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二次函数（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·重庆市开学考）如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（ ）
A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4
2．（2024九上·东阳开学考） 童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x=（ ）
A．25元 B．20元 C．30元 D．40元
3．（2024九上·杭州开学考）已知二次函数的与的部分对应值如表：
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与轴交于负半轴
C．当时，
D．方程的正根在与之间
4．（2024九上·青秀开学考）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·新会开学考）二次函数的部分图象如图，图象过点对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，的取值范围是；⑤，其中正确的结论序号为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④
6．（2024九上·萧山月考）已知是二次函数的图像上的三个点，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·献县月考）若抛物线与抛物线关于直线对称，则的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．（2023九上·淮南月考）关于的一元二次方程的解为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023九上·柯桥月考）二次函数 ，对称轴为直线 ，若关于 的一元二次方程 （ 为实数）在 的范围内有解，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
10．（2023九上·邹城月考）函数y=ax2与y=ax+b(a>0，b>0)在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·武胜期末）若方程的解是，则方程的解是 ．
12．（2024九上·朝天期末）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的对应函数解析式为 ．
13．（2024九上·澧县期末）已知抛物线与轴有且只有一个公共点，则 ．
14．（2024九上·娄底期末）如图，有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙（墙长为），另外三边用长为的篱笆围成，则这个苗圃园面积的最大值为 ．
15．（2023九上·乌鲁木齐月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，图象过点A，且，以下结论：①；②关于x的不等式的解集为：；③；④（m为任意实数）；⑤若点，在此函数图象上，则.其中错误的结论是 .
16．（2023九上·瑞安月考）某农场拟建甲、乙、丙、丁四间面积相等的矩形饲养室，如图所示，甲饲养室的一面靠现有墙（墙长足够长），四间饲养室之间用墙隔开．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，则四间饲养室的面积最大为 m ．
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·蔡甸期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数的解析式为．
（1）完成表格，并直接写出二次函数的顶点坐标________；
（2）若，则的取值范围是________；
（3）若，则的取值范围是________．
18．（2024九上·湘西期末）如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？
19．（2024九上·昭通期末）随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展．某电商以每件40元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售．经统计，“元旦”的前一周的销量为500件，该电商在“元旦”期间进行降价销售，经调查，发现该T恤在“元旦”前一周销售量的基础上，每降价1元，销售量就会增加50件．设该T恤的定价为x元，获得的利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于30%，如何定价才能使得利润最大？并求出最大利润是多少元？（利润率＝×100%）
20．（2024九上·红塔期末）雪是冬天的来信，碎碎坠琼芳，雪花落处，诗意陡升，在云南，遇见雪山的烂漫，看“高原精灵”翩翩起舞，感受“南国雾凇美如画”的韵味，有一种叫云南的生活，它总是呼唤着你，岁岁年年，四时不变．云南某雪山景区经过市场调查发现，某天门票的销售量（单位：张）与门票的售价（单位：元/张）的函数关系如图所示，门票售价不低于50元，不高于300元．
（1）求与的函数解析式（也称关系式）；
（2）求这一天该景区销售门票获得的总收入的最大值．
21．（2024九上·南岸期末）为了加强中小学学生的劳动教育，2024年计划将该区的土地作为社会实践基地，该基地准备种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元．
（1）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为w元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使w最小？
（2）学校计划今后每年在这土地上，均按（1）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2026年的总种植成本为28920元？
22．（2024九上·温州月考）已知抛物线的图象经过点，．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围．
23．（2024九上·海淀开学考）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过不重合的三点，其对称轴为直线．
（1）若，则a______0（填“>”或“<”）；
（2）若，求此时二次函数的解析式；
（3）当时，对于某个n，若存在，使得成立，结合图象，直接写出n的取值范围．
24．（2024九上·闵行开学考）
如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等；如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数．
已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．抛物线上有一点，以点为顶点的抛物线经过点（点与点不重合），抛物线和形状相同，开口方向相反．
（1）当抛物线经过点时，求抛物线的表达式；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）当时，设抛物线的顶点为，抛物线的对称轴与轴的交点为，联结、、，求证：平分．
25．（2024九上·嘉兴期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）将抛物线向左平移个单位，当抛物线经过点时，求的值；
（3）若是抛物线上位于第一象限内的一点，且，求点的坐标．
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二次函数（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·重庆市开学考）如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（ ）
A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4
【答案】C
【解析】【解答】解：令y=0，得方程x2+4x﹣m=0，
∵函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，
∴方程x2+4x﹣m＝0有实数解，
∴，
解得：m≥﹣4，
故答案为：C．
【分析】令y=0，得方程x2+4x﹣m=0，由二次函数与x轴有公共点得一元二次方程有实数解，从而得根的判别式，进而得关于m的不等式，解不等式求出m的范围.
