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有理数（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024七上·广州期中）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024七上·中山期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．非负数一定是正数
B．有最小的正整数，也有最小的有理数
C．若在一个数前面加上“”号，则这个数一定是负数
D．最大的负整数是
3．（2024七上·岳阳期中）若，则x一定是( )
A．负数 B．0 C．非正数 D．非负数
4．（2024七上·青山湖月考）下列结论正确的是（ ）
A．不大于0的数一定是负数 B．海拔高度是0米表示没有高度
C．0是非正数 D．不是正数的数一定是负数
5．（2024七上·义乌月考）在有理数中，绝对值等于它本身的数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个
6．（2023七上·乐清月考）一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（ ）
A． B． C．或 D．或
7．（2023七上·游仙月考）代数式的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024七上·重庆市期末）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2008厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点是（ ）
A．2006个或2007个 B．2007个或2008个
C．2008个或2009个 D．2009个或2010个
9．（2020七上·江夏期中）已知0≤a≤4，那么|a﹣2|＋|3﹣a|的最大值等于（ ）
A．1 B．5 C．8 D．3
10．（2021七上·常熟月考）已知a，b是有理数， ， ，若将a，b在数轴上表示，则图中有可能（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七上·盐田期中）比较大小： ．
12．（2024七上·浙江期中）某校举行“科学知识竞赛”，若加50分记为分，则扣50分记为 分．
13．（2024七上·镇赉县期末） 在数轴上， 一个点从表示数 1 的位管开始， 向右运动 4 个单位长度， 再向左运动 7 个单位长度，这时表示的数是
14．（2022七上·杭州月考）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下面四个结论：
①，②，③，④，⑤其中，正确的结论有 （填序号）.
15．（2022七上·延安月考）式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|+|x﹣6|+|x﹣7|+|x﹣8|+|x﹣9|+|x﹣10|的最小值是 ．
16．（2023七上·海淀月考）有理数a，b，c都不为零，且a+b+c＝0，则＝ ．
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七上·仙居期末）如图的数轴上，每小格的宽度相等．
（1）填空：数轴上点表示的数是 ，点表示的数是 ．
（2）点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置．
（3）将四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“>”连接．
18．（2024七上·斗门期末）五袋优质大米的质量以每袋50千克为基准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下：，，，，．
（1）这五袋大米的质量共超过基准质量多少千克？
（2）这五袋大米的总质量为多少千克？
19．（2024七上·交城期中） 学习了绝对值的概念后，我们知道一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，.请完成下面的问题：
（1）因为，所以，= ；
（2）若有理数，则 ；
（3）计算：
20．（2023七上·江汉月考）记，，，．
（1）计算：；
（2）求的值；
（3）说明与互为相反数．
21．（2024七上·钱塘月考）小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：cm）：，，，，，，．问：
（1）请说明小虫最后的具体位置？
（2）小虫离开出发点O最远是多少厘米？
（3）在爬行过程中，如果每爬行奖励三粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？
22．（2022七上·郫都期中）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离表示为|m-n|．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）若|a-（-2）|=3，请描述这个式子表示的意义，并求a的值；
（2）若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，求|a+4|+|a-2|的值；
（3）当a为多少时，|a+5|+|a-1|+|a-4|的值最小，最小值是多少？
23．（2023七上·和平期中）已知回答下列问题：
（1）由，可得 ，
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
24．（2024七上·合江期末） 学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当a＜0时，|a|＝﹣a，根据以上阅读完成下面的问题：
（1） ；
（2）如果有理数，则 ；
（3）请利用你探究的结论计算下面式子：
（4）如图，数轴上有a、b、c三点，化简.
25．（2018七上·安达期末）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，点A与原点O两点之间的距离表示为AO，则AO＝|a-0|＝|a|，类似地，点B与原点O两点之间的距离表示为BO，则BO＝|b|，点A与点B两点之间的距离表示为AB＝|a-b|.请结合数轴，思考并回答以下问题：
（1）①数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示m和－1的两点之间的距离是 ；
③数轴上表示m和－1的两点之间的距离是3，则有理数m是 ；
（2）若x表示一个有理数，并且x比－3大，x比1小，则|x-1|+|x+3|=
（3）求满足|x-2|+|x+4|=6的所有整数x的和 .
