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三角形的初步知识（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·海曙开学考）已知一个三角形的三边长均为整数，若其中仅有一条边长为6，且它不是最短边，也不是最长边，则满足条件的三角形共有（ ）
A．12个 B．10个 C．8个 D．6个
2．（2024八上·重庆市开学考）如图，中，，，点D 是的角平分线的交点，则点D到的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
3．（2024八上·岳麓开学考）如图，在中，请根据尺规作图的痕迹，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．（2024八上·涪城开学考）下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②同旁内角互补，两直线平行；③相等的角是对顶角；④无限小数是无理数．其中假命题的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．③④
5．（2024八上·雄县月考）已知：如图所示，将△ABC的∠C沿DE折叠，点C落在点C'处，设 ∠AEC'=β，∠BDC'=γ，则下列关系式成立的是（ ）
A．2α=β+γ B．α=β+γ
C．α+β+γ=180° D．α+β=2γ
6．（2024八上·江油期中）如图，点 分别是 平分线上的点， 于点， 于点 ，下列结论错误的（ ）
A． B．与互余的角有两个
C． D．点是的中点
7．（2024八上·浙江期中）如图，在中，，，的平分线分别交、于点D、E，、相交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④点F到三边的距离相等；⑤．其中错误的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2024八上·长沙月考）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②④
9．（2023八上·南明期中）如图所示，在△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离OD是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2023八上·椒江月考）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（ ）
A．2 B．2.5 C．4 D．5
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·衡山期末）如图，在中，，，，则的度数是 ．
12．（2024八上·宁乡市期末）如图：为的角平分线，且，，则和的面积之比为 ．
13．（2024八上·南宁期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点是直线上一点，则周长的最小值为 ．
14．（2024八上·白城期末）如图，在中，的平分线交于点，则点到斜边的距离为 ．
15．（2024八上·吴兴月考）如图，点O在直线m上，在m的同侧有A，B两点，∠AOB=90°，OA=10cm，OB=8cm，点P以2cm/s的速度从点A出发沿A—O—B路径向终点B运动，同时点Q以1cm/s的速度从点B出发沿B—O—A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过点P，Q作PC⊥m于点 C，QD⊥m 于点C，QD⊥m于点D．若△OPC与△OQD全等，则点Q运动的时间是 秒．
16．（2023八上·洪山月考）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为 ．
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·浏阳期末）如图，点，，，在一条直线上，，， ．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
18．（2024八上·龙江期末）在中和中，是的中点，于，目．
（1）观察并猜想，与有何数量关系？并证明你猜想的结论．
（2）若，试求的长．
19．（2024八上·梅里斯期末）如图，在中，平分交于点D，，分别交于点E、F．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
20．（2024八上·关岭期末）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．
（1）求AD的长；
（2）求△ACE和△ABE周长的差．
21．（2024八上·拜城期中）如图，，分别是的高和中线，，，，．
（1）求的长；
（2）求的面积．
22．（2025八上·苍南期末）如图，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：∠B＝∠C；
（2）若∠A＝40°，∠BEC＝70°，求∠C的度数．
23．（2024八上·扶余期末）如图，在中，，于点，交于点，，连接.
（1）如图1，当在内部时，求证：；
（2）如图2，当的边，分别在外部和内部时，求证：.
24．（2023八上·洪山月考） 如图，，的延长线交于H．
（1）求证：；
（2）求证：点H是的中点；
（3）若，求．
25．（2023八上·孟村期中）如图，中，平分，平分，，垂足为F.
（1）当，则 度；
（2）当，则 度；
（3）当，则 度；
（4）请写出与的数量关系，并证明.
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三角形的初步知识（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·海曙开学考）已知一个三角形的三边长均为整数，若其中仅有一条边长为6，且它不是最短边，也不是最长边，则满足条件的三角形共有（ ）
A．12个 B．10个 C．8个 D．6个
【答案】B
【解析】【解答】解：设三角形的最短边为a，最长边为b
∴三角形的三边长分别为a，6，b
∴0
6
∵三角形的三边长均为整数
∴a可以是1、2、3、4、5
当a=1时，b<1+6 即：b<7，不符合题意
当a=2时，b，即b，∴b=7
当a=3时，b，即b，∴b=7或8，
当a=4时，b，即b，∴b=7或8或9，
当a=5时，b，即b，∴b=7或8或9或10
满足条件的三角形共有．
故答案为：B．
【分析】设三角形的最短边为a，最长边为b，根据题意得出：06，因为三角形的三边长均为整数，因此可以得出a可以是1、2、3、4、5，然后根据分类讨论，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出最长边，从而得解．
2．（2024八上·重庆市开学考）如图，中，，，点D 是的角平分线的交点，则点D到的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作作、、分别垂直于，、，垂足分别为E、F、G，连接
与的角平分线交于点D，
，
∴
∴，
，
∴，
∴点D到的距离为1，
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的性质得出，再根据等面积法计算即可.