2．（2024九上·东阳开学考） 童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x=（ ）
A．25元 B．20元 C．30元 D．40元
【答案】A
【解析】【解答】解：y=-x2+50x-500
=-（x2-50x+252）+125，
∵-1＜0，
∴图象的开口向下，函数y有最大值，
∴当x=25时，可获得最大利润.
故答案为：A.
【分析】由题意，先将函数解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解.
3．（2024九上·杭州开学考）已知二次函数的与的部分对应值如表：
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与轴交于负半轴
C．当时，
D．方程的正根在与之间
【答案】D
【解析】【解答】解：观察表格可得，
A、抛物线的对称轴是直线，有最大值，抛物线开口向下，故选项A错误，不合题意；
B、当时，，抛物线与轴的交点为，故选项B错误，不合题意；
C、和时的函数值相等，则时，，故选项C错误，不合题意；
D、方程的正根在3与4之间，故选项D正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】观察表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，据此求解．
4．（2024九上·青秀开学考）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意，抛物线为，
顶点为．
故答案为：C．
【分析】将抛物线的解析式改写为顶点式：，进而即可求解.
5．（2024九上·新会开学考）二次函数的部分图象如图，图象过点对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，的取值范围是；⑤，其中正确的结论序号为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④
【答案】B
【解析】【解答】解：①由图象可得，
∴，故①正确
②由图可知：
∴
∴，故②错误
③∵抛物线与x轴有两个不同的交点
∴
故③正确
④∵图象过点对称轴为直线，
∴抛物线与x轴另一个交点为
由图可知：当x的取值范围是时，
故④正确
⑤∵当时，
∴
故⑤错误
∴正确的有①③④
故选：B．
【分析】
① a决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口，对称轴在y轴的左边；当a与b异号时（即），对称轴在y轴的右边，c决定抛物线与y轴交点
② 根据图像得出：，得出
③ 抛物线与x轴交点个数由决定，时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点
④ 根据题意先求出抛物线与x轴的交点，再根据图形得到：当x的取值范围是时，
⑤根据图像可得：当时，，得出.
6．（2024九上·萧山月考）已知是二次函数的图像上的三个点，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴；
故答案为：D
【分析】根据二次函数对称性及增减性即可求出答案.
7．（2023九上·献县月考）若抛物线与抛物线关于直线对称，则的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】【解答】解：由抛物线得：
其对称轴为直线：，
∵抛物线与抛物线关于直线对称，
∴其对称轴也关于直线对称，
∴抛物线的对称轴为直线x==-1，
解得：m=1，
∵抛物线与y轴的交点为（0，-5），
∴（0，-5）关于直线对称的点为（2，-5），
∴（2，-5）在抛物线上，
∴，
解得：n=-2.
故答案为：D.
【分析】由抛物线可知抛物线M的对称轴为直线x==-1，从而可求得m的值；由抛物线交y轴于点(0，-5)，可得点(0，-5)关于直线x=1对称的点( 2，-5)在抛物线上，进而求得 n=-2.
8．（2023九上·淮南月考）关于的一元二次方程的解为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意知关于的一元二次方程 ， 的解就是函数y=a（x+2）（x-1）与y=-b的交点的横坐标，
a<0，
抛物线开口向下，
b<0，
y=-b在x轴的下方，
x1x1<-2<1故答案为：D
【分析】先把的解转化为直线和抛物线的交点，再结合图形即可求解.
