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第4章 图形与坐标 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．若，则点在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
2．2025年3月28日14时20分，在缅甸实皆省实皆市发生7.9级地震，震源深度30公里，距中国边境线最近约294公里．以下能够准确表示这次地震震中位置的是（ ）
A．北纬 B．东经
C．北纬，东经 D．云南西南方向
3．将点向右平移5个单位长度，得到点，再把点向上平移4个单位长度得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，B船在A船的北偏东方向上，且距A船70海里处．用方位角和距离描述A船相对于B船的位置，下列说法正确的是（ ）
A．北偏东方向上，距离B船70海里处
B．北偏东方向上，距离B船70海里处
C．南偏西方向上，距离B船70海里处
D．南偏西方向上，距离B船70海里处
5．如图是一只蝴蝶标本，将其放在平面直角坐标系中，若蝴蝶两个“翅膀顶端”A，B两点的坐标分别为，则蝴蝶“翅膀尾部”点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图是发现于甘肃省敦煌藏经洞中的《全天星图》中的一部分，《全天星图》中的一种画法便是用直角坐标投影．某同学按全天星图的绘图方式将观察到的北斗七星画在如图2所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点坐标为，表示“开阳”的点坐标为，则表示“天权”的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，点在x轴上，点在y轴上，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
8．已知关于的不等式组的整数解为，（其中，为整数），若点的坐标为，则满足条件的点共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
9．如图，在等腰中，，，点A，B分别在x轴，y轴上，且轴，将沿x轴向左平移，当点A与点O重合时，点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点．按这样的运动规律，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．已知，则点在第 象限．
12．如图，小悦一家要到山西革命圣地八路军总部旧址参观，则小悦家在八路军总部旧址的 方向处．
13．已知轴，，B在第一象限且，则B点的坐标为 ．
14．已知点位于第四象限，且到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为 ．
15．在平面直角坐标系中，，，，则的面积为 ．
【答案】3
16．如图，在平面直角坐标系中，，，，，是线段上的两个动点，且，则与周长和的最小值为 ．
三．解答题（共8小题）
17．如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是．
(1)请你画出该学校平面示意图所在的平面直角坐标系；
(2)办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置；
(3)小明同学发现从旗杆到图书馆行走的方向和距离正好与他从宿舍楼到报告厅行走的方向和距离相同，请你在图中标出报告厅的位置，并写出报告厅位置的坐标．
18．已知，如图在平面直角坐标系中，，,求三个顶点的坐标．
19．在平面直角坐标系中，已知点，．
(1)若点在轴上，求点的坐标；
(2)若线段轴，求线段的长．
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)在图中作出关于x轴的对称图形；
(2)请直接写出点A、B、C关于y轴的对称点、、的坐标： ； ； ；
(3)求的面积．
21．对于坐标系中的图形M上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“n型平移”，点称为将点P进行“n型平移”的对应点；将图形M上的所有点进行“n型平移”称为将图形M进行“n型平移”．例如，将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点Q进行“型平移”．已知点．
(1)在图中建立平面直角坐标系，并画出线段进行“2型平移”后的对应线段，直接写出，的坐标；
(2)将线段进行“n型平移”后与y轴有公共点，直接写出n的取值范围_____；
(3)将（1）中四边形进行“n型平移”后与x轴有公共点，请直接写出n的取值范围是____．
22．在平面直角坐标系中，为原点，点．
(1)如图①，三角形的面积为___________；
(2)如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D，求三角形的面积；
(3)在（2）条件下，点是平面内一动点，若三角形的面积等于三角形的面积的一半，求点的坐标．
23．如图，已知在灯塔O的正西方向有一小岛A，正北方向有一海上景点B，已知两地相距两地相距4km，如图构建平面直角坐标系．
(1)点A的坐标为____________，点B的坐标为____________；
(2)现在恰好有一艘小船C位于航线OA上，且到两地的距离相等；
①求出小船C的坐标；
②此时小船C到航线AB的距离是多少？
24．如图①，在平面直角坐标系中，点，，且实数，满足．
(1)直接写出，两点的坐标；
