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第3章 一元一次不等式 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列数学式子：①；②；③；④；⑤；其中是不等式的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键是掌握用不等号连接的式子是不等式．根据不等式的定义：用不等号连接的式子是不等式，逐个进行判断即可．
【详解】解：①，是不等式，符合题意；
②，是不等式，符合题意；
③，是等式，不符合题意；
④，是多项式，不符合题意；
⑤，是不等式，符合题意；
综上：是不等式的有①②⑤，共3个，
故选：C．
2．是下列不等式（ ）的一个解．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的解，解题的关键是理解不等式的解的意义；把分别代入各选项判定即可；
【详解】解：、当时，，故本选项不符合题意；
、当时，，故本选项不符合题意；
、当时，，故本选项不符合题意；
、当时，，故本选项符合题意；
故选：．
3．若，则下列式子中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质1：不等式两边加（或减）去同一个数（式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，根据不等式的性质逐项分析即可得出答案．
【详解】解：A、因为，所以，故此选项正确，不符合题意；
B、因为，所以，故此选项错误，符合题意；
C、因为，所以，故此选项正确，不符合题意；
D、因为，所以，故此选项正确，不符合题意；
故选：B．
4．不等式组的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查解一元一次不等式组，利用数轴表示不等式组的解集．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可，注意在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆圈表示．
【详解】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
因此该不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故选D．
5．已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（ ）
A．6 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可．
【详解】解：∵是不等式的一个解，
∴，
解得，
∴整数k的最小值是6．
故选：A．
6．定义新运算“”，规定：．若关于的不等式的解集为，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据定义的新运算得到，得，由不等式的解集得，即可求得的值．
【详解】解：，
，
得：，
不等式的解集为，
，
解得：，
故选：D．
7．关于的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有且只有四个，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴表示解集、不等式的整数解、解不等式组等知识点，根据不等式的解集情况得到关于m的不等式组成为解题的关键．
根据不等该不等式的负整数解有且只有四个，可知这四个负整数解为；再根据数轴可得，进而得到关于m的不等式组求解即可．
【详解】解：∵该不等式的负整数解有且只有四个，
∴这四个负整数解为，
由数轴可知不等式解集为：，
∴，即．
故选：A．
8．一个工程队原定在10天内至少要挖土，前两天一共完成了，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务，问：后6天内平均每天至少要挖土多少立方米？若设后6天内平均每天要挖土，根据题意可列不等式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了列一元一次不等式，根据题意，工程队原计划10天内至少挖土600立方米，前两天完成120立方米后，因工期提前两天，剩余任务需在接下来的6天内完成．设后6天每天挖土x立方米，则总挖土量为前两天完成的量加上后6天的量，应至少达到600立方米．由此可列不等式．
【详解】解：总任务量：原计划10天内至少挖土600立方米．
已完成量：前两天共完成120立方米．
剩余时间：总工期提前两天后变为8天，已用2天，剩余天．
列不等式：后6天每天挖土x立方米，总挖土量为，需满足至少600立方米，即，
故选：A
9．若实数，则实数，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查学生对利用不等式比较大小的方法的灵活使用情况，利用作差法分别比较即可．
【详解】解：∵，
，
，
，，
而，
，
，
故选：B．
10．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．12 B．18 C．30 D．42
【答案】A
【分析】此题考查了一元一次不等式组和分式方程的求解能力，先通过解一元一次不等式组和分式方程确定所有满足条件的整数的值，再进行相加求解．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
由题意得，
解得；
解方程得，，且，
∵关于y的分式方程的解均为负整数，
∴，解得，
∴，
当时，；
当时，（不合题意，舍去）；
当时，，
∴符合条件的有 8，4 ，
∴，
即所有满足条件的整数的值之和是 12 ．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．比较大小，用“”或“”填空；若，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的运算性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
根据不等式的性质分析出即可解答．
【详解】解：由得，
可知，当不等式两边同时除以一个负数时，不等号的方向发生改变，
∴，
即，
故答案为：．
12．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为
【答案】
【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．利用一元一次不等式的定义判断即可．
【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴，，
解得：，
故答案为：．
13．请写出满足不等式组的一个正整数解 ．
【答案】1或2
【分析】根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，然后确定整数解计算即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，不等式组的整数解，熟知以上知识是解题的关键．
【详解】解：∵
∴解不等式①，得，解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的正整数解为，
故答案为：1或2．
14．任意实数，表示不超过的最大整数．例如：，．若，，则所有可能的值为 ．
【答案】6或7
【分析】本题考查了新定义运算，由新定义得，，结合不等式的基本性质及新定义，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
或；
故答案为：6或7．
15．若不等式组的解集为，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数．首先解出不等式组的解集，再把结果与所给的解集对比，即可求得a，b的值．
【详解】解：由，解得：，
由，解得：，
∴不等式组的解集为：，
不等式组的解集为，
∴，解得：，，
∴，
故答案为：2．
16．某健身器材专卖店推出两种优惠活动如下表，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一 所购商品按原价打八折
活动二 所购商品按原价每满300元减80元．（说明：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
若购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为元，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．
根据该专卖店推出两种优惠活动，求分别求出选择活动一及选择活动二需付款金额， 再分，及三种情况考虑，分别列不等式解不等式可得答案．
【详解】解：这种健身器材的原价为元，则活动一需付款元，
活动二：当时，需付款元，当时，需付款元，当时，需付款元，
①当时，，
此时无论为何值，都是活动一更合算，不符合题意，
②当时，，
解得，即当时，活动二更合算，
③当时，，
解得，
即当时，活动二更合算．
综上，当或时，活动二更合算．
故答案为：或.