9．（2023九上·柯桥月考）二次函数 ，对称轴为直线 ，若关于 的一元二次方程 （ 为实数）在 的范围内有解，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】∵二次函数 的对称轴是直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数解析式为 ，
∵关于 的一元二次方程 （ 为实数）在 的范围内有解，
∴ 且 ，
∴ 时， ，
时， ，即 ．
故答案为： ．
【分析】利用抛物线的对称轴求出m的值，再将二次函数解析式转化为顶点式，再根据关于 x 的一元二次方程 x2+mx t=0 （ t 为实数）在 210．（2023九上·邹城月考）函数y=ax2与y=ax+b(a>0，b>0)在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵a＞0，b＞0，
∴二次函数y=ax2的图像是开口向上，经过原点（0，0），且以y轴为对称轴的抛物线；一次函数y=ax+b的图像经过一、二、三三个象限的直线.
故答案为：C.
【分析】先由a>0，那么抛物线开口向上可排除B，D，根据A，C可知抛物线过点（0，0），且以y轴为对称轴的抛物线，从而可求得一次函数所在象限.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·武胜期末）若方程的解是，则方程的解是 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵方程的解是，
∴的函数图象与x轴交点的横坐标为1，
∵的图像是向右移动一个单位得到的，
∴的函数图象与x轴的交点为2，
∴的解是．
故答案为：2
【分析】先根据题意结合二次函数与坐标轴的交点问题得到的函数图象与x轴交点的横坐标为1，进而根据二次函数的几何变换结合题意即可求解。
12．（2024九上·朝天期末）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的对应函数解析式为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的对应函数解析式为，
故答案为：
【分析】根据二次函数的几何变换结合题意即可求解。
13．（2024九上·澧县期末）已知抛物线与轴有且只有一个公共点，则 ．
【答案】1
【解析】【解答】将y=0代入可得，
∵抛物线与轴有且只有一个公共点，
∴△=0，即22-4m=0，
解得：m=1，
故答案为：1.
【分析】将二次函数与x轴的交点个数问题转换为一元二次方程根的判别式问题列出方程求解即可.
14．（2024九上·娄底期末）如图，有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙（墙长为），另外三边用长为的篱笆围成，则这个苗圃园面积的最大值为 ．
【答案】32
【解析】【解答】设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（16-2x）m，苗圃园面积为y，
根据题意可得：y=x（16-2x）=-2（x-4）2+32，（x<8），
∵墙长为15m，
∴16-2x≤15，
解得：0.5≤x<8，
∴当x=4时，y有最大值为32，
故答案为：32.
【分析】设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（16-2x）m，苗圃园面积为y，再利用矩形的面积公式求出y=x（16-2x）=-2（x-4）2+32，最后利用二次函数的性质分析求解即可.
15．（2023九上·乌鲁木齐月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，图象过点A，且，以下结论：①；②关于x的不等式的解集为：；③；④（m为任意实数）；⑤若点，在此函数图象上，则.其中错误的结论是 .
【答案】②③④
【解析】【解答】解：∵，
∴图象过点，
∵对称轴为直线，
∴，抛物线与坐标轴的另一个交点为，
∴，
∴当时：，故①正确；
∵，，
∴，
由图象可知：当时，，
∴当时，，故②错误；
当时：，
∴，故③错误；
当，函数有最大值为，当时，，
∴，
∴，故④错误；
∵点，在此函数图象上，，
∴点关于对称轴对称，
∴，故⑤正确；
故答案为：②③④
【分析】先根据题意得到图象过点，进而根据对称轴即可得到，抛物线与坐标轴的另一个交点为，从而得到，进而即可得到当时：；再结合题意得到函数解析式，由图象可知：当时，，进而结合题意即可判断②；从而将x=-1代入即可判断③；再根据对称轴结合题意即可得到当，函数有最大值为，当时，，故得到，进而即可判断④；根据二次函数的性质结合题意即可得到点关于对称轴对称，从而即可得到。
16．（2023九上·瑞安月考）某农场拟建甲、乙、丙、丁四间面积相等的矩形饲养室，如图所示，甲饲养室的一面靠现有墙（墙长足够长），四间饲养室之间用墙隔开．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，则四间饲养室的面积最大为 m ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图：
设AB=BC=xm，AD=2ym，
∴乙，丙的面积都为2xym2，
∵甲、乙、丙、丁四间面积相等，
∴AF=DE=y（m），
∵计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，
∴10y+6x=50，
∴；
设四间饲养室的面积为S，
∴，
∵，
∴当时，S取最大值，
故答案为：.