(2)将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，使点落在轴上，点落在轴上，设点的坐标为，连接，，求的面积．
(3)如图②，连接，，为线段上一点，为轴上一动点，若，求的取值范围．中小学教育资源及组卷应用平台
第4章 图形与坐标 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．若，则点在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【答案】B
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限；根据，得出，再进行判断即可．
【详解】解：，
，
∴点在第三象限，
故选：B．
2．2025年3月28日14时20分，在缅甸实皆省实皆市发生7.9级地震，震源深度30公里，距中国边境线最近约294公里．以下能够准确表示这次地震震中位置的是（ ）
A．北纬 B．东经
C．北纬，东经 D．云南西南方向
【答案】C
【分析】本题考查了有序实数对表示位置，理解题意是解题的关键．
根据有序实数对表示位置，确定一个位置需要两个数据解答即可．
【详解】解：根据位置的表示意义，需要有两个数据来确定，
故选：C．
3．将点向右平移5个单位长度，得到点，再把点向上平移4个单位长度得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是坐标与图形变化平移．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减解答．
【详解】解：将点向右平移5个单位长度，得到点，即，
再把点向上平移4个单位长度得到点，则点 的坐标为，即．
故选：B．
4．如图，B船在A船的北偏东方向上，且距A船70海里处．用方位角和距离描述A船相对于B船的位置，下列说法正确的是（ ）
A．北偏东方向上，距离B船70海里处
B．北偏东方向上，距离B船70海里处
C．南偏西方向上，距离B船70海里处
D．南偏西方向上，距离B船70海里处
【答案】D
【分析】本题考查了用方向角与距离确定物体的位置，正确理解方向角的定义是解题关键．直接根据题意得出的长以及度数，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：A船在B船的南偏西，海里，
故选：D．
5．如图是一只蝴蝶标本，将其放在平面直角坐标系中，若蝴蝶两个“翅膀顶端”A，B两点的坐标分别为，则蝴蝶“翅膀尾部”点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查建立平面直角坐标系，解答本题的关键是熟练掌握平面内特殊位置的点的坐标特征．根据题意，建立平面直角坐标系，写出点的坐标．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，则点C的坐标为，
故选：D
6．如图是发现于甘肃省敦煌藏经洞中的《全天星图》中的一部分，《全天星图》中的一种画法便是用直角坐标投影．某同学按全天星图的绘图方式将观察到的北斗七星画在如图2所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点坐标为，表示“开阳”的点坐标为，则表示“天权”的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了利用坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x、y轴的位置．
根据“摇光”的点的坐标与“开阳”的点的坐标先判断平面直角坐标系的原点，确定轴，轴，根据坐标系确定表示“天权”的点的坐标即可．
【详解】解：由表示“摇光”的点的坐标为与表示“开阳”的点的坐标为得：平面直角坐标系，如图：
可知：表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为．
故选：A．
7．在平面直角坐标系中，点在x轴上，点在y轴上，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查点所在的象限；根据坐标轴上点的坐标特征，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0．由此可分别求出m和n的值，再计算的值即可．
【详解】解：∵点N在y轴上：点N的坐标为．
，
解得：．
∵点M在x轴上，点M的坐标为，
，
把代入得，
解得：
将和代入，得．
故选：A．
8．已知关于的不等式组的整数解为，（其中，为整数），若点的坐标为，则满足条件的点共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查了不等式组的整数解问题、平面直角坐标系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
先解一元一次不等式组，再根据整数解确定的取值范围，即可确定整数的值．
【详解】解：解不等式得，
；
解不等式得，
；
因为不等式组的整数解为，，
所以，且，
则，．
又因为，为整数，
所以，，，，
所以满足条件的共有对．
故选：C．
9．如图，在等腰中，，，点A，B分别在x轴，y轴上，且轴，将沿x轴向左平移，当点A与点O重合时，点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了两点间的距离公式．设，，则．分别根据，列出方程①，②，求出，，再根据平移的规律求解．
【详解】解：设，，则，．
，轴，
．
，
①，
，
②，
①②得，，
，
，．
把代入①，得（负值舍去），
，
将沿轴向左平移，当点与点重合时，点的坐标为．
故选：D．
