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三角形的初步知识（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·广州期中）如图，在中，边上的高是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
2．（2024八上·浙江期中）自行车支架一般都会采用如图的设计．这种方法应用的几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
3．（2024八上·杭州期中）下列各组数不可能是一个三角形的三边长的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·新会月考） 如图， 在 Rt 中， 的垂直平分线交 于点 ，连接 ， 则 的周长是 )
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（2024八上·拱墅期中）如图，已知点，，分别为，，的中点，若的面积为20，则四边形的面积为（ ）
A．10 B．9 C．8.5 D．7.5
6．（2024八上·海曙开学考）下列命题中是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．同旁内角相等，两直线平行
C．全等三角形的对应边相等 D．如果，那么
7．（2024八上·海曙开学考）如图，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八上·巴南月考）如图，AC＝DF，∠1＝∠2，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．BF＝CE C．∠A＝∠D D．∠B＝∠E
9．（2024八上·宜昌期中）如图，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八上·丰城开学考）如图，把一副常用三角板如图所示拼在一起，延长交于，那么图中的度数是（ ）度．
A．60 B．90 C．100 D．105
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·虎林期中）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C等于 .
12．（2024八上·威远期中）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为40 cm和30
cm，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架.设第三根木条长为x
cm，则x的取值范围是 .
13．（2024八上·温岭期末）直角三角板与直尺如图摆放，直尺的两个直角顶点分别在三角板的两条直角边上，则 ．
14．（2024八上·海曙开学考）如图， ．
15．（2024八上·江西月考）如图，，B，E，C，F四个点在同一直线上．若，，则的长是 ．
16．（2024八上·南明期中）如图，已知ABC中， ∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，若∠A=50°，则∠D= 度．
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·义乌月考）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
18．（2024八上·永吉期末）如图，小明同学拿着老师的等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，，，每个小长方体教具高度均为．
（1）求证：．
（2）求的长．
19．（2024八上·萧山期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线.
（1）CD AC.（填“<”或“>”）
（2）AC+BC AB（填“<”或“>”）
（3）若点E是线段AB上的一个动点，连结CE，则CD CE.（填“≤”或“>”）
20．（2023八上·南昌月考）如图，，点E在边上，与相交于点． 若，．
（1）求线段的长；
（2）求的度数．
21．（2023八上·瑞安期中）如图，AB∥CD，AB＝CD，点E和点F在线段BC上，∠A＝∠D．
（1）求证：AE＝DF．
（2）若BC＝16，EF＝6，求BE的长．
22．（2024八上·武威期末）如图，已知在中，，，平分，平分．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，连接，作，，，求的面积．
23．（2024八上·中山期中）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案：
甲：如图，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离．
乙：如图，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离．
（1）以上两位同学所设计的方案，可行的有______；
（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．
24．（2024八上·景洪期中）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点交于点F．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
25．（2024八上·瑞安期中）如图1，已知△ABC，过点C作CD∥AB，且CD＝BC.用尺规作△ECD≌△ABC，E是边BC上一点.
小瑞：如图2．以点C为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，连结DE，则△ECD≌△ABC．
小安：以点D为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点E，连结DE，则△ECD≌△ABC．
小瑞：小安，你的作法有问题．
小安：哦…我明白了！
（1）指出小安作法中存在的问题．
（2）证明：△ECD≌△ABC.
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三角形的初步知识（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·广州期中）如图，在中，边上的高是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】C
【解析】【解答】解：线段的所对的顶点，
∴线段是边边上的高，
故答案为：C ．
【分析】
根据图示，线段的所对的顶点，结合高的画法“从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线段，”即可解答．
2．（2024八上·浙江期中）自行车支架一般都会采用如图的设计．这种方法应用的几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
【答案】C
【解析】【解答】解：这种方法应用的几何原理是：三角形的稳定性，
故答案为：C．
【分析】△ABC的设计是构造三角形，因此可知应用了三角形的稳定性．
3．（2024八上·杭州期中）下列各组数不可能是一个三角形的三边长的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、由，得能构成三角形，故A不符合题意；
B、由，得能构成三角形，故B不符合题意；
C、由，得不能够构成三角形，故C符合题意；
D、由，得能构成三角形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据三角形三边关系：在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．据此逐项进行判断即可.
