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二次函数（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·杭州期中）将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·香洲期中）将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·东阳期中）如图是二次函数的图象，表明无论x为何值，函数值y永远为负，则下列结论成立的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2024九上·温州月考）函数 的一次项系数是 ( )
A．6 B．1 C．3 D．-6
5．（2024九上·义乌月考）下列函数中，是二次函数的有（ ）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024九上·宁波期中）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·嘉兴期中）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为（ ）
A．2 B．8 C．10 D．
8．（2024九上·宁波期中）红光公司今年7月份生产儿童玩具20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第三季度儿童玩具的产量y（万件）与x之间的关系应表示为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024九上·花溪期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，抛物线经过，两点，若，则矩形的的周长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．3
10．（2024九上·杭州月考）二次函数自变量与函数值的对应关系如表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是( )
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
-0.22 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·乌鲁木齐期末）二次函数的图像开口方向是 （填“向上”或“向下”）．
12．（2024九上·鹿寨期末）抛物线的顶点坐标是 ．
13．（2024九上·珠海月考）已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为 ．
14．（2024九上·闵行开学考）抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为 ．
15．（2024九上·苏州期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
则当时，x的取值范围是 ．
16．（2024九上·宁波月考）若函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为 ．
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·夷陵期中）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？
18．（2024九上·长兴月考）已知二次函数．
（1）将写成的形式，并写出它的顶点坐标；
（2）当时，直接写出函数值的取值范围；
19．（2024九上·东莞期中）已知抛物线
（1）求该抛物线与轴交点坐标，与轴交点坐标．
（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．
20．（2023九上·义乌月考）已知函数y=-x2-2x+3.
（1）指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当取何值时，随的增大而减小．
（3）当时，请直接写出x的取值范围．
21．（2023九上·抚松月考）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，顶点为D．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求△ABD的面积．
22．（2025九上·海曙期末）用 12米长的铝合金型材制成如图1所示的矩形窗框（铝合金型材宽度不计）
（1）窗框的宽为多少米时，窗户的透光面积最大 最大透光面积是多少
（2）若制成如图2所示的窗框（上部分为半圆，下部分为矩形），求该窗户的最大透光面积（π取 3）.
23．（2024九上·杭州月考）已知函数，为常数）的图象经过点，．
（1）求b，c的值；
（2）当时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示）
24．（2024九上·南宁开学考）已知二次函数，请解答下列问题：
（1）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象不用列表；
（2）此函数图象与轴的交点坐标为 ；
（3）直接写出当时，的取值范围．
25．（2024九上·盘龙期末）2023年9月17日，中国“普洱景迈山古茶林文化景观”申遗成功，成为全球首个茶主题世界文化遗产．景迈山古树茶成本为每饼400元，当售价为每饼480元时，每月可销售100饼．为庆祝申遗成功，让更多的人了解景迈山古树茶，商家决定降价销售．据市场调查反映：销售单价每降5元，则每月多销售10饼．设每饼古树茶的售价为x元，每月的销售量为y饼．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大．
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二次函数（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·杭州期中）将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线解析式为：，
当时，，故不在此抛物线上，故A选项不合题意；
当时，，故在此抛物线上，故B选项符合题意；
当时，，故不在此抛物线上，故C选项不合题意；
当时，，故不在此抛物线上，故D选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】直接将原函数写成顶点式，再利用二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进而得出平移后解析式，再把各选项的点代入判断即可．
2．（2024九上·香洲期中）将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线是
，
故答案为：C
【分析】
抛物线图象的平移规律：左加右减，上加下减，解题即可．
3．（2024九上·东阳期中）如图是二次函数的图象，表明无论x为何值，函数值y永远为负，则下列结论成立的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】【解答】解：由图知：抛物线的开口向下，图象都在x轴的下方，与x轴无交点，
∴，，
∵无论x为何值，函数值y永远为负，
∴，.
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象在x轴的下方，可得抛物线开口向下，与x轴无交点，即，然后根据题意“无论x为何值，函数值y永远为负”并结合各选项即可求解．
4．（2024九上·温州月考）函数 的一次项系数是 ( )
A．6 B．1 C．3 D．-6
【答案】D
【解析】【解答】解： 函数 的一次项系数是-6，
故答案为：D.
【分析】根据二次函数中a，b，c分别是二次项系数，一次项系数和常数项解题即可.