3．（2024八上·岳麓开学考）如图，在中，请根据尺规作图的痕迹，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：由作图过程可知：是线段的垂直平分线，所以，
故选：C．
【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质等知识．熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质（ 线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等）是解题的关键．由作图过程可知：是线段的垂直平分线，根据，求解作答即可．
4．（2024八上·涪城开学考）下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②同旁内角互补，两直线平行；③相等的角是对顶角；④无限小数是无理数．其中假命题的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．③④
【答案】C
【解析】【解答】解：①若，则，故命题①错误，是假命题；
②同旁内角互补，两直线平行，故命题②正确，是真命题；
③对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故命题③错误，是假命题；
④无限不循环小数是无理数，故命题④错误，是假命题，
综上，是假命题有①③④．
故答案为：C．
【分析】判断一件事情的语句叫做命题，其中正确的命题就是真命题，错误的命题就是假命题；据此并根据绝对值的几何意义，一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点离开原点的距离，可得如果两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，据此可判断①；根据平行线的判定定理“同旁内角互补，两直线平行”可判断②；有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断③；无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，无限不循环小数是无理数，据此可判断④.
5．（2024八上·雄县月考）已知：如图所示，将△ABC的∠C沿DE折叠，点C落在点C'处，设 ∠AEC'=β，∠BDC'=γ，则下列关系式成立的是（ ）
A．2α=β+γ B．α=β+γ
C．α+β+γ=180° D．α+β=2γ
【答案】A
【解析】【解答】解：由折叠的性质知：∠C=∠C'=α．
∵∠AEC'+∠CEC'=180°，∠BDC'+∠CDC'=180°，
∴β=180°-∠CEC'，γ=180°-∠CDC'．
∴β+γ=360°-∠CEC'-∠CDC'．
∵∠C+∠CEC'+CDC'+∠C'=360°，
∴2α=360°-∠CEC'-∠CDC'．
∴β+γ=2α．
故答案为：A．
【分析】利用折叠的性质可得∠C=∠C'=α．再结合β+γ=360°-∠CEC'-∠CDC'．∠C+∠CEC'+CDC'+∠C'=360°，求出2α=360°-∠CEC'-∠CDC'，即可得到β+γ=2α，从而得解.
6．（2024八上·江油期中）如图，点 分别是 平分线上的点， 于点， 于点 ，下列结论错误的（ ）
A． B．与互余的角有两个
C． D．点是的中点
【答案】B
【解析】【解答】解：A、平分 ，，
同理： ，
选项正确，不符合题意；
B、与互余的角有： ；选项错误，符合题意；
C、 ；选项正确，不符合题意；
D、，
同理：
，即点是的中点；选项正确，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据角平分线的性质得， 可以证明A选项正确；同样可得，可以证明C选项正确；证明 得 ，同理 ，可以证明D选项正确.
