的性质和角平分线性质定理的逆定
理证明结论．知1－讲证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在△BED和△CFD中，
∴△BED≌△CFD(AAS)，
∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上．知1－讲总 结运用角的平分线的判定，可以证明两个角相等和一条
射线是角的平分线．1知1－练（来自《点拨》）如图，BP，CP分别平分△ABC的两个外角．
求证：点P在∠A的平分线上．知1－练（来自《典中点》）如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是( )
A．线段CD的中点
B．CD与过点O作CD的垂线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点
D．以上均不对23知1－练（来自《典中点》）如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小关系是( )
A．∠1＝∠2 B．∠1>∠2
C．∠1<∠2 D．无法确定2知识点三角形的角平分线知2－讲如图所示，小动物们在一个三角形的沙滩ABC上举行长跑比赛，分为三队后让它们从沙滩内一点沿最短的路线分别跑到沙滩的三边．为公平起见，要求起点到沙滩三边距离相等，你能帮它们确定起点吗？【例2】 知2－讲导引：这是一个以动画为背景的实际问题其本质是要在
△ABC内部找一点，使其到三角形三边的距离相
等，根据三角形的角平分线的，性质可知，该点
是△ABC三个内角角平分线的交点.知2－讲解：作三角形的两个内角的角平分线，它们的交点就是
所求作的比赛的起点．
作法：（1）以B，C为圆心，任意长为半径作弧，
分别交AB，BC于点M，N，交BC，AC于E，F;
（2）以M,N为圆心，以大于1MN长为半径作弧，
两弧交于△ABC内的一点P，作射线BP.同样，作射
线CQ，BP交CQ于点O.则O就是所求的点．知2－讲点拨：学会将实际问题转化为数学问题，由于三角形的三
个内角平分线相交于一点，因此，通常作两个角的
平分线即可.总 结知2－讲三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点
到三条边的距离相等．1知2－练已知△ABC（如图），用直尺和圆规作一点P，使它到三边的距离都相等（只要求作出图形，并保留作图痕迹).（来自《教材》）知2－练（来自《典中点》）到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( )
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点
D．以上均不对2知2－练（来自《典中点》）若O为△ABC内一点，且S△OAB∶S△OAC∶S△OBC＝AB∶AC∶BC，则点O为( )
A．△ABC三条中线的交点
B．△ABC三条高的交点
C．△ABC一边上的高与另两边中其中一边中线的交点
D．△ABC三条内角平分线的交点3角的平分线的性质与判定定理的关系：
(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．
(2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距
离相等．
(3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距
离就一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离相等
的点，都在角的平分线上．必做：1.请完成教材P82T4-T5
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题课件17张PPT。第2章 特殊三角形2.7 探索勾股定理第2课时 验证勾股定理及应用1课堂讲解验证勾股定理
勾股定理的应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升我在想，我们在的这个三角形有什么特点呢！小鹿，你在忙嘛呢，不下来做游戏？我不知道，我们去找古埃及人，问一问吧1知识点验证勾股定理我们利用测量和数格子的方法发现了勾股定理，那么如何
验证勾股定理呢？勾股定理的验证有很多种方法，其中借
助图形的面积验证勾股定理是常用的.下面给出一种用面积
验证勾股定理的方法.剪8个全等的直角三角形，设两直角边
长分别为a，b，斜边长为c，再剪三个分别以a，b，c，为边
长的正方形，拼成如图（1）（2）所示的两个大正方形.知1－导知1－导图（1）的大正方形的面积与图（2）大正方形的面积是
相等的，所以4× ab+a2+b2=4× ab+c2，整理得
a2+b2 = c2.由此验证了勾股定理.知1－讲归 纳利用面积验证勾股定理，就是根据同一种图形（或两
个全等的图形）面积的不同表示方法列出等式，从而
推导出勾股定理.如图是由四个全等的直角三角形（直角
边的长分别为a，b，斜边长为c）拼成的
一个图形，试用改图形验证勾股定理.知1－讲【例1】 解：由图可得c2=4× ab+（b-a）2，整理得a2+b2 = c2.点拨：如图可以看作是边长为c的大正方形被分割成四个全
等的直角三角形和一个边长为（b-a）的小正方形，
因此，大正方形的面积等于一个小正方形的面积加
上四个直角三角形的面积.1知1－练（来自《典中点》）如图，用四块两直角边长分别为a、b斜边长为c的直角三角形拼成一个正方形，求图形中央的小正方形的面积．不难找到：解法(1)：小正方形的面积＝______________；解法(2)：小正方形的面积＝________________；由解法(1)(2)，可以得到a，b，c的关系为：________________.2知识点勾股定理的应用知2－讲如图是一个长方形零件图.根据所给的尺寸
(单位: mm)，求 两孔中心A,B之间的距离.【例2】 导引：解决问题的关键是构造出含所求线段的直角三
角形，然后用勾股定理求解.（来自《教材》）知2－讲解：过A作铅垂线，过B作水平线，两 线交于点C，则
∠ACB=90°，
AC=90-40 = 50(mm), BC=160-40=120(mm).
由勾股定理，得
AB2=AC2+BC2=502+ 1202= 16 900( mm2).
∵ AB>0,
∴AB=130 (mm).
答:两孔中心A，B之间的距离为130 mm. 总 结知2－讲 利用勾股定理解答实际问题，需要先建立直角三
角形模型，然后利用勾股定理解答直角三角形.1知2－练如图所示，小明从家里出发向东北方向走了80米，接着向东南方向走了150米，现在小明离家________米．（来自《点拨》）知2－练（来自《典中点》）一个等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则底边上的高为( )
A．6 cm B．8 cm
C．10 cm D．12 cm2知2－练（来自《典中点》）如图，一个长为2.5米的梯子，一端放在离墙脚1.5米处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚( )
A．0.2米 B．0.4米 C．2米 D．4米31.用拼图验证勾股定理的方法：首先通过拼图找出面
积的相等关系，再由面积之间的相等关系并结合图形
进行代数变形即可推导出勾股定理．
它一般都经过以下几个步骤：拼出图形→写出图形面
积的表达式→找出相等关系→恒等变形→导出勾股定
理．2.应用勾股定理解题的方法：
(1)添线应用，即若题中无直角三角形，可以通过作
垂线，构造直角三角形，应用勾股定理求解；
(2)借助方程应用，即若题中虽有直角三角形，但已
知线段的长不完全是直角三角形的边长，则可通过设
未知数，构建方程，解答计算问题；
(3)建模应用，即将实际问题建立直角三角形模型，
通过勾股定理解决实际问题．必做：1.请完成教材P75T4-T6
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题课件19张PPT。第2章 特殊三角形2.7 探索勾股定理第1课时 认识勾股定理1课堂讲解勾股定理
勾股定理与面积的关系2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升如图是在北京召开的第24届国际数学家大会（ICM —
2002) 的会标.它的设计思路可追溯到3世纪中国数学家
赵爽所使用的 弦图.用弦图证明勾股定理在数学史上有
着重要的地位.1知识点勾股定理（1）剪四个全等的直角三角形纸片（图 1），把它们
按图2放入一个边长为c的正方形中.这样我们就拼成了
一个形如图2的 图形.知1－导图 1图2知1－导（2）设剪出的直角三角形纸片的两条直角边 长分别为
a,b斜边长为c.分别计算图2中的阴影部分的面积和大、小
两个正方形的面积.
（3）比较图2中阴影部分和大、小两个正 方形的面积，
你发现了什么？知1－讲归 纳一般地，直角三角形的三条边长有下面的关系：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如果a,b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的
长，则 a2+b2=c2.已知在 △ABC 中， ∠C =Rt ∠ ，BC=a，AC=b，AB=c.
(1)若 a =1，b = 2,求 c.
(2)若a =15,c=17,求b.知1－讲【例1】 （来自《教材》）解：（1）根据勾股定理，得c2=a2+b2=12+22=5.
∵c＞0, ∴c= .
(2)根据勾股定理，得 b2=c2—a2= 172—152=64.
∵ b>0, ∴ b=8.1知1－练（来自《教材》）在 △ABC 中， ∠ C=Rt ∠ ，AB=c,BC=a，AC=b. (1)如果a = ,b = ,求c.
(2)如果a = 12，c=13,求b.
(3)如果c = 34,a:b=8 : 15,求a,b.知1－练在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2.5 cm，AC＝1.5 cm，则AB的长为( )
A．3.5 cm B．2 cm
C．3 cm D．8.5 cm2（来自《典中点》）3知1－练（来自《典中点》）已知一个直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三条边长的平方为( )
A．25 B．7 C．7或25 D．不确定2知识点勾股定理与面积的关系知2－讲如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2 ，S3分别表示这三个正方形的面积，S1=81，S3=225，则S2=____．【例2】 144知2－讲导引：要求S2的面积，需要知道正方形的边长或边长的平
方，利用勾股定理可以解答.解：由勾股定理，得AC2+BC2=AB2 .又∵S1=A C2，
S2=BC2，S3=AB2 ，∴S1+S2=S3.