4．（2024八上·新会月考） 如图， 在 Rt 中， 的垂直平分线交 于点 ，连接 ， 则 的周长是 )
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】【解答】解：根据垂直平分线的性质可知：DA=DB，
∴ 的周长=AC+CD+DA=AC+CD+DB=AC+BC=3+4=7.
故答案为：A。
【分析】根据垂直平分线的性质可知：DA=DB，然后根据三角形周长的定义，得出 的周长=AC+CD+DA，进而根据等量代换，即可得出 的周长=AC+BC，进而求值即可。
5．（2024八上·拱墅期中）如图，已知点，，分别为，，的中点，若的面积为20，则四边形的面积为（ ）
A．10 B．9 C．8.5 D．7.5
【答案】D
【解析】【解答】解：∵点D、E、F分别为AC、BC，BD的中点，
∴S△ABD=S△CBD=S△ABC=10，
∴S△EBD=S△CBD=5，
∴S△AFD=S△ABD=5，S△DEF=S△EBD=2.5，
∴S四边形ADEF=S△AFD+S△DEF=7.5
故答案为：D
【分析】根据三角形一边上的中线，把三角形分成面积相等的两部分，即可得出答案.
6．（2024八上·海曙开学考）下列命题中是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．同旁内角相等，两直线平行
C．全等三角形的对应边相等 D．如果，那么
【答案】C
【解析】【解答】解：A、假命题，故A不符合题意
B、假命题，故B不符合题意
C、真命题，故C符合题意
D、假命题，故D不符合题
故选：C．
【分析】A、 相等的角不一定是对顶角
B、 同旁内角互补，两直线平行
C、根据全等三角形的性质可得： 全等三角形的对应边相等
D、 如果，那么且 ．
7．（2024八上·海曙开学考）如图，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】∵∴
∵
∴
故答案为：D．
【分析】先根据得出：，再根据角形内角和定理得出：.
8．（2024八上·巴南月考）如图，AC＝DF，∠1＝∠2，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．BF＝CE C．∠A＝∠D D．∠B＝∠E
【答案】A
【解析】【解答】解：A、添加：AB=DE，
∵AB=DE，AC=DF，∠1=∠2，
∴△ABC和△DEF不一定全等，故A符合题意；
B、添加：BF=BE
∵BF=CE，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS），故B不符合题意；
C、添加∠A=∠D
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA），故C不符合题意；
D、添加∠B=∠E
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（AAS），故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】题中已知一组对应边和一组对应角相等，若添加边，可以添加BC=EF或BF=CE，利用SAS可证得△ABC≌△DEF，可对A、B作出判断；若添加角，可以添加另外两组对应角，利用AAS或ASA，可证得△ABC≌△DEF，可对C、D作出判断.
9．（2024八上·宜昌期中）如图，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，从而得解.
10．（2024八上·丰城开学考）如图，把一副常用三角板如图所示拼在一起，延长交于，那么图中的度数是（ ）度．
A．60 B．90 C．100 D．105
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得，，，
．
故选：．
【分析】根据三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和即可求解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·虎林期中）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C等于 .
【答案】75°
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，
∴设
故答案为：75°.
【分析】由比例的性质可设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，根据三角形的内角和等于180°可得关于x的方程，解方程可求得x的值，再由∠C=5x可求解.
12．（2024八上·威远期中）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为40 cm和30
cm，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架.设第三根木条长为x
cm，则x的取值范围是 .
【答案】10cm【解析】【解答】解：根据题意可知：x的取值范围为：40-30＜x＜40+30，即 .
故答案为： .
【分析】由三角形的第三边长大于两边之差，小于两边之和，即可得出x的取值范围.
