认识三角形 [浙江历年真题] 同步练习原卷
一、选择题
1．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则等于（ ）
A． B． C． D．
D
解：如图所示
两三角形全等
故答案为：D．
如图，由全等三角形的性质知，再根据三角形内角和定理求得的度数即可.
2．如图，在中，，是角平分线，于点E，，，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
B
解：∵是角平分线，，，
∴，
∴，
故选：B．
根据题意可知DC⊥AC，DE⊥AB，且 是角平分线，所以根据角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式计算即可．
3．如图所示的两个三角形全等，已知某些边的长度和某些角的度数，求x的值．则x应等于（ ）
A． B． C． D．
A
解：∵如图所示的两个三角形全等，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
先利用全等三角形对应角相得到，再利用三角形内角和定理求出即可．
4．如图，在中，已知，点是的中点，且的面积为9，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
C
解：，，
，
点是的中点，
，
故选：C．
由于和共底同高，则两三角形的面积比等于底边比，即D为BC的三等分点，又中线DE等分面积，则利用的总面积求出面积即可．
5．如图，已知点，，分别为，，的中点，若的面积为20，则四边形的面积为（ ）
A．10 B．9 C．8.5 D．7.5
D
解：∵点D、E、F分别为AC、BC，BD的中点，
∴S△ABD=S△CBD=S△ABC=10，
∴S△EBD=S△CBD=5，
∴S△AFD=S△ABD=5，S△DEF=S△EBD=2.5，
∴S四边形ADEF=S△AFD+S△DEF=7.5
故答案为：D
根据三角形一边上的中线，把三角形分成面积相等的两部分，即可得出答案.
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的三条高都在三角形内
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．三角形中最多只有一个角不是锐角
D．三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点
C
解：A、 锐角三角形的三条高都在三角形内，钝角三角形有两条高在三角形外部，故A错误；
B、 钝角三角形中，钝角的外角小于内角，故B错误；
C、 三角形中最多只有一个角不是锐角，故C正确；
D. 三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条角平分线的交点，故D错误；
故答案为：C．
根据三角形高、外角、内角和以及垂直平分线和角平分线的性质对选项逐一进行判断即可．
7．画出一边上的高，下列画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
C
解：A、DC不是△ABC一边上的高，
此选项不符合题意；
B、AD不是△ABC一边上的高，
此选项不符合题意；
C、AD是△ABC的边BC上的高，
此选项符合题意；
D、AD不是△ABC一边上的高，
此选项不符合题意.
故答案为：C．
三角形的高是从三角形一个顶点向其对边作的垂线段；根据三角形高的定义并结合各选项即可判断求解．
8．下列图形中，线段是的高线的是（ ）
A． B．
C． D．
A
解：根据三角形高的定义可以判断出，只有选项A中的线段是的高线，
故答案为：A．
根据三角形高的定义进行判断即可.从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.
9．如图，在中，、分别是和的平分线，于，交于，于，交于，，，，，结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
C
解：①是的平分线，，
，，
在和中，
，
，
，故①正确；
②，，
，
∵是的平分线，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
，故②正确；
③，
，
，，
∴，，
∵，
∴，
，
，故③错误；
④当时，有，
，
，
，则与不相等，故④错误；
综上所述，正确的有2个，
故答案为：C．
①先结合角平分线的定义证明，得，即可判断①正确；②由①中的三角形全等可得，由①同理可证，得，于是得，即可判断②正确；③由①②的三角形全等可得，，由三角形内角和定理得，据此可求出，即可判断③错误；④当时，有，结合的大小可知，于是与不相等，即可判断④错误.
10．以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是（ ）
A．3，6，9 B．3，5，9 C．2，6，4 D．4，6，9
D
解：A、∵3+6=9，
∴以这三条线段为边不能构造三角形，故A不符合题意；
B、∵3+5=8＜9
∴以这三条线段为边不能构造三角形，故B不符合题意；
C、∵2+4=6
∴以这三条线段为边不能构造三角形，故C不符合题意；
D、∵4+6=10＞9，
∴以这三条线段为边能构造三角形，故D符合题意；
故答案为：D
根据三角形的两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，分别求出各选项中较小两边的和与第三边比较大小，若较小两边的和大于第三边，则能构造三角形，即可求解。
11．如图，均为的角平分线．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
B
∵是的角平分线，，
∴，
∵
∴．
∵是的角平分线，
∴．
故答案为：B．
利用角平分线的定义可得∠CAD，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠ACB，最后利用角平分线定义即可得出的度数 ．
12．等腰三角形两条边长分别是6和8，则其周长为（ ）
A． B．或 C．或 D．
C
13．下列各图中，正确画出边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
D
解：边上的高为点到直线的距离，即，
只有选项D符合题意，
故答案为：D．
根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点到对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，据此即可求解.