【分析】如图，设AB=BC=xm，AD=2ym，根据甲、乙、丙、丁四间面积相等，计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，可得，设四间饲养室的面积为S，有，由二次函数性质可得答案．
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·蔡甸期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数的解析式为．
（1）完成表格，并直接写出二次函数的顶点坐标________；
（2）若，则的取值范围是________；
（3）若，则的取值范围是________．
【答案】（1），，；
（2）；
（3）或．
【解析】【解答】解：（1）根据表格可得，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
则顶点坐标为，
当时，，
当时，，
故答案为：，，；
（2）如图所示，
∵，
∴图象开口向上，对称轴为直线，
∵时，有最小值，则；时，，
∴当，的取值范围是，
故答案为：；
（3）∵图象经过点，对称轴为直线，
由（）可知图象开口向上，
∴若，则的取值范围是或
故答案为：或．
【分析】（1）先结合表格中的数据利用待定系数法求出函数解析式，再利用配方法的计算方法及步骤将二次函数的一般式化为顶点式，再根据二次函数的顶点式直接求出其顶点坐标即可；
（2）先画出二次函数图象，再结合函数图象及性质分析求出即可；
（3）结合函数图象并利用，求出x的取值范围即可.
18．（2024九上·湘西期末）如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？
【答案】解：（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10），
设抛物线解析式为：，
将点B（0，4）代入，得：，
解得：，
故该抛物线解析式为；
（2）根据题意，当x＝6+4＝10时，y16+106，
∴这辆货车能安全通过．
【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为：，将点B（0，4）代入解析式求出a的值即可；
（2）将x=10代入解析式求出y的值，再比较大小即可.
19．（2024九上·昭通期末）随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展．某电商以每件40元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售．经统计，“元旦”的前一周的销量为500件，该电商在“元旦”期间进行降价销售，经调查，发现该T恤在“元旦”前一周销售量的基础上，每降价1元，销售量就会增加50件．设该T恤的定价为x元，获得的利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于30%，如何定价才能使得利润最大？并求出最大利润是多少元？（利润率＝×100%）
【答案】（1）解：根据题意可得：
w＝（x﹣40）[500+50（60﹣x）]＝﹣50x2+5500x﹣140000；
∴w与x之间的函数关系式为：w＝﹣50x2+5500x﹣140000；
（2）解：由题意可得：
，
解得40≤x≤52，
∵a＝﹣50＜0，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线的对称轴为直线 x＝55，
∴当40≤x≤52时，w随x的增大而增大，
∴当 x＝52 时，w的最大值为：w＝（52﹣40）[500+50×（60﹣52）]＝10800（元），
答：当定价为每件52元时，才能使利润最大，最大利润为10800元．
【解析】【分析】（1）基本关系：销售量的增加量=降价的数量×50，每件的利润=销售价格-进价，据此建立二次函数；
（2）销售单价不低于成本，可得一个不等式； 销售利润率不高于30%， 又可得一个不等式，建立不等式组求出自变量的取值范围，再利用二次函数的性质解即可。
20．（2024九上·红塔期末）雪是冬天的来信，碎碎坠琼芳，雪花落处，诗意陡升，在云南，遇见雪山的烂漫，看“高原精灵”翩翩起舞，感受“南国雾凇美如画”的韵味，有一种叫云南的生活，它总是呼唤着你，岁岁年年，四时不变．云南某雪山景区经过市场调查发现，某天门票的销售量（单位：张）与门票的售价（单位：元/张）的函数关系如图所示，门票售价不低于50元，不高于300元．
（1）求与的函数解析式（也称关系式）；
（2）求这一天该景区销售门票获得的总收入的最大值．
【答案】（1）解：当时，设与的函数解析式为，由图可得：
解得：
∴与的函数解析式为：
（2）解：由题意得：
①当时，．
当时，
有最大值为：；
②当时，，
∵，∴当时，随的增大而增大，
∴当时，有最大值为：．
∵，
∴当时，有最大值为1210000，
∴这一天该景区销售门票获得的总收入的最大值是1210000（元）．
【解析】【分析】（1）结合函数图象中的数据，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分类讨论： ①当时， ②当时， 再分别列出函数解析式，最后利用函数的性质求解即可.