13．（2024八上·温岭期末）直角三角板与直尺如图摆放，直尺的两个直角顶点分别在三角板的两条直角边上，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由图和题意，可知：，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】先得到，然后计算∠1+∠2即可．
14．（2024八上·海曙开学考）如图， ．
【答案】
【解析】【解答】如图所示，连接
在△ABO中，
在△CEO中，
∵
∴
∴
．
故答案为：．
【分析】连接，根据三角形内角和定理得到：，，因为，可以得到：，所以转化为：即可.
15．（2024八上·江西月考）如图，，B，E，C，F四个点在同一直线上．若，，则的长是 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵，∴BE=BC-CE=7-4=3
∵，
∴BE=CF=3
故答案为：3．
【分析】先根据，，求出BE=3，再根据 得出：，从而得出：BE=CF=3.
16．（2024八上·南明期中）如图，已知ABC中， ∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，若∠A=50°，则∠D= 度．
【答案】25
【解析】【解答】解：由题意可得
∠ACE=∠ABC+∠A， ∠DCE=∠DBC+∠D
∵BD，CD是∠ABC的平分线与∠ACE的平分线
∴∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC
∴∠D=∠DCE-∠DBC=（∠ACE-∠ABC）=∠A=25°
故答案为：25
【分析】根据三角形外角性质可得∠ACE=∠ABC+∠A， ∠DCE=∠DBC+∠D，再根据角平分线性质可得∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，再根据角之间的关系即可求出答案.
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·义乌月考）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
【答案】（1）解：在△ABC中，∠B=51°，∠C=63°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-51°-63°=66°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=∠BAC=×66°=33°.
（2）解：由（1）可知，∠BAE=33°，
∵在△ABC中，AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-51°-90°=39°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=39°-33°=6°.
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求得∠BAC=66°，然后根据角平分线的定义可进行求解；
（2）由（1）可知，∠BAE=33°，再根据三角形的内角和定理求得∠BAD=39°，即可得出答案.
（1）解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴．
18．（2024八上·永吉期末）如图，小明同学拿着老师的等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，，，每个小长方体教具高度均为．
（1）求证：．
（2）求的长．
【答案】（1）证明：∵，
，
，
在与中，
，
∴.
（2）解：∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
【解析】【分析】（1）先求出，再利用全等三角形的判定方法证明求解即可；
（2）根据全等三角形的性质求出，，再求出CE和CD的值，最后计算求解即可。
（1）证明：∵，
，
，
在与中，
，
∴，
（2）解：∵
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
19．（2024八上·萧山期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线.
（1）CD AC.（填“<”或“>”）
（2）AC+BC AB（填“<”或“>”）
（3）若点E是线段AB上的一个动点，连结CE，则CD CE.（填“≤”或“>”）
【答案】（1）＜
（2）＞
（3）≤
【解析】【解答】解：（1）∵ 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，
∴CD⊥AB，
∴CD＜AC；
故答案为：＜；
（2）由三角形三边关系得AC+BC＞AB；
故答案为：＞；
（3）∵CD⊥AB， 点E是线段AB上的一个动点，
∴当点E与点D重合时，CD=CE，当点E与点D不重合时，CD＜CE，
∴CD≤CE.
故答案为：≤.
【分析】（1）根据垂线段最短可作答；
（2）根据三角形中任意两边之和大于第三边可作答；
（3）由直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短即可作答.
20．（2023八上·南昌月考）如图，，点E在边上，与相交于点． 若，．
（1）求线段的长；
（2）求的度数．
【答案】（1）解：∵，，，
，，
；
（2）解：∵，，，
，，
，
．
【解析】【分析】根据全等三角形的性质可得AB与BE的长，然后再求出AE即可；
（2）根据全等三角形的性质可得∠DBC与∠A的度数，再求出∠ABC，即可求出答案.
21．（2023八上·瑞安期中）如图，AB∥CD，AB＝CD，点E和点F在线段BC上，∠A＝∠D．
（1）求证：AE＝DF．
（2）若BC＝16，EF＝6，求BE的长．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE与△DCF中，
∵∠A=∠D，AB=CD，∠B=∠C，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴AE=DF；
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴BE=CF，
又∵BE+CF=BE+EF+CE=BC+EF=16+6=22，
∴2BE=22，
∴BE=11.