三．解答题（共8小题）
17．根据下列关系列出不等式．
(1)是非负数；
(2)的相反数与1的差小于2；
(3)与7的和比x的2倍小；
(4)的2倍与5的和是正数；
(5)，两数的平方差不小于1．
【分析】本题主要考查列不等式，准确找到不等量关系，理解“大于，小于，不大于，不小于”的意义是关键．
（1）根据不等量关系直接列出不等式即可．
（2）根据不等量关系直接列出不等式即可．
（3）根据不等量关系直接列出不等式即可．
（4）根据不等量关系直接列出不等式即可．
（5）根据不等量关系直接列出不等式即可．
【详解】（1）解：由题意得：
（2）解：由题意得：
（3）解：由题意得：
（4）解：由题意得：
（5）解：由题意得：
18．解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．
(1)；
(2)．
【分析】本题考查了解一元一次不等式（组）、将不等式组的解集表示在数轴上，熟练掌握一元一次不等式（组）的解法是解题关键．
（1）根据不等式的性质，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式，再将不等式的解集表示在数轴上即可得；
（2）先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将不等式组的解集表示在数轴上即可得．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
把不等式的解集表示在数轴上，如图所示：
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以不等式组的解集为．
把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示：
19．（1）已知，比较与的大小．
解：，且（已知），
________（依据：________），
________（依据：________）．
（2）若，比较与的大小，并说明理由．
【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是熟知不等式的性质，并能根据性质对不等式进行变形．
（1）根据不等式的性质分析即可求解；
（2）根据不等式的性质分析即可求解．
【详解】解：（1），且（已知），
（依据：不 等 式 的 性 质 2 ），
（依据：不 等 式 的 性 质 1），
故答案为：，不等式的性质2，，不等式的性质1；
（2），理由如下：
，且（已知），
（依据：不等式的性质3），
（依据：不等式的性质1）．
20．关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，求所有满足条件的整数的值之和．
【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数的取值范围，根据不等式组的解集情况求参数的取值范围，有理数的加法运算，分别求出分式方程和不等式的解集，根据解和解集的情况求出满足条件的的取值范围，进而得到整数的值，再相加即可求解，正确计算是解题的关键．
【详解】解：分式方程两边乘以，得，
解得，
∵分式方程的解为正数，
∴且，
∴且，
由，得，
由，得，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得，
∴所有满足条件的的取值范围为且，
∴所有满足条件的的整数解有，，，它们的和为．
21．已知，，为三个非负数，且满足，．
（1）求的取值范围；
（2）设，求的最大值和最小值．
【详解】解:（1）根据题意可得方程组，
解得，
因为，，为三个非负数，
故，，，
即可得不等式组，
解得；
（2）将代入到中，得
，
因为，
故，
即，
故最大值为，最小值为．
22．某公司生产甲、乙两种机械设备，每台乙种设备的成本是甲种设备的1.5倍．公司若生产4台甲种设备，6台乙种设备，共需花费资金52万元．
(1)甲、乙两种设备每台的成本分别是多少万元
(2)若甲、乙两种设备每台的售价分别是6万元、10万元，公司决定生产两种设备共60台，计划销售后获利不低于126万元，且甲种设备至少生产55台，则该公司有哪几种生产方案
【分析】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的综合，根据给定的不等关系建立一元一次不等式是解决本题的关键．
（1）设甲种设备每台的成本x万元，乙种设备每台的成本y万元，根据“每台乙种设备的成本是甲种设备的1.5倍；生产4台甲种设备，6台乙种设备，共需花费资金52万元”列方程组，求解即可；
（2）设甲种设备生产m台，则乙种设备生产（60-m）台，根据“获利不低于126万元，且甲种设备至少生产55台”列不等式，求出m取值范围即可确定生产方案．
【详解】（1）解：设每台甲种设备的成本是x万元，每台乙种设备的成本是y万元．
根据题意，得，
解得，
故每台甲种设备的成本是4万元，每台乙种设备的成本是6万元；
（2）解：设甲种设备生产m台，则乙种设备生产台．
根据题意，得，
解得．
又∵，且m为整数，
∴m的取值有55，56，57．
故该公司有3种生产方案：方案一：甲生产55台，乙生产5台；方案二：甲生产56台，乙生产4台；方案三：甲生产57台，乙生产3台．
23．【阅读材料】
我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为．
【解决问题】
参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题：
(1)不等式的解集为___________．
(2)求不等式的解集．
(3)求不等式的解集．
【分析】本题主要考查了绝对值、数轴与不等式．
（1）根据绝对值的意义及数轴求解；
（2）根据绝对值的意义及数轴求解；
（3）先把不等式变形，再根据绝对值的意义及数轴求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：法①：在数轴上到2的距离大于或等于3的点对应的数小于或等于或者大于或等于5，
不等式的解集为或；
法②：不等式可化为或，
解得：或；
不等式的解集为或；
（3）解：不等式可化为，
，
所以原不等式的解集为：．
24．【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．
【问题解决】
(1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 （填序号）；