10．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点．按这样的运动规律，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了点坐标的规律探究，结合图象，可以发现图象上点的规律是：纵坐标的变化是按照1，0，，0的顺序，每4个点为一组循环变化，横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1．利用规律求解即可．
【详解】解：由图可得，从开始，纵坐标的变化是按照1，0，，0的顺序，每4个点为一组循环变化，横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1．
，
的纵坐标与的纵坐标相同，
的坐标为，
故选A．
二．填空题（共6小题）
11．已知，则点在第 象限．
【答案】一或三
【分析】本题考查了点的坐标，根据有理数的乘法，可得a、b的符号，然后根据象限内点的特征解答即可．
【详解】解：∵，
∴，或，，
∴点在第一或三象限，
故答案为：一或三．
12．如图，小悦一家要到山西革命圣地八路军总部旧址参观，则小悦家在八路军总部旧址的 方向处．
【答案】北偏东
【分析】本题考查了方位角，根据图形解答即可．
【详解】解：小悦家在八路军总部旧址的北偏东方向处．
故答案为：北偏东．
13．已知轴，，B在第一象限且，则B点的坐标为 ．
【答案】
【分析】因为轴，所以、两点横坐标相同．已知点坐标和的长度，结合在第一象限，可求出点纵坐标，进而得到点坐标．本题主要考查了坐标与图形性质，平行于轴的直线上的点横坐标相同是解题的关键．
【详解】解：轴，
设点坐标为
，在第一象限，即
点坐标为
故答案为：
14．已知点位于第四象限，且到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，绝对值，一元一次不等式组，一元一次方程，代数式求值．
根据第四象限的点的横坐标为正，纵坐标为负，结合题意列出方程，解方程，即可求解．
【详解】解：∵点位于第四象限，且到两坐标轴的距离相等，
∴，且，
∴，，
解得，
∴，
即P的坐标为．
故答案为：．
15．在平面直角坐标系中，，，，则的面积为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了三角形的面积，坐标和图形的性质，正确描出各点坐标画出图形是解题的关键．
本题可根据三角形面积公式，结合、两点坐标特点求出底边长度，再确定高的长度，进而求出三角形面积．
【详解】解：如图：
∵，，、两点横坐标相同，都在轴上，
∴．
∵点到轴（所在直线）的距离就是边上的高，
∴点到轴的距离，
∴的面积为： ．
故答案为：3．
16．如图，在平面直角坐标系中，，，，，是线段上的两个动点，且，则与周长和的最小值为 ．
【答案】30
【分析】本题考查轴对称最短问题，勾股定理，坐标与图形性质等知识，作点C关于的对称点E，作，使得，连接，使得，连接，，．则，，求出的最小值，可得结论．
【详解】解：作点C关于的对称点E，作，使得，连接，，．则，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵E，C关于对称，
∴，
∴，
∴的最小值为13，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵与的周长的和为：
，
∴与的周长的和的最小值为．
故答案为：30．
三．解答题（共8小题）
17．如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是．
(1)请你画出该学校平面示意图所在的平面直角坐标系；
(2)办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置；
(3)小明同学发现从旗杆到图书馆行走的方向和距离正好与他从宿舍楼到报告厅行走的方向和距离相同，请你在图中标出报告厅的位置，并写出报告厅位置的坐标．
【分析】本题考查了平面直角坐标系，点的坐标的表示方法，坐标确定位置，画出正确的平面直角坐标系是解题的关键．
（1）根据点的坐标进行建立平面直角坐标系即可；
（2）根据坐标系和网格结合点的坐标进行标注即可；
（3）根据平移的性质确定报告厅的位置和坐标即可．
【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示；
（2）解：办公楼和教学楼位置如图所示；
（3）解：报告厅位置如图所示，
从旗杆到图书馆可以看作，点先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，
宿舍楼的坐标为，根据平移的性质得，报告厅的位置坐标为．
18．已知，如图在平面直角坐标系中，，,求三个顶点的坐标．
【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，熟知三角形面积公式是解题的关键；
首先根据面积求得、OB的长，最后求得的长．然后写出坐标即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵点O为原点，
∴，，．
19．在平面直角坐标系中，已知点，．
(1)若点在轴上，求点的坐标；
(2)若线段轴，求线段的长．
【分析】本题考查了点的坐标，平面直角坐标系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据在x轴上的点的纵坐标为0，列式计算，即可作答．
（2）根据平行于y轴的两个点的横坐标是相等的，进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵在轴上，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标是；