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等得∠B=∠C，从而用ASA判断出△ABE≌△DCF，由全等三角形的对应边相等得AE=DF；
（2）由全等三角形的对应边相等得BE=CF，进而根据线段的和差可得BE+CF=BE+EF+CE=BC+EF，从而代入可求出BE的长.
22．（2024八上·武威期末）如图，已知在中，，，平分，平分．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，连接，作，，，求的面积．
【答案】（1）解：平分，
，
平分，
，
，
的度数为；
（2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
平分，，，
，
平分，，，
，
的面积
，
故的面积为4．
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得，，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据角平分线性质可得，，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）平分，
，
平分，
，
，
的度数为；
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，
平分，，，
，
平分，，，
，
的面积
，
故的面积为4．
23．（2024八上·中山期中）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案：
甲：如图，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离．
乙：如图，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离．
（1）以上两位同学所设计的方案，可行的有______；
（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．
【答案】（1）甲、乙；
（2）选甲：
在和中，，
∴，
∴，
选乙：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【解析】【解答】（1）甲同学的方法利用“”方法，证明，测出的长即为，的距离，
乙同学的方法利用“”方法，证明，测出的长即为，的距离，
故答案为：甲、乙．
【分析】本题考查全等三角形的应用，全等三角形的判定定理，全等三角形的性质.
(1)甲同学根据对顶角相等可得：∠ACB=∠ECD，再根据AC=DC，利用全等三角形的判定定理证明三角形全等则需要测出的长即为，的距离，说明AB=ED；
乙同学根据 ，公共边相等即BD=BD，利用全等三角形的判定定理证明三角形全等则需要测出的长即为，的距离，说明AB=BC；
(2)选甲，根据对顶角相等可得：∠ACB=∠ECD，再根据AC=DC，利用全等三角形的判定定理SAS可证明，利用全等三角形的性质可证明结论；
选乙：根据，利用垂直的定义可得：，再根据，利用全等三角形的判定定理ASA可证明，利用全等三角形的性质可证明结论.
（1）甲同学的方法利用“”方法，证明，测出的长即为，的距离，
乙同学的方法利用“”方法，证明，测出的长即为，的距离，
故答案为：甲、乙．
（2）选甲：在和中，
，
∴，
∴，
选乙：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
24．（2024八上·景洪期中）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点交于点F．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：在中，平分，
，
且，
，
解得．
（2）解：∵点D是的平分线上一点，且于点于点F，
，
，且，，
，
解得：．
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义求出，再结合且，求出即可；
（2）先利用角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式可得，最后求出即可．
（1）解：在中，平分，
，
又且，
，
解得．
（2）∵点D是的平分线上一点，
且于点于点F，
，
又，
且，，
，
解得．
25．（2024八上·瑞安期中）如图1，已知△ABC，过点C作CD∥AB，且CD＝BC.用尺规作△ECD≌△ABC，E是边BC上一点.
小瑞：如图2．以点C为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，连结DE，则△ECD≌△ABC．
小安：以点D为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点E，连结DE，则△ECD≌△ABC．
小瑞：小安，你的作法有问题．
小安：哦…我明白了！
（1）指出小安作法中存在的问题．
（2）证明：△ECD≌△ABC.
【答案】（1）解：以点D为圆心，AC长为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意，故小安的作法有问题．
（2）证明：由作法得：AB＝CE
∵AB∥CD
∴∠B＝∠BCD
∵CD＝BC
∴△ECD≌△ABC （SAS）
【解析】【分析】（1）由小安的作法可知△ACB与△EDC中，AC=DE，由平行线性质知∠B=∠BCD，已知知CD=BC，根据SSA不能判定三角形全等可得结论；
（2）由二直线平行，内错角相等得∠B=∠BCD，从而由SAS可判断△ECD≌△ABC.
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