7．（2024八上·浙江期中）如图，在中，，，的平分线分别交、于点D、E，、相交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④点F到三边的距离相等；⑤．其中错误的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：①，只有在是等边三角形时才成立，现有条件无法证明是等边三角形，所以①错误；
②，
，
平分，平分，
，，
，
，所以②正确；
③平分
当时，
而原不确定，所以③错误；
④，的平分线分别交、于点，，、相交于点，
为三角形的内心，
点到三边的距离相等正确．所以④正确；
⑤如图，在上截取，
平分，
，
，
．
由②知，
，
，
又平分，
，
．
，
，
，所以⑤正确．
故答案为：B．
【分析】①当是等边三角形时才成立；
②利用三角形的内角和，角平分线的性质以及三角形的外角求出即可；
③当时，，所以③错误；
④根据角平分线上的点到角两边的距离相等可作判断；
⑤作辅助线，证明两对三角形全等：，，可得结论．
8．（2024八上·长沙月考）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②④
【答案】D
【解析】【解答】解：，
，
即，
在和中，
，
，
，，①正确；
，
由三角形的外角性质得：，
，②正确；
作于，于，如图2所示：
则，
在和中，
，
，
，
平分，④正确；
，
当时，才平分，
假设
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
与矛盾，
③错误；
综上所述，正确的是①②④；
故选：D．
【分析】由全等三角形的判定证明得出，，①正确；
由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；
作于，于，如图所示：则，由证明，得出，由角平分线的判定方法（角平分线上的点到角的两边的距离相等）得出平分，④正确；
由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论．
9．（2023八上·南明期中）如图所示，在△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离OD是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：连接OA，过点O作OE⊥AC于点E，作OF⊥AB于点F，
∵点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点， OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，OD⊥BC于点D，
∴OD=OE=OF，
∴，
∴OD=3。
故答案为：C。
【分析】连接OA，过点O作OE⊥AC于点E，作OF⊥AB于点F，根据角平分线的性质，可得出OD=OE=OF，然后根据，即可得出OD的长度。
10．（2023八上·椒江月考）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（ ）
A．2 B．2.5 C．4 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，延长CD、BA，交于点G，过G作GH⊥AC，交CA的延长线于点H，
∴∠GHA=90°，
∵BD平分∠ABC，BD⊥CD，
∴∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°，
在△BDG和△BDC中，
，
∴△BDG≌△BDC（ASA），
∴BC=BG，CD=DG，
∴，
又∵∠GHA=90°，AC=5，
∴，
∴，
∵BC-AB=2，
∴BG-AB=AG=2，
∵GH≤AG，即GH≤2，
∴当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG=2，此时GH达到最大，
∴则GH的最大值为2，
∴△ADC的最大面积为：，
故答案为：B．
【分析】延长CD、BA，交于点G，过G作GH⊥AC，交CA的延长线于点H，得∠GHA=90°，接下来根据角平分线、垂直的定义得∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°，从而利用全等三角形判定定理“ASA”证明△BDG≌△BDC，根据全等三角形对应边相等得BC=BG，CD=DG，接下来利用中线的性质得，从而利用三角形面积公式得，要求△ADC的最大面积，即求GH的最大值，在中，GH≤2，进而有当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG=2，此时GH达到最大，最大值为GH=2，即可求出△ACD的最大面积．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·衡山期末）如图，在中，，，，则的度数是 ．
【答案】
【解析】【解答】在△BDE和△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（SAS），
∴∠BDE=∠CFD，∠BED=∠CDF，
∵∠B=60°，
∴∠BED+∠BDE=180°-∠B=120°，
∴∠CDF+∠BDE=120°，
∴∠EDF=180°-（∠CDF+∠BDE）=60°，
故答案为：60°.
【分析】先利用“SAS”证出△BDE≌△CFD可得∠BDE=∠CFD，∠BED=∠CDF，再利用角的运算和等量代换可得∠EDF=180°-（∠CDF+∠BDE）=60°.
12．（2024八上·宁乡市期末）如图：为的角平分线，且，，则和的面积之比为 ．
【答案】3：5
【解析】【解答】过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，如图所示：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE=DF，
∵AB=3，AC=5，
∴，
故答案为：3：5.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，利用角平分线的性质可得DE=DF，再利用三角形的面积公式可得，从而得解.
13．（2024八上·南宁期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点是直线上一点，则周长的最小值为 ．
【答案】9
【解析】【解答】解：连接PA，如图，
∵MN为AB的垂直平分线，
∴
∵
∴周长为：，
∵PA+PC=BP+PC≥5，
∴△PBC的周长≥4+5=9
故答案为：9.
【分析】连接PA，根据垂直平分线的性质得到PA=PB，即可得到△PBC周长为BC+BP+PC，进而由三角形三边关系即可求出其最小值.
14．（2024八上·白城期末）如图，在中，的平分线交于点，则点到斜边的距离为 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：设D到AB的距离为h.
∵AD平分∠CAB且DC⊥AC
∴CD=4cm
故答案为：4.
【分析】由角平分线的性质可知D到AB的距离等于DC，可得出答案。
15．（2024八上·吴兴月考）如图，点O在直线m上，在m的同侧有A，B两点，∠AOB=90°，OA=10cm，OB=8cm，点P以2cm/s的速度从点A出发沿A—O—B路径向终点B运动，同时点Q以1cm/s的速度从点B出发沿B—O—A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过点P，Q作PC⊥m于点 C，QD⊥m 于点C，QD⊥m于点D．若△OPC与△OQD全等，则点Q运动的时间是 秒．
【答案】2或6或16
【解析】【解答】解：分情况讨论：
①P在AO上，Q在BO上，如图1
∵PC⊥m，QD⊥m，
∴∠PCO=∠QDO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠OPC+∠POC=90°，∠POC+∠QOD=90°，
∴∠OPC=∠QOD，
则△PCO≌△OQD，
∴PO=OQ，
∴10-2t=8 t
解之：t=2；
②如图2，P在BO上，Q在AO上，
∵由①知：OP=QO，
∴2t-10=t-8，
解之：t=2；
t 8<0，即此种情况不符合题意；
③当P、Q都在OB上时，如图3，
OP=OQ
则8 t=2t 10，
解之：t=6；
④当P到B点停止，Q在OA上时，如图4
当OQ=OB，t 8=8时，
解之：t=16
P和Q都在BC上的情况不存在，
故答案为：2或6或16
【分析】分类讨论：①P在AO上，Q在BO上， ②P在BO上，Q在AO上，③当P、Q都在OB上时， ④当P到B点停止，Q在OA上时， 再分别画出图形并列出方程求解即可.