21．（2024九上·南岸期末）为了加强中小学学生的劳动教育，2024年计划将该区的土地作为社会实践基地，该基地准备种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元．
（1）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为w元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使w最小？
（2）学校计划今后每年在这土地上，均按（1）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2026年的总种植成本为28920元？
【答案】（1）解：当时，
∵，
∴抛物线开口向上．
∴当时，w有最小值，．
∴，
∴当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，w最小．
（2）解：由题意可知：甲、乙两种蔬菜总种植成本是42000元，
乙种蔬菜的种植成本是（元），
甲种蔬菜的种植成本是（元），
，
设，则，
解得：，（舍去），
∴．
∴．
答：当a为20时，2026年的总种植成本为28920元．
【解析】【分析】（1）先根据题意得到w与x的二次函数关系式，进而根据二次函数的性质即可得到最值；
（2）设，先根据题意求出甲、乙两种蔬菜总种植成本，乙种蔬菜的种植成本，甲种蔬菜的种植成本，进而即可列出一元二次方程，从而解方程即可求解。
22．（2024九上·温州月考）已知抛物线的图象经过点，．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围．
【答案】（1）解：拋物线的图象经过点，
，且.
.
所求二次函数的表达式为
（2）由题意，，
当时，取最大值为4.
①当时，
又，
当时，取最大值为；
当时，取最小值为.
又，
.
②当t>1时，
若，即，
当时，取最大值为；
当时，取最小值为，此时，符合题意.
若，即，
当时，取最大值为；
当时，取最小值为.
又，
.
.
或，不合题意
【解析】【分析】（1）将已知的两个点的坐标分别代入函数解析式，可得到关于a，c的方程组，解方程组求出a，c的值，可得到二次函数解析式.
（2）将函数解析式转化为顶点式，可得到当x=1时y的最大值，再分情况讨论：当t≤1时，由x的取值范围，可得到当x=t时y的最大值，当x=-2时y的最小值，根据m-n=9，可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值；当t＞1时，可得到t的取值范围为1＜t≤4，分别求出当x=1和x=t时y的最大值和最小值，根据m-n=9可求出n的值，可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值；综上所述，可得到t的值.
23．（2024九上·海淀开学考）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过不重合的三点，其对称轴为直线．
（1）若，则a______0（填“>”或“<”）；
（2）若，求此时二次函数的解析式；
（3）当时，对于某个n，若存在，使得成立，结合图象，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
抛物线过点，
则随着x的增大，y的值先增大后减小，
故．
（2）解：当时，依题意，点，二次函数图象的对称轴为．
∵图象还过点，
∴二次函数图象的顶点即为点．
设二次函数的解析式为，
将点代入，得，解得：．
∴二次函数的解析式为．
（3）解：∵抛物线对称轴为直线，且抛物线过点，
关于对称轴对称点为．
设抛物线解析式为，
将代入，得，即，
，，
∵，，
∵存在，使得成立，∴，即．
∵越小，抛物线开口越大，则有最大值，
∴当时，，∴，
同理，
如图，当确定时，由图象知，（对称轴右侧）随增大而减小，
如图，当m确定时，由图象知，n（对称轴右侧）随t增大而减小．
综上所述，或．
【解析】【分析】（1）根据题意得出抛物线过点，根据增减性即可解答；
（2）根据题意得出二次函数图象的顶点为点，且过点，即可求解；
（3）根据题意得出抛物线解析式为，将代入，解得，根据，即可求得，根据存在，使得成立，即可求出的范围，结合图象即可求解.