即S2=S3－S1=225—81=144. 故填144.点拨：本题将勾股定理与正方形面积公式结合起来，通过
勾股定理解决正方形面积的问题，充分体现了它们
之间存在的联系．总 结知2－讲正方形和直角三角形相结合可以求出图形的面积.1知2－练如图所示，分别以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8．试求S3．知2－练（来自《典中点》）如图，字母B所代表的正方形的面积是( )
A．12 B．13 C．144 D．1942知2－练（来自《典中点》）(模拟·贵阳)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，CA⊥AB，若AB＝3，BC＝5，则四边形ABCD的面积等于( )
A．6 B．10 C．12 D．153运用勾股定理时应注意以下几点：
(1)遇到求线段长度的问题时，能想到用勾股定理．
(2)必须把要求的线段归结到直角三角形中去(没有直角
三角形，可以通过作辅助线构造直角三角形)，切忌乱
用勾股定理．
(3)分清组成直角三角形的线段中哪条是直角边，哪条
是斜边．勾股定理适用的前提条件是直角三角形：由公式a2＋b2
＝c2可知，在直角三角形中，已知任意两条边长，可求
第三条边长．
在应用公式计算时要会灵活变形，常常要与乘法公式结
合使用；如c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab或c2＝a2＋b2＝(a－
b)2＋2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．必做：1.请完成教材P75T1-T3
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题课件22张PPT。第2章 特殊三角形2.7 探索勾股定理第4课时 勾股定理的应用1课堂讲解圆柱体表面上两点间的最短距离
立方体表面上两点间的最短距离
勾股定理的其他应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升如图所示，一棱长为3 cm的正方体，把所有的面都分
成3×3个小正方形，假若一只蚂蚁每秒爬2 cm．则它
从下底面A点，沿表面爬行至右侧的B点，最少要花
几秒？1知识点圆柱体表面上两点间的最短距离知1－导有一圆柱形油罐，如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，问梯子最短需要多长？已知：油罐的底面周长是12m，高AB是5m.【例1】 知1－讲解：将圆柱体的侧面沿AB剪开展成一个平面图形，如图所
示，沿AB ′建梯子最节省材料（两点之间线段最短），
由已知可得AB=5m，BB ′ =12m，在Rt△ABB中，AB ′ 2
=AB ′ 2+BB ′ 2=52+122=132，所以AB ′ =13m,所以所建的
梯子最短需要13m. 点拨：梯子是绕着曲面而建的，因此最短路径应将曲线展成
平面后，再依据“两点之间线段最短”来确定.知1－讲总 结勾股定理有着广泛的应用，求线段的长度或两点之间
的距离时常构造直角三角形，利用勾股定理求解.比如
立体图形上两点之间的最短距离的问题，应转化为平
面图形上的两点之间的距离，利用勾股定理求解.1知1－练（来自《典中点》）如图，在圆柱的轴截面ABCD中，AB＝ ，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为( )
A．10 B．12 C．20 D．142知识点立方体表面上两点间的最短距离知2－讲有一个长方体纸盒，如图所示，小明所在的数学小组研究由长方体的底面A点到长方体中与A相对应的B点的最短距离.若长方体的长为12，宽为9，高为5，请你帮助该小组求出A点到B点的最短距离.（参考数据：21.592≈466,442≈340）【例2】 知2－讲错解：将四边形ACDF与四边形DCEB展开在同一平面
上，如图所示，连接AB,在Rt△AEB中，根据勾
股定理，得AB2=BE2+AE2=52+(12+9)2=466.所以
AB≈21.59.因此，由A点到B点的最短距离约是
21.59.知2－讲错解导引：本题求解的错误之处是漏掉了其中的两种情况.由
点A到点B的平面距离有三种情况.即，使四边形
ACDF与四边形DCEB在同一平面上，使四边形
ACDF与四边形FDBG在同一平面上，使四边形
AHGF 与四边形FDBG在同一平面上，应先在三
种情况下比较哪种距离最短，再进行求解.知2－讲正解：??（1）将四边形ACDF与四边形CEBD展开在同
一平面上，如图（1）所示. AB2=AE2+BE2= 52
+(12+9)2=466.?
知2－讲?（2）将四边形ACDF与四边形FDBG展开在同一平
面上，如图（2）所示. ?AB2=AC2+BC2=
122+(5+9)2=340.?
知2－讲?（3）?将四边形AHGF与四边形FDBG展开在同一平面上，
如图（3）所示.???AB2=AD2+BD2=92+(5+12)2=370.?
因为340＜370＜466，所以由A到B最短距离是图（2）的情
况，此时AB≈18.44，所以由A到B的最短距离是18.44.总 结知2－讲因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体
相邻的两个面展开时至少有两种情况，但部分同
学由于考虑不全面而出错.因此，我们应从不同的
角度去判断，然后通过比较发现最短路线.1知2－练如图，正方体的棱长为1，一只蚂蚁从正方体的一个顶点A沿正方体的表面爬行到另一个顶点B，则蚂蚁爬行的最短距离的平方是( )
A．2 B．3 C．4 D．5（来自《典中点》）知3－导3知识点勾股定理的其他应用如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处．已知CE＝3 cm，AB＝8 cm，求BC的长．【例3】（来自《点拨》）知3－讲解：由题意得AF＝AD，EF＝DE＝DC－CE＝AB－CE
＝8－3＝5(cm)．在Rt△EFC中，由勾股定理得
CF＝
设BF＝x cm，则AF＝AD＝BC＝(x＋4)cm.
在Rt△ABF中，由勾股定理得AB2＋BF2＝AF2，即
82＋x2＝(x＋4)2，解得x＝6.所以BC＝BF＋FC＝6＋
4＝10(cm)．总 结知3－导应用勾股定理及其逆定理解决实际问题的一般思路：将实
际问题转化为数学模型，然后利用勾股定理，列出方程，
再解方程．由于勾股定理反映了直角三角形三边之间的关
系，因此往往与方程进行联系．即应用时注意两点：
(1)在解决实际问题时，注意从“形”到“数”和从“数”到“形”
的转化；
(2)解决问题时，注意构造直角三角形模型，结合方程进行
求解．如图所示，甲货船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时时两船相距( )
A．35海里 B．50海里 C．60海里 D．40海里知3－练（来自《典中点》）1知3－练（来自《典中点》）如图，长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3，则CD的长是( )
A．7 B．8 C．9 D．102解决有关立体图形中路线最短的问题，其关键是把立
体图形中的路线问题转化为平面上的路线问题．如圆
柱侧面展开图为长方形，圆锥侧面展开图为扇形，长
方体侧面展开图为长方形等．运用平面上两点间线段
最短的道理，利用勾股定理求解．必做：1.请完成教材P77课内练习T2，完成教材P78作业题T4-T5
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题课件18张PPT。第2章 特殊三角形2.7 探索勾股定理第3课时 勾股定理的逆定理1课堂讲解由边的数量关系判别直角三角形
在数轴上表示 (n为正整数)2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升勾股定理是数学中一个非常重要的定理，它的证
明方法有四百多种，目前还找 不到一个定理的证
明方法之多能超过勾股定理！
中国古代数学家很早就发现了勾股定理，而最早
对 勾股定理进行证明的是三国时期的赵爽，他创
制了一幅 “勾股圆方图”，创造性地证明了勾股
定理.
勾股定理在西方文献中也称为毕达哥拉斯定理，其 有据可查的证
明见于欧几里得的《原本》.
以4?5人为一组，查阅有关资料，写一篇关于勾股 定理证明的数
学小论文.1知识点由边的数量关系判别直角三角形（1）作三个三角形，使其边长分别为3cm，4cm，5cm;
1.5cm，2cm， 2.5cm; 5cm，12cm，13cm.
（2）算一算较短两条边的平方和与最长一条边的平方是否
相等.
（3）量一量所作每一个三角形最大边所对角的度数.
由此你得到怎样的猜想？用命题的形式表述你的猜想.知1－导知1－讲归 纳如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么
这个三角形是直角三角形.根据下列条件，分别判断以a,b,c为边的三角形是不是直角三角形.
(1)a = 7，b=24，c=25.
(2)a= , b=1，c= .知1－讲【例1】 解：(1)∵72+242=252，∴以7,24,25为边的三角形是直角三角形.
(2) ∵
也就是较小两边的平方和不等于较大边的平方，
∴a,b,c中任何两边的平方和都不等于第三边的平方，
∴ 以 ，1， 为边的三角形不是直角三角形.知1－讲总 结运用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是直角三角
形时，一般要先找出最长边，再利用较短两边的平方
和等于最长边的平方来判定．1知1－练（来自《教材》） 根据下列条件，判断以a,b,c为边的三角形是不是直角三角形.
(1)a=20, b=21 ，c=29.
(2)a=5, b=7, c=8.