16．（2023八上·洪山月考）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为 ．
【答案】12.5
【解析】【解答】解：延长AB交CD的延长线于点E，如图，
∵ AD是∠BAC的角平分线，
∴ ∠EAD=∠CAD，
∵ CD⊥AD，
∴ ∠ADE=∠ADC=90°，
∵ AD=AD，
∴ △ADE≌△ADC（ASA），
∴ DE=DC，AE=AC，
∴ S△BDC=S△BCE，
∵ AC-AB=5，
∴ BE=5，
∵ 当BE⊥BC时，S△BCE最大，即S△BDC最大，
∴ S△BDC=S△BCE，=×BC·BE=12.5.
故答案为：12.5.
【分析】延长AB交CD的延长线于点E，根据角平分线的定义和垂直的定义可得∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC=90°，根据ASA判定△ADE≌△ADC推出 DE=DC，从而得到S△BDC=S△BCE，当BE⊥BC时，S△BCE最大，即S△BDC最大，即可求得.
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·浏阳期末）如图，点，，，在一条直线上，，， ．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）证明：，
，
即：，
，
，
在和中
，
（）．
（2）解：由（1）得，
，
，
（）；
故：的长度为．
【解析】【分析】（1）根据SAS即可证明 ；
（2）首先根据全等三角形的性质得出 ， 进而得出GH=EG-EH=2.2cm即可。
18．（2024八上·龙江期末）在中和中，是的中点，于，目．
（1）观察并猜想，与有何数量关系？并证明你猜想的结论．
（2）若，试求的长．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵E为中点，
∴cm
【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠A=∠DEB，根据AAS证△ACB≌△EBD，根据全等三角形性质推出即可；
(2)根据全等推出AC=BE，BC=BD=8cm，根据线段中点求出BE，即可求出AC
19．（2024八上·梅里斯期末）如图，在中，平分交于点D，，分别交于点E、F．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，
∵，，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）已知平分，，可证明，结合全等三角形的性质可得；
（2）由（1）可得，然后根据三角形外角的性质可求解．
20．（2024八上·关岭期末）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．
（1）求AD的长；
（2）求△ACE和△ABE周长的差．
【答案】（1）解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
∴，
∴，即AD的长度为4.8cm
（2）解：∵AE为BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长
＝（AC+AE+CE）﹣（AB+BE+AE）
＝AC﹣AB
＝8﹣6
＝2（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．
【解析】【分析】（1）运用等面积法可求出高AD的长度．
（2）将△ACE和△ABE的周长用对应的线段分别表示出来，作差即可．
21．（2024八上·拜城期中）如图，，分别是的高和中线，，，，．
（1）求的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：，
（）.
（2）解：是的中线，
，
（）．
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式及等面积法可得cm；
（2）利用三角形中线的性质可得，再利用三角形的面积公式及等量代换可得的面积.
（1）解：，
（）；
（2）解：是的中线，
，
（）．
22．（2025八上·苍南期末）如图，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：∠B＝∠C；
（2）若∠A＝40°，∠BEC＝70°，求∠C的度数．
【答案】（1）证明：∵ AD＝AE，BD＝CE ，
∴AD+BD=AE+CE，即AB=AC，
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠B=∠C.
（2）解：∵∠BEC是△ABE的外角，
∴∠A+∠B=∠BEC，
∵ ∠A＝40°，∠BEC＝70°，
∴∠B=30°.
∵∠B=∠C，
∴∠C的度数为30°．
【解析】【分析】（1）利用SAS证明△ABE≌△ACD，即可得到∠B=∠C；
（2）利用三角形外角性质可得∠B的度数，从而可得∠C的度数.
23．（2024八上·扶余期末）如图，在中，，于点，交于点，，连接.