(2)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围；
(3)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，直接写出m的取值范围．
【分析】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组，以及一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集的关系，理解新定义得到满足条件的参数对应的不等式（组）是解答的关键．
（1）先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答；
（2）先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于k的不等式组，然后解不等式组即可求解；
（3）先解方程，再求出不等式组的解集，然后根据定义求解即可．
【详解】（1）解：解方程①得：，
解方程②得：，
解方程③得：，
解不等式组得：，
所以不等式组 的“子方程”是①②．
（2）解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
解方程，得，
由题意，得，
∴，
解得：；
（3）解方程，得：，
解不等式组得：，
∴不等式组得解集为，
∴在范围内，
∴，
解得：．中小学教育资源及组卷应用平台
第3章 一元一次不等式 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列数学式子：①；②；③；④；⑤；其中是不等式的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．是下列不等式（ ）的一个解．
A． B． C． D．
3．若，则下列式子中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．不等式组的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（ ）
A．6 B．5 C． D．
6．定义新运算“”，规定：．若关于的不等式的解集为，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
7．关于的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有且只有四个，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．一个工程队原定在10天内至少要挖土，前两天一共完成了，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务，问：后6天内平均每天至少要挖土多少立方米？若设后6天内平均每天要挖土，根据题意可列不等式为（ ）
A． B． C． D．
9．若实数，则实数，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．12 B．18 C．30 D．42
二．填空题（共6小题）
11．比较大小，用“”或“”填空；若，且，则 ．
12．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为
13．请写出满足不等式组的一个正整数解 ．
14．任意实数，表示不超过的最大整数．例如：，．若，，则所有可能的值为 ．
15．若不等式组的解集为，则 ．
16．某健身器材专卖店推出两种优惠活动如下表，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一 所购商品按原价打八折
活动二 所购商品按原价每满300元减80元．（说明：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
若购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为元，则的取值范围是 ．
三．解答题（共8小题）
17．根据下列关系列出不等式．
(1)是非负数；
(2)的相反数与1的差小于2；
(3)与7的和比x的2倍小；
(4)的2倍与5的和是正数；
(5)，两数的平方差不小于1．
18．解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．
(1)；
(2)．
19．（1）已知，比较与的大小．
解：，且（已知），
________（依据：________），
________（依据：________）．
（2）若，比较与的大小，并说明理由．
20．关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，求所有满足条件的整数的值之和．
21．已知，，为三个非负数，且满足，．
（1）求的取值范围；
（2）设，求的最大值和最小值．
22．某公司生产甲、乙两种机械设备，每台乙种设备的成本是甲种设备的1.5倍．公司若生产4台甲种设备，6台乙种设备，共需花费资金52万元．
(1)甲、乙两种设备每台的成本分别是多少万元
(2)若甲、乙两种设备每台的售价分别是6万元、10万元，公司决定生产两种设备共60台，计划销售后获利不低于126万元，且甲种设备至少生产55台，则该公司有哪几种生产方案
23．【阅读材料】
我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为．
【解决问题】
参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题：
(1)不等式的解集为___________．
(2)求不等式的解集．
(3)求不等式的解集．
24．【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．
【问题解决】
(1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 （填序号）；
(2)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围；
(3)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，直接写出m的取值范围．