(3)a= ,b= ，c=2.2知1－练在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则( )
A．∠A为直角
B．∠B为直角
C．∠C为直角
D．△ABC不是直角三角形（来自《典中点》）知1－练（来自《典中点》）三角形三边长分别为①3，4，5；②9，40，41；③7，24，25；④13，84，85.其中能构成直角三角形的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个32知识点在数轴上表示 （n为正整数）知2－讲我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示.无理数是否也可以
用数轴上的点来表示呢？如图所示，我们以1个单位长度为边长画一
个正方形，以原点为圆心，正方形对角线为半径画弧，与数轴的正
半轴的有一个交点,与数轴的负半轴的有一个交点.这两个点表示的数
是多少呢？因为正方形的边长等于1，有勾股定理的正方形的对角线
长是 ，所以与正半轴的交点就表示 ,与负半轴的交点就表示
- .这样我们发现：数轴上的点除了表示有理数，还表示无理数.归 纳知2－讲数轴上的点除了表示有理数，还表示无理数.知2－讲点拨：由于1＜3＜4，故1＜ ＜2，所以表示 的点
是B.如图.数轴上表示 的点是_________.【例2】 B1知2－练在数轴上表示 . 知2－练（来自《典中点》）根据“勾股定理”，我们就可以由已知两条直角边的长来求斜边的长．
如当a＝1，b＝1时，12＋12＝c2，c＝ ；
当a＝1，b＝2时，c ＝ ； …
请你根据上述材料，完成下列问题：
(1)当a＝1，b＝3时，c ＝ ；
(2)若斜边长为，则直角边长为正整数_______，________；
(3)请你在如图所示的数轴上画出表示的 点(保留作图
痕迹)．21.勾股定理与三角形三边平方关系的综合应用：
单一应用：先由三角形三边平方关系得出直角三角形后，再求这个直角三角形的角度和面积；
综合应用：先由勾股定理求出三角形的边长，再由三角形三边平方关系确定三角形的形状，进而解决其他问题；
逆向应用：如果一个三角形两条较小边长的平方和不等于最大边长的平方，那么这个三角形就不是直角三角形．2. （1）三角形三边平方关系是判定一个三角形为直角
三角形的重要方法，它的特点是根据“数”的特征判定
“形”的形状．
（2）注意勾股定理与三角形三边平方关系的联系与区
别，联系是二者都与三边关系a2＋b2＝c2有关；区别是前
者是以一个三角形是直角三角形为条件，进而得到三边
的平方关系，后者是以一个三角形三边的平方关系为条
件，进而得到这个三角形是直角三角形．必做：1.请完成教材P78T1-T3
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题课件29张PPT。第2章 特殊三角形2.6 直角三角形第1课时 直角三角形的性质1课堂讲解直角三角形的定义
直角三角形内角性质
直角三角形斜边上的中线性质2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升这个图案是由七巧板拼成的.你能从图中找出多少个
直角三 角形？1知识点直角三角形的定义我们知道，有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
(right triangle)，直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如
图的三角形可记为Rt △ABC. 知1－导知1－导在现实生活中，我们常常会接触到各种各样的直角三 角
形，如广告牌的支架、电线杆的固定装置、楼梯的侧面
(如图)等. 知1－讲归 纳1．有一个角是________的三角形叫做直角三角形．
直角三角形可以用符号“______”表示．
如图，在△ABC中，∠C＝90°，
所以△ABC是直角三角形，可记
为“Rt△ABC”．
2．两条直角边相等的直角三角形叫做________直角
三角形．直角Rt△等腰已知：在△ABC中，∠A＝∠B＋∠C，
求证：△ABC是直角三角形．知1－讲【例1】 （来自《点拨》）导引：要证明△ABC是直角三角形，只要证明有一个角是
直角即可，由已知及三角形内角和定理，易得∠A
＝90°.知1－讲证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∠A＝∠B＋∠C，
∴∠A＋∠A＝180°，即2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形．知1－讲总 结证明一个三角形是直角三角形，只需证明有一个角是
直角即可．在解决角的问题时，一般要结合三角形的
内角和定理．1知1－练（来自《点拨》）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的
是( )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
D．∠A＝∠B＝3∠C知1－练（来自《典中点》）如果一个三角形三个内角度数的比为1∶2∶3，那么这个三角形是________________．2若一个三角形的一个内角是另两个内角的差，则这个三角形是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形（来自《典中点》）32知识点直角三角形内角性质知2－讲因为“三角形三个内角的和等于180°”，直角三角
形两个锐角的和为 180°—90°= 90°，所以直角三
角形有以下性质定理：直角三角形的两个锐角互余.归 纳知2－讲直角三角形的两个锐角互余．知2－讲导引：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，
∴∠BAC＝90°－∠B＝90°－40°＝50°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝ ∠BAC＝ ×50°＝25°.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，AD平分∠BAC，则∠DAC＝________．【例2】 25°总 结知2－讲利用直角三角形求角的度数，一般有两个隐含条
件：三角形的内角和是180°，有一个角是90°.1知2－练如图，在Rt△ABC中，AC丄BC,CD丄AB.找出全部互余的角.（来自《教材》）知2－练（来自《典中点》）(中考·荆门)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上的A′处，折痕为CD，则∠A′DB等于( )
A．40° B．30° C．20° D．10°2知2－练（来自《典中点》）如图，在Rt△BAC中，∠A＝90°，∠B＝35°，斜边BC的垂直平分线DE交BA于点D，则∠ACD的度数为________度．3知3－导3知识点直角三角形斜边上的中线性质任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用
圆规比较中线与斜边的一半的长短.你发现了什么？再
画几个直角三角形试一试，你的发现相同吗？问题（一）知3－导已知：如图，D是Rt△ABC斜边AB上的一点，BD=CD.
求证：AD = CD.
从本题中，你发现直角三角形斜边上的中线有 什么性
质？问题（二）归 纳知3－导直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（来自《教材》）知3－讲如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为 30°
的斜坡，从A滑行至B,已知AB = 200m.
问这名滑雪运动员的高度下降了多少米？【例3】导引：如图,作AC丄BC于点C，这样问题就归结为求直角
边AC的长.由“直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半”，已知AB=200m，可得斜边上的中线等于
100 m.添上 这条中线后，就构成含已知线段和所求
线段的新三角形ADC，由此就能找 到未知量和已知
量之间的关系.（来自《教材》）知3－讲解：如图,作Rt△ABC的斜边上的中线CD，
则CD=AD= AB= ×200 = 100(m)(直角三
角形斜边上的中线等于斜边的一半).
∵ ∠ B=30°，
∴ ∠ A = 90°—∠B=90°—30°
= 60°(直角三角形的两个锐角互余）.
∴ △ADC 是等边三角形（为什么？ ).
∴ AC=AD=100(m).
答:这名滑雪运动员的高度下降了 100m.总 结知3－讲直角三角形的这个性质是求线段之间倍分关系的常用定
理，我们需要注意.已知在Rt △ABC中，斜边上的中线CD=5cm,求斜边AB的长.知3－练（来自《教材》）1知3－练（来自《典中点》）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD的长是( )
A．20 B．10 C．5 D.2(中考·无锡)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8 cm，D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移1 cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于________cm.知3－练（来自《典中点》）3直角三角形及其性质：
(1)直角三角形是特殊的三角形，它具有三角形的所有
特征；等腰直角三角形它既是特殊的等腰三角形，又是
特殊的直角三角形，它具有等腰三角形和直角三角形的
所有特征．
(2)直角三角形两锐角互余，斜边上的中线等于斜边一
半．必做：1.请完成教材P70作业题T1-T5
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题课件13张PPT。第2章 特殊三角形2.6 直角三角形第2课时 直角三角形的判定1课堂讲解利用两锐角互余，判定直角三角形2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升这是一幅美丽的图画，你能从中找出三角形吗？你找
的三角形是直角三角形吗？如何证明你找到的三角形
是直角三角形呢？知识点利用两锐角互余，判定直角三角形说出定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题.
这个逆命题正确吗? 你是怎样判定的?知－导知－讲归 纳有两个锐角互余的三角形是直角三角形.已知:如图，CD是△ABC的AB边上的中线，CD=
AB.
求证: △ABC是直角三角形.知－讲【例】 （来自《教材》）知－讲证明：∵CD是AB边上的中线（已知），
∴AD=BD= AB(三角形中线的定义）.
∵ CD= AB (已知），
∴ CD=AD.
∴ ∠A = ∠ ACD(在同一个三角形中，等边对等角）.
同理， ∠B= ∠ BCD.
∵ ∠ A+ ∠ B+ ∠ ACD+ ∠ BCD=180°（为什么？），
∴ ∠ A+ ∠ B=∠ ACD+ ∠ BCD = ×180°=90°.
∴ △ABC 是直角三角形（有两个角互余的三角
形是直角三角形）.知－讲总 结要证明一个三角形是直角三角形，只需证明三角形的
一个内角是直角或有两个角互余．1知－练（来自《教材》）已知:如图，在△ABC中,是A上一点，∠1= ∠ B， ∠ A= ∠ 2.