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有理数（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024七上·广州期中）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意得，，
∴，
故答案为：A．
【分析】先结合数轴判断出，再利用数轴上右边的数大于左边的数分析求解即可.
2．（2024七上·中山期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．非负数一定是正数
B．有最小的正整数，也有最小的有理数
C．若在一个数前面加上“”号，则这个数一定是负数
D．最大的负整数是
【答案】D
【解析】【解答】解：A、非负数包括0和正数，故A错误；
B、有最小的正整数1，但没有最小的有理数，故B错误；
C、在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，但不一定是负数，故C错误；
零的绝对值是零，故C错误；
D、最大的负整数是，故D正确；
故选：D．
【分析】根据有理数、整数、非负数、负数的概念进行逐一判断推理得出结果．
3．（2024七上·岳阳期中）若，则x一定是( )
A．负数 B．0 C．非正数 D．非负数
【答案】D
【解析】【解答】解：，正数或零的绝对值等于它本身，
一定是正数或零，即非负数，
故答案为：D
【分析】根据正数或零的绝对值等于它本身即可求出答案.
4．（2024七上·青山湖月考）下列结论正确的是（ ）
A．不大于0的数一定是负数 B．海拔高度是0米表示没有高度
C．0是非正数 D．不是正数的数一定是负数
【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵不大于0的数包含0，0不是负数．∴A错误；
B、∵在海拔高度上，0的实际意义表示高度为0，不是没有意义．∴B错误；
C、∵0是非正数，∴C正确；
D、∵不是正数的数可能是0或负数．∴D错误；
故答案为：C．
【分析】利用正、负数定义及表示相反意义的量的方法及书写格式分析求解即可.
5．（2024七上·义乌月考）在有理数中，绝对值等于它本身的数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个
【答案】D
【解析】【解答】解：在有理数中，绝对值等于它本身的数有0和所有正数．
故选D．
【分析】根据绝对值的意义求解．
6．（2023七上·乐清月考）一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】【解答】解：设点C表示的数为x，
当A′在线段CB的延长线上时，
∵A'B=4，
∴点A′表示的数为6+4=10，
∵AC=A′C，
∴x-（-8）=10-x，
解得：x=1；
当A′在线段CB上时，
∵A'B=4，
∴点A′表示的数为6-4=2，
∵AC=A′C，
∴x-（-8）=2-x，
解得：x=-3；
∴点C所表示的数是1或-3.
故答案为：D.
【分析】设点C表示的数为x，分两种情况：A′在线段CB的延长线上或线段CB上分别计算即可．
7．（2023七上·游仙月考）代数式的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】①当x＜-9时，x+9<0，x-5＜0，∴；
②当-9≤x≤5时，x+9≥0，x-5≤0，∴；
③当x＞5时，x+9＞0，x-5＞0，∴。
综上，的最小值是14，
故答案为：C.
【分析】分类讨论：①当x＜-9时，②当-9≤x≤5时，③当x＞5时，再分别去掉绝对值并求解即可.
8．（2024七上·重庆市期末）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2008厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点是（ ）
A．2006个或2007个 B．2007个或2008个
C．2008个或2009个 D．2009个或2010个
【答案】C
【解析】【解答】①当线段AB起点是整数点时，覆盖的整数点有2009个，
②当线段AB起点不是整数点时，覆盖的整数点有2008个，
综上，线段AB盖住的整点有2008个或2009个，
故答案为：C.
【分析】分类讨论，可能线段AB起点是整数点也可能不是整数点，再求解即可.
9．（2020七上·江夏期中）已知0≤a≤4，那么|a﹣2|＋|3﹣a|的最大值等于（ ）
A．1 B．5 C．8 D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：①当 时，
| ﹣2|＋|3﹣ |＝2﹣ ＋3﹣ ＝5﹣2 ，
当 ＝0时达到最大值5.