5．（2024九上·义乌月考）下列函数中，是二次函数的有（ ）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：①，是二次函数，符合题意；
②，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
③，整理后是二次函数；
④，整理后是二次函数；
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的定义“形如的函数是二次函数”解题即可．
6．（2024九上·宁波期中）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴，
∴，选项A正确．
∵时，，
∴，选项B正确．
由图象可得时，
∴，选项C正确．
∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴，
∴，选项D错误．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象与x轴有2个交点即可判断一；根据当x=1时y>0判断②；根据当x=-1时，y<0判断③；然后根据开口向上，对称轴位于y轴左侧以及抛物线与y轴交点在负半轴判断④即可解题．
7．（2024九上·嘉兴期中）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为（ ）
A．2 B．8 C．10 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：在 中，令 得：
解得 (舍去)或
∴小朱本次投掷实心球的成绩为8米，
故答案为： C.
【分析】根据实心球落地时，高度 把实际问题可理解为当 时，求x的值即可.
8．（2024九上·宁波期中）红光公司今年7月份生产儿童玩具20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第三季度儿童玩具的产量y（万件）与x之间的关系应表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意可得，8月份的产量为，9月份的产量为，
三季度的产量为，
则，
故答案为：D
【分析】根据题意可得，8月份的产量为，9月份的产量为，三季度的产量为，即可求解.
9．（2024九上·花溪期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，抛物线经过，两点，若，则矩形的的周长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：把代入，
可得：，
点的坐标是，
，
，
，
点的坐标是，
把点的坐标是，
点的坐标是，
代入，
可得：，
整理得：，
提公因式可得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不成立，
故应舍去，
当时，，，
矩形的周长为．
故选：C．
【分析】先根据抛物线与轴交点的横坐标为求出点C的坐标，再根据矩形的性质求出点A的坐标，进而得出点B的坐标，把点B的坐标代入抛物线，解一元二次方程求出的值，即可求出矩形的长与宽，即可求解.
10．（2024九上·杭州月考）二次函数自变量与函数值的对应关系如表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是( )
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
-0.22 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由表格可得，
该函数的对称轴为直线
当 时， 当 时，
∵一元二次方程 的根为x1， x2， 且
故答案为：D.
【分析】根据表格可知，当 和 对应的函数值相等，即可得到该函数的对称轴，再根据二次函数具有对称性，即可得到x2的取值范围.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·乌鲁木齐期末）二次函数的图像开口方向是 （填“向上”或“向下”）．
【答案】向下
【解析】【解答】解：∵，
∴二次函数的图像开口向下，
故答案为：向下．
【分析】a>0时，抛物线的开口向上，a<0时，抛物线的开口向下，据此求解．
12．（2024九上·鹿寨期末）抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】（1， 4）
【解析】【解答】解： 抛物线的顶点坐标是（1，4）.
故答案为：（1，4）.
【分析】抛物线（a≠0）的顶点坐标是（h，k），据此求解即可.
13．（2024九上·珠海月考）已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为 ．
【答案】-1
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴的一个交点为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：-1.
【分析】根据题意先求出，再求出，最后代入计算求解即可。
14．（2024九上·闵行开学考）抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
∵点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点，
∴点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点．
故答案为：．
【分析】先根据抛物线的解析式求出顶点坐标为，根据顶点坐标的平移方式得出抛物线的平移方式为向右平移1个单位，向上平移2个单位，根据平移规律即可求出点P平移到点Q时的坐标.
15．（2024九上·苏州期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
则当时，x的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由表格可知，和时的函数值相同，
∴对称轴为直线，
∵当时的函数值小于时的函数值，
∴二次函数开口向上，
∴在对称轴由此y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小，
∵时，，
∴时，，
∴当时，x的取值范围是，
故答案为：．
【分析】先结合表格求出抛物线的对称轴，再利用二次函数的性质求出x的取值范围即可.
16．（2024九上·宁波月考）若函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为 ．
【答案】-1或0或-2或1
【解析】【解答】解：①当m+1=0，即m=-1时，有，此时一次函数与坐标轴有两个交点为；
②当m+1≠0，即m≠-1时，有，分以下两种情况：
若二次函数经过原点（0，0）时，则，
解得：m=0，
∴二次函数的表达式为，此时二次函数与坐标轴有两个交点为（0，0），（2，0）；
若二次函数不经过原点（0，0）时，有，
解得：m=-2或1．
综上所述，m=-1或0或-2或1时，函数与坐标轴有两个交点，
故答案为：-1或0或-2或1.