求证: △ABC是直角三角形.知－练（来自《典中点》）下列条件：(1)∠A＋∠B＝∠C；(2)∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；(3)∠A＝90°－∠B；(4)∠A＝∠B＝ ∠C.其中能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个23知－练（来自《典中点》）如图，△ABC为等腰直角三角形，且AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，则图中共有________个等腰直角三角形．直角三角形的判定方法
(1)定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形．
(2)判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．
(3)若三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三
角形是直角三角形．
注意：(1)“两个角互余”指同一个三角形中的两个角．
(2)“有两个角互余的三角形是直角三角形”与“直角三角形
的两个锐角互余”互为逆定理．前者是判定直角三角形的
依据，后者是有关角转化的依据．必做：1.请完成教材P72作业题T1-T5
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题课件29张PPT。第2章 特殊三角形2.5 逆命题和逆定理1课堂讲解互逆命题
互逆定理
线段垂直平分线的判定2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升考虑两个命题：“飞机是会飞的交通工具.”“会飞的交
通工具 是飞机.”这两个命题有什么不同？它们都是真命
题吗？1知识点互逆命题请你仔细阅读表中的四个命题，填写并思考:命题（1)和
命题(2)， 命题(3)和命题(4)的条件和结论有什么关系？知1－导知1－导在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的
结论，而第一个 命题的结论是第二个命题的条件，那么
这两个命题叫做互逆命题.如果把其 中一个命题叫做原命
题(original statement )，那么另一个命题叫做它的逆 命题
(converse statement).例如，表中，命题（1)与命题(2)，
命题(3)与 命题(4)都是互逆命题. 写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明：
(1)若a>b，则a＋c>b＋c；
(2)垂直于同一条直线的两直线平行；
(3)相等的角是内错角；
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．知1－讲导引：【例1】 找出每个命题的条件和结论，只要将条件和结论的
位置互换，就可得到它的逆命题．知1－讲解：(1)若a＋c>b＋c，则a>b，是真命题．
(2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一
条直线，是真命题．
(3)内错角相等，是假命题．例如：
如图，∠1与∠2是内错角，但不相等．
(4)等边三角形有一个角是60°，是真命题．（来自《点拨》）点拨：要确定一个命题的逆命题，首先要找出这个命题的
条件和结论，然后将条件和结论互换位置，即可得
到它的逆命题．知1－讲总 结1.在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题
的________，而第一个命题的结论是第二个命题的
________，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中
一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的
________．
2．反例：(1)反例的作用是证明一个命题是假命题；
(2)反例不在于多，一个就行．结论条件逆命题1知1－练写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假.
（1）同位角相等.
（2）如果 |a| = |b|，那么a=b.
（3）等边三角形的三个角都是60°.（来自《教材》）知1－练（来自《典中点》）命题“自然数必为有理数”的条件是__________
____________，结论是___________________，它的逆命题的条件是______________________
______________，结论是__________________
___________________．23知1－练命题“若|a|＝|b|，则a2＝b2”的逆命题是( )
A．若|a|≠|b|，则a2≠b2
B．若a2＝b2，则|a|＝|b|
C．若|a|＝|b|，则a2≠b2
D．若a2≠b2，则|a|≠|b|（来自《典中点》）2知识点互逆定理知2－导每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题
不一定是真命题.例如， 知识点1表中，命题(3)是真
命题，而它的逆命题(4)是假命题.如果一个定理的逆
命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆
定理(converse theorem)， 这两个定理叫做互逆定理.知2－讲判断下列两个定理是否有逆定理．若有，请写出它的逆定理；若没有，请说明理由．
(1)在同一个三角形中，等角对等边．
(2)四边形的内角和等于360°.【例2】导引：先写出逆命题，再分析逆命题是否为真命题，若
是真命题，则它就是原定理的逆定理；若逆命题
是假命题，则原定理没有逆定理．知2－讲解：(1)有逆定理，逆定理为：在同一个三角形中，等
边对等角．
(2)有逆定理，逆定理为：内角和等于360°的多
边形是四边形．总 结知2－讲1.如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么
就叫它是原定理的________，这两个定理叫做
________定理．
2．每个命题都有逆命题，但每个定理不一定都有
逆定理，只有当定理的逆命题经过证明是正确的，
才能称其为定理的 逆定理．逆定理互逆1知2－练下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理.
（1）等腰三角形的两个底角相等.
（2）内错角相等，两直线平行.
（3）对顶角相等.知2－练（来自《典中点》）下列真命题中，有逆定理的是( )
A．等腰三角形是轴对称图形
B．如果a＝b，那么－a＝－b
C．相反数的绝对值相等
D．同角的补角相等2知2－练（来自《典中点》）下列定理中，有逆定理的是( )
A．等边三角形的三边相等
B．平角都相等
C．若三角形中有一个内角是钝角，那么它的另外两个 内角是锐角
D．同旁内角互补3知3－导3知识点线段垂直平分线的判定说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离
相等”的 逆命题，并证明这个逆命题是真命题.解：这个定理的逆命题是:到线段两端距离相等的点在
线段的垂直平分线上.下面给出证明.知3－导已知: AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.
求证:点P在线段A B的垂直平分线上.导引：要证明点P在线段AB的垂直平分线上，可以过点
P作AB的垂 线，然后证明它恰好平分线段AB.知3－导证明：(1)当点P在线段AB上时，结论显然成立.
(2)当点P不在线段AB上时，如图， 作PC丄AB于点O.
∵PA=PB，PO⊥AB，
∴OA=OB(根据什么？），
∴PC是AB的垂直平分线.
∴点P在线段AB的垂直平分线上.知3－讲如图所示，在△ABC中，∠A＝30°，
∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，
交AC于点D.
求证：点D在线段AB的垂直平分线上．导引：要证明点D在线段AB的垂直平分线上，只需证明AD
＝BD.首先根据三角形的内角和定理，求得∠ABC
＝60°，再根据角平分线的定义，求得∠ABD＝
30°，根据等角对等边即可证明AD＝BD.【例3】知3－讲证明：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°.
∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD.
∴点D在线段AB的垂直平分线上．点拨：此题综合运用了三角形的内角和定理、角平分线的定
义、等角对等边以及线段垂直平分线性质定理的逆定
理等知识．由已知条件证出AD＝BD是解题的关键．总 结知3－讲1.到线段两端距离相等的点在线段的___________上．
2．当某一点到某条线段两端的距离相等时，不能说明
过该点的直线是这条线段的垂直平分线；当不重合的两
点到某线段两端的距离分别相等时，才能说明过这两点
的直线是这条线段的垂直平分线．垂直平分线如图所示，∠ABC＝∠ACB，∠CBM＝∠BCM.
求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．知3－练（来自《点拨》）1知3－练（来自《典中点》）锐角三角形ABC内有一点P，满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC( )
A．三条角平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三条高的交点
D．三边垂直平分线的交点2知3－练（来自《典中点》）如图，点D在三角形ABC的BC边上，且BC＝
BD＋AD，则点D在( )的垂直平分线上．
A．AB B．AC
C．BC D．不确定3互逆命题的定义
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论
，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命
题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另
一个命题叫做它的逆命题．
注意：互逆命题是对两个命题来说的，不能说某一个命题是
互逆命题，写一个命题的逆命题时，首先要写出原命题的条
件和结论，再以原命题的结论作为条件，条件作为结论，写
出逆命题即可，每个命题都有它的逆命题．必做：1.请完成教材P67作业题T1-T5
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题课件22张PPT。第2章 特殊三角形2.4 等腰三角形的判定定理第1课时 等腰三角形的判定1课堂讲解等腰三角形的判定
等腰三角形中的主要线段的性质2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升如图所示，量出AC的长，就可以算出河的宽度AB，
你知道为什么吗？1知识点等腰三角形的判定根据等腰三角形的定义，如果一个三角形的两条边相
等，那么就可判定 这个三角形是等腰三角形.除此之
外，还有其他判定方法吗？知1－导问 题（一）知1－导在纸上任意画线段BC,分别以点B和点C为顶点，以
BC为一边，在 BC的同侧画两个相等的角，两角的另
一边相交于点A.量一量，线段AB 与AC相等吗？其他
同学的结果与你的相同吗？你发现了什么规律？问 题（二）知1－讲1.利用等腰三角形的定义判定：_______________________
叫做等腰三角形．
2．如果一个三角形有两个________相等，那么这个三角形
是等腰三角形．简单地说成：在同一个三角形中，________
对等边．有两边相等的三角形角等角如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，DE∥AB，交AC于点E，判断△ADE是不是等腰三角形，并说明理由．知1－讲【例1】 （来自《点拨》）导引：先利用“等腰三角形三线合一”的性质，得到∠BAD
＝∠CAD，再由DE∥AB，得∠BAD＝∠ADE，即
∠CAD＝∠ADE，即可得出△ADE是等腰三角形．知1－讲解：△ADE是等腰三角形．理由如下：
∵AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰三角形．知1－讲总 结1.要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混
淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理的
已知条件是等腰三角形．
2.“等角对等边”只限于在同一个三角形中．
3.等腰三角形的判定不能说成“如果一个三角形的两底
角相等，那么两腰就相等”，因为在还未判定它是一
个等腰三角形之前， 不能用“底角和腰”这些词.1知1－练（来自《教材》）已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB,AC上的点，DE//BC, ∠ 1 = ∠ 2.