②当 时，
| ﹣2|＋|3﹣ |＝ ﹣2＋3﹣ ＝1
③当 时，
| ﹣2|＋|3﹣ |＝ ﹣2＋ ﹣3＝2 ﹣5 2×4﹣5＝3.
当 ＝4时，达到最大值3.
综合①、②、③的讨论可知，在 上，| ﹣2|＋|3﹣ |的最大值是5.
故答案为：B.
【分析】由题意先找出零点，分别令a-2=0，3-a=0，求出a的值，然后分三种情况：①当0≤a≤2时，②当＜a≤3，③当3＜a≤4时，由绝对值的非负性去绝对值，再合并同类项并结合题意即可求解.
10．（2021七上·常熟月考）已知a，b是有理数， ， ，若将a，b在数轴上表示，则图中有可能（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵|a+b|=-（a+b），|a-b|=a-b，
∴a+b≤0，a-b≥0，
∴a≥b，
A、由图知，a＞0，b＞0，所以a+b＞0，所以此选项不合题意；
B、由图知，a＜0，b＜0，a＞b，所以a+b＜0，所以此选项符合题意；
C、由图知，a＜0，b＞0，a＜b，所以此选项不合题意；
D、由图知，a＞0，b＜0，|a|＞|b|，所以a+b＞0，所以此选项不合题意.
故答案为：B.
【分析】根据绝对值的非负性得出a+b≤0，a-b≥0，再根据有理数的加减法法则得出a≥b，且a，b中至少有一个数是负数，且负数的绝对值较大，进而结合数轴上的点所表示的数的特点：原点右边的点所表示的数是正数，原点左边的点所表示的数是负数，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大，从而即可一一判断得出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七上·盐田期中）比较大小： ．
【答案】＜
【解析】【解答】∵ |， ， ，
∴ ＜ ．故答案为＜．
【分析】两个负数比大小，绝对值大的反而小，故比较出它们的绝对值的大小即可得出答案。
12．（2024七上·浙江期中）某校举行“科学知识竞赛”，若加50分记为分，则扣50分记为 分．
【答案】
【解析】【解答】解：若加50分记为分，则扣50分记为分．
故答案为：．
【分析】根据正负数表示相反意义的量解题即可．
13．（2024七上·镇赉县期末） 在数轴上， 一个点从表示数 1 的位管开始， 向右运动 4 个单位长度， 再向左运动 7 个单位长度，这时表示的数是
【答案】-2
【解析】【解答】解：∵原点右边的数大于0，
∴一个点从数轴上的1开始，先向右移动4个单位长度表示的数是5，
∵原点左边的数小于0，
∴再向左移动7个单位长度，这时它表示的数是5-7=-2
故答案为：-2.
【分析】根据数轴上原点右边的数大于0，左边的数小于0进行解答.
14．（2022七上·杭州月考）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下面四个结论：
①，②，③，④，⑤其中，正确的结论有 （填序号）.
【答案】①②③
【解析】【解答】解：根据题意得：，
则：①，故①原结论正确；
②，
，
，故②原结论正确；
③，，，
，故③原结论正确；
④，，
，故④原结论错误；
⑤，，
当时，，
故⑤原结论错误；
故正确的结论有①②③正确．
故答案为：①②③．
【分析】根据各数在数轴上的位置可得，可得a-b＜0，b-c＜0，c-a＞0，然后根据有理数的乘法、绝对值的性质、有理数的加法分别计算，再判断即可.
15．（2022七上·延安月考）式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|+|x﹣6|+|x﹣7|+|x﹣8|+|x﹣9|+|x﹣10|的最小值是 ．
【答案】25
【解析】【解答】解：∵原式的值为x与1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的距离之和，
∴当5≤x≤6时，原式值最小，
∴原式的最小值=4+3+2+1+0+1+2+3+4+5=25.
故答案为：25.
【分析】因为原式的值为x与1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的距离之和，从最中间开始计算距离时，距离之和是最小的，即5≤x≤6时，原式值最小，代入x=5计算即可.
16．（2023七上·海淀月考）有理数a，b，c都不为零，且a+b+c＝0，则＝ ．
【答案】1或-1
【解析】【解答】∵有理数a，b，c都不为零，且a+b+c＝0，
∴a，b，c为两正一负或两负一正，且b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，
①当a>b>0>c时，；
②当a>0>b>c时，，
综上，的值为1或-1，
故答案为：1或-1.