二、填空题
14．如图，点是内的一点，，，则 ．
15．如图，在 RtABC 中，∠A＝90°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，AD＝3，BC＝8，则BDC 的面积是 ．
12
解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A＝90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC， AD＝3，
∴AD＝DE＝3，
又BC＝8，
∴=×DE×BC＝×8×3＝12，
故答案为：12．
先利用角平分线性质求出DE，再利用三角形的面积求解．
16．在中，，，则的度数为 ．
30°
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=30°，∠B=4∠C，
∴30°+4∠C+∠C=180°，
解之：∠C=30°.
故答案为：30°.
利用三角形的内角和定理可证得∠A+∠B+∠C=180°，将∠A=30°，∠B=4∠C代入，可得到关于∠C的方程，解方程求出∠C的度数.
17．如图，，点在边上，与交于点，则 ．
解：和相交于点，
．
在和中，
∵，
．
又，
，
．
在和中，
，
．
，．
在中，
，，
，
．
故答案为：
先根据三角形外角的性质得出，即可判断出，由全等三角形的性质得，，在△CDE中根据三角形内角和即可求解的度数.
18．如图，在中，，平分，，，则 ．
3
解：如图，过点作于E，
平分，，
∴AD=DE，
∵，BC=8，
∴DE=AD=3，
故答案为：3．
过点作于E，根据角平分线的性质得AD=DE，利用三角形面积公式即可求DE=AD=3.
19．如图，已知，，平分外角，平分外角，平分，平分外角，则 ．
115°
20．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则底角的度数为 ．
或
解：如图，当顶角为钝角时，
则顶角为，
此时的底角为；
如图，当顶角为锐角时，
则顶角为，
此时的底角为；
综上所述，底角的度数为或，
故答案为：或．
根据题意，分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况，然后画出图，根据等腰三角形的性质和分别求解即可.
21．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积为
2
解：由作图得平分，
∵，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
∴的面积；
故答案为：2．
本题考查了基本作图以及角平分线的性质．利用基本作图得到平分，利用角平分线的性质得到G点到的距离为，然后根据三角形面积公式计算的面积；
22．若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为 ．
或
解：①当腰是，底边是时，能构成三角形，则其周长，
②当底边是，腰长是时，能构成三角形，
则其周长，
所以，这个三角形的周长可能是或．
故答案为：或
由于已知三角形是等腰三角形，则分两种情况讨论，即当腰为或腰为时分别计算即可．
23．如图，已知等腰，，平分，于点D，连结，则的面积为 ．
解：如图，延长交于点，
∵，，
∴，，
∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
延长交于点，结合勾股定理求出，，然后证明，得出，由三角形中线的性质得出，最后利用三角形面积公式即可求解．
三、作图题
24．如图，求作一点M，使得MC=MD，且点M到∠AOB两边的距离相等（不写作法，但要保留作图痕迹）．
解：点M即为所求，如图所示：
作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，交点即为所求.
25．如图，已知，，．
（1）用直尺和圆规、作出线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）
（2）如果线段的垂直平分线交于点D，连结，已知，求的度数．
（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：如图，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法，以点为圆心，大于线段一半的长度作为半径，画弧，两弧交于点，连接，则直线即为所求；
（2）根据线段的垂直平分线的性质得，由等腰三角形“等边对等角”性质得，然后根据三角形外角的性质得，最后利用三角形内角和定理即可求出的度数.
（1）如图，以点A，B为圆心，以大于线段一半的长度作为半径，画弧，两弧交于点M，N，过M，N作直线，
∴直线即为所求；
（2）如图所示，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
四、解答题
26．如图，在中，的平分线相交于点F，，，求的度数．
27．如图，点D在AB上，点E在AC上，BE，CD相交于点O.已知∠A=50°，∠BOD=70°，∠C=30°，求∠B的度数.
解：∵∠C=30°， ∠A=50°∴∠BDO=∠C +∠A=80°
∵∠BOD=70°∴∠B=180°-∠BOD-∠BDO=30°
根据三角形外角的性质求出∠BDO的度数，然后根据三角形内角和定理计算，即可解答.
28．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N．
（1）若，求的度数．
（2）连接，若，的周长是．求的长．
（1）解：，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
；
（2）解：，，
∵，
的周长是，
∴的周长．
∴．
（1）根据等腰三角形的性质得出，然后根据线段的垂直平分线的性质得出，进而得出，最后根据三角形内角和定理就可得出；
（2）根据AN=BN，等量代换可得BN+CN=AC然后的周长，即可得到BC的长．
（1）解：，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
；
（2）解：，
，
∵，
的周长是，
∴的周长．
∴．
29．在ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；
∵∠A＝20°，∠B＝60°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝100°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴，
∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝20°+50°＝70°，∠ECD＝90°﹣70°＝20°，
∴∠BCD＝30°，∠ECD＝20°
本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余等知识点，灵活运用三角形的外角性质是解题的关键．根据直角三角形中两锐角互余得出∠BCD＝30°，根据三角形内角和是180°得出∠ACB＝100°，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线得出∠ACE的度数，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和得出∠CEB的度数.