求证： △ABC是等腰三角形.知1－练（来自《典中点》）在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A．∠A＝50°，∠B＝70°
B．∠A＝70°，∠B＝40°
C．∠A＝30°，∠B＝90°
D．∠A＝80°，∠B＝60°23知1－练（来自《典中点》）如图，若AD平分∠BAC，AD∥EC，则下列三角形是等腰三角形的是( )
A．△ABD B．△ACD
C．△ACE D．△ABC2知识点等腰三角形中的主要线段的性质知2－讲如图所示，在等腰△ABC中，底边BC上有任意一点P，求证：点P到两腰的距离之和等于定长．【例2】知2－讲导引：点P到两腰的距离分别是线段PD、PE的长．要证
PD+PE是定值，因为PD、PE分别垂直于等腰三角
形的两腰，自然联想到等腰三角形一腰上的高CF，
利用面积法可证明PD+PE=CF．知2－讲证明：连接AP，过点C作CF⊥AB，垂足为点F．
S△ABC= CF·AB,S△ABP= PD·AB,
S△ACP= PE·AC= PE·AB,
∵ S△ABC= S△ABP+ S△ACP,
∴ CF·AB= PD·AB+ PE·AB
∴CF=PD+PE,即PD+PE为定值.点拨：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一
腰上的高，此结论在计算中经常应用．总 结知2－讲1.等腰三角形两腰上的中线、高分别相等；
2.两底角的平分线相等；
3.底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰
上的高；
4.底边上的高(底边上的中线、顶角的平分线)上任
意一点，到两腰的距离相等．1知2－练等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等吗？说明理由.知2－练（来自《典中点》）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列说法不正确的是( )
A．BC边上的高和中线互相重合
B．AB和AC边上的中线相等
C．△ABC中两底角的角平分线相等
D．AB，BC边上的高相等2知2－练（来自《典中点》）等腰三角形两腰上的高所在的直线相交所成的钝角为100°，则原等腰三角形顶角的度数为( )
A．80° B．80°或100°
C．100° D．130°31.等腰三角形的三种判定方法
(1)当三角形有两条边相等时，应用“有两条边相等的三角
形是等腰三角形”来判定．
(2)当三角形中有两个角相等时，应用“如果一个三角形有
两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”来证明．
(3)当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形时，
应用“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
则构成的三角形是等腰三角形”来证明．2.对于将三角形分割为等腰三角形的问题，可以以某
一个内角为等腰三角形的顶角进行多次尝试，计算所
剪切的三角形的内角，找到有两个内角相等的情况即
可．若剪切后三角形中没有相等的内角，则需要重新
操作．必做：1.请完成教材P63课内练习T1，P64作业题T1-T4
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题课件20张PPT。第2章 特殊三角形2.4 等腰三角形的判定定理第2课时 等边三角形的判定1课堂讲解等边三角形的判定
等边三角形的性质2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升从1880到1976年间,有数以百计的船
只和飞机失事，数以千计的人在此
丧生。这些奇怪神秘的失踪事件，
主要是在西大西洋的一片叫“马尾藻
海”地区，这就是著名百慕大三角，
具体是指人为虚构的百慕大群岛、
美国的迈阿密和波多黎各的圣胡安三点连线形成的一个
东大西洋三角地带，每边长约2000千米。这个神奇的三
角形就是我们学习的？1知识点等边三角形的判定如图所示，我们知道三角形ABC是一个等腰三角形，
其中AB=AC，并且有一个角是60°，那么这个三角
形是什么三角形呢？如果∠A=60°，也就是顶角等
于60°，那么有三角形的内角和是180°，所以
∠B=∠C=(180°-60°）÷2=60°，则三角形ABC是等边三角
形，要是底角∠B=60°，则∠C=60°，那么∠A=180°-60°-
60°=60°，所以△ABC也是等边三角形，由此我们得到：有
一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．知1－导知1－讲归 纳有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，连接AB，且AB＝BC.试判断△ABC的形状，并证明你的结论．知1－讲【例1】 （来自《点拨》）导引：因为EB＝ED，CE＝CD，所以可求得∠ECB＝
2∠EBC，因为BE⊥CE，所以∠ECB＝60°，
因为AB＝BC，所以△ABC是等边三角形．知1－讲解：△ABC是等边三角形．
证明如下：∵CE＝CD，∴∠D＝∠DEC，
∴∠ECB＝∠D＋∠DEC＝2∠D.
∵EB＝ED，∴∠EBC＝∠D.
∴∠ECB＝2∠EBC.
∵BE⊥CE，
∴∠ECB＝60°.
∵AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形．知1－讲总 结根据条件判定等边三角形的解题技巧
(1)若已知三边关系，则考虑用“三条边都相等的三角
形是等边三角形”判定．
(2)若已知三角关系，则根据“三个角都相等的三角形
是等边三角形”判定．
(3)若已知该三角形是等腰三角形，则根据“有一个角
是60°的等腰三角形是等边三角形”判定．1知1－练（来自《点拨》）如图，等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．知1－练（来自《典中点》）等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是( )
A．有一个内角是60°
B．有一个外角是120°
C．有两个角相等
D．腰与底边相等23知1－练（来自《典中点》）若一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边，则这个三角形是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形2知识点等边三角形的性质知2－讲等边三角形是特殊的等腰三角形，就是腰等
于底边的三角形，我们在纸上画一个等边三
角形，想一想，我们能折出它的几条对称轴
呢？如图所示，我们能折出它的三条对称轴，
由等腰三角形的性质可以知道等边三角形三
边的中线、高线和这边对角的角平分线都重合.因为等边三角
形的三边都相等，由等腰三角形的性质“等边对等角”可以得
到：等边三角形的三个角都相等，由三角形的内角和是180°，
所以等边三角形的每一个内角都是60°.知2－讲归 纳等边三角形的每一个内角都是60°.知2－讲如图所示，△ABC是等边三角形，AE⊥BC于点E，则下列结论不正确的是( )
A．AB=AC=BC
B．∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°
C．AE是△ABC唯一的一条对称轴
D．AE是∠BAC的平分线【例2】 导引：A，B，D结论正确．C不正确．AE是△ABC的对
称轴，但不是唯一的，等边三角形ABC还有两条
对称轴，分别是AC，AB两边上的高．C总 结知2－讲解答等边三角形的问题要善于利用已知条件，找
到等边三角形和等腰三角形，从而进一步利用它
们的性质解决问题．1知2－练如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为( )
A．25° B．60° C．85° D．95°（来自《典中点》）知2－练（来自《典中点》）如图是一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是( )
A．180° B．220°
C．240° D．300°2知2－练（来自《典中点》）如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC等于( )
A．20° B．30° C．35° D．40°3必做：1.请完成教材P64T5-T6
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题课件21张PPT。第2章 特殊三角形2.3 等腰三角形的性质定理第1课时 等腰三角形
的边角性质1课堂讲解等边对等角
等边三角形的性质2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根
横梁是否水平.你知道为什么吗？1知识点等边对等角任意画一个等腰三角形，通过折叠、测量等方式，探索
它的内角之间有 什么关系.你发现了什么？
(请与你的同伴交流）知1－导问 题求证:等腰三角形两底角的平分线相等.
如图,在△ABC中，AB=AC,BD和CE是
△ABC的两条角平分线.
求证:BD=CE.知1－讲导引：【例1】 要证明BD=CE ,只需证明△BCE≌△CBD(或ABD
≌△ACE）因为 BC 是△BCE和 △CBD 的公共边，
所以只需证明∠ ABC= ∠ ACB， ∠BCE= ∠CBD.
这 可由已知AB=AC，BD和CE是△ABC的两条角
平分线得到.（来自《教材》）知1－讲上述从所求出发的分析思路可以简明地表示成下图知1－讲证明：如图.
∵ AB=AC(已知），
∴ ∠ ABC= ∠ ACB(等腰三角形的两个底角相等).
∵ BD，CE分别是∠ ABC， ∠ ACB的平分线，
∴ ∠ CBD= ∠ ABC， ∠ BCE= ∠ ACB(角平分线的
定义），
∴ ∠ CBD= ∠ BCE.
又∵ BC=CB (公共边），
∴ △BCE≌△CBD(ASA).
∴ BD=CE. (全等三角形的对应边相等）.知1－讲总 结应用 “等边对等角”的前提条件是必须在同一个三
角形中.1知1－练（来自《教材》）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC 的中点，D,E分别为AB,AC上的点，且 AD=AE.