【分析】先求出a，b，c为两正一负或两负一正，且b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，再分类讨论：①当a>b>0>c时，②当a>0>b>c时，最后分别求解即可.
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七上·仙居期末）如图的数轴上，每小格的宽度相等．
（1）填空：数轴上点表示的数是 ，点表示的数是 ．
（2）点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置．
（3）将四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“>”连接．
【答案】（1）；
（2）解：如图．
（3）解：由数轴可知，
【解析】【解答】解：（1）点A表示的数是，点B表示的数是，
故答案为：，；
【分析】（1）由数轴可得答案；
（2）根据单位长度，在数轴上表示出点和点 即可；
（3）根据数轴比较有理数的大小，即可得解．
18．（2024七上·斗门期末）五袋优质大米的质量以每袋50千克为基准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下：，，，，．
（1）这五袋大米的质量共超过基准质量多少千克？
（2）这五袋大米的总质量为多少千克？
【答案】（1）解：由题意可得：
这五袋大米的质量共超过基准质量为：千克；
（2）解：由题意可得：
这五袋大米的总质量为千克．
【解析】【分析】（1）根据有理数的加减计算即可求出答案.
（2）根据题意列式计算即可求出答案.
19．（2024七上·交城期中） 学习了绝对值的概念后，我们知道一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，.请完成下面的问题：
（1）因为，所以，= ；
（2）若有理数，则 ；
（3）计算：
【答案】（1）
（2）
（3）解：原式=
=
=
【解析】【解答】解：（1）、；
故答案为：；
（2），
，
；
故答案为：；
【分析】（1）根据去括号法则计算：正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数；
（2）根据绝对值的法则计算：；
（3）根据绝对值的法则去绝对值，然后用加法的交换律和结合律，把互为相反数的两个数相加。据此计算即可；
20．（2023七上·江汉月考）记，，，．
（1）计算：；
（2）求的值；
（3）说明与互为相反数．
【答案】（1）解：M（5）+M（6）=（-2）5+（-2）6=32；
（2）解：2M（2023）+M（2024）=2×（-2）2023+（-2）2024=-（-2）×（-2）2023+（-2）2024=-（-2）2024+（-2）2024=0；
（3）∵2M（n）+M（n+1）=2×（-2）n+（-2）n+1=-（-2）×（-2）n+（-2）n+1=-（-2）n+1+（-2）n+1=0，
∴2M（n）与M（n+1）互为相反数．
【解析】【分析】（1）（2）根据M（n）=（-2）n，分别将n的值代入进行计算即可；
（3）证明2M（n）+M（n+1）=0即可。
21．（2024七上·钱塘月考）小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：cm）：，，，，，，．问：
（1）请说明小虫最后的具体位置？
（2）小虫离开出发点O最远是多少厘米？
（3）在爬行过程中，如果每爬行奖励三粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？
【答案】（1）解：由题意可列：，
说明小虫回到了起点，
故小虫最后的具体位置在点O处；
（2）解：根据记录，小虫离开出发点的距离分别为，
故小虫离开出发点O最远是厘米；
（3）解：爬行距离，
粒芝麻．
【解析】【分析】（1）把爬行记录相加，然后根据正负数的意义解答；
（2）分别求出各记录与出发点的距离，然后判断即可；
（3）求出所有爬行记录的绝对值的和，解题即可．
（1）解：，
小虫最后的具体位置在点O；
（2）解：根据记录，小虫离开出发点的距离分别为，
故小虫离开出发点O最远是厘米；
（3）解：爬行距离，
粒芝麻．
22．（2022七上·郫都期中）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离表示为|m-n|．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）若|a-（-2）|=3，请描述这个式子表示的意义，并求a的值；
（2）若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，求|a+4|+|a-2|的值；