30．下面是多媒体上的一道习题：
如图是的中线，，求的取值范围．
请将下面的解题过程补充完整．
解：延长至点E，使，连接． ∵是的中线， ∴ ， 在和中， ， ∴（ ）， ∴， 在中，根据“三角形三边关系”可知：_____________________， 又∵， ∴______________________．
，，1，7，0.5，3.5
解：延长至点E，使，连接．
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，根据“三角形三边关系”可知：，
又∵，
∴．
故答案为：，，1，7，0.5，3.5
如图所示，可倍长中线构造全等三角形，从而把中线AD的2倍、AB和AC放到同一个三角形中，再利用三边关系定理即可求解，即延长到E，使，连接即可．
31．如图所示，在中，，，是边上的中线，是上一点，且，求
（1）求的度数
（2）的度数．
（1）解：∵，
∴.
（2）解：∵，∴．
∵是边上的中线，
∴，
∴．
（1）由等腰三角形的性质得到，再利用三角形内角和定理求解即可；
（2）先由等腰三角形的内角和得，再由等腰三角形三线合一得，则可求．
（1）解：∵，
∴，
（2）解：∵，
∴．
∵是边上的中线，
∴，
∴．认识三角形 [浙江历年真题] 同步练习原卷
一、选择题
1．（2024八上·拱墅月考）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·绍兴月考）如图，在中，，是角平分线，于点E，，，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
3．（2024八上·诸暨月考）如图所示的两个三角形全等，已知某些边的长度和某些角的度数，求x的值．则x应等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·吴兴月考）如图，在中，已知，点是的中点，且的面积为9，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024八上·金华月考）如图，已知点，，分别为，，的中点，若的面积为20，则四边形的面积为（ ）
A．10 B．9 C．8.5 D．7.5
6．（2024八上·金华月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的三条高都在三角形内
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．三角形中最多只有一个角不是锐角
D．三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点
7．（2024八上·义乌月考）画出一边上的高，下列画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024八上·义乌月考）下列图形中，线段是的高线的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024八上·杭州月考）如图，在中，、分别是和的平分线，于，交于，于，交于，，，，，结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（2024八上·西湖月考）以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是（ ）
A．3，6，9 B．3，5，9 C．2，6，4 D．4，6，9
11．（2024八上·杭州月考）如图，均为的角平分线．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024八上·慈溪月考）等腰三角形两条边长分别是6和8，则其周长为（ ）
A． B．或 C．或 D．
13．（2024八上·义乌月考）下列各图中，正确画出边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
14．（2023八上·慈溪开学考）如图，点是内的一点，，，则 ．
15．（2024八上·诸暨月考）如图，在 RtABC 中，∠A＝90°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，AD＝3，BC＝8，则BDC 的面积是 ．
16．（2024八上·海曙开学考）在中，，，则的度数为 ．
17．（2024八上·宁波开学考）如图，，点在边上，与交于点，则 ．
18．（2024八上·瑞安开学考）如图，在中，，平分，，，则 ．
19．（2023八上·杭州开学考）如图，已知，，平分外角，平分外角，平分，平分外角，则 ．
20．（2024八上·义乌月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则底角的度数为 ．
21．（2024八上·拱墅月考）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积为
22．（2024八上·吴兴月考）若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为 ．
23．（2024八上·南湖月考）如图，已知等腰，，平分，于点D，连结，则的面积为 ．
三、作图题
24．（2024八上·诸暨月考）如图，求作一点M，使得MC=MD，且点M到∠AOB两边的距离相等（不写作法，但要保留作图痕迹）．
25．（2024八上·杭州月考）如图，已知，，．
（1）用直尺和圆规、作出线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）
（2）如果线段的垂直平分线交于点D，连结，已知，求的度数．
四、解答题
26．（2023八上·杭州开学考）如图，在中，的平分线相交于点F，，，求的度数．
27．（2021八上·绍兴开学考）如图，点D在AB上，点E在AC上，BE，CD相交于点O.已知∠A=50°，∠BOD=70°，∠C=30°，求∠B的度数.
28．（2024八上·义乌月考）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N．
（1）若，求的度数．
（2）连接，若，的周长是．求的长．
29．（2024八上·拱墅月考）在ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
30．（2024八上·柯桥月考）下面是多媒体上的一道习题：
如图是的中线，，求的取值范围．
请将下面的解题过程补充完整．
解：延长至点E，使，连接． ∵是的中线， ∴ ， 在和中， ， ∴（ ）， ∴， 在中，根据“三角形三边关系”可知：_____________________， 又∵， ∴______________________．
31．（2024八上·吴兴月考）如图所示，在中，，，是边上的中线，是上一点，且，求
（1）求的度数
（2）的度数．