（1）解：∵，
抛物线过点，
则随着x的增大，y的值先增大后减小，
故．
（2）解：当时，依题意，点，
二次函数图象的对称轴为．
∵图象还过点，
∴二次函数图象的顶点即为点．
设二次函数的解析式为，
将点代入，得，解得：．
∴二次函数的解析式为．
（3）解：∵抛物线对称轴为直线，且抛物线过点，
关于对称轴对称点为．
设抛物线解析式为，
将代入，得，即，
，
，
∵，
，
∵存在，使得成立，
∴，即．
∵越小，抛物线开口越大，则有最大值，
∴当时，
∴，
同理，
如图，当确定时，由图象知，（对称轴右侧）随增大而减小，
如图，当m确定时，由图象知，n（对称轴右侧）随t增大而减小．
综上所述，或．
24．（2024九上·闵行开学考）
如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等；如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数．
已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．抛物线上有一点，以点为顶点的抛物线经过点（点与点不重合），抛物线和形状相同，开口方向相反．
（1）当抛物线经过点时，求抛物线的表达式；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）当时，设抛物线的顶点为，抛物线的对称轴与轴的交点为，联结、、，求证：平分．
【答案】（1）解：将点代入抛物线，
得，解得：，
得抛物线得表达式为；
（2）解：由抛物线和形状相同，开口方向相反，设抛物线得表达式为，
把代入抛物线，得，
则抛物线得表达式为，
由点在抛物线上，设点的坐标为，
由点是抛物线的顶点，得，解得，
得点的坐标为，
即抛物线的对称轴为直线；
（3）证明：由点是抛物线的顶点，得，
过点作轴，轴，垂足分别为点，，交轴于点，如下图所示，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，即，
设直线表达式为，
代入，，得，
直线表达式为，
把代入，得，
得点的坐标为，
，
，，
，
，
平分．
【解析】【分析】（1）先将点A的坐标代入抛物线的解析式，求出a的值，即可求解；
（2）通过题意设抛物线得表达式为，先将点B的坐标代入抛物线的解析式，求出c=6，设点的坐标为，根据抛物线的顶点坐标公式，可列出方程组，解方程组求出m和b的值，即可得出点P的坐标，即可求出抛物线的对称轴；
（3）根据抛物线的顶点坐标公式得出，过点作轴，轴，垂足分别为点，，交轴于点，结合点Q的坐标得出，根据等腰直角三角形的定义得出是等腰直角三角形，推得，待定系数法求出直线PQ的解析式，进一步求出点E的坐标，得出OE=OF，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应角相等得出，即可证明平分．
（1）将点代入抛物线，
得，解得，
得抛物线得表达式为；
（2）由抛物线和形状相同，开口方向相反，设抛物线得表达式为，
把代入抛物线，得，
则抛物线得表达式为，
由点在抛物线上，设点的坐标为，
由点是抛物线的顶点，得，解得，
得点的坐标为，
即抛物线的对称轴为直线；
（3）由点是抛物线的顶点，得，
过点作轴，轴，垂足分别为点，，交轴于点，如下图所示，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，即，
设直线表达式为，
代入，，得，
直线表达式为，
把代入，得，
得点的坐标为，
，
，，
，
，
平分．
25．（2024九上·嘉兴期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）将抛物线向左平移个单位，当抛物线经过点时，求的值；
（3）若是抛物线上位于第一象限内的一点，且，求点的坐标．
【答案】（1）解：把点代入抛物线，得
解得：
（2）解：
当抛物线向左平移个单位时，
把代入得：，
解得：（舍），
．
（3）解：如图：
过点作轴，交于点
∵A（0，3），B（-1，2），C(3，0)，
，，
，
，
∵A（0，3），C(3，0)，
直线解析式：
设，则
，
，
，
解得：，
，
【解析】【分析】（1）利用待定系数法计算计算即可；
（2）先将一般式化成顶点式，根据“左加右减”的法则写出平移后的函数表达式，再把点B坐标带入，即可得到m的值，注意m>0；
（3）根据A，B，C三点坐标求出AB，AC，BC的长，利用勾股定理，发现△ABC是直角三角形，可求△ABC的面积；过P作PE⊥x轴交AC于点E，设出点P的坐标，利用直线AC的解析式表示出点E的坐标，得到PE，则△PAC的面积为，根据 ，可求得t的值，从而得到点P的坐标.
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