求证:PD=PE.知1－练（来自《典中点》）如图，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是( )
A．40° B．35° C．25° D．20°23知1－练（来自《典中点》）在等腰三角形ABC中，∠A与∠B的度数比为5∶2，则∠A的度数是( )
A．100°
B．75°
C．150°
D．75°或100°2知识点等边三角形的性质知2－导因为等边三角形的三边都相等，由等腰三角形的性
质“等边对等角”可以得到：等边三角形的三个角
都相等，由三角形的内角和是180°，所以等边三角
形的每一个内角都是60°. 知2－讲 (1)如图1所示，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是( )
A．40° B．35° C．25° D．20°
?(2)如图2，△ABC为等边三角形，AC∥BD，则∠CBD＝________．【例2】图1图2C120°（来自《点拨》）知2－讲导引：(1)先根据等腰三角形的性质定理1及三角形内角和
为180°求出∠ADC的度数，再根据等腰三角形的
性质定理1及三角形外角与内角的关系求出∠B的度
数即可．
(2)由AC∥BD可以得出∠CBD＋∠ACB＝180°；
由△ABC为等边三角形得出∠ACB＝60°，进而得
出∠CBD＝120°.总 结知2－讲等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形具有等
腰三角形的一切性质.1知2－练（来自《点拨》）如图，AB＝AC，BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD的度数是( )
A．20° B．30° C．35° D．40°知2－练（来自《点拨》）如图，点D、E在△ABC的边BC上，且AD＝AE＝BD＝DE＝CE，则∠BAC的度数是________．2知2－练（来自《典中点》）(中考·武汉)等边三角形的两条角平分线所夹的锐角的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°31.等腰三角形的性质定理1及推论
等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等，也可
以说成，在同一个三角形中，等边对等角．
注意：(1)“等边对等角”只限于在同一个三角形中，若两个三
角形中有两边对应相等，那么它们所对的角不一定相等．
(2)等腰三角形的顶角可能是锐角、直角或钝角，而底角只能
是锐角．
(3)在已知锐角的情况下，需要分类讨论该锐角是顶角，还是
底角．
推论：等边三角形的各个内角都等于60°.2.等腰三角形中求角的度数的“三种方法”
(1)利用等边对等角得相等的角．
(2)利用三角形外角等于与其不相邻的两内角之和导出
各角之间的关系．
(3)利用三角形内角和定理列方程．必做：1.请完成教材P58作业题T1-T4
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题课件17张PPT。第2章 特殊三角形2.3 等腰三角形的性质定理第2课时 等腰三角形的
“三线合一”性质1课堂讲解等腰三角形的“三线合一”
用尺规作等腰三角形2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分 线.在图中找
出所有相等的线段和相等的角.由此你 发现了等腰三角
形还有哪些性质？ 1知识点等腰三角形的“三线合一”用“几何画板”软件探索等腰三角形底边上
的高 线、中线、角平分线三线合一的性质.
如图,在“几何画板”软件中圃直线MN及
△ABC ，使点A，B在直线MN上，点C在直
线MN外，再 画△ABC的髙线CD，中线CE
和角平分线CF.
测量AC,BC的长度.拖动点C，观察AC,BC的
长度关 系及点D,F,E三点的位置变化.当AC，
BC的长度相等 时，D，F，E三点的位置如何？由此你发现了什么？知1－导知1－讲结 论等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和高线
互相重合，简称等腰三角形三线合一 .已知:如图 ，AD平分∠ BAC, ∠ ADB= ∠ ADC.
求证：AD丄BC.知1－讲【例1】 （来自《教材》）知1－讲证明：如图，延长AD，交于点E.
∵ AD 平分∠ BAC ，
∴ ∠ BAD = ∠ CAD (角平分线的定义）.
而AD=AD (公共边），
∠ ADB = ∠ADC (已知），
∴ △ABD≌△ACD(ASA).
∴ AB=AC (全等三角形的对应边相等）.
∴ △ ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义）.
∵ AE是等腰三角形ABC顶角的平分线，
∴ AE丄BC.（等腰三角形三线合一），
即 AD丄BC.1知1－练（来自《教材》）已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AD丄BC于点D, E为AD上的一点，EF丄AB,EG丄AC,F,G分 别为垂足. 求证:EF=EG.知1－练（来自《典中点》）如图，根据下列已知条件，写出你能得到的结论．
(1)已知AB＝AC，∠1＝∠2，则_______________；
(2)已知AB＝AC，BD＝DC，则_______________；
(3)已知AB＝AC，AD⊥BC，则_______________．23知1－练（来自《典中点》）(14·丽水)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是________．2知识点用尺规作等腰三角形知2－讲已知：线段a，m(如图)．
求作：等腰三角形ABC，使底边BC＝a，底边上的中线AD＝m.(保留作图痕迹，不写作法)【例2】（来自《点拨》）知2－讲解：如图所示，△ABC就是所求作的三角形．总 结知2－讲利用尺规作等腰三角形时，要考虑等腰三角形的隐含
条件：有两条边相等；两个角相等.1知2－练（来自《教材》）已知∠ α和线段a (如图），用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使顶 角∠ BAC= ∠ α ，角平分线AD=a.知2－练（来自《点拨》）如图所示，已知：∠α、线段a，求作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，其底角∠B＝∠α.(不写作法，保留作图痕迹)21.等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义：
(1)已知等腰三角形底边上的中线，则它平分顶角，垂直于底
边；
(2)已知等腰三角形顶角的平分线，则它垂直平分底边；
(3)已知等腰三角形底边上的高，则它平分底边，平分顶角．
2．等腰三角形“三线合一”的性质常常可以用来证明角相等
、线段相等和线段垂直．在遇到等腰三角形的问题时，尝试
作这条辅助线，常常会有意想不到的效果．必做：1.请完成教材P60-61作业题T1，T3-T5
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题课件35张PPT。第2章 特殊三角形2.2 等腰三角形1课堂讲解等腰三角形及相关概念
三角形的分类
等腰三角形的轴对称性2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升等腰三角形的应用在人们的生活中随处可见，如埃
及金 字塔的四个面都呈等腰三角形的形状.1知识点等腰三角形及相关概念在小学我们已经学过，有两边相等的三角形叫做等腰 三
角形（isosceles triangle).如图 .知1－导知1－导1．在等腰三角形中，相等的两条边叫做________，剩下
的一条边叫做________，两腰所夹的角叫做________，
腰和底边的夹角叫做________．
2．顶角等于90°的等腰三角形是____________三角形．腰底边顶角底角等腰直角〈山东济宁〉如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm和6 cm，那么此三角形的周长是( )
A．15 cm B．16 cm C．17 cm D．16 cm或17 cm知1－讲导引：【例1】 因为题目没有指出长分别是5 cm和6 cm的边哪个是
腰，哪个是底边，所以应分两种情况讨论：(1)当6
cm为等腰三角形的底边长时，腰长为5 cm，此时等
腰三角形的周长为16 cm；(2)当5 cm为等腰三角形
的底边长时，腰长为6 cm，此时等腰三角形的周长
为17 cm.所以此三角形的周长是16 cm或17 cm.（来自《点拨》）D知1－讲总 结当已知等腰三角形的两边长但未指明是腰长还是底边
长时，应分两种情况讨论，同时还要注意检验是否满
足三角形的三边关系．1知1－练（来自《教材》）若等腰三角形的两边长分别是4和6,则它的周长是( )
（A） 14. (B) 15. (C) 16. (D) 14 或 16.2等腰三角形的腰长是4 cm，则它的底边长不可能是( )
A．1 cm B．3 cm C．6 cm D．9 cm（来自《典中点》）知1－练（来自《典中点》）(中考·肇庆)等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为( )
A．16 B．18
C．20 D．16或203求证:等腰三角形两腰上的中线相等.
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,CD，BE分别是腰AB,AC上的中线.求证:BE=CD.知1－讲【例2】 （来自《教材》）知1－讲证明：∵CD,BE分别是AB，AC上的中线（已知），
∴AD= AB，AE= AC (三角形中线的定义）.
∵ AB=AC (已知），
∴ AD=AE.
又 ∵ ∠A = ∠A (公共角），
∴△ ABE≌ACD（SAS）.
∴ BE=CD(全等三角形的对应边相等）.知1－讲总 结证明两条线段相等时，通常利用全等三角形来证，此
种方法先观察要证明相等的两条线段分别属于哪两个
三角形，设法证明这两个三角形全等，最后根据全等
三角形的对应边相等可得结论.1知1－练（来自《教材》）求证:等腰三角形两腰上的高线长相等.2如图，在△ABC中，AB＝AC，则腰是________，底角是________；若AD＝DC＝BC，则图中除了△ABC是等腰三角形外还有△________和△________是等腰三角形，其中∠ADC是△________的顶角，∠BDC和∠DBC是△________的底角．（来自《典中点》）知1－练（来自《典中点》）在△ABC中，若AB＝BC，则下列说法中，错误的是( )
A．∠A与∠C是底角 B．∠B是底角
C．AB与BC是腰 D．AC是底32知识点三角形的分类知2－导我们根据三角形边的长度也可以对三角形进行分类.