（1）如图1，当在内部时，求证：；
（2）如图2，当的边，分别在外部和内部时，求证：.
【答案】（1）证明：如图，在上截取，连接.
∵，
∴，.
又∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
在和中，
∴.
∴.
∴.
（2）证明：如图，在的延长线上截取，连接.
∵，
∴，.
又∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
在和中，
∴.
∴.
∵，
∴.
【解析】【分析】（1） 从问题入手，三条线段不在一个三角形或一条边上，想办法等量代换，如果在EF找到一点将EF的分成两段，与等号另一边两线段分别相等就可以证得结论了，结合已知的等边等角条件，故想到在EF上找到一点H，令EH=BH，连接AF作辅助线；接下来需要证明FH=FC，要证明两线段相等，通常可先尝试证明线段所在的三角形全等，整理已知条件，可以用由SAS定理证明全等，至此整理思路即可；
（2）基本思路同（1），观察需要证明的等式，作辅助线找到线段BE的2倍，故想到在FE的延长线上找到一点N，令EN=BE，连接AN，则需要证明CF=NF，同样要证明两线段相等，先证明线段所在的三角形全等，整理已知条件，可以用由SAS定理证明全等，至此整理思路写出证明过程。
24．（2023八上·洪山月考） 如图，，的延长线交于H．
（1）求证：；
（2）求证：点H是的中点；
（3）若，求．
【答案】（1）证明：∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠CAH+∠BAF=90°，
∵ AF⊥BE，
∴∠AFB=90°，
∴ ∠ABE+∠BAF=90°，
∴ ∠CAH=∠ABE；
（2）证明：过点C作CG∥AD交FH的延长线于点G，如图，
∵ CG∥AD，
∴ ∠ACG+∠CAD=180°，
∵ ∠BAC=∠DAE=90°，
∴ ∠CAD+∠BAE=180°，
∴ ∠ACG=∠BAE，
∵ ∠CAH=∠ABE，AC=AB，
∴ △ACG≌△BAE（ASA），
∴ CG=AE，
∵ AD=AE，
∴ CG=AD，
∵ CG∥AD，
∴ ∠GCH=∠ADH，∠CGH=∠DAH，
∴ △CHG≌△DHA（ASA），
∴ CH=DH，
∴ 点H是CD的中点.
（3）解：∵ ，△ACG≌△BAE，
∴ S△ACG=S△BAE=12，
∵ S△ACG=S△ACH+S△DHA，△CHG≌△DHA，
∴ S△ACG=S△ACH+S△CHG，
∵ CH=DH，
∴ S△ACH=S△CHG，
∴ S△ACH=S△ACG=×12=6.
【解析】【分析】（1）根据平角的定义得∠CAH+∠BAF=90°，根据三角形的内角和得∠ABE+∠BAF=90°，进而根据同角的余角相等即可求得；
（2）过点C作CG∥AD交FH的延长线于点G，根据平行线的性质得∠ACG+∠CAD=180°，由同角的补角相等推出∠ACG=∠BAE，依据ASA判定△ACG≌△BAE得CG=AE，进而推出CG=AD，根据平行线的性质得∠GCH=∠ADH，∠CGH=∠DAH，依据ASA判定 △CHG≌△DHA，即可求得；
（3）依据全等三角形的性质得S△ACG=S△BAE=12， S△ACG=S△ACH+S△CHG，再依据（2）中的结论CH=DH得S△ACH=S△CHG，即可求得.
25．（2023八上·孟村期中）如图，中，平分，平分，，垂足为F.
（1）当，则 度；
（2）当，则 度；
（3）当，则 度；
（4）请写出与的数量关系，并证明.
【答案】（1）40
（2）45
（3）55
（4）解：.
证明：在中，根据三角形的内角和可知，. ，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴
【解析】【解答】解：(1)
. ，
∵平分，平分，
∴，，
∴
故第一空填：40
（2）
. ，
∵平分，平分，
∴，，
∴
故第二空填：45
（3）
. ，
∵平分，平分，
∴，，
∴
故第三空填：55
【分析】（1）从问题入手，想求 度数，它在直角三角形内，可以根据互余先求；是三角形BCE的外角，根据三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和，再根据角平分线的定义，这两个内角和是三角形ABC的两个内角和的一半，根据三角形内角和定理和已知的可求三角形ABC的这两个内角，至此整理思路，求解即可；
（2）思路相同，的度数变了，的度数也随之变了；
（3）思路相同，的度数变了，的度数也随之变了；
（4）在前例的基础上，找到和之间的数量关系，证明思路相同。
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