【分析】先分类讨论：①函数为一次函数，则当m+1=0，即m=-1时；②函数为二次函数，则当m+1≠0，即m≠-1时，再分两种情况：若二次函数经过原点时，此时二次函数与x轴还有一个除原点以外的交点，有；若二次函数不经过原点，则抛物线与x轴只有一个交点，得b2-4ac=0，即可求出m的值.
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·夷陵期中）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？
【答案】（1）设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0），由CD＝10m，可设D（5，b），
由AB＝20m，水位上升3m就达到警戒线CD，
则B（10，b﹣3），
把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：
，
解得：，
；
（2）∵b＝﹣1，
∴拱桥顶O到CD的距离为1m，
（小时），
所以再持续5小时到达拱桥顶．
【解析】【分析】本题考查二次函数的应用.（1）根据函数图象，先设所求抛物线的解析式为：y=ax2（a≠0），根据D（5，b），可得B（10，b－3），将B和D点的坐标代入解析式可列出方程组，解方程组可求出a和b的值，进而可求出抛物线的解析式；
（2）利用（1）的结论可求出点B坐标，进而可得拱桥顶O到正常水位AB的距离，据此可求出时间．
18．（2024九上·长兴月考）已知二次函数．
（1）将写成的形式，并写出它的顶点坐标；
（2）当时，直接写出函数值的取值范围；
【答案】（1）解：因为，
所以顶点坐标为：；
（2）解：因为，所以对称轴为直线，开口向上，
所以当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
又，
所以当时，，
当时，，
所以当时，函数的取值范围为．
【解析】【分析】（1）利用完全平方差公式转化为顶点式，根据顶点式写出顶点坐标；
（2）利用二次函数的性质求出的取值范围；
（1）解：，
则得顶点坐标为：；
（2）解：
∴对称轴为直线，开口向上，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
又，
当时，，
当时，，
当时，函数的取值范围为．
19．（2024九上·东莞期中）已知抛物线
（1）求该抛物线与轴交点坐标，与轴交点坐标．
（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）解：当时，，解得，，
∴抛物线与轴交点坐标为和；
当时，，
∴该抛物线与轴交点坐标为；
（2）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
【解析】【分析】（）根据x轴和y轴上的点的特征。只需把和代入函数解析式进行计算，即可求解；
（）首先进行二次函数解析式一般式和顶点式的互化，可得出抛物线，再根据顶点式，直接得出抛物线的对称轴和顶点坐标即可。
（1）解：当时，，
解得，，
∴抛物线与轴交点坐标为和；
当时，，
∴该抛物线与轴交点坐标为；
（2）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
20．（2023九上·义乌月考）已知函数y=-x2-2x+3.
（1）指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当取何值时，随的增大而减小．
（3）当时，请直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解： 已知函数解析式为，
∴ 开口向下，对称轴：直线x= -1，顶点坐标（-1，4）
（2）解：根据二次函数的性质得1时， 随的增大而减小．
（3）解：
【解析】【解答】解：（3）令，得y=-x2-2x+3，解得，抛物线开口向下，所以，.
【分析】（1）根据函数解析式即可得解；
（2）根据二次函数的性质，即可得解；
（3）先求出抛物线与x轴的交点，再根据抛物线的开口判断时，x的取值范围.
21．（2023九上·抚松月考）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，顶点为D．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求△ABD的面积．
【答案】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，
解得：
∴y=x2-2x-3，
∴此二次函数的解析式为y=x2-2x-3．
（2）解：∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴点D的坐标为（1，-4），
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∴S△ABD=
【解析】【分析】（1）将 A（-1，0）、B（3，0）两点 带入函数解析式，得到二次函数的一般式。
（2）将二次函数的解析式化为顶点式，得到顶点B的坐标，然后可求出 △ABD的面积。
22．（2025九上·海曙期末）用 12米长的铝合金型材制成如图1所示的矩形窗框（铝合金型材宽度不计）
（1）窗框的宽为多少米时，窗户的透光面积最大 最大透光面积是多少
（2）若制成如图2所示的窗框（上部分为半圆，下部分为矩形），求该窗户的最大透光面积（π取 3）.