即三角形按边分类可以分为：三角形不等边三角形等腰三角形底边与腰不相等的等腰三角形等边三角形知2－讲等边三角形的边长为9cm，则它的周长为______．【例3】导引： 等边三角形的三条边相等，所以它的周长为
9×3=27(cm).点拨：等边三角形的三边相等，在解题中经常用到，一定
要熟记.27cm总 结知2－讲识别三角形时，就看边的大小：如果有两条边相等就
是等腰三角形，三条边都相等的是等边三角形，任意
两条都不相等的三角形既不是等腰三角形也不是等边
三角形.1知2－练如图，等边三角形ABC的边长如图所示，那么y= ．知2－练（来自《典中点》）三角形按边可分为( )
A．等腰三角形、等边三角形
B．等边三角形、不等边三角形
C．等腰三角形、不等边三角形
D．以上都不对2知2－练（来自《典中点》）已知a，b，c是△ABC的三边长，且(a＋b＋c)(a－b)＝0，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形
B．不等边三角形
C．等边三角形
D．以上都不对3知3－导3知识点等腰三角形的轴对称性在透明纸上任意画一个等 腰三角形ABC，画出它的顶角 平
分线AD(图1)，然后沿着 AD所在的直线把△ABC对折 (图2).
你发现什么？由此 你得出什么结论？问 题（一）图1图2归 纳知3－导等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是
它 的对称轴.（来自《教材》）问 题（二）知3－导我们知道，三条边都相等的三角形叫做等边三角形
(equilateral triangle).如图，AB=BC=AC, △ABC是
一个等边三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角
形.想一想，等边三角形有几条对称轴？知3－讲如图 (1)，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，M，N分别是边AB和边BC上的点，分别作点M，N关于直线AD的对称点．【例4】导引：因为等腰三角形是以它的顶角平分线所在直线为对称轴的
轴对称图形，所以把它沿AD折叠后，AB与AC重合，BD与
CD重合，那么点M，N的对称点分别在AC和CD上．知3－讲解：在AC上取一点M′，使CM′＝BM；在CD上取一
点N′，使CN′＝BN，则点M′，N′就分别是点M，
N关于直线AD的对称点．如图(2)．点拨：根据等腰三角形的轴对称性确定出点M，N的对
称点的大致位置是解题关键．总 结知3－讲1.等腰三角形是___________图形，顶角平分线所在的
直线是它的___________．
2．等边三角形是___________图形，且有__________条
对称轴．轴对称对称轴轴对称三如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，点E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12 cm2，试求图中阴影部分的面积.知3－练（来自《点拨》）1知3－练（来自《典中点》）在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是三角形边上的两点．当M，N分别满足如下关系时，点M，N关于△ABC的对称轴对称的是( )2知3－讲如图,在△ABC中，AB = AC，D，E分别是AB，AC上的 点，且AD=AE. AP是ABC的角平分线.点D，E关于AP对称吗？DE与BC有怎样的位置关系？请说明你的判断.
【例5】知3－讲解：点D和点E关于AP对称，且DE∥BC.理由如下:
因为AP是∠BAC的平分线，AB=AC，AD=AE，
所以等腰三角形ABC和等腰三角形ADE都是以直线
AP为对称轴的轴对称图形，点B和点C，点D和点E
都关于AP对称.根据“对称轴垂直平分连结两个对
称 点的线段”，知AP丄DE,AP丄BC，所以DE//BC.1知3－练（来自《教材》）如图，正方形上给定8个点，以这些点为顶点，能构成多少个等腰三角形？知3－练（来自《典中点》）等腰三角形的对称轴有( )
A．一条 B．两条
C．三条 D．一条或三条2等腰三角形的轴对称性
等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是其
对称轴．
注意：(1)不能说等腰三角形的对称轴是底边上的高、底
边上的中线或顶角平分线，必须说对称轴是直线，如等
腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线等．
(2)等腰三角形在通常情况下只有一条对称轴．求等腰三角形中的有关边长的方法：应先设定腰长或
底边长，再分情况计算，最后用三角形三条边的关系
检验其是否能构成三角形．由于等腰三角形有两条相
等的边，因此只要判断它的腰长的2倍与底边长的大小
关系即可．当腰长的2倍大于底边长时，一定能构成等
腰三角形；当腰长的2倍小于或者等于底边长时，这样
的等腰三角形是不存在的．必做：1.请完成教材P55课内练习T1-T2，教材P55作业题T2-T4
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题课件39张PPT。第2章 特殊三角形2.1 图形的轴对称第1课时 图形的轴对称1课堂讲解轴对称图形
轴对称图形的性质
轴对称
轴对称的性质2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升北京故宫建成于1420年，整个宫殿建筑布局沿中轴
线向东西两侧展开，呈现轴对称的结构.由于轴对称给
人 以美感，它被广泛应用于建筑设计上.1知识点轴对称图形小学里我们已经学过，如果把一个图形沿着一条直线折叠后，
直线两 侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图
形(axial symmetric figure)，这条直线叫做对称轴（axis of
symmetry).例如，长方形是有两条对 称轴的轴对称图形，如图
1;正方形是有四条对称轴的轴对称图形，如图2; 圆也是轴对称
图形，任何过圆心的直线都是它的对称轴，如图3.知1－导知1－导图2图1图3〈辽宁阜新〉如图所示的交通标志是轴对称图形的是( )知1－讲导引：【例1】 A.是轴对称图形，故本选项正确；B.不是轴对称图
形，故本选项错误；C.不是轴对称图形，故本选项
错误；D.不是轴对称图形，故本选项错误．（来自《点拨》）A知1－讲方法规律：本题运用定义法和排除法解答．根据轴对称图形
的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．识
别轴对称图形的关键是看能否找到一条直线，使
图形沿直线折叠后，两侧的部分互相重合．（来自《点拨》）知1－讲总 结根据轴对称图形的定义对各选项分析判断后利用排除
法求解，识别轴对称图形的关键是看能否找到一条直
线，使图形沿直线折叠后，两侧的部分互相重合.1知1－练（来自《教材》）线段、角是轴对称图形吗？如果你认为是轴对称图形，分别说出它 们的对称轴.2(14·天津)下列图形中，为轴对称图形的是( )（来自《典中点》）知1－练（来自《典中点》）如图，其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为( )
?
?
A．13 B．11 C．10 D．832知识点轴对称图形的性质知2－导如图 ，AD平分∠BAC,AB=AC.四边形ABDC是轴对
称图形吗？如果你认为是，说出它的对称轴.哪一个
点与点B对称？问 题（一）知2－导问 题（二）如图 ，AD平分∠BAC , AB=AC.连结BC，交AD于点E.
把四边形ABDC沿AD对折，BE与CE重合吗？ ∠ AEB
与∠ AEC呢？由此你得到什么结论？
归 纳知2－导轴对称图形的性质：对称轴________连接两个对称点
的线段．（来自《点拨》）垂直平分知2－讲如图，五边形ABCDE是轴对称图形，线段AF所在直线为对称轴，连接BE交AF于点O，找出图中所有相等的线段并判断∠AOB和∠AOE是否相等．【例2】知2－讲导引：根据轴对称图形的定义和轴对称图形的性质可知，
把图形沿AF折叠，重合的线段都相等，重合的角也
都相等；AF垂直平分BE和CD.点拨：根据轴对称图形的性质可知，∠AOB＝∠AOE＝
90°.解：相等的线段：AB＝AE，CB＝DE，CF＝DF，BO
＝EO；∠AOB和∠AOE相等．总 结知2－讲①对称轴是对应点所连线段的垂直平分线，而不是单
单是垂线或平分线；
②对应点的连线互相平行（有时在一条直线上）.1知2－练（来自《教材》）如图，以直线l1为对称轴，作点P的对称 点P1;以直线l2为对称轴，作点P的对称 点P2.知2－练（来自《典中点》）P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA，OB的对称点P1，P2，连结OP1，OP2，则下列结论正确的是( )
A．OP1⊥OP2
B．OP1＝OP2
C．OP1⊥OP2且OP1＝OP2
D．OP1≠OP22知2－练（来自《典中点》）如图，已知直线l是线段AB的对称轴，直线l与AB交于点C，若AB＝10 cm，则AC＝________ cm，BC＝______cm，直线l与AB所成的角的度数是_______．3知3－导3知识点轴对称看下边的照片（图1 ），我们发现照片每两个图形的形状、大小
都一样，并且沿着一条直线对折后，这两个图形能够完全重合，
我们知道照片是平面图形，我们把这样的两个平面图形叫做成轴
对称.那么是不是两个能够重合的图形就成轴对称呢？再把我们的
两只手手面朝上向前伸出，一只胳膊伸直，另一只不伸直，然后
把两手向内翻，左右手能够重合吗？再看图2中的脚印，你能找
到一条直线沿着这条直线折叠后，是脚印重合吗，两个“喜”呢
？我们发现两个图形虽然大小相等、形状相同也不一定存在一条
直线，沿着这条直线折叠后是这两个图形重合，所以还与位置有
关. 如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，那么称
这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴.知3－导图2图1归 纳知3－导一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图
形沿某一条直线折 叠后能够互相重合，这样的图形
改变叫做图形的轴对称(line symmetry)，这条直线叫
做对称轴.（来自《教材》）知3－讲〈湖南郴州〉作图题：如图，在方格纸中画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1.【例3】导引：分别找到A、B、C三点关于直线MN的对称点A1、
B1、C1，依次连接A1B1，B1C1，C1A1即可．知3－讲解：如图所示．点拨：给出对称轴，作与已知图形成轴对称的图形的一般
方法是：①找出已知图形上的所有关键点的对称点
；②按已知图形的形状连接这些对称点，就可得到
与已知图形成轴对称的图形．总 结知3－讲给出对称轴，作为已知图形成轴对称的图形的一般方法
是：①找出已知图形上的所有关键点的对称点；②按已
知图形的形状连接这些对称点，就可得到与已知图形成
轴对称的图形.如图，以直线l为对称轴，作与所给图形X成轴对称的图形.知3－练（来自《教材》）1知3－练（来自《典中点》）下列选项中的两个图形成轴对称的是( )2下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是( )知3－练（来自《典中点》）3ABCD4知识点轴对称的性质知4－导如图，已知线段AB和直线l.以直线 l为对称轴，作与
线段AB成轴对称的图形.问 题（一）知4－导问 题（二）如图，已知直角三角形ABC.