（2）解：∵轴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)在图中作出关于x轴的对称图形；
(2)请直接写出点A、B、C关于y轴的对称点、、的坐标： ； ； ；
(3)求的面积．
【分析】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此可得出答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：∵点、，关于y轴的对称点、、，
∴，，．
故答案为：；；．
（3）解：的面积为．
21．对于坐标系中的图形M上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“n型平移”，点称为将点P进行“n型平移”的对应点；将图形M上的所有点进行“n型平移”称为将图形M进行“n型平移”．例如，将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点Q进行“型平移”．已知点．
(1)在图中建立平面直角坐标系，并画出线段进行“2型平移”后的对应线段，直接写出，的坐标；
(2)将线段进行“n型平移”后与y轴有公共点，直接写出n的取值范围_____；
(3)将（1）中四边形进行“n型平移”后与x轴有公共点，请直接写出n的取值范围是____．
【分析】本题主要考查坐标与图形的平移变换，属于创新题型．理解“n型平移”的意定义，熟练运用点的平移规律是解题关键．
（1）根据题目中“n型平移”的定义得到，的坐标，从而得到线段；
（2）当点B向上移到y轴上时，求得n的最小值；继续下移，当A点在y轴上时，n取得最大值．
（3）当点向下移到x轴上时，求得n'的最小值；四边形继续下移，当A点在x轴上时，n取得最大值．
【详解】（1）解：平面直角坐标系和平移后的线段如图所示，
∴平移后点坐标为，即，点坐标为，即；
（2）解：将线段进行“n型平移”后点坐标为，点坐标为，
∵与y轴有交点，
∴，，
解得，
故答案为：；
（3）解：（1）中四边形进行“n型平移”后点的坐标为，，，，
∵与x轴有交点，
∴，，
解得，
故答案为：．
22．在平面直角坐标系中，为原点，点．
(1)如图①，三角形的面积为___________；
(2)如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D，求三角形的面积；
(3)在（2）条件下，点是平面内一动点，若三角形的面积等于三角形的面积的一半，求点的坐标．
【分析】本题考查坐标与图形变化——平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
（1）求出，，，利用三角形面积公式可得结论．
（2）连接，根据，求解即可．
（3）根据面积关系构建方程，求出即可．
【详解】（1）解：点，，，
，，，
，
故答案为：．
（2）解：连接．
∵，点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D，
∴，
∴；
（3）解：由题意，，
解得，
点的坐标为或．
23．如图，已知在灯塔O的正西方向有一小岛A，正北方向有一海上景点B，已知两地相距两地相距4km，如图构建平面直角坐标系．
(1)点A的坐标为____________，点B的坐标为____________；
(2)现在恰好有一艘小船C位于航线OA上，且到两地的距离相等；
①求出小船C的坐标；
②此时小船C到航线AB的距离是多少？
【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，勾股定理的应用以及点到直线的距离，由三角形面积相等建立等式是求解本题的关键．
（1）根据点A与点B的方位，再根据和两点之间的距离即可求解坐标．
（2）①设小船C的坐标为，则有，，再由到两地的距离相等结合勾股定理建立等式即可求解；
②根据面积相等法，由的面积建立等式即可求解．
【详解】（1）解：∵两地相距两地相距4km，
且点A在点O的正西方向，点B在点O的正北方向，
∴点A位于x轴负半轴，点B位于y轴正半轴，
∴点A的坐标为，点B的坐标为．
故答案为：，．
（2）解：①设小船C的坐标为，
则有，，
又∵，且小船C到两地的距离相等，
∴，
在中，，
即，
整理可得，解得，
∴小船C的坐标为；
②过点C作交于点D，如图，
∵，，，
∴在中，，
则有，
∴，
即，
∴小船C到航线AB的距离是．
24．如图①，在平面直角坐标系中，点，，且实数，满足．
(1)直接写出，两点的坐标；
(2)将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，使点落在轴上，点落在轴上，设点的坐标为，连接，，求的面积．
(3)如图②，连接，，为线段上一点，为轴上一动点，若，求的取值范围．
【分析】（1）根据非负数的性质可得，即可求解；
（2）根据平移的性质可得，从而得到点，即可求解；
（3）根据平移的性质可得，设交y轴于点K，连接，则，从而得到，再由，可得，然后结合，可得，然后分两种情况：当时，当时，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，
∵点，，
∴，两点的坐标为；
（2）解：∵将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，使点落在轴上，点落在轴上，，
∴，
∴点，
∴轴，轴，
∴，，
∴的面积为；
（3）解：由（2）得：将线段向左平移5个单位，再向下平移3个单位，得到线段，，
∵，
∴，
如图，设交y轴于点K，连接，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点Q不能与点K重合，
∴，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上所述，t的取值范围为且．