（3）当a为多少时，|a+5|+|a-1|+|a-4|的值最小，最小值是多少？
【答案】（1）|a-（-2）|=3表示的意义是数轴上表示数a和数-2的两点之间的距离为3，
∴|a+2|=3，
∴a+2=±3，
解得a=1或a=-5；
（2）∵|a+4|+|a-2|表示数轴上表示数a和数-4、2之间的距离和，
又∵数a的点位于-4与2之间，2-（-4）=6，
∴|a+4|+|a-2|=6；
（3）∵|a+5|+|a-1|+|a-4|表示数轴上表示数a和数-5、1、4之间的距离和，
∴当a=1时式子的值最小，最小值为6+0+3=9．
【解析】【分析】（1）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离表示为|m-n|，故|m-n|表示数m和n之间的距离；去绝对值符号后求解a；（2）|a+4|+|a-2|表示a到-4和2的距离的和，因为a在-4和2之间，故结果应为6；（3）|a+5|+|a-1|+|a-4|表示数轴上表示数a和数-5、1、4之间的距离和，当a为三个数中位于中间位置的数时，距离的和最小。
23．（2023七上·和平期中）已知回答下列问题：
（1）由，可得 ，
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴a、b同正，或a、b中正数绝对值大于负数绝对值，
∴或，
∴或，
综上：的值为2或；
（3）解：∵，
∴a、b异号，
∴或，
∴或，
综上：的值为2
【解析】【解答】解：（1）由题意得a=±5，b=±3，
故答案为：±5，±3
【分析】（1）根据题意化简有理数的绝对值即可求解；
（2）根据题意即可得到或，进而即可得到a-b的值；
（3）先根据题意得到a，b异号，进而得到或，从而即可求解。
24．（2024七上·合江期末） 学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当a＜0时，|a|＝﹣a，根据以上阅读完成下面的问题：
（1） ；
（2）如果有理数，则 ；
（3）请利用你探究的结论计算下面式子：
（4）如图，数轴上有a、b、c三点，化简.
【答案】（1）
（2）
（3）解：
；
（4）解：由数轴可得，
，
.
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
故答案为：
（2）∵
∴a-b<0
∴
故答案为：
【分析】（1）根据题意，先比较两数的大小，再根据绝对值的性质去绝对值即可求出答案；
（2）现根据不等式的性质可得a-b<0，再根据绝对值的性质去绝对值即可求出答案；
（3）根据探究结论，去绝对值，化简即可求出答案；
（4）根据数轴上点的位置关系，比较数之间的大小，去绝对值，计算即可求出答案.
25．（2018七上·安达期末）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，点A与原点O两点之间的距离表示为AO，则AO＝|a-0|＝|a|，类似地，点B与原点O两点之间的距离表示为BO，则BO＝|b|，点A与点B两点之间的距离表示为AB＝|a-b|.请结合数轴，思考并回答以下问题：
（1）①数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示m和－1的两点之间的距离是 ；
③数轴上表示m和－1的两点之间的距离是3，则有理数m是 ；
（2）若x表示一个有理数，并且x比－3大，x比1小，则|x-1|+|x+3|=
（3）求满足|x-2|+|x+4|=6的所有整数x的和 .
【答案】（1）4；|m+1|；m=2或m=-4
（2）4
（3）-7
【解析】【解答】解：⑴①数轴上表示1和－3的两点之间的距离是|1-（-3）|=4；
②数轴上表示m和－1的两点之间的距离是|m-（-1）|=|m+1|；
③根据题意，得|m-（-1）|=3，即|m+1|=3，解得m=2或-4；
⑵由x比－3大，x比1小，则|x-1|+|x+3|表示在1和-3之间的一点，到1的距离与到-3的距离的和，即等于1到-3的距离4；
⑶把问题转换为求x到点2和点-4的距离之和等于6的点，则x大于等于-4，且小于等于2，故x可以取-4，-3，-2，-1，0，1，2，共7个。这7个数的和为（-4）+（-3）+（-2）+（-1）+0+1+2=-7.
【分析】（1）根据数轴上的点确定两点之间的距离，根据绝对值的性质得出结果并总结规律；
（2）在（1）中规律的基础上得出符合条件的值；
（3）结合数轴和点在数轴上的特征得出符合条件的x的值，计算和即可.
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