(1)以直角边AC所在的直线为对称轴，
作出与直角三角形ABC成轴对称的图形.
(2)第（1)题作出的图形和原图形组成
一个等腰三角形吗？请说明理由.
归 纳知4－导成轴对称的两个图形是全等图形.知4－讲〈湖南怀化〉如图，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为________．【例4】90°知4－讲导引：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝60°.
又∵∠A＝30°，∴∠B＝180°－∠A－∠C＝
180°－30°－60°＝90°.点拨：根据图形的轴对称的性质得出△ABC≌△A′B′C′是
解答此题的关键．总 结知4－讲利用轴对称的性质求线段和角的方法：先根据轴对称
的特征确定对应的边，对应的角，然后利用轴对称的
性质即对应边相等，对应角相等.把要求的边、角与
已知的边、角建立关系式，从而求出待求的边和角.1知4－练（来自《典中点》）如图，已知△ABC与△A′B′C′关于直线l成轴对称，且∠A＝45°，∠C′＝35°，则∠B的度数为( )
A．100° B．90° C．50° D．30°知4－练（来自《典中点》）如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，下列结论：①△ABC≌△AB′C′；②∠BAC′＝∠B′AC；③直线l垂直平分CC′；④直线BC和B′C′的交点不一定在直线l上．其中正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2轴对称和轴对称图形的区别与联系
联系：(1)都有对称轴，且沿着对称轴对折后能够互相重
合；(2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，
那么这两个图形就关于这条对称轴对称；反过来，如果
把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个
轴对称图形．
区别：(1)定义不同；
(2)轴对称图形指的是一个图形，而两个图形成轴对称
指的是两个图形；
(3)一个轴对称图形的对称轴可能有多条，而两个图形
成轴对称的对称轴一般只有一条．必做：1.请完成教材P51课内练习T2-T3，P51-52作业题T1，T4-T6
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题课件26张PPT。第2章 特殊三角形2.1 图形的轴对称第2课时 设计轴对称图案 名师点金1.设计轴对称图案往往以正方形、正三角形及网格纸(或格
点纸)为基础，因为这些图形本身是轴对称图形，利用轴
对称的性质设计出对称点及对称部分，具体设计时，先以
一条对称轴为基准线，根据构图需要，再添加对称轴，进
一步将设计的图案作得美观、和谐．
2．把纸经过一次或多次折叠后，剪纸展开得到的图案显然
是以折痕为对称轴的轴对称图案．
说明：设计轴对称图案时，除图形对称外，有时添加颜
色(着色)，也要“对称”，因而要考虑周密，使图形对
称、和谐．1知识点剪纸中的轴对称1．过新年时，小强家的窗户上贴着如图的美丽的
剪纸图案，它的对称轴有( )条．
A．0 B．4
C．8 D．无数C2．奶奶用一张正方形的红纸沿对角线对折后，得到一
个等腰直角三角形，再沿底上的高对折，得到的又
是等腰直角三角形，在此三角形上剪出一些花纹，
然后打开折叠的纸，将它铺平，小明一下子就猜出
了这个图案至少有( )条对称轴．
A．0 B．2 C．4 D．6B3．如图，把一个正方形纸片三次对折后沿虚线剪
下，展开后得到的图形是( )A B C DC4．如图，一张正方形纸片经过两次对折，并在如图位
置上剪去一个小正方形，打开后是( )A B C DD5．剪纸是中国的民间艺术，剪纸的方法很多，下面是
一种剪纸的方法．如图，先将纸折叠，然后剪出图
形，再展开，即可得到图案．
?
?
下面四个图案中，不能用上述方法剪出的是( )C6．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，
移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方
形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有
________种．2知识点设计轴对称图形13 根据轴对称图形的特点来移，可得一共有13种
平移方法．点 拨7．如图，在3×3的正方形网格中已有两个小正方形被
涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整
个图案构成一个轴对称图形的办法有( )种．
?A．3 B．4 C．5 D．6C8．如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方
法分别在下图中添画一个小正方形，使它成为轴对
称图形．解：如图9．将一张正方形的纸沿对角线对折一次后，得到一等
腰直角三角形，沿等腰直角三角形底边上的高对折
一次，又得到一等腰直角三角形，再沿着其底边上
的高对折一次，共对折了三次后，在中间剪去一个
小圆，则展开后得到的图形有几条对称轴？
?1易错点误认为对这几次就有几条对称轴解：有4条对称轴.点 拨 本题易错在误把折叠次数当成对称轴的条数，
可以动手操作试一试．
10．(14·枣庄)如图，在正方形方格中，阴影部分是涂
黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的
一个小正方形涂黑，使得
到的新图案成为一个轴对
称图形的涂法有________种．
?1命题角度利用轴对称设计图案3 如图，在1，2，3处分别涂黑都可得一个轴对
称图形，故涂法有3种．点 拨11．(中考·宁夏)如图，在一个正三角形的网格中，
已知有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余
的小三角形涂黑一个，使整个图案构成一个轴
对称图案的方法有________种．
?312．以给出的图形“○○，△△，===”(两个圆、两个
三角形、两条平行线)为构件，设计一个构思独特
且有意义的轴对称图形．举例：如图(1)是符合要
求的一个图形，你还能
构思出其他的图形吗？
请在图(2)中画出与之
不同的一个图形，并写
出一两句贴切的解说词．1考查角度利用轴对称的性质找图中的相等关系解：答案不唯一，如图．13．认真观察图(1)中的四个图中阴影部分构成的图案，
其中每个小正方形的边长为1，回答下列问题：
(1)请写出这四个图案都具有的两个特征．
特征1：______________________________________
特征2：______________________________________
(2)请在图(2)中设计一个你心中最美丽的图案，使它也
具备你所写出的上述特征．都是轴对称图形；面积都是4.解：(2)答案不唯一，只要画出一个满足条件的图案
即可．(如图)14．如图，AD是△ABC的高，∠B＝2∠C，利用轴对
称的性质证明AB＋BD＝DC.2考查角度利用轴对称证明线段和差关系(设计对称法)如图，以AD所在直线为对称轴，作点B的对称点
B′，则易知B′在DC上，且AB＝AB′，BD＝B′D，
∠B＝∠AB′D.
∵∠B＝2∠C，
∴∠AB′D＝2∠C.
又∵∠AB′D＝∠C＋∠B′AC，
∴∠B′AC＝∠C.∴AB′＝B′C.∴B′C＝AB.
∴AB＋BD＝B′C＋DB′＝DC.证明：15．如图，在△ABC中，D，E为AC边上的两个点，试
在AB，BC上分别取一个点M，N，使四边形
DMNE周长最小．如图，(1)作点D关于AB的对称点D′，点E关于BC
的对称点E′.(2)连结D′E′交AB于点M，交BC于点
N.(3)连结DM，EN.四边形DMNE就是符合要求的
四边形，此时周长最小．解： 教你一招 在设计图案时需要注意“三点”(1)图案是由哪些
基本图形组成的；(2)是不是轴对称图形．如果是轴对
称图形，要先确定它的对称轴；(3)设计轴对称的图案
时，除图形对称外，有时颜色也要“对称”．