【答案】（1）设矩形窗框的宽AD为x米，窗户的透光面积为S平方米，如图所示：
则 (米) ，
根据题意得：
∴当 时， S最大， 最大值为6，∴窗框的宽为2米时，窗户的透光面积最大，最大透光面积是6平方米；
（2）解：设矩形窗框的宽AD为x米，窗户的透光面积为S平方米，如上图所示：
则半圆周长为 (米)，
米，
∴当 时，S最大，最大值为
答：该窗户的最大透光面积为 平方米.
【解析】【分析】(1)设窗框的宽为. 则长为 (米)，表示出面积利用二次函数最值求法得出即可；
(2)设矩形窗框的宽AD为x米，窗户的透光面积为S平方米，则半圆周长为 (米)，
米，根据窗户的透光面积=半圆的面积+矩形的面积列出函数解析式，根据函数的性质求最值.
23．（2024九上·杭州月考）已知函数，为常数）的图象经过点，．
（1）求b，c的值；
（2）当时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示）
【答案】（1）解：函数，为常数）的图象经过点，，
，，
将点代入可得：，解得：，
，；
（2）解：，
当时，
①仅当时，取得最小值，此时；
②仅当时，取得最大值，此时；
，
当时，求的最大值与最小值之差为9；
（3）解：，
当时，则在时，y随x的增大而减小，
当时，y有最小值，最小值为；
当时，则在时，抛物线的顶点在图象上处于最低点，
当时，y有最小值，最小值为；
综上所述，y的最小值为或．
【解析】【分析】（1）（0，3）是抛物线与y轴的交点，可得，再将（6，3）代，可求得b的值；
（2）首先利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，从而找出0≤x≤4这段图象最高点与最低点对应的函数值，再求差即可；
（3）结合（2）中的顶点式，由于抛物线中二次项系数a=1＞0，抛物线开口向上，结合抛物线的顶点坐标及增减性，分类讨论：当时及当时，分别计算求出y的最小值．
（1）函数，为常数）的图象经过点，，
，，
将点代入可得：，解得：，
，；
（2），
当时，
①仅当时，取得最小值，此时；
②仅当时，取得最大值，此时；
，
当时，求的最大值与最小值之差为9；
（3），
当时，则在时，y随x的增大而减小，
当时，y有最小值，最小值为；
当时，则在时，抛物线的顶点在图象上处于最低点，
当时，y有最小值，最小值为；
综上所述，y的最小值为或．
24．（2024九上·南宁开学考）已知二次函数，请解答下列问题：
（1）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象不用列表；
（2）此函数图象与轴的交点坐标为 ；
（3）直接写出当时，的取值范围．
【答案】（1）解：列表如下：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 0 …
的图象如下：
（2）（3，0）、（-1，0）
（3）观察函数图象知，当时，的取值范围为：或．
【解析】【解答】解：（2）当时，，
解得，，
∴函数图象与轴的交点坐标为，，
故答案为：，；
【分析】（1）根据函数解析式运用五点作图法画出二次函数的图象即可求解；
（2）根据二次函数与坐标轴的交点令y=0即可求解；
（3）根据题意观察函数的图象即可求解。
25．（2024九上·盘龙期末）2023年9月17日，中国“普洱景迈山古茶林文化景观”申遗成功，成为全球首个茶主题世界文化遗产．景迈山古树茶成本为每饼400元，当售价为每饼480元时，每月可销售100饼．为庆祝申遗成功，让更多的人了解景迈山古树茶，商家决定降价销售．据市场调查反映：销售单价每降5元，则每月多销售10饼．设每饼古树茶的售价为x元，每月的销售量为y饼．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大．
【答案】（1）；
（2）解：由题意，得：
，
，抛物线开口向下，
∴当时，有最大值．
答：当销售单价为465元时，每月获得的利润最大．
【解析】【解答】（1）解：由题意可得：
，
与的函数关系式为；
【分析】（1）根据销售单价每降5元，则每月多销售10饼，即可求出答案.
（2）该网店每月获得的利润元等于每件的利润乘以销售量，由此列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求出答案.
（1）解：由题意可得：
，
与的函数关系式为；
（2）解：由题意，得：
，
，抛物线开口向下，
∴当时，有最大值．
答：当销售单价为465元时，每月获得的利润最大．
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